CONTROL Y SIMULACION DE UN DISPOSITIVO DE ...posgrado.lapaz.tecnm.mx/uploads/archivos/MartínezCha...INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA PAZ DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACI

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA PAZDIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MAESTŔIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

CONTROL Y SIMULACIÓN DE UN DISPOSITIVO DE

ASISTENCIA ACTIVO

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

PRESENTA:

ING. JUAN ANTONIO MART́INEZ CHAVELAS

DIRECTOR DE TESIS:

DR. ISRAEL MARCOS SANTILLÁN MÉNDEZ

LA PAZ, BAJA CALIFORNIA SUR, MÉXICO.

i

La Paz, B.C.S., 01/diciembre/2020

DEPI_B/012/2020

ASUNTO: Autorización de impresión

C. JUAN ANTONIO MARTÍNEZ CHAVELAS,ESTUDIANTE DE LA MAESTRÍA ENSISTEMAS COMPUTACIONALES,P R E S E N T E .

Con base en el dictamen de aprobación emitido por el Comité Tutorial de la Tesis denominada:“DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN DISPOSITIVO DE ASISTENCIA ACTIVO”, mediante la opciónde tesis (Proyectos de Investigación), entregado por usted para su análisis, le informamos quese AUTORIZA la impresión

A T E N T A M E N T E “Ciencia es Verdad, Técnica es Libertad”

JUAN PABLO MORALES ÁLVAREZ,JEFE DE LA DIV. DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INV.

c.c.p. Depto. de Servicios Escolaresc.c.p. Archivo.

JPMA/icl*

Blv. Forjadores de B.C.S. #4720, Col. 8 de Oct., 1era Sección C.P. 23080

La Paz, B.C.S. Tel. 01 (612) 121-04-24www.tecnm.mx | www.lapaz.tecnm.mx

Instituto Tecnológico de La Paz

“2020, Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria”

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“2020, Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria”

CARTA CESIÓN DE DERECHOS La presente se extiende en la Ciudad de La Paz, B.C.S. El día __10_ del mes __diciembre__ del año

__2020_, el (la) que suscribe _Juan Antonio Martínez Chavelas___ estudiante del Programa de Maestría

_en Sistemas Computacionales__ con número de control _M17310004_, manifiesta que es autor (a)

intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de _Dr. Israel Marcos Santillán Méndez__ y

cede los derechos del trabajo intitulado _Diseño y Simulación de un Dispositivo de Asistencia Activo_,

en forma NO EXCLUSIVA, al Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de la Paz para su

reproducción total o parcial en cualquier medio con fines académicos, científicos y culturales, así como

para su publicación electrónica del texto completo para difusión y consulta.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo

sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la

siguiente dirección [email protected]_. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el

agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Juan Antonio Martínez Chavelas

Nombre y firma

Dedicatoria

Dedico esta tesis a mi familia que me ha apoyado todo este tiempo en especial a mis padres,

Saúl e Isabel, quienes han estado junto a mi durante este proceso, sin ellos esto no hubiera sido

posible.

i

Agradecimientos

Agradezco a mi familia por ser un apoyo incondicional durante este proceso, siempre me

apoyaron a superarme.

Agradezco a mis profesores quienes nunca desistieron al enseñarme, a ellos que siempre es-

tuvieron dispuestos a compartir su conocimiento y que continuamente depositaron su esperanza

en mı́.

Agradezco a mi director de tesis, Dr. Israel Santillán. A los asesores, Dr. Jesús Sandoval y

MSC. José Luis Gómez, quienes estudiaron mi tesis y la aprobaron. Al Tecnológico Nacional

de México, casa de estudio que me permitió crecer académicamente y tener una educación de

calidad.

Agradezco a mis amigos pues siempre fueron bastón de apoyo a lo largo de la carrera. A mi

amigo Joel Artemio Morales Viscaya quien fue de gran apoyo y complemento en este trabajo.

Gracias a todos.

ii

Resumen

El presente trabajo consiste en el diseño, modelado dinámico, control y simulación de una

prótesis activa de rodilla y tobillo para personas con amputación transfemoral. Los eslabones

se proponen con dimensiones semejantes a las de un ser humano, esto con el fin de que pueda

ser utilizado por un ser humano. El sistema cuenta con 2 grados de libertad, uno en la rodilla y

otro en el tobillo. Se considera que el sistema sólo realiza una marcha b́ıpeda en el eje sagital.

La caminata humana se dividirá en 4 etapas, las cuales serán estudiadas para obtener el modelo

dinámico de cada etapa, aśı como sus respectivas ley de control y objetivo de control para

garantizar una marcha semejante a la del ser humano. Al finalizar se realizará una simulación

por computadora para corroborar la vialidad de la propuesta.

iii

Abstract

The present work consists of the design, dynamic modeling, control and simulation of an

active knee and ankle prosthesis for people with transfemoral amputation. The links are propo-

sed with dimensions similar to those of a human being, this is in order so it can be used by a

human being. The system has 2 degrees of freedom, one at the knee and one at the ankle. It is

considered that the system only performs a bipedal gait on the sagittal axis. The human walk

will be divided into 4 stages, each will be studied to obtain the dynamic model of each stage, as

well as their respective control law and control objective to guarantee a walk similar to that of

the human being. At the end a computer simulation will be carried out to study the feasibility

of the proposal design.

iv

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2. Objetivos espećıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Marco teórico 5

2.1. Prótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Anatomı́a del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Dimensiones del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Planos de referencia del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. Rango de movimiento de extremidades inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6. Estudio de la marcha b́ıpeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7. Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8. Modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.8.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.2. Modelo compacto de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9. Ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10. Descenso de Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

v

ÍNDICE GENERAL vi

3. Desarrollo de Actividades 26

3.1. Diseño de la prótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2. Consideraciones mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Etapas a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Desarrollo del modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Etapa de pre-balanceo y balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2. Etapa de soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3. Etapa de respuesta a la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. Parámetros del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Resultados 44

4.1. Selección de trayectoria y obtención de posiciones articulares. . . . . . . . . . . . 46

4.2. Simulación del modelo dinámico por computadora. . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3. Graficación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Conclusiones 52

A. Scripts utilizados para la simulación 55

A.1. Fase de Balanceo y Pre-balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.2. Fase de Soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3. Fase de Respuesta a la Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.4. Cálculo del error de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.5. Descenso de Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.6. Prueba del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Referencias 63

Índice de figuras

2.1. Niveles de Amputación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Prótesis activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Partes principales de la pierna humana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Estructura ósea de las piernas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. Planos de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6. Rangos de movimientos de la rodilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7. Rangos de movimientos del tobillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8. Fases marcha humana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9. Respuesta a la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.10. Soporte medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.11. Soporte terminal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.12. Fase de pre-balanceo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.13. Balanceo inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.14. Balanceo medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.15. Balanceo final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.16. Ángulos rodilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.17. Ángulos tobillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1. Modelo simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Eslabón pie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Eslabón tibia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Eslabón union. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5. Prótesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6. Diagrama esquemático del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

vii

ÍNDICE DE FIGURAS viii

4.1. Simulación etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49




Caṕıtulo 1

Introducción

1.1. Antecedentes

La discapacidad forma parte de la condición humana: casi todas las personas sufrirán algún

tipo de discapacidad transitoria o permanente en algún momento de su vida, y las que lle-

guen a la senilidad experimentarán dificultades crecientes de funcionamiento. La discapacidad

es compleja, y las intervenciones para superar las desventajas asociadas a ella son múltiples,

sistemáticas y vaŕıan según el contexto.

Se estima que más de mil millones de personas viven con algún tipo de discapacidad [1];

esto quiere decir que alrededor del 15 % de la población mundial (según las estimaciones dela

población mundial en 2010 [2]). Esta cifra es superior a las estimaciones previas de la Organi-

zación Mundial de la Salud, correspondientes a los años 1970, que eran de aproximadamente

un 10 %. Según la Encuesta Mundial de Salud, cerca de 785 millones de personas (15.6 %) de

15 años y más viven con una discapacidad, mientras que el proyecto sobre la Carga Mundial

de Morbilidad estima una cifra próxima a los 975 millones (19.4 %). La Encuesta Mundial de

Salud señala que, del total estimado de personas con discapacidad, 110 millones (2.2 %) tienen

dificultades muy significativas de funcionamiento, mientras que la Carga Mundial de Morbili-

dad cifra en 190 millones (3.8 %) las personas con una “discapacidad grave” (el equivalente a la

discapacidad asociada a afecciones tales como la tetraplej́ıa, depresión grave o ceguera). Solo la

Carga Mundial de Morbilidad mide las discapacidades infantiles (0-14 años), con una estimación

de 95 millones de niños (5.1 %), 13 millones de los cuales (0.7 %) tienen “discapacidad grave”

1

1.2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 2

[3].

Aunque no parezca, se requieren más amputaciones transfemorales de lo que muchas perso-

nas piensan. De más de 1.2 millón de personas que viven en los Estados Unidos y que perdieron

extremidades, el 18.5 por ciento son amputados de transfemoral, según las últimas figuras pro-

porcionadas por el Centro Nacional para la Estad́ıstica de la Salud. En promedio se realizan

29,607 amputaciones en dicho páıs anualmente. Estad́ısticamente, casi uno de cada cinco perso-

nas que viven en ese páıs con la pérdida de una extremidad tuvo una amputación transfemoral

[4].

Aunque las amputaciones transfemorales son bastantes comunes, no hay nada sencillo en el

ajuste a la vida después de la ciruǵıa. La persona que vive con la pérdida de una extremidad de

nivel transfemoral encara los desaf́ıos claros, tales como los requisitos para aumentar la enerǵıa,

problemas del equilibrio y estabilidad, necesidad de un artefacto protésico más complicado,

dificultades al levantarse de una posición sentada, y, a diferencia de las amputaciones de los

niveles de tibia y pie, la comodidad de una prótesis mientras se halla en posición sentada.

