Intervalos de Confiança - Amostras Pequenas Teste de Hipóteses … · 2016-09-13 · Intervalos de con an˘ca para a m edia: amostras pequenas Testes de hip oteses para uma m edia

Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas

Testes de hipoteses para uma media

Intervalos de Confianca - Amostras PequenasTeste de Hipoteses para uma Media

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela,

Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP

[email protected]

Araraquara, SP - 2016

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016



1 Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostra

2 Intervalos de confianca para a media: amostras pequenas

3 Testes de hipoteses para uma media




Fixando a ideia de intervalo de confianca

Para estimar a media µ de uma populacao qualquer usamos a mediaX de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite centraltem-se

E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =σ√n.

P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95

P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95

Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), entao 95%deles contem o parametro µ.







P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95

P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95








P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95

P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95





Tamanho da amostra para estimar µ

Tamanho da amostra:

n =(zασ

E

)2,

sendo E a margem de erro, σ o desvio padrao e zα e tal queP(|z | < zα) = α

2

Para aumentar a precisao da estimativa sem diminuir o nıvelde confianca aumenta-se o tamanho da amostra.




Tamanho da amostra para estimar µ

Tamanho da amostra:

n =(zασ

E

)2,

sendo E a margem de erro, σ o desvio padrao e zα e tal queP(|z | < zα) = α

2

Para aumentar a precisao da estimativa sem diminuir o nıvelde confianca aumenta-se o tamanho da amostra.




Exemplo 1

Determinar o tamanho mınimo da amostra para obter 95% de con-fianca de que a media amostral esteja a uma unidade da mediapopulacional. Assuma que a populacao e normalmente distribuıdacom desvio padrao σ = 4.8.

n =

(1.96× 4.8

1

)2

= 88.51 ≈ 89




Exemplo 1

Determinar o tamanho mınimo da amostra para obter 95% de con-fianca de que a media amostral esteja a uma unidade da mediapopulacional. Assuma que a populacao e normalmente distribuıdacom desvio padrao σ = 4.8.

n =

(1.96× 4.8

1

)2

= 88.51 ≈ 89




Tamanho da amostra para estimar a proporcao p

No caso da proporcao tem-se

n = p(1− p)(zαE

)2.

Se nao for possıvel uma estimativa inicial de p use p = 0.5, que eo valor onde se tem o maximo da funcao f (p) =

√p(1− p) (ou a

margem de erro maxima).




Exemplo 2

Deseja-se estimar com 95% de confianca a proporcao de eleitoresque irao votar em determinado candidato. Com uma margem deerro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessaria nas seguin-tes situacoes: (a) nao ha nenhuma estimativa previa (b) ha umaestimativa previa p = 0.31.

(a)

n = 0.5× 0.5

(1.96

0.03

)2

= 1067.11 ≈ 1068

(b)

n = 0.31× 0.69

(1.96

0.03

)2

= 913.02 ≈ 914




Exemplo 2

Deseja-se estimar com 95% de confianca a proporcao de eleitoresque irao votar em determinado candidato. Com uma margem deerro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessaria nas seguin-tes situacoes: (a) nao ha nenhuma estimativa previa (b) ha umaestimativa previa p = 0.31.

(a)

n = 0.5× 0.5

(1.96

0.03

)2

= 1067.11 ≈ 1068

(b)

n = 0.31× 0.69

(1.96

0.03

)2

= 913.02 ≈ 914




Quando σ nao for conhecido o desvio padrao amostral s e a distri-buicao t podem ser usados para se obter um intervalo de confiancapara a media populacional.

A distribuicao t

Se a distribuicao X for aproximadamente normal, entao

t =X − µs/√n

segue uma distribuicao t.




Distribuicao t

Cada curva t e determinada pelos seus graus de liberdade (gl). Os glsao o numero de escolhas livres deixadas depois que X e calculada.




Exemplo 3

Observe que o valor crıtico tc = 2.145 corresponde a uma confiancade 95% quando o tamanho da amostra e 15.




Intervalos de confianca e a distribuicao t

Identifique a amostra: n, X e s.

X =

∑ni=1 xin

s =

√∑ni=1(xi − X )2

n − 1

Nıvel de confianca c, e graus de liberdade gl = n − 1

Margem de erro: E = tcs√n

Int. Conf.: X − E < µ < X + E




Exemplo 4

Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do cafe vendidoem cada uma delas. A media da temperatura e 162.0 oF com desviopadrao de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confianca paraa temperatura media admitindo que as temperaturas sao aproxima-damente normalmente distribuıdas.

E = tcs√n

= 2.13110√16≈ 5.3

Portanto

IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)




Exemplo 4

Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do cafe vendidoem cada uma delas. A media da temperatura e 162.0 oF com desviopadrao de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confianca paraa temperatura media admitindo que as temperaturas sao aproxima-damente normalmente distribuıdas.

E = tcs√n

= 2.13110√16≈ 5.3

Portanto

IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)




Testes de Hipoteses

Uma afirmacao sobre um parametro populacional e chamada dehipotese estatıstica. Para testar um parametro populacional deve-mos afirmar cuidadosamente um par de hipoteses:{

H0 : µ ≤ kH1 : µ > k

{H0 : µ ≥ kH1 : µ < k

{H0 : µ = kH1 : µ 6= k

H0: Hipotese nula (contem a igualdade)H1: Hipotese alternativa (complemento da H0)




Tipos de erro.

