Jose JakubovicEditora Moderna

Marcelo Lellis-FUNBEC-

o conteudo habitual de Matematica das 58s. series inclui urncapitulo sobre as opera(foes com numeros naturais. Nosso

objetivo e comentar alguns aspectos do ensino dessasopera(foes, destacando a adi(fio e a subtra(fio.

A abordagem dos livros didaticos costuma sera seguinte: a) definir a opera9ao; b) apresentarsuas propriedades; c) terminar propondo proble-mas e calculos

A experiencia tem mostrado que essa aborda-gem, utilizada na sala de aula, em geral, nao ampliao conhecimento das crian9as sobre as opera90es.Numerosos fatos atestam este fracasso.

A adi9ao, por exemplo, costuma ser definida apartir da uniao de conjuntos disjuntos. No entanto,e raro encontrar um aluno capaz de reproduziressa defini9ao. A experiencia matematica dos alu-nos de 5' serie nao e suficiente para faze-I os com-preender a necessidade das defini90es, ainda maisquando estas sac tao abstratas.

Muitos alunos conhecem 0 nome das proprie-dades operatorias mas quase nenhum deles sabequando elas sac uteis. Conhecer 0 nome de umobjeto, sem saber para que ele serve, nao costumavaler a pena.

Por outro lado, a parte do conteudo envolven-do problemas e calculos deveria fazer mais sentidopara os alunos. Infelizmente, isso nem sempreacontece. as alunos efetuam contas e calculam

expressoes numerlcas, mas esse e um trabalhoapenas mecanico. E os problemas recebem poucaenfase, embora haja problemas interessantes emalguns livros didaticos.

Certamente, 0 ensino das opera90es na 5' seriepode adotar caminhos diferentes. As crian9as po-derao nao so ampliar seus conhecimentos sobre asopera90es, como tambem desenvolver seu raciocf-nio em outros aspectos. Uma das formas de obteresses resultados e trabalhar as opera90es princi-pal mente a partir de problemas.

Esses problemas devem contribuir para umacompreensao mais ampla das opera90es; devemtambem ser uteis para treinar calculos e ate para 0entendimento dos processos de calculo; devemainda, de alguma maneira, real9ar as propriedadesoperatorias.

Apesar de tantas condi90es, estamos pensan-do em problemas comuns e relativamente faceis.Para caracteriza-Ios, vejamos alguns exemplos en-volvendo apenas adi90es e subtra90es.

Carlos, Celso e Cida jogam um torneio de 3partidas em uma maquina de fliperama. Veja osresultados:

Diga quem vence 0 torneio se a regra escolhi-da for:a) vence quem ganhar mais partidas;b) vence quem fizer maior numero de pontos emuma das partidas;c) vence quem somar maior numero de pontos;d) vence quem somar maior numero de pontos emduas partidas, desprezando-se 0 pior resultado.

Este e um problema facil mas exercita calculose compreensao de texto. Ao mesmo tempo elefomece uma oportunidade para conversar com osalunos sobre a maneira mais justa de determinar 0vencedor. Note que 0 Campeonato Mundial de Au-tomobilismo utiliza um criterio semelhante ao (d),enquanto que os alunos sao avaliados com umcriterio semelhante ao (c). Nao e pro vavel haver umacordo sobre 0 criterio mais justa mas, debatendoestas ideias, os alunos desenvolvem sua capacida-de de argumentar;;ao e, em consequencia, seu ra-ciocinio.

Problema 2: a vida dura de um allela

Veja a receita de treinamento de um atleta: -no primeiro dia da semana correr 2.800 metros; -em cad a dia seguinte, correr 180 metros a mais queno dia anterior. a) No setimo dia da semana, quan-tos metros correu 0 atleta? b) Quantos metros elecorreu durante a semana toda?

Este problema tambem exercita calculos ecompreensao de texto. Aqui, a adir;;ao e utilizadapara acrescentar uma quantidade (180) a outra(2800), 0 que e ligeiramente diferente de juntarduas quantidades.

Mas, ha um fator mais importante, que deve serrealr;;ado. Note que 0 problema permite relacionar .adir;;ao e mUltiplicar;;ao: na questao (a), a resolur;;aopode ser 2800 + 6 x 180 ou 2800 + 180 + 180 + 180-4-180 -4- 180 -4- 180./sto faz tambem 0 problema termais de um tipo de resolur;;ao, 0 que sempre contri-bui para enriquece-Io.

a) Some todos os numeros da tabela 1, daseguinte maneira: primeiro some 20 com 29, 21com 28 etc.; depois, some esses resultados. b)Some todos os numeros da tabela 2, da maneiraque achar melhor, c) Encontre uma maneira rapidade somar todos os numeros da tabela 3.