1.2. Descripción del problema

La caminata realizada por personas con amputaciones en las extremidades inferiores es lenta,

poco estable y requieren más enerǵıa, en comparación a la caminata realizada por una persona

con las extremidades completas [5]. Además, los individuos con extremidades amputadas se

tropiezan con mayor frecuencia y les resulta más dif́ıcil subir rampas, colinas y escaleras [6].

Estas complicaciones se deben principalmente al uso de prótesis pasivas, las cuales no responden

activamente a las perturbaciones ni contribuyen positivamente al realizar un trabajo, como lo

hace un músculo natural [7].

En consecuencia de lo anterior, las prótesis activas que existen actualmente de manera co-

mercial cuentan con un sistema complejo que les permite solucionar alguno de los problemas

planteados, pero a un costo económico elevado. Aunado a eso, actualmente existe poca infor-

mación pública referente al funcionamiento y diseño de dichas prótesis activas, esto es debido a

que son de uso comercial, por lo cuál hace falta un acercamiento simple pero efectivo del diseño

de una prótesis transfemoral activa que sea capaz de simular una marcha b́ıpeda humanoide.

1.3. HIPÓTESIS 3

1.3. Hipótesis

Es posible realizar una marcha b́ıpeda semejante a la de un ser humano mediante la aplicación

de leyes de control a una prótesis transfemoral activa.

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo general

Diseñar y simular una prótesis transfemoral activa que sea capaz de asemejar una marcha

b́ıpeda humanoide.

1.4.2. Objetivos espećıficos

Diseñar una prótesis transfemoral mediante software CAD.

Obtener el modelo dinámico la prótesis desarrollada.

Diseñar una ley de control para cada etapa de la marcha.

Simulación del sistema propuesto con las leyes de control desarrolladas para cada etapa

de la marcha.

1.5. Justificación

La información relacionada a las prótesis activas es escasa actualmente, esto debido a que la

gran parte de la investigación se realiza en instituciones privadas para poder ser comercializada.

Una consecuencia es que las prótesis activas sean costosas y sin mucha información sobre su

diseño y funcionamiento.

Por lo anterior, se propone una prótesis activa no invasiva cuya construcción sea simple

al igual que el mecanismo de sujeción al usuario. La prótesis propuesta es de bajo costo de

producción y con materiales fáciles de conseguir.

El modelo propuesto servirá como base para el diseño de futuros prototipos de prótesis. Los

resultados de simulación permitirán estimar el par requerido por el sistema para desarrollar

1.6. ALCANCE 4

una marcha simple en el eje sagital con las condiciones propuestas. En la simulación del modelo

matemático se podrán cambiar las caracteŕısticas del sistema, de tal forma que se puedan simular

sistemas diferentes al estudiado originalmente.

1.6. Alcance

La longitud de los eslabones no cambia durante la marcha, son constantes.

Se asume que los eslabones de la prótesis son ŕıgidos y no sufren deformaciones.

Cuando la prótesis cumple la función de soporte, se asume que no hay deslizamiento.

Se sume que los estados del movimiento de la prótesis son los mismos antes y después del

impacto.

Cada etapa de la marcha es controlada independiente con una adecuada acción de control.

1.7. Limitaciones

Se abordó solamente el estudio y control de la marcha, es decir, los desaf́ıos como subir

escaleras, sentarse, correr, etc, no son contemplados.

La marcha será únicamente en linea recta hacia delante en el eje sagital.

El modelo de la prótesis no fue posible construirlo.

Caṕıtulo 2

Marco teórico

2.1. Prótesis

En medicina se conoce como prótesis a un dispositivo artificial que reemplaza algún miembro

del cuerpo humano, el cual puede estar ausente debido a accidentes o por enfermedad. El objetivo

principal de la prótesis es restaurar el funcionamiento del miembro perdido.

La prótesis de una persona debe ser diseñada en función de las caracteŕısticas f́ısicas del

usuario y de las actividades que el usuario desea realizar con dicho dispositivo. Un factor muy

importante a considerar es la capacidad económica del usuario, ya que una prótesis capaz de

realizar diversas actividades resulta ser de costos elevados debido a la complejidad tecnológica

que implica el desarrollar muchas funciones.

Es posible dividir las prótesis en dos grupos principales [6] Prótesis de miembros superiores

y de miembros inferiores. Las prótesis de miembro superior incluye el área del torso, brazos,

manos, cabeza y cuello; mientras que las prótesis inferiores incluyen la cadera, piernas y pies.

En éste trabajo nos vamos a enfocar en el segundo grupo, las prótesis de miembros inferiores.

De igual forma, las prótesis de miembros inferiores se pueden clasificar en función de la

ubicación en la pierna en la que se realiza la separación del miembro con respecto al usuario.

Ésto se muestra en la figura 2.1. La amputación transfemoral es una de las más utilizadas cuando

se requiere amputar un miembro inferior, por lo tanto, éste tipo de amputaciones será la que

consideraremos durante el trabajo.

5

2.1. PRÓTESIS 6

Figura 2.1: Representación de los niveles de amputación para las extremidades inferiores.

Otra de las distinciones que se hacen en las prótesis es si son activas o pasivas. Las prótesis

activas son aquellas que cuentan con algún tipo de actuador, ya sea un motor de corriente

directa (CD), un motor linea o alguna otra forma de aportar enerǵıa al usuario para facilitar

la marcha, como se muestra en la figura 2.2a. En el caso contrario, si la prótesis no cuenta con

actuadores se considera una prótesis pasiva como se muestra en la figura 2.2b.

(a) Ejemplo de tres prótesis activas. (b) Ejemplo de una prótesis pasiva.

Figura 2.2: Prótesis activas y pasivas

2.2. ANATOMÍA DEL CUERPO HUMANO 7

2.2. Anatomı́a del cuerpo humano

Antes de empezar a estudiar la marcha humana, es necesario entender las partes que com-

ponen la pierna, aśı como su estructura básica. Esto servirá para poder nombrar las partes de

la prótesis propuesta a su equivalente a la parte del ser humano.

A los miembros inferiores del ser humano se les denominan piernas, y están compuestas

por un complejo sistema de músculos y articulaciones. Gracias a la complejidad de las piernas,

el ser humano puede correr, brincar, caminar y realizar diferentes movimientos con facilidad y

agilidad. Esto es posible debido a que los componentes de las piernas se encuentran sincronizados

de una forma espectacular, dándole estabilidad y robustez [8].

En la Figura 2.3 se muestra los componentes principales de las piernas del ser humano. Estas

partes son: la cadera, la pierna y el pie.

Figura 2.3: Partes principales de la pierna human.

La pierna del ser humano está conformada por 4 grandes huesos: fémur, rótula, tibia y

peroné. En la Figura 2.4 se pueden apreciar dichos huesos.

2.3. DIMENSIONES DEL CUERPO HUMANO 8

Figura 2.4: Estructura ósea de las piernas.

2.3. Dimensiones del cuerpo humano

Debido a que el objetivo es diseñar un mecanismo que pueda ser utilizado por una persona,

es preciso conocer las dimensiones promedio del ser humano, esto para evitar que el mecanismo

sea muy grande o muy pequeño en relación al usuario. Es importante resaltar que deben ser las

dimensiones de un mexicano promedio, ya que el desarrollo del presente trabajo es en México

y las estaturas promedio son diferentes en cada páıs. Las dimensiones de usuario utilizadas en

este trabajo fueron consultadas de [9].

2.4. Planos de referencia del cuerpo humano

Existen tres planos de referencia importantes para analizar el cuerpo humano. Estos planos

sirven para definir desde qué perspectiva se esta analizando el sistema. Estos tres planos son:

plano sagital, plano transversal y plano coronal. En la figura 2.5 se observan los planos de

referencia.

2.5. Rango de movimiento de extremidades inferiores

Es importante conocer qué movimientos puede realizar las piernas y cual es el rango máximo

y mı́nimo de rotación que puede realizar cada una de las articulaciones de la pierna. Esto nos

2.5. RANGO DE MOVIMIENTO DE EXTREMIDADES INFERIORES 9

Figura 2.5: Planos de referencia.

sirve para imitar el movimiento humano lo mejor posible y aśı lograr una marcha más natural.

Debido a que la prótesis sólo será de rodilla y tobillo, esas serán las articulaciones que se

explicarán.

Rodilla

La rodilla tiene sólo un movimiento que se realiza en el plano sagital [8], a este movimiento

se le conoce como flexión y extensión y es de los movimientos básicos para la caminata humana.

Cuando se genera un ángulo entre el fémur y la tibia de 0o es cuando la pierna se encuentra

totalmente extendida. Al momento de flexionar la pierna completamente, el talón toca al glúteo

y se forma un ángulo de 155o. Si se realiza fuerza con el cuadricep, se puede realizar una hiper-

extensión de hasta -10o tomando como referencia la posición de la pierna extendida. En la Figura

2.6 se puede apreciar este movimiento y sus ángulos.

Tobillo

Los músculos inferiores de la pierna actúan sobre la articulación del tobillo generando los

dos movimientos principales [8] del mismo:

Dorsiflexión: elevación de la punta del pie hacia la espinilla.

2.5. RANGO DE MOVIMIENTO DE EXTREMIDADES INFERIORES 10

Figura 2.6: Rangos de movimientos de la rodilla.

Flexión plantar: flexión de la punta del pie hacia abajo.

