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Ano 2018

CONJUNTOS Aulas 01 a 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumrio CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 1

CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 1

REPRESENTAO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 1

RELAO DE PERTINNCIA ..................................................................................................................................... 1

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

CONJUNTOS NOTVEIS ........................................................................................................................................... 1

TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 1

NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 2

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 2

RELAO DE INCLUSO .......................................................................................................................................... 2

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

SUBCONJUNTO PRPRIO ........................................................................................................................................ 2

IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 3

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 3

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 3

NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ......................................................................................... 3

OPERAES ............................................................................................................................................................. 4

CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 4

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

NMERO DE ELEMENTOS DA UNIO ..................................................................................................................... 5

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 5

ALGUMAS REPRESENTAES .................................................................................................................................. 5

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 1

AULA 01

CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos so

conjunto, elemento e pertinncia.

Um elemento pertence a um conjunto .

Ex.: Uma carteira parte de uma sala de aula.

REPRESENTAO DE UM CONJUNTO 1. Tabular elementos listados entre chaves e

separados por vrgula (ou ponto e vrgula).

= {, , , } = {, , , }

2. Diagrama de Venn elementos dispostos no

interior de uma figura plana fechada.

3. Propriedade elementos descritos por meio

de uma propriedade em comum.

= { | divisor de }

RELAO DE PERTINNCIA Determina se um elemento pertence () ou no

pertence () a um conjunto.

Exemplo 1.1: Seja = {0; 1; {3,4}}. As seguintes

relaes so verdadeiras:

0 {3,4}

1 3

4 {4}

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Dado = {, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.

a) 1 b) c) 4

d) 3 e) {4}

AULA 02

CONJUNTOS NOTVEIS Conjunto Vazio( { }) - no possui

nenhum elemento.

Conjunto Unitrio - possui um nico

elemento.

Obs.1: e {} no tem o mesmo significado, de modo

geral {}, para todo .

Conjunto Universo () contm todos os

elementos do objeto de estudo.

TIPOS DE CONJUNTOS Finito podemos contar seus elementos,

chegando ao fim da contagem.

Infinito no finito.

Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.

Um conjunto fazendo papel de elemento

Um conjunto listado dentro de outro conjunto

deve ser visto apenas como um de seus elementos:

= {0, 1, {3,4}} {3,4} um elemento de . Isso

no significa que 3 ou 4 sejam elementos de .

DICA: Considerando o conjunto que contm as

estaes do ano, tem-se que , mas o sol,

que um elemento do vero, no pertence a .

1 2 5 10

Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.

Como transformar de propriedade para tabular

Quando um conjunto estiver descrito na

forma = { | }, interprete a primeira parte

como os candidatos a elementos de , enquanto a

segunda parte (aps a barra) a sua restrio. Se um

candidato satisfaz a restrio ele est eleito e,

portanto, elemento de .

Exemplo: Seja = { | + 2 = 0}

: diz que todos os reais so candidatos

+ 2 = 0 : restrio

-2 o nico candidato que satisfaz a

restrio, portanto eleito. Logo = {2}

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 2

NMERO DE ELEMENTOS DE UM

CONJUNTO O nmero de elementos de um conjunto finito,

cardinalidade, denotado por (), # ou ||.

Exemplo 2.1: Sejam = = {2}, segue que

() = 0; () = 1;

Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto so

considerados como apenas um elemento.

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Dado = {; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a

seguir.

a) () = 4

b) infinito

c) {4}

d) 0

e) 4

2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitrio,

vazio, finito ou infinito.

a) = { | 2 + 24 + 3 = 0}

b) = { |2 = 1}

c) = { |2 > 2}

d) = { | ( + 2) ( 1

2) (2 1) = 0}

AULA 03

SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSO A relao de incluso uma relao entre dois

conjuntos.

A subconjunto de B (ou A est contido em B), se

todo elemento de A tambm elemento de B.

(l-se est contido em )

(l-se contm )

Exemplo 3.1: Sejam = {0, 2, 3} e = {1, 0, 2, 3},

observe que

Assim, temos que .

