Conceitos Básicos e testes de hipóteses para um e dois grupos · 2020-03-03 · Conceitos B asicos Testes de hip oteses De ni˘c~ao Aspecto b asico da informa˘c~ao Objetos da estat

Conceitos BasicosTestes de hipoteses

Conceitos Basicos e testes de hipotesespara um e dois grupos

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha

03 de marco de 2020

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DefinicaoAspecto basico da informacaoObjetos da estatısticaColeta de dadosAnalise Estatıstica

O QUE E ESTATISTICA???

A palavra estatıstica provem do termo “Estado”, utilizado origi-nalmente para denominar levantamentos de dados que tinha porfinalidade orientar o Estado em suas decisoes:

Economicas, tal como o valor dos impostos a serem cobrados;

Belicas, tal como determinar a estrategia de uma nova batalhaem guerras.

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Definicao popular

A arte de “torturar os dados”ate obter os resultados esperados.

Definicao formal

A Estatıstica e considerada como a ciencia que fornece metodospara a coleta, organizacao, descricao ou apresentacao, analise e in-terpretacao de dados para tomadas de decisoes.

Vıdeo: O que e Estatıstica?

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https://www.youtube.com/watch?v=BV67KHwV-5A



A estatıstica e aplicada nas mais diversas areas:

Industria: controle de qualidade.

Empresa: tomada de decisao, controle de estoque.

Servico social: indicadores sociais.

Farmacia: eficacia de um novo medicamento.

Economia: censos demograficos.

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E na Ciencia Animal??

Alguns exemplos da aplicabilidade da estatıstica na Ciencia Animal:

indicador do suıno vivo diario;

Escolha de um metodo de inseminacao;

Escolha de uma racao mais adequada para certa raca debovinos;

Eficacia de um medicamento novo para a febre aftosa.

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O IBGE e o principal provedor de dados e informacoes do Paıs tendocomo principais funcoes:

Coordenacao, producao, analise e consolidacao de informacoesestatısticas;

Coordenacao dos sistemas estatısticos e cartograficos nacionais

O Centro de Estudos Avancados em Economia Aplicada -CEPEA e um grande fornecedor de dados estatısticos eeconomicos com enfase no agronegocio.

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Aspecto basico da informacao

A analise estatıstica de um conjunto de dados so faz sentidoquando existir variabilidade nos valores observados.

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Objetos da estatıstica

Populacao

Define-se como populacao ao conjunto de todos os elementos (ani-mais, plantas, pessoas, etc) que possuam pelo menos uma carac-terıstica comum, a qual se deseja estudar.

Amostra

E definida como um subconjunto da populacao e, a partir dela, faz-se inferencia sobre as caracterısticas da populacao.

Censo

E o processo utilizado para coletar dados abordando todos os ele-mentos de uma populacao. Neste caso tecnicas de amostragem naosao utilizadas.

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Parametro

E uma medida numerica que descreve uma caracterıstica de uma po-pulacao. Sao valores fixos, geralmente desconhecidos e usualmenterepresentados por caracteres gregos.Ex: media da populacao (µ); variancia da populacao (σ2) e desviopadrao da populacao (σ).

Estatıstica

E uma medida numerica que descreve uma caracterıstica de umaamostra. E representada por caracteres latinos.Ex: Media amostral (X ); proporcao amostral (P); varianciaamostral (S2) e desvio padrao amostral (S).

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Variavel

E o que esta sendo medido em uma populacao, como por exemplo:peso, altura, intensao de voto, idade, etc.

Dados

Sao informacoes inerentes as variaveis que caracterizam oselementos que constituem a populacao ou a amostra em estudo.

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Coleta de dados

Estudo observacional

As informacoes, ou medidas, de interesse sao coletadas por meiode observacao, de tal forma que o pesquisador nao exerca nenhumainterferencia nas respostas. Os principais estudos observacionais naarea medica sao:

Estudos de prevalencia ou Transversais;

Estudos retrospectivos ou de Caso-Controle;

Estudos de Coorte.

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Estudo experimental

Consiste na coleta de informacao por meio de um experimento,no qual o pesquisador deliberadamente aplica um estımulo (tra-tamento) nas unidades amostrais para observar sua resposta. Oestudo experimental requer um Delineamento experimental. Naarea medica, recebem o nome de Ensaio Clınico Aleatorizado.