El movimiento del tobillo puede observarse en el plano sagital. La articulación del tobillo

permite una variación de ángulo entre la tibia y el pie, cuando esta se encuentra en posición

neutral (0o con respecto al plano horizontal) se forma un ángulo recto entre el pie y la tibia

(90o). Al momento de realizar la dorsiflexión (acercar la punta del pie a la espinilla) se pueden

obtener diferentes ángulos máximos, dependiendo de la flexibilidad de la persona, pero el ángulo

máximo es de 30o con respecto al plano horizontal. Para la flexión plantar se puede obtener un

mayor rango de movimiento, el cual permite un ángulo máximo de 50o.

En la Figura 2.7 se pueden apreciar los movimientos del tobillo descritos con anterioridad.

Es importante conocer que se pueden realizar estos movimientos con los mismos ángulos, sin

importar si el pie se encuentra fijo en el piso o si se encuentra libremente en el aire.

Figura 2.7: Rangos de movimientos del tobillo.

2.6. ESTUDIO DE LA MARCHA BÍPEDA 11

El tobillo también es capaz de realizar otros 2 tipos de movimiento en otros planos de

acción. Estos movimientos son muy parecidos a los movimientos realizados por la cadera, pero

con menor amplitud de movimientos. En realidad, el tobillo es un sistema de tres grados de

libertad al igual que la cadera, pero al ser tan pequeños esos movimientos, no son de mucha

utilidad al momento de realizar la marcha humana, por lo cual no son considerados para la

realización de prótesis propuesta en este trabajo.

2.6. Estudio de la marcha b́ıpeda

Para poder diseñar un sistema de que recree la marcha humana es esencial entender cómo

caminamos. Una de las principales cualidades que se buscan en las trayectorias propuestas de

la prótesis es que se mueva de una forma natural, lo más similar a la marcha humana.

El ser humano requiere de varios músculos para poder caminar, pero no sólo utiliza los

músculos de las piernas, sino también los músculos de la parte superior del cuerpo. Uno de los

movimientos que se realiza al caminar es mover los brazos de manera alternada con respecto a

las piernas. Cuando se mueve la pierna hacia adelante, el ser humano mueve el brazo opuesto

hacia adelante, esto con el fin de compensar el movimiento del centro de masa causado por la

pierna. Además de los brazos, el ser humano también realiza un movimiento con la cadera y con

los hombros, y estos movimientos se realizan en función de la posición de las piernas durante la

caminata.

La biomecánica define la caminata humana como una forma de locomoción b́ıpeda [10], ya

que existe una alternación entre las extremidades inferiores. Una pierna toca el suelo para dar

soporte, estabilidad y propulsión mientras la otra pierna se encuentra en fase de balanceo, que

es cuando se despega del piso para avanzar hacia delante y aśı crear un paso [11].

Por convención, el ciclo de la caminata humana inicia cuando el talón derecho está haciendo

contacto con el piso para posteriormente hacer contacto con el pie completo, y termina cuando

el mismo talón vuelve a tocar el piso [12]. Este ciclo se descompone en la fase de soporte y

la fase de balanceo [13]. La fase de soporte compone la mitad del ciclo y en esta la pierna de

interese permanece en contacto con el suelo soportando la carga del cuerpo, dependiendo de la


etapa en la que se encuentre se diferencia que partes del pie hacen contacto y el porcentaje de

la carga del cuerpo que soporta. En la fase de balanceo se mantiene la carga en la otra pierna

y se desplaza la pierna de interés en el aire hasta que el talón toca el piso. Dependiendo del

autor que se consulte, la marcha b́ıpeda se puede separar en diferentes etapas [14], siendo lo

más común la representación mostrada en la figura 2.8.

Figura 2.8: Fases de la marcha humana.

A continuación se explicará con extensión los detalles de cada etapa:

Fase de soporte se divide en las siguientes etapas:

• Respuesta de la carga: esta fase comienza cuando el talón del pie derecho golpea

el suelo y termina cuando el pie hace contacto por completo con el suelo. En la

Figura 2.9 se muestra el inicio y final de esta etapa. La pierna en sombreada es la

pierna derecha y es la que se usa como referencia. Esta etapa se ejecuta entre el

0 % y 12 % del ciclo. La función de esta etapa es transferir el peso de la persona a

la pierna de soporte, mantener la velocidad y balancear el centro de gravedad del

cuerpo al absorber enerǵıa mediante el movimiento de los músculos de la pierna.

Durante esta etapa ocurre un momento de doble soporte, ya que el pie derecho se

encuentra completamente en el piso y el pie izquierdo se encuentra tocando el piso

con los dedos.


Figura 2.9: Respuesta a la carga.

• Soporte medio: en esta fase el pie de soporte soporta la carga y se realiza la primera

mitad de la etapa con un sólo soporte, abarcando desde el 12 % a 34 % del ciclo. Se

transfiere la carga completa al pie de soporte y permite que el cuerpo se mueva hacia

delante. Esta fase termina cuando el centro de gravedad del cuerpo se encuentra

exactamente encima del pie de soporte, como se muestra en la Figura 2.10. Al dejar

la carga completamente recargada en el pie de soporte, la planta del pie hace mayor

contacto con el suelo, aumentando aśı la fricción entre el pie y el suelo.

Figura 2.10: Soporte medio.

• Soporte terminal: en esta etapa ocurre la segunda mitad de la etapa con un solo

soporte, la cual se lleva acabo entre el 34 % y 50 % del ciclo. Aún en posición vertical,

se mueve la pierna de balanceo hacia delante hasta que el talón haga contacto con


el piso. Al realizar este movimiento, el cuerpo es empujado hacia delante. La Figura

2.11 muestra el desarrollo de esta fase.

Figura 2.11: Soporte terminal.

Fase de pre-balanceo: en esta etapa se realiza el cambio de pierna de soporte. El peso de

la persona se transfiere a la pierna izquierda, la cuál se convierte en el nuevo soporte. Al

transferir el peso, el pie derecho crea un impulso con el piso, permitiendo que esta pierna

pueda moverse hacia delante. Durante esta etapa existe un doble soporte nuevamente, ya

que la pierna izquierda hace contacto con el talón mientras la pierna derecha hace contacto

solamente con los dedos del pie. En la Figura 2.12 se observa la fase de pre-balanceo, la

cual ocurre entre el 50 % y el 62 % del ciclo de la caminata humana.

Figura 2.12: Fase de pre-balanceo.

Fase de balanceo, la cual consta de tres etapas:


• Balanceo inicial: Comienza cuando la pierna derecha se levanta del suelo y termina

cuando la pierna de balanceo se encuentra junto a la pierna de soporte, como se

observa en la Figura 2.13. Esta etapa sucede desde el 60 % hasta 75 % del ciclo.

Figura 2.13: Balanceo inicial.

• Balanceo medio: esta etapa comienza cuando la pierna de balanceo se encuentra junto

a la pierna de soporte y termina cuando la tibia de la pierna de balanceo se encuentra

en posición vertical, como se muestra en la Figura 2.14. Esto ocurre durante el 75 %

y el 90 % del ciclo.

Figura 2.14: Balanceo medio.

• Balanceo final: comienza cuando la tibia del pie de balanceo se encuentra en posición

vertical y termina cuando el talón de esta misma pierna hace contacto con el suelo,

aśı completando el ciclo de la caminata humana. Esta etapa ocurre durante el 90 %

y el 100 % del ciclo de la caminata humana. La Figura 2.15 muestra esta etapa.


Figura 2.15: Balanceo final.

Durante el desarrollo de esta marcha b́ıpeda las posiciones articulares de la rodilla y tobillo

varian con respecto al tiempo. Las posiciones que siguen las articulaciones puede variar leve-

mente entre individuos, pero en promedio los seres humanos siguen la trayectoria mostrada en

las gráficas 2.16 y 2.17 para rodilla y tobillo, respectivamente.

Figura 2.16: Posiciones desarrolladas por la rodilla durante la marcha b́ıpeda.

2.7. MODELO MATEMÁTICO 17

Figura 2.17: Posiciones desarrolladas por el tobillo durante la marcha b́ıpeda.

2.7. Modelo matemático

Un modelo matemático es la representación de un objeto de manera abstracta por medio de

las matemáticas, expresando sus caracteŕısticas o magnitudes y las relaciones entre ellas. Estas

caracteŕısticas se representan mediante variables o funciones, mientras que sus interacciones se

expresan a través de las relaciones matemáticas. Los modelos matemáticos pueden representar

fenómenos f́ısicos, económicos, qúımicos, etc. Cabe destacar que un modelo matemático no es

la realidad de las cosas, sino lo que se abstrae de la misma.

Los cient́ıficos e ingenieros usan al menos alguna de las tres metodoloǵıas siguientes para

obtener las ecuaciones de un modelo, las cuales se describen a continuación:

Fundamental: se usa la teoŕıa aceptada por la ciencia para generar las ecuaciones.

Emṕırica: se utiliza el análisis y resultados de experimentos para determinar las ecuaciones.

Analoǵıa: se establece una relación de variables entre dos sistemas que tienen comporta-

mientos parecidos para generar las ecuaciones análogas.

2.8. MODELO DINÁMICO 18

2.8. Modelo dinámico

El objetivo de modelar un sistema es el de poder predecir su comportamiento a través de

las relaciones matemáticas que lo rigen. Para abordar el problema de la obtención del modelo

dinámico, se propone un conjuntos de eslabones y articulaciones, donde los eslabones son los

elementos ŕıgidos que le dan la estructura al sistema y las articulaciones son los elementos que

le permiten tener movimientos relativos entre los eslabones. Estos eslabones presentan una po-

sición y orientación, siendo las del efector final las que se busca conocer.