Obs.3: Basta que um elemento de no pertena a

para que no esteja contido em B ( ).

Exemplo 3.2: Sejam = {1, 2, 4} e = { |

um nmero par}, como 1 e 1 temos que

.

Obs.4: Lembre-se que e , para qualquer

conjunto .

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Dado = {, 1, 2, {4}} e = {2, 4, {1}},

julgue os itens a seguir.

a) {1} f) {2, 1}

b) 1 g) e

c) {4} h) {}

d) {1, 2} i)

e) {2, {1}} j)

SUBCONJUNTO PRPRIO Um conjunto A, tal que , chamado de

subconjunto prprio de B, se e .

TAREFA 2 Ler, no tablet, at a pgina 9 e fazer os

PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.

Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.

Pertinncia e incluso

Pertinncia: relao entre elemento e conjunto

(Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto

como um de seus elementos).

Incluso: relao entre dois conjuntos

(sendo um deles subconjunto do outro).

ATENO! Para que um elemento seja promovido a

subconjunto, necessrio coloc-lo entre chaves. Se

esse elemento j for um conjunto, ento ele receber

um segundo par de chaves.

Tablet: Ler os exemplos que seguem a observao

11 e o exerccio 1.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 3

AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo e conjuntos, temos que

=

Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos = {1, 2, 3},

= {2, 1, 3} e = {1, 2, 3, 3, 3}, tem-se ento

= = .

Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem

de seus elementos so iguais.

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Determine se os conjuntos = {1, 2, 4, 5} e

= {1, (1

2)

1, 22,

125

5} so iguais.

CONJUNTO DAS PARTES PRELIMINAR 1 Dado o conjunto = {1, 2, 3, 4}, temos que:

possui um subconjunto com zero

elementos: .

possui quatro subconjuntos com um

elemento: {1}, {2}, {3} e {4}.

possui seis subconjuntos com dois

elementos:

{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

possui quatro subconjuntos com trs

elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.

possui um subconjunto com quatro

elementos: {1, 2, 3, 4} =

Estes so todos os subconjuntos de .

O conjunto das partes de , (), , por

definio, o conjunto cujos elementos so todos os

subconjuntos de .

Exemplo 4.2: Sendo = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o

conjunto das partes de dado por

() = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},

{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},

{1, 2, 3, 4}}

Obs.6: O conjunto das partes tambm um

CONJUNTO.

NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM

CONJUNTO O nmero de subconjuntos de um conjunto

igual ao nmero de elementos do conjunto das

partes de . possvel demonstrar que esse nmero

obtido pela frmula a seguir:

(()) = 2()

Tablet: PRATICANDO EM SALA 17

TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os

PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 4

AULA 05

OPERAES Estudaremos, primeiramente, as trs operaes

seguintes: Unio, Interseo e Diferena.

CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam e dois conjuntos, tais que . O

conjunto complementar de em relao a , por

definio, o conjunto . Note que

=

Exemplo 5.4: Sejam = {1; 2; 3} e = {1; 2; 3; 4; 5},

ento o conjunto complementar de em relao a

= {4, 5}

Obs.12: = , onde o conjunto universo dado

na questo.

Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} , = {1; 2; 3} , = {3; 4; 5} e

= {7}.

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Considere os conjuntos = {1, 2, 3},

= {{1, 2, 3}}, = {1, 2, 3, 4} e = {0, 2, 4, 6}.

Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA).

TAREFA 4: Ler as pginas 11 a 23; Fazer os

PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28.

Tablet: Ler observao 15

UNIO = {| }

EXEMPLOS:

= {1, 2, 3, 4, 5}

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} =

OBSERVAES:

Obs.7: Um elemento no pertence

unio de dois conjuntos se no

pertencer a nenhum deles.

( )

Tablet: Ler observao 18

INTERSEO = {| }

EXEMPLOS:

= {3}

= {3, 4, 5} =

=

OBSERVAES:

Obs.8: Dados os conjuntos e ,

dizemos que e so disjuntos se

os conjuntos e no tm

elementos em comum, isto

= .

Obs.9: Para que um elemento no

pertena interseo entre dois

conjuntos, basta que ele no

pertena a um deles.