Tabela 121 22 23

Tabela 2

I :: I

353359 I 354 I

360

Tabela 3

355 I 356

361 362 I 357 I 358

363 364

Embora parer;;a exclusivamente mecanico, 0problema tem um aspecto de jogo, truque ou desa·fio que pode toma-Io atraente.

Seu objetivo e levar 0 aluno a explorar aspropriedades da adir;;ao. Ao resolver 0 item (c), 0aluno que percebeu a sugestao contida na tabela 1pode somar a primeira e a ultima parcelas e depoisa segunda e a penultima e assim por diante. Dessaforma, obtem-se:(353+364) + (354+363) + ... +(358+359) = 717x6 = 4.302, 0 que exemplifica autilizar;;ao das propriedades comutativa e associa-tiva.

No en tan to, 0 aluno pode encontrar muitasoutras maneiras de efetuar a adir;;ao da tabela 3.Porexemplo:350.7 +360.5 +3-4-4 +5 +6+ 7 +8 +9 -4-1 -4-2 -4-3 -4-4.

Quaisquer que sejam as maneiras encontradaspara somar, 0 problema fomece uma boa oportuni-dade para 0 professor con tar a conhecida hist6riado matematico Gauss. Este, quando menino, efe-tuou rapidamente a adir;;ao 1+2-4- 3 -4-...-4-99-4-100,somando 0 primeiro numero com 0 ultimo, 0 se-gundo com 0 penultimo etc. Assim, 0 problema eseus comentarios criam uma situar;;ao motivadorapara 0 aluno compreender e reconhecer a impor-tancia das propriedades operat6rias.

Descubra quais numeros esHio nas parcelas ena soma da conta abaixo, sabendo que:- letras diferentes indicam algarismos diferentes;- letras iguais indicam algarismos iguais- I Indica 2 e T indica 8.

DIOGO-I- TIAGO

MARIO

Este problema ajuda 0 aluno a compreender 0processo utiiizado para calcular a soma, processoque ele domina apenas mecanicamente.

Ao mesmo tempo, 0 problema favorece 0 ra-ciocfnio dedutivo. Por exemplo, observando que 00-1- 0 da como resultado um numero terminado em0, pode-se concluir que 0 vale zero. Depois, sa ben-'Joque! -2 e que G-I- G "" I, oalunopodesuporqueG

•••1. Isto e falso, pois 0 -1- A (isto e, zero -1- A) !1aoresulta 0 pr6prio A. Com isso conclui-se que G = 6e assim por diante. Ap6s raciocfnios como esteschega-se a solw;ao:

12060-I- 82460

94520.

Abaixo, voca va um quadrado magico: a somados numeros de cada linha ou diagonal da sempre444.

Descubra os numeros adequados para com-pletar 0 quadrado.

Novamente 0 aspecto de quebra-cabe9a podedespertar 0 interesse do aluno para a situaqaoproposta.

o problema pretende mostrar a subtra9ao co-mo operaqao inversa da adiqao. Assim, 0 alunopode completar 0 quadrado fazendo calculos co-mo 444 - (115 -1- 120) = 209, para descobrir 0

numero que completa a primeira Iinha.

As cidades A, Bee ficam a beira de umamesma rodovia. De A ate B ha 132 qu i16metros e deA ate C ha 85 quil6metros.

Calcule quantos quil6metros de estrada sepa-ram Bee.

Ah! Uma informac;:ao: C esta entre A e B.

Aqui pode ser necessario 0 professor sugerir aseguinte representaqao geometrica:

Este problema contribui para que os alunospercebam, aos poucos, como um desenho podeajudar muito na resoluqao de um problema. Alemdisso, prepara 0 caminho para a compreensao dareta numerica.

a) Quantas e quais sac as adic;:6esde duas parcelascom soma 4?

b) Quantas e quais sac as subtrac;:6es de diferenc;:a4?

Eis um pequeno problema que cumpre variasfunqoes. Ele propicia uma discussao sobre comu-tatividade: sera que a adiqao 1 -1- 3 e igual a adiqao3 -I- 1?0 aluno encontra uma quantidade fin ita deadiqoes na questao (a): 0 -1-4 = 4; 1 -1-3= 4; 2 -1-2=4; 3 -1- 1= 4; 4 -I': 0 = 4. Mas ha uma quantidadeinfinita de subtraqoes na questao (b) 4 - 0= 5 - 1= 6- 2 = 7 -3 = ...(Esta e uma caracterfstica interessan-te da subtraqao.) Alem disso, para apresentar asrespostas, 0 aluno precisara organizar dados eessa atividade auxilia 0 raciocfnio.

Para pagar 267 cruzados, dei ao caixa tresnotas de 100. Ele pediu 17 cruzados para facilitar 0troco e eu deLa) Quanto veio de troco?b) Quanto viria de troco se eu nao tivesse dado os17 cruzados?c) Em algum dos casos eu pagaria mais?