Como punto de partida, se requiere conocer los n numero de grados de libertad debido a las

articulaciones:

q =

q1

q2...

qn

A continuación se necesita identificar las posiciones de los eslabones en el espacio. Estas aparecen

representadas en el vector de posiciones cartesianas:

x =

x1

x2...

xm

donde m ≤ n. Esta información se relaciona mediante la cinemática directa e inversa, donde el

modelo cinemático directo es una función que depende de las articulaciones y permite determinar

la posición y orientación de los eslabones:

x = f(q)

El modelo cinemático inverso es una función que depende de posiciones y orientaciones finales

y permite conocer los ángulos de las articulaciones para alcanzarlas:

q = f−1(x)

Los modelos cinemáticos permiten conocer las disposiciones y configuraciones que puede adqui-

rir el sistema sin la presencia de fuerzas que actúen sobre él. Mientras que el objetivo del modelo


dinámico es relacionar la información obtenida de la cinemática con las fueras que propician los

movimientos.

El modelo dinámico se puede representar mediante una ecuación diferencial usualmente de

segundo orden, que tiene en consideración la cinemática del sistema y los efectos de las fuerzas

sobre las masas del mismo, esto puede expresarse expresar como:

f(q, q̇, q̈, τ ) = 0 (2.1)

f(x, ẋ, ẍ, τ ) = 0 (2.2)

Donde el modelo 2.1 recibe el nombre de modelo dinámico articular mientras que el modelo 2.2

es el modelo dinámico cartesiano. La diferencia entre ambos radica en que los términos de las

ecuaciones quedan en función de las posiciones angulares o las posiciones en el espacio carte-

siano. Esto implica que el modelo dinámico articular se forma a partir de la cinemática directa

mientras que el modelo dinámico cartesiano a partir de la cinemática inversa. En este trabajo

solo se desarrolla el modelo dinámico articular.

2.8.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange se basan en el concepto de las enerǵıas [15], donde la enerǵıa

puede definirse como la capacidad que tiene por ejemplo un robot de realizar un trabajo. La

enerǵıa total que almacena un robot ε es la suma de sus enerǵıas cinética K y potencial P :

ε(q(t), q̇(t)) = K(q(t), q̇(t) + P (q(t)) (2.3)

donde q son los ángulos del sistema. A partir de las enerǵıas del robot se construye el langran-

giano L(q, q̇), que se representa mediante la diferencia entre su enerǵıa cinética K y su enerǵıa

potencial P :

L(q, q̇) = K(q, q̇)− P (q) (2.4)

En este estudio la enerǵıa potencial P se debe a fuerzas conservativas como la fuerza de gra-

vedad y a fuerzas de resortes, lo que significa que la enerǵıa potencial depende de las posiciones


de los eslabones, las cuales a su vez, dependen de los ángulos adoptados q. Las ecuaciones de

movimiento de Lagrange para un manipulador de n grados de libertad, están dadas por:

d

dt

[∂L(q, q̇)∂q̇

]− ∂L(q, q̇)

∂q= τ

o de forma equivalente

d

dt

[∂L(q, q̇)∂q̇i

]− ∂L(q, q̇)

∂qi= τi, i = 1, · · · , n (2.5)

Donde τi son las fuerzas y pares ejercidos externamente en cada articulación. El uso de las

ecuaciones de Lagrange para el modelado dinámico de manipuladores se reduce a cuatro etapas

[16]:

1. Cálculo de la enerǵıa cinética: K(q, q̇).

2. Cálculo de la enerǵıa potencial:P (q).

3. Cálculo del lagrangiano L(q, q̇).

4. Desarrollo de las ecuaciones de Lagrange.

Enerǵıa cinética. La enerǵıa cinética es una medida del trabajo realizado para llevar una

part́ıcula o cuerpo de un punto a otro. Se compone en la suma de dos elementos: enerǵıa cinética

lineal y enerǵıa cinética rotacional.

La enerǵıa cinética lineal de una part́ıcula o cuerpo queda definida como:

Kl =1

2mvTv

Donde m es la masa del cuerpo ŕıgido o part́ıcula y v es el vector velocidad del centro de

masa del cuerpo.

Un cuerpo ŕıgido que se desplaza y, además, esta rotando con respecto a un eje, presenta

también una enerǵıa cinética rotacional:

Kr =1

2ωT I ω


Donde ω es el vector de velocidad angular del cuerpo e I es la matriz de momentos de inercia

de dicho cuerpo.

La enerǵıa cinética total de un cuerpo en movimiento y rotación es:

K(q, q̇) = Kl +Kr =1

2mvTv +

1

2ωT I ω (2.6)

Por lo tanto, la enerǵıa cinética total de un sistema se define como la suma de la enerǵıa

cinética de cada uno de susn componentes:

KTotal(q, q̇) =n∑

i=1

1

2mi v

Ti vi +

1

2ωTi Iiωi

Enerǵıa potencial. La enerǵıa potencial es una medida del trabajo disponible por una fuerza

de gravedad. Esta enerǵıa disponible está en función de la altura a la que se encuentre la part́ıcula

o el centro de masa del cuerpo ŕıgido. La enerǵıa potencial de un cuerpo ŕıgido es la siguiente:

P (q) = m g rc (2.7)

Donde m es la masa del cuerpo ŕıgido o la part́ıcula, g es el vector de gravedad que indica

la magnitud, el eje de aplicación y el sentido de la aceleración gravitacional y rc es el vector

posición del centro de masa del cuerpo ŕıgido.

La enerǵıa potencial total de un sistema se define como la suma de la enerǵıa potencial de

cada uno de sus n componentes:

PTotal(q) =n∑

i=1

Pi(q) =n∑

i=1

mi g ri

2.8.2. Modelo compacto de Euler - Lagrange

El modelo dinámico del robot consiste en una representación vectorial de las ecuaciones de

movimiento de Lagrange [17]. La principal caracteŕıstica de esta representación es que permite

separar los elementos en función de la velocidad, aceleración y posición obtenidos de la enerǵıa

total del sistema. Para un robot idealizado sin fricción ni deformación la enerǵıa cinética K(q, q̇)


asociada a tal dispositivo mecánico articulado, puede expresarse como:

K(q, q̇) =1

2q̇TM(q)q̇ (2.8)

donde M(q) es una matriz simétrica definida positiva de n×n denominada matriz de inercia.

La enerǵıa potencial P (q) es un escalar que depende del vector de ángulos de las articulaciones q.

El lagrangiano L(q, q̇), dado por la ecuación 2.4 es:

L(q, q̇) = 12q̇TM(q)q̇ − P (q)

Con esta forma para el lagrangiano, la ecuación de movimiento de Lagrange 2.5 puede

expresarse como:

d

dt

[∂

∂q̇

[1

2q̇TM(q)q̇

]]− ∂∂q

[1

2q̇TM(q)q̇

]+∂P (q)

∂q= τ (2.9)

Se puede verificar que:∂

∂q̇

[1

2q̇TM(q)q̇

]= M(q)q̇

d

dt

[∂

∂q̇

[1

2q̇TM(q)q̇

]]= M(q)q̈ + Ṁ(q)q̇

Considerando las expresiones anteriores, la ecuación de movimiento 2.9 toma la forma:

M(q)q̈ + Ṁ(q)q̇ − 12

∂

∂q

[q̇TM(q)q̇

]+∂P (q)

∂q= τ

De modo compacto:

M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ +G(q) = τ (2.10)

donde

C(q, q̇)q̇ = Ṁ(q)q̇ − 12

∂

∂q

[q̇TM(q)q̇

]

G(q) =∂P (q)

∂q(2.11)

La ecuación 2.10 es la ecuación dinámica del robot, donde C(q, q̇)q̇ de n× 1 es el vector de

fuerzas centŕıfugas y de Coriolis, G(q) de n× 1 es el vector de fuerzas o pares gravitacionales y

τ de n× 1 es el vector de fuerzas externas.

El objetivo dentro del modelado dinámico es construir las matrices de la ecuación 2.10

considerando los parámetros del sistema.

2.9. LEY DE CONTROL 23

2.9. Ley de control

La ingenieŕıa de control es una disciplina que se enfoca en modelar matemáticamente una

gama diversa de sistemas dinámicos y el diseño de controladores que harán que estos sistemas

se comporten de la manera deseada.

Uno de los objetivos del control automático es poder manejar con una o más entradas (o

referencia), una o más salidas de una planta o sistema, para hacerlo, la idea más primitiva

es colocar entre la referencia y la planta, un controlador que sea el inverso de la función de

transferencia de la planta, de tal manera que la función de transferencia de todo el sistema (la

planta más el controlador), sea igual a uno; logrando de esta manera que la salida sea igual a

la entrada.

Para hacer esto, se debe considerar las ecuaciones dinámicas de cada una de las etapas

(ecuación 2.10). Dada una posición articular deseada qd, que se supone constante, se trata de

determinar una función vectorial τ , de tal forma que las posiciones q asociadas a las coordenadas

articulares de la prótesis lleguen asintóticamente a qd.

Esto quiere decir que el objetivo de control de posición pura, o simplemente control de posi-

ción, consiste en encontrar una τ tal que:

ĺımn→∞

q(t) = qd (2.12)

donde qd ∈ IRn es un vector constante.

Generalmente se define al vector τ como una función vectorial no lineal que depende de q,

q̇ y q̈. Esta función recibe el nombre de ley de control o controlador. De igual forma, se define

un vector q̃, al cual se le denomina error de posición:

q̃ = qd − q ∈ IRn (2.13)

2.10. Descenso de Gradiente

El método de descenso de gradiente es un método de optimización iterativo de primer orden

el cual nos permite encontrar el mı́nimo local de una función diferenciable. Para encontrar el

2.10. DESCENSO DE GRADIENTE 24

mı́nimo local se requiere conocer el gradiente de la función a optimizar, esto es por que se debe

”avanzar” en el sentido contrario al gradiente, de ah́ı el nombre que lleva el método.