( )

DIFERENA = {| }

EXEMPLOS:

= {1; 2}

= {4, 5}

=

OBSERVAES:

Obs.10: Ao calcular a diferena

entre dois conjuntos, voc est

respondendo seguinte pergunta:

Quais so os elementos do

primeiro conjunto que no so

elementos do segundo conjunto?.

Obs.11: Em geral, .

Tablet: Ler observao 23

Complementar

A palavra complementar atribuda a tal operao

para passar a ideia de complemento. O conjunto

complementar de em relao a o conjunto que

contm os elementos que faltam a um subconjunto

de , no caso, , para que tenhamos = .

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 5

AULA 06

NMERO DE

ELEMENTOS DA UNIO

PRELIMINAR 1 Sejam e dois conjuntos finitos, representados

pelo diagrama de Venn abaixo:

Note que,

( ) = + +

() = + ;

() = +

Se calcularmos () + () teremos:

() + () = ( + ) + ( + )

= + 2 +

Observe que os elementos da interseo ( )

esto sendo contados duas vezes. Portanto, precisam

ter sua quantidade subtrada da soma obtida. Isto :

Sendo e dois conjuntos finitos, o nmero de

elementos da sua unio dado pela relao a seguir.

( ) = () + () ( )

Exemplo 6.1: Dados os conjuntos = {{1, 2}; 3; 4; 5}

e = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que

() = 4, () = 4; ( ) = 2

Ento

( ) = () + () ( )

( ) = 4 + 4 2

( ) = 6

Lembrando que = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}}

Obs.13: Se e so disjuntos (( ) = 0), ento

( ) = () + ()

ALGUMAS REPRESENTAES A seguir, voc ver alguns diagramas de Venn.

Eles representam algumas das possveis relaes

entre dois conjuntos A e B.

Note que eles tm uma ou mais de suas partes

escurecidas, que ilustram a expresso que os

antecede.

Somente em ou ( )

{3, 4}

Problemas e diagramas

Para resolver grande parte dos problemas que

envolvem contagem de elementos ou nmero de

elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn.

Porm, no interior dos diagramas, muitas vezes no

sero listados os elementos de cada conjunto, mas

sim a quantidade de elementos que cada pedao do

conjunto possui.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 6

Somente em ou ( )

(Trs conjuntos) Somente em B ou

B A C

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Sejam e conjuntos, tais que ( ) = 68,

() = 30 e ( ) = 12. Determine o nmero de

elementos do conjunto .

6.2. Em uma pesquisa sobre preferncia musical,

foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre

rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma,

uma, duas ou trs entre as opes. Sabendo que,

5 pessoas escolheram os trs estilos musicais

10 pessoas escolheram rock e pop

Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo

7 escolheram pop e sertanejo

20 escolheram rock

20 escolheram pop

12 escolheram sertanejo

Determine o nmero de pessoas que no escolheu

nenhum dos trs estilos musicais.

6.3. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre

as disciplinas Matemtica, Fsica e Qumica. Sabendo

que:

o nmero de alunos que cursam apenas

Matemtica e Fsica excede em 5 o nmero de

alunos que cursam as trs disciplinas;

existem 7 alunos que cursam Matemtica e

Qumica, mas no cursam Fsica;

existem 6 alunos que cursam Fsica e Qumica,

mas no cursam Matemtica;

o nmero de alunos que cursam exatamente

uma das disciplinas 150;

o nmero de alunos que cursam pelo menos

uma das trs disciplinas 190.

Com base nessas informaes, determine o

nmero de alunos que cursam as trs disciplinas.

EXTRA

CAIU NO VEST 1. As preferncias musicais so referncia para o

conhecimento das pessoas, j que essas preferncias

revelam quem as pessoas so e o que querem ou no

ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a

critrios musicais, mas ao que a msica representa

para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em

que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto

musical, foram obtidos os dados apresentados na

tabela a seguir:

1. Os dados na tabela mostram que, entre os

jovens participantes da pesquisa, o nmero

de alunos que revelaram preferncia por mais

de um tipo musical 59.