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Analise Estatıstica

Estatıstica Descritiva

Preocupa-se com os procedimentos relacionados com a coleta, orga-nizacao, apresentacao e descricao dos dados de observacao visandofacilitar a sua interpretacao.Exemplos: Tabelas, graficos, medidas descritivas.

Estatıstica Indutiva ou Inferencial

Visa tirar conclusoes sobre a populacao a partir de amostrasfundamentando-se na teoria das probabilidades.Exemplos: Intervalo de confianca, testes de hipoteses, analisede correlacao e regressao.

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IntroducaoUma mediaDiferenca de duas mediasTres ou mais medias

Introducao

Existem situacoes em que e necessario decidir se uma determi-nada hipotese especıfica e falsa ou nao. Para isso, utiliza-se oschamados testes de hipoteses;

Definicao

Assim, hipotese estatıstica e uma suposicao ou afirmacao relativa auma ou mais populacoes, baseada nos parametros populacionais(µ ou p), que pode ser falsa ou nao falsa.

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Exemplos

Alguns exemplos de hipoteses estatısticas sao:

a) a proporcao de animais com a doenca A e de 40%;

b) O tempo medio para a realizacao de um teste clınicoe de 80 min;

c) A proporcao de animais curados com a medicacao A e superioraos tratados com a medicacao B;

d) A racao A e melhor que a racao B na engorda de suınos;

e) A media da producao de leite e a mesma para tres racas dife-rentes de bovinos leiteiros;

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A ideia basica e que a partir de uma amostra da(s) populacao(oes)sera estabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera rejeitada ou nao. Essa regra e chamada de teste.

Geralmente, a hipotese proposta que sera rejeitada ou nao pelaregra de decisao, chamamos de hipotese nula, que e denotadapor H0.

Qualquer outra hipotese diferente de H0 sera chamada de hipotesealternativa e denotada por H1.

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Tipos de Hipoteses

A hipotese nula e expressa sempre pela igualdade (nulidade).Assim, as possıveis hipoteses sao:

1 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (para testes bilaterais);

2 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0 (para testes unilaterais a direita);

3 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0 (para testes unilaterais a es-querda).

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Exemplos

Defina as hipoteses H0 e H1 para os itens seguintes:

a) a proporcao de animais com a doenca A e de 40%;

b) A altura media da populacao brasileira e de 1,65 m;

c) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min;

d) A racao A e melhor que a racao B na engorda de suınos;

e) A media da producao de leite e a mesma para tres racasdiferentes de bovinos leiteiro.

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Tipos de erros

Ao testarmos uma hipotese chegamos a uma decisao (de rejeitarou nao H0) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos afavor, ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de erros.

Situacao RealH0 verdadeira H0 falsa

Nossa decisaorejeitar H0 Erro tipo I Decisao correta

nao rejeitar H0 Decisao correta Erro tipo II

α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H0 dado H0 verdadeira);

β = P(Erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0 dado H0 falsa).

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Construcao de um teste de hipoteses

1 Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2 Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3 Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4 Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5 Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostrapertencer a regiao crıtica, rejeite H0, caso contrario, nao rejeiteH0.

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Variancia conhecida

Estatıstica do Teste

Se temos um teste para a media em que a variancia e conhecida,entao, a estatıstica do teste e dada por:

Z =Y − µ0σ√n

∼ N(0, 1)

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Teste bilateral

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao a regiao crıtica e:

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Teste unilateral a esquerda

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Teste unilateral a direita

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Exemplo 1

Foi retirada uma amostra de 10 bezerros da raca Nelore, aos 210dias de idade, com o objetivo de verificar se o peso medio desseanimais atingiu ou nao 186. Os valores obtidos, em kg, foram osseguintes:

178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, comvariancia de 110kg2, teste as hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ < 186

a um nıvel de significancia de 5%.