Dependiendo del comportamiento del sistema el cálculo del gradiente puede resultar en un

problema de alta complejidad, resultando en un problema grande de resolver mediante métodos

anaĺıticos. Para enfrentar este problema se calcula el descenso de gradiente mediante métodos

numéricos.

Se le conoce como análisis numérico al estudio de algoritmos que usan aproximaciones

numéricas para problemas de análisis matemático. El análisis numérico es ampliamente uti-

lizado en diversos campos de la ingenieŕıa y ciencias f́ısicas, pero su aplicación no se limita a

esas áreas unicamente, también se aplica en el área de ciencias sociales, medicina, negocios e

incluso en el área art́ıstica.

Antes de la llegada de las computadoras modernas, los métodos numéricos depend́ıa de la

interpolación a mano de fórmulas, pero debido al crecimiento en poder computacional se ha

incrementado el uso de estos métodos. El objetivo principal de los métodos numéricos es el

diseño y análisis de técnicas para aproximar soluciones a problemas complejos generando poco

error.

Los métodos numéricos se pueden clasificar en dos tipos: directos e iterativos. Los métodos

directo, en teoŕıa, pueden conseguir resultados precisos si se utilizan algoritmos de precisión in-

finita, sin embargo, en práctica, se utilizan algoritmos de precisión finita. Los métodos iterativos

no terminan cuando se alcanza un número de pasos determinado, si no que empiezan con un

valor inicial propuesto e iteran hasta cumplir con alguna condición establecida. Se debe garanti-

zar que el método iterativo converge a un resultado eventualmente, por lo cuál se debe realizar

una prueba de convergencia para demostrar que terminará en algún momento el programa.

La principal desventaja de los métodos numéricos en comparación con los métodos anaĺıticos

es la acumulación del error. En los métodos anaĺıticos el error es prácticamente de cero por lo

cual se puede despreciar, mientras que en los métodos numéricos el error puede ser bastante

significativo si no se tiene el cuidado apropiado.

La computadora es incapaz de representar todos los números de manera exacta en la compu-

tadora debido a que esto requeriŕıa una cantidad de memoria infinita, lo cual no es posible. Para

2.10. DESCENSO DE GRADIENTE 25

poder representar ciertos números se debe realizar un redondeo, de tal forma que no podemos

guardar el número exacto en la memoria de la computadora. Otra alternativa al redondeo es el

truncamiento, el cual consiste en eliminar ciertos d́ıgitos después del punto que se consideran

no significativos aunque de igual forma agrega error al cálculo.

Se debe garantizar que el error generado durante el método numérico no se acumula de

manera significativa durante el desarrollo del método. A esto se le conoce como estabilidad

numérica. Una de las condiciones para que el método sea estable es la restricción apropiada del

problema. Esto quiere decir que si el valor de entrada de algoritmo tiene una variación pequeña

el resultado también vaŕıa poco. Si en caso contrario, el valor de entrada vaŕıa poco pero la

salida vaŕıa bastante, se dice que el algoritmo está mal restringido.

Caṕıtulo 3

Desarrollo de Actividades

3.1. Diseño de la prótesis

En la presente sección se describirán las consideraciones que se tuvieron para diseñar la

prótesis transfemoral que será utilizada a lo largo del trabajo.

3.1.1. Grados de libertad

Los grados de libertad indican la cantidad de movimientos que pueden realizar cada junta,

aśı como los ejes en los que podrán actuar dichas juntas. El modelo dinámico depende de la

cantidad de grados de libertad que tenga el sistema, por lo cual es importante definir cuántos

tendrá nuestro sistema. Si se modifica el número de grados de libertad seŕıa necesario realizar

nuevamente el modelo dinámico y su respectiva ley de control.

La prótesis que se diseñará es una prótesis transfemoral, recordando que en la sección 2.1 se

explicó que dichas amputaciones en cualquier punto del fémur (arriba de la rodilla pero abajo

de la cadera). Esto quiere decir que la prótesis deberá sustituir al pie y a la tibia del usuario,

incluyendo las articulaciones del tobillo y de la rodilla. Se intentará recrear una marcha en el

plano sagintal, por lo cuál nuestra prótesis debe contar con la libertad de movimiento suficiente

para que pueda realizar dicha marcha. En la sección 2.5 se mencionó los grados de libertad que

tienen las articulaciones de la rodilla y tobillo, considerando la información en dicha sección se

propone lo siguiente:

Debido a que el único movimiento que puede realizar la rodilla es de suma importancia, se

26

3.1. DISEÑO DE LA PRÓTESIS 27

diseñará la prótesis de tal forma que pueda realizar un movimiento de ese tipo. Por otra parte, la

articulación del tobillo puede realizar 3 movimientos, pero para realizar una marcha en el plano

sagital solamente se necesita uno de ellos, el cual es el que se encarga de hacer los movimientos

de dorsiflexión y flexión plantar.

Con estos dos grados de libertad se puede realizar una machar en el plano sagital, lo cual

es el objetivo del trabajo presente. Cabe mencionar que si se desea obtener una marcha más

realista o que sea capaz de realizar movimientos más complejos, es probable que se requiera

considerar el otro grado de libertad del tobillo pero si se realiza ésto aumenta la complejidad

del modelo matemático. En la figura 3.1 se puede observar el sistema propuesto, aśı como la

ubicación de los grados de libertad y el eje en el cual se realizan los movimientos.

Figura 3.1: Modelo simplificado con 2 grados de libertad.

3.1.2. Consideraciones mecánicas

Una vez definido los grados de libertad a utilizar se procede a diseñar los eslabones y arti-

culaciones que tendrá el sistema. Para hacer esto se tienen las siguientes consideraciones:

Los eslabones no presentan deformaciones.


Los pares aplicados se desarrollan en las articulaciones de manera directa.

La densidad de los eslabones es constante.

El método de sujeción al usuario no forma parte del estudio.

Debido a que solo se utiliza un grado de libertad en cada unión, se propone una articulación

de revoluta simple para cada articulación. Este tipo de articulaciones se pueden obtener de

manera sencilla con motores rotacionales, ya sean de corriente directa o de corriente alterna.

Los eslabones son cuerpos ŕıgidos que se interconectan entre śı mediante articulaciones para

crear cadenas cinemáticas. Para el diseño de los eslabones se han elegido geometŕıas sencillas,

esto con el fin de simplificar el estudio. En este trabajo no se propone la ubicación de los actua-

dores, sensores ni métodos de sujeción al usuario. Todas las piezas se realizaron considerando

las dimensiones promedio en México [9]. El material de las piezas se utiliza para calcular el peso

de dicha pieza, esto es debido a que no se realiza un estudio de fuerzas internas. A continuación

se muestran las piezas con una breve descripción y caracteŕısticas:

Pie. Para el eslabón que representa al pie se propone utilizar el eslabón mostrado en la figura

3.2. El pie tiene un largo de 23 cm, un ancho de 9 cm y una altura del piso al tobillo de 11.5

cm. Se propone como material un plástico ABS.

Figura 3.2: Propuesta del eslabón pie


Tibia. El eslabón que representa la tibia cuenta con una altura de 36.3 cm desde la articulación

de la rodilla hasta la del tobillo. Este eslabón cuenta con 10 cm de ancho. Se propone como

material una aleación de aluminio 3.0205 (EN-AW 1200). El diseño se muestra en la figura 3.3.

Figura 3.3: Propuesta del eslabón tibia

Unión al usuario. Este eslabón sirve para unir a la prótesis con el usuario. Se debe colocar

en la parte del miembro residual. Este eslabón no afecta en le modelo dinámico que se realizará,

por lo cual el material y las dimensiones no son relevantes. El diseño se muestra en la figura 3.4.

Figura 3.4: Propuesta del eslabón que une a la prótesis y al usuario.

3.2. ETAPAS A UTILIZAR 30

Propuesta final. Posterior al diseño de los eslabones y de las articulaciones se propone el

sistema mostrado en la figura 3.3.

Figura 3.5: Propuesta de la prótesis

Este es el sistema en el cual se basará el estudio dinámico. Una vez definido el sistema se

debe proponer la trayectoria a realizar del sistema. Debido a que se busca recrear una marcha

b́ıpeda humanoide es importante realizar un estudio de la marcha humana, lo cual se hace a

continuación.

3.2. Etapas a utilizar

En la sección 2.6 se mencionó que la marcha b́ıpeda se puede dividir en etapas, y se mostró

la forma más común en la que se divide la marcha. Es importante resaltar que la cantidad de

etapas en la que se puede dividir la marcha no es única, diferentes autores proponen diferentes

modelos de la marcha. Otro punto importante a definir es le acción que se realizará en cada

etapa de la marcha en la que se dividió.

El número de etapas en el que se divide la marcha debe ser suficiente para otorgar una

representación cercana a la marcha humana [18]. Por simple inspección uno puede deducir que

3.3. DESARROLLO DEL MODELO DINÁMICO 31

se requieren, por lo menos, la etapa de balanceo y de soporte, pero un estudio realizado por

[19] demostró que dividiendo estas dos etapas en dos es suficiente para obtener una marcha más

humana. De esta forma se obtienen 4 fases las cuales son:

Etapa 1: Pre-balanceo.

Etapa 2: Balanceo.

Etapa 3: Respuesta a la carga.

Etapa 4: Soporte.

Cada una de las etapas en las que se dividió la marcha debe ser modelada matemáticamente

mediante el método de Euler-Lagrange descrito en la sección 2.8.

3.3. Desarrollo del modelo dinámico

El método de Euler-Lagrange nos permite modelar matemáticamente las diferentes etapas

realizando el mismo procedimiento, solamente se debe calcular la velocidad y posición de las

articulaciones del sistema, posteriormente el procedimiento es igual para cada etapa.

