Testes de Hip oteses: M edia e Propor˘c~ao...Testes de hip oteses Exerc cios Introdu˘c~ao Teste de hip oteses para a M edia Teste de hip oteses para Propor˘c~ao Introdu˘c~ao Viu-se

Testes de hipotesesExercıcios

Testes de Hipoteses:Media e Proporcao

Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

11 de julho de 2018Londrina

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IntroducaoTeste de hipoteses para a MediaTeste de hipoteses para Proporcao

Introducao

Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;

Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e falsa ou nao. Para isso,utiliza-se os chamados testes de hipoteses;

Definicao

Assim, hipotese estatıstica e uma suposicao ou afirmacao relativa auma ou mais populacoes, baseada nos parametros populacionais(µ ou p), que pode ser falsa ou nao falsa.

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Exemplos

Alguns exemplos de hipoteses estatısticas sao:

a) a proporcao de animais com a doenca A e de 40%;

b) A altura media da populacao brasileira e de 1,65 m;

c) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min;

d) A racao A e melhor que a racao B na engorda de suınos;

e) A media da producao de leite e a mesma para tres racasdiferentes de bovinos leiteiro;

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A ideia basica e que a partir de uma amostra da(s) populacao(oes)sera estabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera rejeitada ou nao. Essa regra e chamada de teste.

Geralmente, a hipotese proposta que sera rejeitada ou nao pelaregra de decisao, chamamos de hipotese nula, que e denotadapor H0.

Qualquer outra hipotese diferente de H0 sera chamada de hipotesealternativa e denotada por H1.

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Tipos de Hipoteses

A hipotese nula e expressa sempre pela igualdade (nulidade).Assim, as possıveis hipoteses sao:

1 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (para testes bilaterais);

2 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0 (para testes unilaterais a direita);

3 H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0 (para testes unilaterais a es-querda).

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Exemplos

Defina as hipoteses H0 e H1 para os itens seguintes:

a) a proporcao de animais com a doenca A e de 40%;

b) A altura media da populacao brasileira e de 1,65 m;

c) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min;

d) A racao A e melhor que a racao B na engorda de suınos;

e) A media da producao de leite e a mesma para tres racasdiferentes de bovinos leiteiro.

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Tipos de erros

Ao testarmos uma hipotese chegamos a uma decisao (de rejeitarou nao H0) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos afavor, ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de erros.

Situacao RealH0 verdadeira H0 falsa

Nossa decisaorejeitar H0 Erro tipo I Decisao correta

nao rejeitar H0 Decisao correta Erro tipo II

α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H0 dado H0 verdadeira);

β = P(Erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0 dado H0 falsa).

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Construcao de um teste de hipoteses

1 Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2 Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;

3 Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4 Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;

5 Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostrapertencer a regiao crıtica, rejeite H0, caso contrario, nao rejeiteH0.

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Variancia conhecida

Estatıstica do Teste

Se temos um teste para a media em que a variancia e conhecida,entao, a estatıstica do teste e dada por:

Z =Y − µ0σ√n

∼ N(0, 1)

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Teste bilateral

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao a regiao crıtica e:

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Teste unilateral a esquerda

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Teste unilateral a direita

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Exemplo 1

Foi retirada uma amostra de 10 bezerros da raca Nelore, aos 210dias de idade, com o objetivo de verificar se o peso medio desseanimais atingiu ou nao 186. Os valores obtidos, em kg, foram osseguintes:

178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, comvariancia de 110kg2, teste as hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ < 186

a um nıvel de significancia de 5%.

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Variancia desconhecida


Se temos um teste para a media em que a variancia e desconhe-cida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

T =Y − µ0

s√n

∼ t(n−1,α)

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Teste bilateral

Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao

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Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao

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Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao

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Exemplo 2

Dez animais foram alimentados com uma certa racao durante quinzedias e verificou-se os seguintes ganhos de peso (em kg):

2,71 2,93 3,10 3,12 3,23 3,76 3,89 4,01 4,16 4,23

Concluir, ao nıvel de 5% de significancia, se o ganho de peso medioe igual a 3,10 kg.

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Proporcao


Se temos um teste para a proporcao, p, entao, a estatıstica do testee dada por:

Z =P − p√p(1−p)

n

∼ N(0, 1).

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Teste bilateral

Se H0 : p = p0 vs H1 : p 6= p0, entao

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Se H0 : p = p0 vs H1 : p < p0, entao

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Se H0 : p = p0 vs H1 : p > p0, entao

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Exemplo 3

Um criador tem constatado uma proporcao de 10% do rebanho comverminose. O zootecnista alterou a dieta dos animais e acreditaque a doenca diminuiu de intensidade. Um exame de 100 cabecasdo rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose.Ao nıvel de 5% de significancia, ha indıcios de que a proporcaodiminuiu?

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Exercıcio 1


178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, comvariancia de 110kg2, teste as hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ 6= 186


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Exercıcio 2


178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, testeas hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ 6= 186


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Exercıcio 3

Um avicultor afirma que, mais de 90% dos frangos por ele fornecidopara o abate estao com peso acima do valor padrao exigido. Numlote de 8000 frangos abatidos encontrou-se 7248 acima do valorpadrao. A afirmacao do avicultor e verdadeira, ao nıvel de 95% deconfianca?

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