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Variancia desconhecida


Se temos um teste para a media em que a variancia e desconhe-cida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

T =Y − µ0

s√n

∼ t(n−1,α)

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Teste bilateral

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao

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Teste unilateral a esquerda

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Teste unilateral a direita

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Exemplo 2

Dez animais foram alimentados com uma certa racao durante quinzedias e verificou-se os seguintes ganhos de peso (em kg):

2,71 2,93 3,10 3,12 3,23 3,76 3,89 4,01 4,16 4,23

Concluir, ao nıvel de 5% de significancia, se o ganho de peso medioe igual a 3,10 kg. Resolucao na aula pratica.

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Amostras independentes

Um dos testes mais frequentes em estatıstica consiste na ava-liacao da diferenca entre duas amostras independentes, ouseja, naqueles casos em que os dados de uma das amostras naoestao relacionados com os valores da outra.

Na conducao de experimentos dessa ordem, procura-se verificarse a diferenca observada e de tal magnitude que permita con-cluir que as amostras foram retiradas de populacoes distintas.

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Exemplo 3

Os dados seguintes dao os ganhos em peso (em kg) de 20 animaisexperimentais, separados em dois grupos e alimentados com racoesdiferentes.

Racao A 6,5 5,8 5,3 5,9 6,7 7,0 7,2 6,8 6,8 6,9

Racao B 5,0 6,0 7,3 7,5 8,9 9,0 9,6 8,9 9,9 4,2

A media das duas racoes sao diferentes?

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Variancias desconhecidas homogeneas


Consideremos agora duas amostras aleatorias, X1,X2, . . . ,Xn1 de tamanhon1 e Y1,Y2, . . . ,Yn2 de tamanho n2, com apenas uma diferenca do casoanterior: as variancias sao desconhecidas, porem iguais, isto e, σ2

1 = σ22 =

σ2. Temos que a estatıstica do teste e dada por:

T =(x − y)− (µ1 − µ2)

sp√

1n1

+ 1n2

∼ t(α,n1+n2−2)

em que

sp =

√(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2.

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Variancias desconhecidas nao homogeneas


Caso as variancias nao sejam homogeneas e aplicada a aproximacao deSatterthwaite (ou Welch) para os graus de liberdade usados e a estatısticado teste fica:

T =(x − y)− (µ1 − µ2)√

s21n1

+s22n2

∼ tν;α

em que os graus de liberdade sao calculados por:

ν =

(s21n1

+s22n2

)2(

s21n1

)2

n1−1 +

(s22n2

)2

n2−1

.

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Assim, antes da aplicacao do teste de hipoteses para a dife-renca de duas medias, e necessario a realizacao de um testede hipoteses da razao das variancias para tomada de decisaoa respeito da homogeneidade ou nao das mesmas. Portanto,nesta situacao as hipoteses testadas sao:

H0 : σ21 = σ22 vs H1 :

σ21 < σ22σ21 6= σ22σ21 > σ22

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A estatıstica do teste para a homogeneidade de variancias edada por:

F =maior valor de (s21 , s

22 )

menor valor de (s21 , s22 )∼ F(α;g.l. numerador, g.l. denominador)

tem distribuicao F , em que:

s21 e s22 sao as variancias amostrais correspondentes;

g.l. numerador e g.l. denominador sao n1−1 e n2−1 ou n2−1 en1−1, respectivamente, dependendo de qual das duas varianciasamostrais estao no numerador e denominador.

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Exemplo 3

Os dados seguintes dao os ganhos em peso (em kg) de 20 animaisexperimentais, separados em dois grupos e alimentados com racoesdiferentes.

Racao A 6,5 5,8 5,3 5,9 6,7 7,0 7,2 6,8 6,8 6,9

Racao B 5,0 6,0 7,3 7,5 8,9 9,0 9,6 8,9 9,9 4,2

Considerando α = 0, 05, ha evidencias de que as racoes propiciaramganhos medios diferentes? Resolucao na aula pratica.

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Amostras Dependentes

Testes de hipoteses para duas medias dependentes e utilizadoquando o mesmo grupo de elementos e submetido a algumtipo de tratamento em duas situacoes distintas (ou dois temposdistintos).

O objetivo seria saber se um determinado tratamento realizadofaz com que o resultado final se altere.