El movimiento que realizará la prótesis se restringe al plano sagital por lo cuál el movimiento

se realiza únicamente en un plano de dos dimensiones. La prótesis cuenta con dos eslabones y

dos articulaciones, por lo cual puede considerarse como un péndulo doble. En la figura 3.6 se

muestra un diagrama esquemático del sistema propuesto, en dicho diagrama la ĺınea punteada

señala la unión de la prótesis con el usuario.

Durante el desarrollo del modelo dinámico se considerará que tenemos sensores en las arti-

culaciones capaces de devolver los valores de posición, velocidad y aceleraciones del sistemas en

dichas articulaciones en cada intervalo de tiempo que se le solicite. Debido a esto último y a las

consideraciones mencionadas en la sección 3.1.2 se dice que el modelo es un modelo idealizado

[20].

A continuación se realizará el modelo dinámico de cada etapa de la marcha.


Figura 3.6: Diagrama esquemático del sistema.

3.3.1. Etapa de pre-balanceo y balanceo

El sistema está formado por 2 eslabones ŕıgidos de longitudes l1 y l2 y masas m1 y m2

respectivamente. La prótesis contará con componentes electrónicos los cuáles añaden peso al

sistema. Debido a que estos componentes se posicionarán en la tibia de la prótesis, se puede

propone que m1 incluye el peso de la prótesis y de los componentes electrónicos. Los eslabones

son de masa y longitud constantes. Las uniones de la prótesis son rotacionales con respecto al

eje Z.

Se define el vector de posiciones articulares qt como:

q(t) =

q1(t)q2(t)

Enerǵıa Cinética

Se debe obtener la enerǵıa cinética de casa uno de los eslabones. Las coordenadas del centro

de masa del eslabón 1 son:

x1 = Lc1sen(q1)


y1 = −Lc1cos(q1)

La velocidad se define como la derivada con respecto al tiempo de la posición, por lo cual,

para obtener la velocidad del centro de masa, es necesario realizar dicha derivada:

v1 =

ẋ1ẏ1

=Lc1cos(q1)q̇1Lc1sen(q1)q̇1

Por lo tanto, la velocidad al cuadrado está dada por:

v1Tv1 = L

2c1q̇1

2

La velocidad angular del primer eslabón está dada por:

ω2 = q̇1

Debido a que se trata de un sistema planar, el momento de inercia y la velocidad angular

son escalares, por lo tanto ωT = ω y ωTω = ω2.

Sustituyendo los elementos anteriores en la ecuación 2.6 se obtiene la enerǵıa cinética del

primer eslabón:

K1(q1, q̇1) =1

2m1 v1

Tv1 +1

2ω1

T I1ω1

K1(q1, q̇1) =1

2m1 L

2c1q̇1

2 +1

2I1 q̇1

2 (3.1)

Las coordenadas del centro de masa del eslabón 2 son:

x2 = L1sen(q1) + Lc2sen(q1 + q2)

y2 = −L1cos(q1)− Lc2cos(q1 + q2)

El vector velocidad del centro de masa de dicho eslabón es:

v2 =

ẋ1ẏ1

=L1cos(q1)q̇1 + Lc2cos(q1 + q2)(q̇1 + q̇2)L1sen(q1)q̇1 + Lc2sen(q1 + q2)(q̇1 + q̇2)



v2Tv2 = L

21q̇1

2 + L2c2[q̇12 + 2q̇1q̇2 + q̇2

2] + 2L1Lc2[q̇22 + q̇1q̇2]cos(q2)

La velocidad angular del segundo eslabón está dada por:

ω2 = q̇1 + q̇2


segundo eslabón:

K2(q2, q̇2) =1

2m2 v2

Tv2 +1

2ωT I2ω

K2(q2, q̇2) =1

2m2L

21q̇1

2 +1

2m2L

2c2[q̇1

2 + 2q̇1q̇2 + q̇22] +

m2L1Lc2[q̇22 + q̇1q̇2]cos(q2) +

1

2I2[q̇1 + q̇2]

2(3.2)

Enerǵıa Potencial

Se debe obtener la enerǵıa potencial de casa uno de los eslabones. La ecuación que describe

la enerǵıa potencial de un cuerpo ŕıgido con masa constante se definió en 2.7.

La enerǵıa potencial del primer eslabón se define como:

P (q1) = −m1gLc1cos(q1) (3.3)

La enerǵıa potencial del segundo eslabón se define como:

P (q2) = m2g[−L1cos(q1)− Lc2cos(q1 + q2)]

= −m2gL1cos(q1)−m2gLc2cos(q1 + q2)(3.4)


Cálculo del Lagrangiano

Sustituyendo las ecuaciones 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 en la ecuación 2.4 se puede obtener el lagran-

giano:

L(q, q̇) = K(q, q̇)− P (q)

= K1(q, q̇) +K2(q, q̇)− P1(q)− P2(q)

=1

2[m1L

2c1 +m2L

21]q̇1

2 +1

2m2L

2c2[q̇1

2 + 2q̇1q̇2 + q̇22]

+m2L1Lc2 cos(q2)[q̇12 + q̇1q̇2] + [m1Lc1 +m2L1]g cos(q1)

+m2gLc2 cos(q1 + q2) +1

2I1q̇1

2 +1

2I2[q̇1 + q̇2]

2

(3.5)

Desarrollo de las Ecuaciones de Lagrange

Con la ecuación 3.5 podemos obtener las ecuaciones descritas en 2.5. Estas se desarrollan a

continuación:

∂L∂q̇1

= [m1L2c1 +m2L

21]q̇1 +m2L

2c2q̇1 +m2L

2c2q̇2

+ 2m2L1Lc2 cos(q2)q̇1 +m2L1Lc2 cos(q2)q̇2

+ I1q̇1 + I2[q̇1 + q̇2]

d

dt

[∂L∂q̇1

]= [m1L

2c1 +m2L

21 +m2L

2c2 + 2m2L1Lc2 cos(q2)]q̈1

+ [m2L2c2 +m2L1Lc2 cos(q2)]q̈2

− 2m2L1Lc2 sen(q2)q̇1q̇2 −m2L1Lc2 sen(q2)q̇22

+ I1q̈1 + I2[q̈1 + q̈2]

∂L∂q1

= −[m1Lc1 +m2L1]g sen(q1)−m2gLc2 sen(q1 + q2)

∂L∂q̇2

= m2L2c2q̇1 +m2L

2c2q̇2 +m2L1Lc2 cos(q2)q̇1 + I2[q̇1 + q̇2]


d

dt

[∂L∂q̇2

]=m2L

2c2q̈1 +m2L

2c2q̈2 +m2L1Lc2 cos(q2)q̈1

−m2L1Lc2 sen(q2)q̇1q̇2 + I2[q̈1 + q̈2]

∂L∂q2

= −m2L1Lc2 sen(q2)[q̇1q̇2 + q̇12]−m2gLc2 sen(q1 + q2)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en 2.5 obtenemos las ecuaciones dinámicas de La-

grange:

τ1 = [m1L2c1 +m2L

21 +m2L

2c2 + 2m2L1Lc2 cos(q2) + I1 + I2]q̈1

+ [m2L2c2 +m2L1Lc2 cos(q2) + I2]q̈2

− 2m2L1Lc2 sen(q2)q̇1q̇2 −m2L1Lc2 sen(q2)q̇22

+ [m1Lc1 +m2L1]g sen(q1) +m2gLc2 sen(q1 + q2)

(3.6)

τ2 = [m2L2c2 +m2L1Lc2 cos(q2) + I2]q̈1 + [m2L

2c2 + I2]q̈2

+m2L1Lc2 sen(q2)q̇12 +m2gLc2 sen(q1 + q2)

(3.7)

Las ecuaciones 3.6 y 3.7 se pueden reescribir de forma matricial para obtener el modelo

dinámico compacto descrito en 2.10. Dicho modelo queda de la siguiente forma:

M(q)

q̈1q̈2

+ C(q, q̇)q̇1q̇2

+G(q) =τ1τ2

(3.8)donde:

M(q) =

m1L2c1 + I1 + I2 +m2[L21 + L2c2 + 2L1Lc2 cos(q2)] m2[L2c2 + L1Lc2 cos(q2)] + I2m2[L

2c2 + L1Lc2 cos(q2)] + I2 m2L

2c2 + I2

(3.9)

C(q, q̇) =

−2m2L1Lc2 sen(q2)q̇2 −m2L1Lc2 sen(q2)q̇2m2L1Lc2 sen(q2)q̇1 0

(3.10)G(q) =

[m1Lc1 +m2L1]g sen(q1) +m2gLc2 sen(q1 + q2)m2gLc2 sen(q1 + q2)

(3.11)


3.3.2. Etapa de soporte

En la etapa de soporte se considera que la articulación de la rodilla no se mueve por lo cual

q1 = 0. Por otro lado, la articulación del tobillo se mantiene como q2.



x2 = Lc1sen(q2)

y2 = Lc1cos(q2)



v2 =

ẋ2ẏ2

=Lc1cos(q1)q̇1Lc1sen(q1)q̇1


v2Tv1 = L

2c1q̇2

2

La velocidad angular está dada por:

ω2 = q̇2


primer eslabón:

K1(q1, q̇1) =1

2m1 L

2c1q̇2

2 +1

2I1 q̇2

2 (3.12)


La enerǵıa potencial se define como:

P (q2) = m1gLc1cos(q2) (3.13)



Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación 2.4 se puede obtener el lagrangiano:

L(q, q̇) = K(q, q̇)− P (q)

=1

2m1gL

2c1q̇2

2 +1

2I1q̇2

2 −m1gLc1cos(q2)(3.14)


El langragiano anterior se desarrolla de la siguiente forma:

∂L∂q̇2

=m1L2c1q̇2 + I1q̇2

d

dt

[∂L∂q̇2

]= [m1L

2c1 + I1]q̈2

∂L∂q2

= m1gLc1sen(q2)


grange:

τ2 = [m1L2c1 + I1]q̈2 −m1gLc1sen(q2) (3.15)

La ecuación anterior es el modelo compacto de la etapa de soporte.