Inicia-se assumindo que a condicao de igualdade e verdadeirana hipotese H0. Decisoes:

A verdade de H0

Decisao H0 e verdadeira H0 e falsaNao rejeite H0 Decisao correta Erro tipo II

Rejeite H0 Erro tipo I Decisao correta

Nıvel de significancia: probabilidade maxima permitida paracometer um erro do tipo I. E denotado por α.

Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-babilidade de cometer um erro do tipo II e preciso conhecer amedia populacional, o que raramente ocorre na pratica.




Tipos de erro.


A verdade de H0








Tipos de erro.


A verdade de H0








Teste unicaudal a esquerda

{H0 : µ ≥ kH1 : µ < k

Estatıstica do teste: z0 =X − k

σ/√n

O valor p (p-valor) e a area a esquerda da estatıstica do teste.




Teste unicaudal a direita

{H0 : µ ≤ kH1 : µ > k


σ/√n

O valor p (p-valor) e a area a direita da estatıstica do teste.




Teste bicaudal

{H0 : µ = kH1 : µ 6= k


σ/√n

O valor p (p-valor) e duas vezes a area a direita (esquerda) dovalor positivo (negativo) da estatıstica do teste.




Exemplo 5

Esta sendo proposta uma dieta que visa a reduzir o nıvel de colesterolsanguıneo. De uma populacao em que o nıvel medio e 262 mg/mLe o desvio padrao, 70 mg/mL, e selecionada uma amostra de 20pessoas que se submetem a esta dieta. Ao final de certo tempo, onıvel de colesterol e medido nessas pessoas e a media e 233 mg/mL.Pode-se afirmar que a dieta produziu realmente uma reducao nocolesterol sanguıneo (α = 0.05) ou a diferenca deve ser atribuıda aoacaso?




Exemplo 5: Resolucao

{H0 : µdieta ≥ 262H1 : µdieta < 262 (afirmacao)





A estatıstica do teste:

z0 =233− 262

70/√

20= −1.8527

esta na regiao de significancia (rejeicao).

Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.

Observacao sobre o valor p:

p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α






z0 =233− 262

70/√

20= −1.8527

esta na regiao de significancia (rejeicao). Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.


p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α






z0 =233− 262

70/√

20= −1.8527

esta na regiao de significancia (rejeicao). Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.


p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α




Exemplo 6

Em indivıduos sadios, o consumo renal de oxigenio distribui-se nor-malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com baseem 9 indivıduos portadores de uma doenca, se esta tem influenciano consumo renal de oxigenio. Os dados sao: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo medio para os 9 pacientesfoi 11.68 cm 3/min e o desvio padrao s = 0.76 cm3/min.

{H0 : µ = 12H1 : µ 6= 12 (afirmacao)




Exemplo 6

Em indivıduos sadios, o consumo renal de oxigenio distribui-se nor-malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com baseem 9 indivıduos portadores de uma doenca, se esta tem influenciano consumo renal de oxigenio. Os dados sao: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo medio para os 9 pacientesfoi 11.68 cm 3/min e o desvio padrao s = 0.76 cm3/min.{

H0 : µ = 12H1 : µ 6= 12 (afirmacao)





Como σ e desconhecido usamos a variavel t de Student comn − 1 = 8 graus de liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.306

.Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016




A estatıstica do teste e

t0 =X − µ0

s/√n

=11.68− 12

0.76/√

9= −1.26,

que nao pertence a regiao crıtica.

Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.

Valor p:

p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05






t0 =X − µ0

s/√n

=11.68− 12

0.76/√

9= −1.26,

que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.

Valor p:

p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05






t0 =X − µ0

s/√n

=11.68− 12

0.76/√

9= −1.26,

que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.

Valor p:

p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05




Exemplo 7

O teor de enxofre na analise de um gas distribui-se normalmente emtorno de 80 ppb (partes por bilhao) com um desvio padrao de 5 ppb.Deseja-se investigar o teor de enxofre em 6 analises: 83.08, 61.00,57.00, 80.41, 65.57, 87.29. Com base nesta analise podemos afirmarao nıvel de 5% de significancia que o teor de enxofre e diferente de80 ppb? {

H0 : µ = 80H1 : µ 6= 80 (afirmacao)





Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706.

A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e

t0 =X − µ0

s/√n

=72.40− 80

12.76/√

6= −1.46

que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a media seja diferente de 80.

Valor p:

p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05





Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76.

A estatıstica doteste e

t0 =X − µ0

s/√n

=72.40− 80

12.76/√

6= −1.46


Valor p:

p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05





Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e

t0 =X − µ0

s/√n

=72.40− 80

12.76/√

6= −1.46


Valor p:

p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05





Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e

t0 =X − µ0

s/√n

=72.40− 80

12.76/√

6= −1.46


Valor p:

p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05




Em um teste de hipotese a maior preocupacao e com o erro do tipoI, cuja probabilidade α e conhecida. Tem-se uma decisao estatisti-camente forte quando se rejeita H0.


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