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Exemplo 4

Andrade & Ogliari (2007) apresentam um experimento conduzidopara estudar o conteudo de hemoglobina no sangue de suınos comdeficiencia de niacina. Aplicaram-se 20mg de niacina em oito suınos.Os nıveis de hemoglobina no sangue foram mensurados antes e de-pois da aplicacao da niacina. Os resultados obtidos no experimentoforam:

Antes 12,4 13,6 13,6 14,7 12,3 12,2 13,0 11,4

Depois 10,4 11,4 12,5 14,6 13,0 11,7 10,3 9,8

Houve alteracao no conteudo de hemoglobina?

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Temos duas amostras dependentes X1, . . . ,Xn e Y1, . . . ,Yn.Neste caso consideraremos observacoes pareadas, isto e, pode-mos considerar que temos na realidade uma amostra de pares(X1,Y1), . . . , (Xn,Yn).

Definimos Di = Xi−Yi , para i = 1, 2, . . . , n e assim, obtemos aamostra D1, . . . ,Dn, resultante das diferencas entre os valoresde cada par.

Apesar das amostras serem dependentes, tem-se queDi ∼ N(µD , σ

2D).

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A estatıstica do teste e

T =D − µD

sD√n

∼ t(α,n−1)

em que

D =1

n

n∑i=1

Di =1

n

n∑i=1

(yi1 − yi2), i = 1, 2, . . . , n.

s2D =1

n − 1

[n∑

i=1

D2i −

(∑n

i=1Di )2

n

], i = 1, 2, . . . , n.

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Exemplo 4

Andrade & Ogliari (2007) apresentam um experimento conduzidopara estudar o conteudo de hemoglobina no sangue de suınos comdeficiencia de niacina. Aplicaram-se 20mg de niacina em oito suınos.Os nıveis de hemoglobina no sangue foram mensurados antes e de-pois da aplicacao da niacina. Os resultados obtidos no experimentoforam:

Antes 12,4 13,6 13,6 14,7 12,3 12,2 13,0 11,4

Depois 10,4 11,4 12,5 14,6 13,0 11,7 10,3 9,8

Pode-se afirmar, a 5% de significancia, que a aplicacao de niacinaalterou a hemoglobina no sangue dos suınos? Resolucao na aulapratica.

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Introducao

O teste de hipoteses apropriado para para comparar tres oumais medias e a Analise de Variancia.

A analise de variancia e uma tecnica de analise estatısticaque permite decompor a variabilidade total, ou seja, a variacaoexistente entre todas as observacoes, em partes atribuıdas acausas conhecidas e independentes e a uma parte residual deorigem desconhecida e de natureza aleatoria (erro experimentalou resıduo).

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Introducao

O teste de hipoteses apropriado para para comparar tres oumais medias e a Analise de Variancia.

A analise de variancia e uma tecnica de analise estatısticaque permite decompor a variabilidade total, ou seja, a variacaoexistente entre todas as observacoes, em partes atribuıdas acausas conhecidas e independentes e a uma parte residual deorigem desconhecida e de natureza aleatoria (erro experimentalou resıduo).

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Pressuposicoes

No entanto, para que esta tecnica seja empregada e necessarioque sejam satisfeitas as seguintes pressuposicoes:

1) aditividade: os efeitos devem se somar (nao ha interacao);

2) independencia: os erros devem ser independentes;

3) normalidade: os erros devem possuir uma distribuicao normal;

4) homocedasticidade ou homogeneidade de variancias: oserros devem possuir uma variancia comum σ2;

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Teste F

O teste F, obtido por Snedecor, tem por finalidade compararestimativas de variancias.

As estimativas das variancias sao dadas pelos quadrados medios(Q.M.) para cada causa de variacao.

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No teste F, utiliza-se no denominador o Q.M do resıduo, ou seja,compara-se a variancia devida aos efeitos do fator controlado(trat, blocos, linhas, colunas, etc.) com a variancia devida aosefeitos dos fatores nao controlados ou acaso.

Ftrat =Q.M.trat

Q.M.ResFblocos =

Q.M.blocos

Q.M.Res.

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H0 : Efeitos de tratamentos sao equivalentes.H1 : Pelo menos um dos tratamentos diferes dos demais.

F

P(F)

Ftab(5%) Ftab(1%)

Região de

aceitação

Região de rejeição de

Ho no nível de 5%

Região de rejeição de

Ho no nível de 1%

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