3.3.3. Etapa de respuesta a la carga

Al igual que en la etapa anterior, se considera que la articulación de la rodilla no se mueve

por lo cual q1 = 0. Por otro lado, la articulación del tobillo se mantiene como q2.




x2 = Lc2cos(q2)

y2 = Lc2sen(q2)



v2 =

ẋ2ẏ2

=−Lc2sen(q2)q̇2Lc2cos(q2)q̇2


v2Tv1 = L

2c2q̇2

2

La velocidad angular está dada por:

ω2 = q̇2


primer eslabón:

K1(q1, q̇1) =1

2m2 L

2c2q̇2

2 +1

2I2 q̇2

2 (3.16)


La enerǵıa potencial se define como:

P (q2) = m2gLc2sen(q2) (3.17)

3.4. CONTROLADOR 40


Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación 2.4 se puede obtener el lagrangiano:

L(q, q̇) = K(q, q̇)− P (q)

=1

2m2gL

2c2q̇2

2 +1

2I2q̇2

2 −m2gLc2sen(q2)(3.18)


El langragiano anterior se desarrolla de la siguiente forma:

∂L∂q̇2

=m2L2c2q̇2 + I2q̇2

d

dt

[∂L∂q̇2

]= [m2L

2c2 + I2]q̈2

∂L∂q2

= m2gLc2cos(q2)


grange:

τ2 = [m2L2c2 + I2]q̈2 +m2gLc2cos(q2) (3.19)

La ecuación anterior es el modelo compacto de la etapa de respuesta a la carga.

3.4. Controlador

En el presente trabajo se utilizará el controlador por impedancias [21] presentado en [22], el

cual está descrito de la siguiente manera:

τ = k(qd − q) + b q̇ (3.20)

3.5. PARÁMETROS DEL CONTROLADOR 41

En donde:

k = Coeficiente de rigidez lineal

qd = Posición deseada

q = Posición actual

b = Coeficiente de disipación lineal

Es importante remarcar que el controlador solamente es una herramienta que utilizaremos

para demostrar que el diseño de la prótesis activa es funcional. Debido a esto, no se realiza un

análisis formal de estabilidad del controlador

3.5. Parámetros del controlador

Como se mencionó anteriormente, cada una de las etapas de la marcha b́ıpeda contará con

su controlador PD. El valor de los coeficientes de los controladores vaŕıan según la etapa que se

desea controlar. Para obtener los valores de los coeficientes en cada etapa se utiliza el método

numérico conocido como descenso de gradiente.

El método de descenso de gradiente es un método de optimización iterativo de primer orden

el cual nos permite encontrar el mı́nimo local de una función diferenciable [23]. Para encontrar

el mı́nimo local se requiere conocer el gradiente de la función a optimizar, esto es por que se

debe “avanzar” en el sentido contrario al gradiente, de ah́ı el nombre que lleva el método [24].

Espećıficamente, el descenso de gradiente se basa en la observación de una función multi-

variable f(x) la cual es definida y diferenciable en una vecindad del punto de interés a, de tal

forma que la función f(x) decrece con mayor rapidez desde el punto a en la dirección negativa

del gradiente de f(x) (−∇F (a)) [25]. De tal forma que si

an+1 = an − γ∇f(an)

para γ ∈ IR+ lo suficientemente pequeño, entonces f(an) ≥ f(an+1). Esto quiere decir que el

termino γ∇f(an) es sutraido de a debido a que nos movemos en dirección contraria al gradiente

hacia el mı́nimo local. Considerando lo anterior, se debe iniciar el método con una valor x0 y

considerar la secuencia x0, x1, x2, . . . de tal forma que


xn+1 = xn − γn∇f(xn), n ≥ 0.

Se puede deducir que lo anterior produce una secuencia monótona de la siguiente forma:

f(x0) ≥ f(x1) ≥ f(x2) ≥ . . .

de tal forma que la secuencia xn puede converger al mı́nimo local deseado [26]. Es importante

remarcar que el valor de γ puede ser modificado durante la ejecución del procedimiento. Existen

ciertas condiciones de f(x) y de γ que pueden garantizar la convergencia a un mı́nimo local.

Una de las principales ventajas del método es que no está limitado a un número espećıfico

de variables, el problema puede ser n dimensional y converger a un resultado, siempre y cuando

cumpla las condiciones mencionadas anteriormente.

Este método es conceptualmente sencillo, pero cuenta con ciertas limitantes que provocan que

no siempre sea la mejor opción a utiliza. El descenso de gradiente se vuelve relativamente lento

mientras más nos acercamos al mı́nimo local, de hecho su velocidad de acercamiento es asintótica,

por lo cuál encontramos un valor aproximado al deseado, pero no el valor exacto. Además de

esto, si el problema no está restringido de manera correcta, este método puede ”zigzagear” de

manera ortogonal de un punto a otro. La velocidad de convergencia ocasiona que el método

realice demasiadas iteraciones, lo cual puede consumir demasiados recursos computacionales y

tiempo. El problema de ”zigzageo” ocasiona que el método nunca converja a un resultado.

En este estudio se considera que la función f(x) a minimizar es la función de error de

posición 2.13. El error se obtiene al evaluar la ley de control en el modelo dinámico desarrollado

en 3.3, comparando la posición final con la posición deseada para, posteriormente, calcular

nuevos coeficientes del controlador y probar con los valores nuevos. El proceso se explica más

detalladamente a continuación:

1. Sea xi = [k, b] un vector con los parámetros del controlador de la etapa en cuestión, se

inicializa la variable i = 0, se propone un valor inicial de x0 arbitrario y se propone un

valor de paso de γ.


2. Se sustituyen el valor de x0 en el controlador propuesto en 3.20, el cual a su vez debe ser

agregado al modelo dinámico de la etapa a estudiar. El modelo dinámico de cada etapa

se obtuvo en 3.3.

3. Se simula el sistema completo con los valores del controlador y se define una variable de

error. El error se define como la diferencia entre la posición deseada menos la posición

actual ˜q(t) = qd − q(t) en cada instante de tiempo. El error total es la suma de todos los

errores en cada instante de tiempo de la simulación:∑T

0˜q(t). El valor resultante de esta

suma es un escalar, el cuál es el número que buscamos minimizar.

4. Una vez terminada la simulación se calcula el gradiente del modelo dinámico y se susti-

tuyen valores, el valor obtenido nos indica en qué dirección avanzar.

5. Se avanza en la dirección obtenida con un valor de γ. En la nueva posición se debe verificar

que el gradiente siga avanzando hacia el mismo lugar. Si el gradiente a cambiado de sentido,

quiere decir que el paso γ resultó ser muy grande, por lo cuál se debe regresar a la posición

anterior, reducir el valor de γ y repetir este paso hasta que el gradiente conserve la misma

dirección.

6. Esta nueva posición representa el nuevo valor de xi. Se debe aumentar el valor de la

variable i = i+ 1.

7. Se repiten los pasos 3 al 7. La simulación se detiene cuando el error ˜q(i) es menor o igual

al error permisible � o el número de iteraciones realizadas superó el ĺımite de iteraciones

permisibles n.

8. El vector x(i) contiene los parámetros del controlador al que converge el método.

Como se menciona en el paso 1, el valor inicial de la simulación x0 es arbitrario y diferentes

valores de x0 convergen a diferentes resultados. Debido a esto, se realizan simulaciones con

diferentes valores de x0 para la misma etapa de la marcha, posteriormente se comparan los

resultados entre śı para determinar los mejores parámetros del controlador.

Caṕıtulo 4

Resultados

El modelo dinámico desarrollado en la sección 3.3 corresponde a la dinámica que se presenta

durante la marcha b́ıpeda, donde el vector de fuerzas externas del sistema está en función de

las posiciones, velocidades y aceleraciones articulares:

τ = f(q, q̇, q̈)

El modelo propuesto sólo contempla las enerǵıa del sistema debido a la gravedad y los pares

aplicados en las articulaciones.

La relación entre estados y pares que forman el modelo es necesario para desarrollar un

controlador que calcule los pares necesarios para realizar una caminata. Por lo tanto, la mejor

manera de evaluar el modelo seŕıa a través de la experimentación con un control desarrollado a

partir de este modelo. Para esto se utilizó el modelo propuesto en la sección 2.9. Para obtener

los pares del b́ıpedo para un instante de tiempo determinado, es necesario sustituir todos los

valores de los vectores de estado en el modelo compacto, es decir las posiciones, velocidades y

aceleraciones articulares.

En la sección 3.1 se mostró la propuesta de la prótesis que se va a simular, además en dicha

sección se propuso el material del que estaŕıa construida la prótesis. Debido a que conocemos

las dimensiones del sistema y considerando el material propuesto se puede conocer la masa de

cada uno de los eslabones y los momentos de inercia de dichos eslabones. Esta información se

muestra en la tabla 4.1 en donde se muestran los parámetros f́ısicos de la prótesis los cuales son

utilizados durante la simulación del sistema.

44

CAPÍTULO 4. RESULTADOS 45

Parámetro Valor Unidad

Gravedad 9.81 m/s2

Masa Eslabón 1 23.2 kg

Masa Eslabón 2 2 kg

Longitud Eslabón 1 0.478 m

Longitud Eslabón 2 0.230 m

Inercia Eslabón 1 0.4417 kgm2

Inercia Eslabón 2 0.0044 kgm2

Tabla 4.1: Parámetros utilizados en la simulación.