2. Mais de 135 jovens revelaram preferncia por

apenas um dos tipos de msica pesquisados.

3. O nmero total de jovens participantes da

mencionada pesquisa 205.

2. Para preencher vagas disponveis, o departamento

de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44

TAREFA 5: Ler as pginas 33 a 44; Fazer os

PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37

EXTRA: CONHECENDO AVALIAES 1, 2, 6, 8, 12,

14, 16, 19 e 20

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 7

candidatos, solicitando, entre outras informaes, que

o candidato respondesse se j havia trabalhado:

I em setor de montagem eletromecnica de

equipamentos;

II em setor de conserto de tubulaes urbanas;

III em setor de ampliaes e reformas de

subestaes de baixa e de alta tenso.

Analisados os testes, o departamento concluiu que

todos os candidatos tinham experincia em pelo

menos um dos setores citados anteriormente e que

tinham respondido afirmativamente:

28 pessoas alternativa I;

4 pessoas somente alternativa I;

1 pessoa somente alternativa III;

21 pessoas s alternativas I e II;

11 pessoas s alternativas II e III;

13 pessoas s alternativas I e III.

1. Apenas 10 candidatos tm experincia nos 3

setores.

2. Somente 36 candidatos tm experincia no

setor de conserto de tubulaes urbanas.

3. Apenas 15 candidatos tm experincia no

setor de ampliaes e reformas de

subestaes.

3. Um posto de abastecimento de combustveis vende

gasolina comum(GC), lcool anidro (AA) e leo diesel

(OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes,

cada entrevistado declarou que seus veculos

consomem pelo menos um dos produtos citados, de

acordo com a tabela abaixo. Considere que no

existem carros bicombustveis.

Produto Proprietrios de veculos que consomem o

produto

GC 120

AA 75

GC e OD 60

AA e OD 50

GC e AA 30

GC, AA e OD 20

1. 35 clientes possuem apenas veculos que

consomem OD.

2. Pelo menos dois produtos so consumidos

pelos veculos de mais de 120 clientes.

3. 10 clientes possuem mais de um veculo,

sendo que pelo menos um desses veculos

consome GC e o outro consome AA, mas no

possuem nenhum veculo que consome OD.

QUESTES EXTRAS

1. Acerca do conjunto = {0; ; 1; {3; 1; 1}}.

correto afirmar que

a) {} .

b) {1} .

c) {3; 1; 1} .

d) o nmero de subconjuntos unitrios de 5.

e) o nmero de elementos do conjunto das partes de

8.

2. Cada um dos 51 professores de uma escola leciona

em, pelo menos, um dos trs prdios, , e , que a

escola possui. A distribuio de aulas aos professores

foi feita de seguinte modo:

32 professores lecionam no prdio ;

30 professores lecionam no prdio ;

29 professores lecionam no prdio ;

17 professores lecionam nos prdios e ;

18 professores lecionam nos prdios e

13 professores lecionam nos prdios e .

Quantos professores lecionam nos trs prdios da

escola?

a) 8

b) 14

c) 27

d) 31

e) 43

3. O nmero de elementos de um conjunto pode

ser denotado por (). Sendo , e conjuntos tais

que ( ) = 23, ( ) = 12, ( ) = 10,

( ) = 6 e ( ) = 4, tem-se que

( ) ( ) igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

4. Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens

com o objetivo de identificar como anda a prtica

esportiva identificou que:

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 8

Dos 120 jovens que no praticam esportes,

75% so do sexo feminino;

Dos 200 jovens que responderam pesquisa,

o nmero de homens igual ao nmero de

jovens que praticam esportes.

Com base nessas informaes, determine o nmero

de jovens do sexo masculino que praticam esportes.

GABARITO

EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. CCCEC

2.1. CEEEC

2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO

3.1. CCECCECCEC

4.1. So iguais

5.1. EM SALA

6.1. () = 50

6.2. 5

6.3. 11

CAIU NO VEST 1. ECC

2. CCC

3. CEC

QUESTES EXTRAS 1. C

2. A

3. C

4. 50