Este problema discute uma situayao frequenteno dia a dia e leva a perceber novas caracterfsticasda subtrayao.

Estamos no seculo xx e 0 seculo XXI come<;:a-ra em 01/01/2001.a) Quantos anos faltam para come<;:ar 0 seculoXXI?b) Quantos anos voce tera no primeiro ana doseculo XXI?

Normalmente a subtrayao e usada para tiraruma quantidade de outra. Neste problema apare-cem outros usos da subtrayao:a) 0 aluno verifica quanta falta para atingir 2001,efetuando uma subtrayao;b) ele encontra a diferen<;:a entre 2001 e a data deseu nascimento, de novo efetuando uma sub-trayao.

Por esses motivos, 0 problema amplia a com-preensao da subtrayao.

Utilizar problemas e suficiente?Terminamos a lista de exemplos. Certamente 0

professor pode amplia-Ia, abordando outras carac-terfsticas da adi<;:aoe da sUbtra<;:ao.Pode tambemmodifica-Ia, criando enunciados mais atraentes pa-ra os alunos. E resta ainda a possibilidade de criarlistas de problemas para as outras opera<;:6es.

No entanto, fica uma duvida. Sera que umasimples lista de problemas leva realmente 0 aluno aampliar seus conhecimentos das opera<;:6esenvol-vidas e a desenvolver seu raciocfnio?

as problemas, sozinhos, talvez nao alcancemesses objetivos. A maneira de utilizar os problemase que define 0 sucesso desse recurso didatico.

Primeiro, e importante que os problemas sem-pre sejam resolvidos ou, pelo menos, exploradospelo aluno sem seguir receitas do professor. Alemdisso, e precise haver algL.!m tipo de discussaosobre as ideias do problema, para garantir que elasse tornem parte do conhecimento de todos osalunos.

Ha diversas maneiras de promover essa dis-

cussao. as alunos podem formar grupos e resolveros problemas em sala de aula, trocando ideias.Varios alunos podem explicar a classe a resolu<;:aode um mesmo problema, possibilitando comparardiferentes raciocfnios. E 0 pr6prio professor podeorientar a resolu<;:ao, at raves de perguntas e estf-mulos (mas nao "receitas prontas").

Com essas ideias, uma sugestao e come<;:ar0estudo das opera<;:6esverificando 0 que os alunospensam sobre elas. Eles podem responder pergun-tas como estas:

- Quando e que utilizamos uma adi<;:ao?- Em que situa<;:aoutilizamos a subtra<;:ao?

As respostas seriam a teoria inicial sobre 0 as-sunto.

Ap6s a resolu<;:ao e discussao de alguns pro-blemas, at raves de novas perguntas, 0 aluno podesmpliar a teoria inicial. Por exemplo, ap6s resolvero problema 9 que apresentamos, 0 aluno poderesponder uma pergunta como esta: - Que opera-<;:aoutilizamos para saber quantos anos faltam para2001? E, a partir da resposta, ele percebe que asubtra<;:ao nao serve apenas para tirar uma quanti-dade de outra. Outro exemplo: ap6s 0 problema 3,podemos perguntar sobre as varias maneiras cor-retas de efetuar uma mesma adi<;:aoe, depois que 0aluno mostrar algumas dessas maneiras, temos umbom motivo para apresentar as propriedades.

Dessa maneira, 0 entendimento das opera-<;:6es,de suas caracterlsticas e utiliza<;:6es,vai sen-do feito ao longo de aulas em que problemas sacresolvidos e discutidos. A cada dia, os alunos en-contram novas ideias e 0 professor ajuda a organi-za-Ias e registra-Ias. Ao final dessas aulas, 0 profes-sor pode tambem fazer uma sfntese das ideiasencontradas, 0 que contribui para memoriza-Ias.

Com esse objetivo, ha ainda tarefas que vaGalem dos exercicios mecanicos. Dois exemplos:pode-se propor que os alunos criem problemas nosquais a subtra<;:ao aparece com uma determinadainterpreta<;:ao; pode-se pedir que os alunos entre-vistem adultos para verificar como eles fazem con-tas de cabe<;:ae, depois, discutir as propriedadesutilizadas nesses calculos.

Resolvendo e criando problemas, refletindo ediscutindo sobre as situa<;:6es propostas, 0 alunoestara participando da constru<;:ao de fatos mate-maticos e, por isso, tera melhores chances de com-preendiHos e utiliza-Ios.

Uma observa';8o finalEste artigo apresentou uma sugestao de traba-

Iho para os professores das &s series. Se voceutilizou algumas das ideias aqui propostas, escrevapara a nossa revista, contando como se desenvol-veram as aulas e como progrediram os alunos.Informayoes desse tipo sao uteis para todos osprofessores.