Ahora que conocemos los parámetros del sistema, se procede a sustituir dichos parámetros en

las ecuaciones de los modelos dinámicos 3.8, 3.15 y 3.19 lo cual genera las ecuaciones mostradas

desde 4.1 a 4.6.

M(q)

q̈1q̈2

+ C(q, q̇)q̇1q̇2

+G(q) =τ1τ2

(4.1)donde:

M(q) =

0.1099 ∗ cos(q2) + 2.013 0.05497 ∗ cos(q2) + 0.017630.05497 ∗ cos(q2) 0.01763

(4.2)C(q, q̇) =

−0.1099 ∗ sin(q2)q̇2 −0.05497 ∗ sin(q2)q̇20.05497 ∗ sin(q2)q̇1 0

(4.3)G(q) =

1.128 ∗ sin(q1 + q2) + 59.08 ∗ sin(q1)1.128 ∗ sin(q1 + q2)

(4.4)τ2 = 1.76690 q̈2 + 54.5082 sin(q2) (4.5)

τ2 = 0.03085 q̈2 + 2.2563 cos(q2) (4.6)

La ecuación 4.1 corresponde a la etapa de balanceo y pre-balanceo, en donde la ecuación 4.2

representa la matriz de inercias, la ecuación 4.3 representa la matriz de coriolis y la ecuación

4.1. SELECCIÓN DE TRAYECTORIA Y OBTENCIÓN DE POSICIONES ARTICULARES.46

4.4 representa el vector de fuerzas gravitacionales; la ecuación 4.5 corresponde a la etapa de

soporte y la ecuación 4.6 corresponde a la etapa de respuesta a la carga.

4.1. Selección de trayectoria y obtención de posiciones

articulares.

La trayectoria seleccionada para simulación es el primer paso del desplazamiento sagital

planteado. En la sección 2.6 se estudió la marcha b́ıpeda, y gracias a ese estudio se proponen

las posiciones iniciales y finales de cada articulación para cada etapa de la marcha b́ıpeda. En

la Tabla 4.2 se aprecian las posiciones iniciales y finales para los eslabones de la prótesis.

Rodilla Tobillo

Etapa Inicio Fin Inicio Fin

1 -17 -45 17 -20

2 -45 0 -20 0

3 0 0 0 -8

4 0 -17 -8 17

Tabla 4.2: Posiciones deseadas (en grados).

La información de interés de la trayectoria son las posiciones articulares q resueltas para

cada posición de la prótesis en su recorrido.

Haciendo uso del método descrito en 3.5 se obtienen los parámetros para el controlador

descrito en 2.9, los cuales se muestran en la tabla 4.3.

4.2. Simulación del modelo dinámico por computadora.

Para obtener los pares de las articulaciones de la prótesis a través del modelo, se desarrollaron

un conjunto de scripts en Matlab que permite calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones

articulaciones obtenidas en el modelo dinámico. Los script que resuelve el modelo se encuentra

en el Anexo A. La descripción de la función de los scripts es la siguiente:

4.2. SIMULACIÓN DEL MODELO DINÁMICO POR COMPUTADORA. 47

Etapa k11 k22 b11 b22

1 y 2 -0.04 1.69 -6.66 -0.24

3 -0.07 1.68 -15.3 -0.8

4 0.03 0.072 1.15 0.0278

Tabla 4.3: Parámetros de cada controlador.

1. Obtención simbólica del modelo compacto: En los scripts A.1, A.2 y A.3 se describen

los modelos dinámicos obtenidos en la sección 3.3, recordando que los modelos tienen la

forma compacta siguiente:

M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ +G(q) = τ (2.10)

Para desarrollar esta forma compacta, primero se asignaron a variables todos los paráme-

tros del sistema. Los valores que no cambian a lo largo de esta simulación son la masa,

volumen y dimensiones de los eslabones; la constante de gravitación; los vectores de cen-

tro de masa al marco de referencia de alguna articulación y las matrices de momentos de

inercia de cada eslabón.

2. Función a iterar para descenso de gradiente: Una vez desarrollado el modelo com-

pacto de manera simbólica, el siguiente paso es realizar un script iterable que nos permita

aplicarle el método de descenso de gradiente. Este script A.4 es el que indica la cantidad

de error que hubo durante la simulación

3. Desarrollo del método de descenso de gradiente: El script A.5 permite invocar

a la función de descenso de gradiente en Matlab. Este script nos permite modificar los

parámetros necesarios al método de descenso de gradiente de manera sencilla.

4. Evaluación del modelo: Con los valores de los vectores de estado de la prótesis a lo

largo de la trayectoria en Matlab, el siguiente paso es evaluar el modelo y obtener pares.

Con cada iteración se obtienen los pares para cada una de las posiciones adquiridas por el

b́ıpedo a lo largo de la trayectoria. Para facilitar lo anterior se utiliza un el script mostrado

en A.6.

4.3. GRAFICACIÓN DE RESULTADOS 48

4.3. Graficación de resultados

Siguiendo la metodoloǵıa descrita en la sección 4.2 se puede evaluar el desempeño del con-

trolador en cada una de las etapas de la marcha con su respectivos parámetros. Para poder

estudiar el comportamiento de las etapas de manera más clara se realizan gráficas con la infor-

mación obtenida de la simulación ejecutada. De la simulación nos interesa rescatar la siguiente

información:

Posiciones Articulares: Las posiciones articulares nos indican la orientación, en radia-

nes, en la que se encuentra la rodilla y el tobillo de la prótesis durante cada instante

de la simulación. La forma de obtener esta información es sencilla ya que es uno de los

parámetros que regresa el modelo dinámico de cada etapa, por lo cual basta con solamente

guardar esta información en una variable a la que podamos acceder.

Error de Posición: El error de posición nos indica cuanta es la diferencia, en radianes,

de la posición actual de cada articulación con respecto a las posiciones deseadas. El error

se define como q̃ = qd − qi en donde q̃ es el error de posición, qd es la posición deseada la

cual no cambia durante la simulación y qi es la posición de las articulaciones en el instante

i. Esta información es relevante por qué nos permite observar si el controlador permite

llevar las articulaciones a los objetivos deseados.

Los puntos anteriores deben ser calculados para cada una de las etapas de la marcha b́ıpeda

y posteriormente graficados para poder facilitar el análisis de la información. Las simulaciones

de cada etapa fueron realizadas en el intervalo de 0 a 5 segundos de simulación. Cada gráfica

cuenta con t́ıtulo encima de la misma, en todas el eje X representa el tiempo en segundos,

mientras que el eje Y representa radianes o newton por metro, según sea el caso. Uno de los

aspectos que se consideraron durante la simulación es que las condiciones finales de una etapa

son las condiciones iniciales de la siguiente etapa, esto permite que el movimiento sea fluido y

sin discontinuidades.

En las gráficas 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4 se muestra el comportamiento de la primera, segunda,

tercera y cuarta etapa respectivamente con los parámetros del controlador mostrado en la tabla

4.3 aplicados al controlador de la sección 2.9.


Las gráficas 4.1 muestran los resultados de la etapa de pre-balanceo. Durante la simulación

se consideró una velocidad angular inicial de 0 radianes sobre segundo en cada articulación.

Figura 4.1: Simulación de la etapa de pre-balanceo de la marcha b́ıpeda.

Las gráficas 4.2 muestran los resultados de la etapa de balanceo. El segundo 0 se considera

el inicio de la simulación con velocidades iniciales de 0 radianes sobre segundos en ambas arti-

culaciones. En la gráfica titulada “Error de posición” se observa como ambas articulaciones se

estabilizan en 0 al rededor del segundo 1.5, esto indica que en ese momento las articulaciones

llegaron a la posición deseada y se mantienen ah́ı durante el resto de la simulación. En esa misma

gráfica se observa un leve sobre impulso al rededor del segundo 0.2 y 0.7 pero con una magnitud

del orden de 0.05 radianes, lo cual equivale a 2.86 grados tentativamente. Esto representa una

magnitud pequeña en un intervalo de tiempo corto (menos de un segundo), lo cual no representa

una perturbación muy significativa durante esa etapa de la marcha.

Las gráficas 4.3 muestran los resultados de la etapa de respuesta a la carga. El segundo 0

se considera el inicio de la simulación con velocidades iniciales de 0 radianes sobre segundos

en ambas articulaciones. En la gráfica titulada “Error de posición” se observa como ambas

articulaciones se estabilizan en 0 al rededor del segundo 0.3, esto indica que en ese momento las

articulaciones llegaron a la posición deseada y se mantienen ah́ı durante el resto de la simulación.

Durante esta simulación no se muestra sobre impulso en ninguna de las articulaciones.


Figura 4.2: Simulación de la etapa de balanceo de la marcha b́ıpeda.

Figura 4.3: Simulación de la etapa de respuesta a la carga de la marcha b́ıpeda.

Las gráficas 4.4 muestran los resultados de la etapa de soporte. El segundo 0 se conside-

ra el inicio de la simulación con velocidades iniciales de 0 radianes sobre segundos en ambas

articulaciones.


Figura 4.4: Simulación de la etapa de soporte de la marcha b́ıpeda.

Caṕıtulo 5

Conclusiones

Con el fin de poder estudiar la dinámica de una prótesis transfemoral y proponer una ley

de control que gobierne al sistema se elaboró una propuesta de modelo mecánico del sistema

a controlar. Dicha propuesta, mostrada en la sección 3.1, es una aproximación simplificada de

una prótesis transfemoral la cual nos sirve para realizar el estudio dinámico y la simulacio�

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CONTROL Y SIMULACION DE UN DISPOSITIVO DE ...posgrado.lapaz.tecnm.mx/uploads/archivos/MartínezCha...INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA PAZ DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACI