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Aula Teórica 2: Redes de Compensação

Em desenho de sistemas de controle se traça quando temos:

oo M

MG

6030

db 6

Como obtê-lo? Colocando Compensadores

Existem duas formas de compensação:• compensação série - redes de adiantamento - redes de retardo - redes de retardo-adiantamento

• compensação paralelo ou no feedback

Compensação série:

Gc(s): rede de compensação

Compensação na retroalimentação:

Geralmente os compensadores estão formados por resistores, capacitores e amplificadores operacionais

A rede de adiantamento

++

__

Eo(s)Ei(s)

R4

R3

C2

R2

C1

R1

E(s)

1

1

22

22

11

11

sCR

RZ

sCR

RZ

1

1

)(

)(

22

11

1

2

1

2

sCR

sCR

R

R

Z

Z

sE

sE

i

3

4

)(

)(

R

R

sE

sEo

1

1

)(

)(

22

11

31

42

sCR

sCR

RR

RR

sE

sE

i

o

Chamando:

22

11

CRT

CRT

11

22

CR

CR

1

1

)(

)(

22

11

31

42

sCR

sCR

RR

RR

sE

sE

i

o

1

1

)(

)(

Ts

TsK

sE

sEc

i

o

23

14

CR

CRK c

Siempre R1C1 > R2C2 então 1O valor de está limitado pelas características físicas da rede:

07,0min o60max

Diagrama polar de uma rede de adiantamento

mTwm

1

TwTwjwGc

wT

wTKcjwGc

11

222

22

tantan)(

1

1)(

Se você derivar e igualar a zero a expressão da fase encontrará que

frequência a qual a rede oferece o máximo ângulo de adiantamento

Ajuda

2

1

1

)(tan

xdxdx

dx

xd

Se pode demonstrar que:

1

1msen

TwTwjwGc 11 tantan)(

xy

yxyx

1tantantan 111Conhecendo

que:

faça

Twy

Twx

logo

Twmw

1

e chegará a

2

1tan

m

Usando Pitágoras

1

Diagrama de Bode de uma rede de adiantamento

T

1T1

T1

m

20 log

Kc = 1

Observe a atenuaçãoque se produz em baixa frequência por essa causa se desenha fazendo sempre

Se pode demostrar que:

wm é a média geométrica de 1 e 2:

T

TT

m

m

TTm

1

1log

1loglog

logloglog

2221

1121

Substitua log20

1

1)(

222

22

wT

wTjwGc

1

Kc

1

1

TS

TSGc

Tm

1

Sugestão:

em

Concluindo até aqui

Se precisamos acrescentar fase em um valor de frequência para conseguir aumentar a margem de fase e portanto a estabilidade relativa do sistema temosa nossa disposição uma rede de adiantamento que

Produz um adiantamento máximo m

Esse adiantamento se produz à frequênciaT

wm1

A essa frequência produz uma modificação na magnitude log20

Para esse ângulo se cumpre que

1

1msen

Compensação com Rede de Adiantamento.

Ess

Os requerimentos de projecto se associam a:

Comportamento de estado estacionário

Estabilidade relativa

KaKvKp

M

Mg

O que fazer?

2

4

ssK

Gc+

_R(s) C(s)

Considere o sistema:

Requerimentos de projeto:Kv = 20 seg-1

M = 30o ± 3o

VEJAMOS UM EXEMPLO

Passo #1: Determinar o ganho de laço aberto que satisfaz o requerimento de estado estacionário.

10

202

2

4)(lim

0

K

KK

ss

KsssGHK

v

sv

Passo #2: Fazer o Diagrama de Bode e procurar a margem de fase do sistema sem compensar, com a K que satisfaz o requerimento de estado estacionário.

2

410)(1

jjjG

G=tf(40,[1 2 0]); margin(G)

Passo #3: Determina-se a fase máxima que deve contribuir a rede.

oo

screqm MM

125

No exemplo:o

m 1751830

Passo #4: Calcula-se .

55,029,01

29,01

1

11

1

m

m

m

sen

sen

sen

margem de segurança

Passo #5: Determinar a nova frequência de cruzamento de ganho.

Conhecido já o valor de modificação em amplitude que produzirá a rede já fica determinada por esse valor

db6.2

59.255.0log20log20o(db)modificaçã

Em que valor de freqüência a curva de magnitude tem esse valor?

Esta é a nova freqüênciade cruzamento e deve fazer-se coincidir com wm

11,02,055,0

2,018,021,755,0

1

21,71

T

segT

Tm

111.0

12.0)(

s

ssGc

Compensador

Passo #7: Comprovação do M do sistema compensado.

F.T.L.A.c:)2(

40

111.0

12.0

sss

s

Se não se cumprisse, deve retornar-se ao Passo #3 e calcular o m com margem de segurança diferente.

Gc=tf([0.2 1],[0.11 1]);FTLA=G*Gc;margin(FTLA)

Lc1=feedback(G,1);Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc1,Lc2)

Características da compensação com rede de adiantamento:

1. Aumenta o largura de banda do sistema, o que o faz mas sensível ao ruído e de uma vez aumenta a rapidez de resposta.(tr)

2. Diminui o tempo de estabelecimento.(ts)3. Diminui o pico máximo da resposta temporária.(Mp)

Rede de Retardo

++

__

Eo(s)Ei(s)

R4

R3

C2

R2

C1

R1

E(s)

1

1

22

22

11

11

sCR

RZ

sCR

RZ

1

1

)(

)(

22

11

1

2

1

2

sCR

sCR

R

R

Z

Z

sE

sE

i

3

4

)(

)(

R

R

sE

sEo

1

1

)(

)(

22

11

31

42

sCR

sCR

RR

RR

sE

sE

i

o

Chamando:

22

11

CRT

CRT

1

11

22 CR

CR

1

1

)(

)(

22

11

31

42

sCR

sCR

RR

RR

sE

sE

i

o

1

1

)(

)(

Ts

TsK

sE

sEc

i

o

23

14

CR

CRK c

Suponha que 1KKc

A resposta de freqüência de1

1

Ts

Ts

T1

T1

Observe que se atenua em alta freqüência

Para compensar com a rede de atraso se aproveita a atenuação às altas frequências que introduz a rede, para procurar que se cumpra a Margem de Fase requerida.

Isto é atenuar o gráfico de amplitude para poder compensar o incremento do ganho que se precisa para obter a constante de erro estacionário desejada. 

A fase negativa que introduz a rede é indesejável, pelo que haverá que levar em conta seu efeito

Procedimento de projeto da compensação com rede de retardo:

Veremos através de um exemplo

Considere o sistema:

)1(

1

ss

15,0

1

s

)(sG c+

_

Requerimentos: Kv=5 M = 40o ± 3o

Passo #1: Determinar o ganho para satisfazer os requerimentos de estado estacionário.

KKc

sssTs

TsKcsssGHK

ssv

)15,0)(1(

1

1

1*lim)(lim

00

5K

Agora

)15,0)(1(

1

1

1

sssTs

TsK

O ganho K passaráa formar parte do sistema sem compensar

Esta será a rede que terá que procurar

Passo #2: Riscar o Diagrama de Bode de laço aberto do sistema sem compensar com a K que satisfaz o requerimento de estado estacionário. Conseguir nesse diagrama o valor da freqüência a que tem o sistema cruzar o eixo de zero decibeles para obter a margem de fase requerido

wcnreqM 180)((5-12)

wcn 1801040

1301018040 wcn

A fase à freqüência de cruzamento é esta, qual será a freqüência?

)15,0)(1(

5

sssG=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));bode(G)

Fazemos o diagrama de bode

Essa é a nova freqüência de cruzamento

Passo #4: Calcular a atenuação que deve sofrer a curva de magnitude para que cruzamento o eixo a essa freqüência

1

1)(

222

22

wT

wTjwGc

Em alta freqüênciaT

w1

que é onde se produz a atenuação

1

)( jwGc

Em db log20)( db

jwGc

Que atenuação produz uma rede de atraso?

Isto

portanto db19log20

91.810 20

19

Para obter o que deseja terá que tomar um valor igual ou maior que este

10

Passo #5: Seleção das freqüências de esquina da rede.

A freqüência do zero da rede escolhe-se uma década por debaixo da nova freqüência de cruzamento.

T1

488.0Wcn 0488.010

1

Wcn

Tw

49.200488.0

1T

Como já se conhece 10

19.204

149.20

1

1)(

S

S

Ts

TssGc

Passo #6: Comprova-se a Margem de fase do sistema compensado.

)15,0)(1(

5

19.204

149.20

sssTs

sFTLA

G=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));Gc=tf([20.49 1],[204.9 1]);margin(G*Gc)

Se não cumprisse, retorna-se ao passo #2

Resposta ao degrau do sistema compensado.

Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc2)

Características da compensacao com rede de retardo

1. A largura de banda do sistema diminue, e a resposta temporal torna-se mas lenta.

2. Actua de forma similar a um Controlador PI.3. Si o sistema apresenta na origem um polo duplo o superior, nao pode

compensar-se com Rede de Retardo.