CONTROLADOR PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO (PID)

AÇÕES DE CONTROLE

• O controlador PID é um controlador composto

por três ações de controle

• Ação proporcional: 𝑢 𝑡 = 𝑘 𝑒 𝑡

• Ação integral: 𝑢 𝑡 = 𝑘 0

𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡

• Ação derivativa: 𝑢 𝑡 = 𝑘𝑑𝑒 𝑡

𝑑𝑡

AÇÃO PROPORCIONAL

• A ação proporcional segue a lógica de que quanto

maior o erro do sistema, maior deve ser a atuação necessária para minimizar esse erro.

• Em geral, aumentar a ação proporcional diminui o erro em estado estacionário, mas não o elimina.

• Um ganho proporcional alto pode levar à saturação do sinal de controle

AÇÃO INTEGRAL

• A ação integral parte do princípio de que se o erro

não está diminuindo, a ação de controle deve

aumentar.

• Dessa forma, a saída de controle é proporciona ao

erro acumulado.

• Pode gerar problemas quando o erro acumulado se

torna muito grande.

AÇÃO DERIVATIVA

• A ação derivativa é proporcional à velocidade com

que o erro varia. A ação é muito alta quando existe uma variação brusca do erro (degrau) e nula quando o erro é constante.

• Quando o ganho é negativo e pequeno, pode ser utilizado para “frear” a ação de controle.

• É muito sensível ao ruído, muitas vezes sendo melhor não usar em sinais ruidosos.

EQUAÇÃO DO CONTROLADOR PID

Equação Diferencial

𝑢 𝑡 = 𝑘𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑘𝑖 න

0

𝑡

𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑘𝑑𝑑𝑒 𝑡

𝑑𝑡

Função de Transferência:

𝑈 𝑠

𝐸 𝑠= 𝑘𝑝 + 𝑘𝑖

1

𝑆+ 𝑘𝑑 𝑠

CONTROLADORES BASEADOS NO PID

• Removendo ações do controlador PID, temos

outros controladores:

• Controlador P (Proporcional)

• Controlador PD (Proporcional e Derivativo)

• Controlador PI (Proporcional e Integral)

CONTROLADOR P

• Não consegue estabilizar processos de ordem

elevada.

• Valores de ganho elevado diminuem o erro de

estado estacionário, mas isso só é aconselhável em sistemas estáveis em MA.

• São utilizados quando um erro constante pode ser tolerado,

CONTROLADOR PD

• A parcela derivativa funciona como uma predição

do erro (o erro vai aumentar ou diminuir)

• Normalmente se utiliza a derivada da leitura do

sensor e não do erro.

• É utilizado, normalmente, para controlar objetos

que se movem, como barcos e foguetes.

CONTROLADOR PI

• A ação integral leva a eliminação do erro em estado

estacionário, porém torna o sistema menos estável.

• É muito usado na indústria, principalmente quando

a velocidade da resposta não é um problema e

quando existe muita perturbação ou atraso de

tempo.

CONTROLADOR PID

• O controlador PID tem todas as características dos

demais:

• Ação rápida à mudança (D)

• Erro em estado estacionário nulo (I)

• Eliminação de oscilações (P)

CARACTERÍSTICA DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR PID

ParâmetroTempo de

SubidaOvershoot

Tempo de

AcomodaçãoErro em E. E. Estabilidade

Aumentar 𝑘𝑝 Diminui Aumenta Muda Pouco Diminui Piora

Aumentar 𝑘𝑖 Diminui Aumenta Aumenta Diminui Muito Piora

Aumentar 𝑘𝑑 Diminui Pouco Diminui Pouco Diminui Pouco Não AfetaSe 𝑘𝑑 é pequeno

melhora

PROBLEMAS COMUNS DO CONTROLADOR PID

• Implementado de maneira trivial, o controlador

PID apresenta alguns problemas, como por

exemplo:

• Chute Derivativo (Derivative Kick)

• Wind-up

• Não Causalidade

CHUTE DERIVATIVO

• Mudanças de set-point são muito comuns em

processos industriais e, em geral, essas mudanças são feitas como funções degrau.

• Essas mudanças bruscas geram ações derivativas muito altas (chute derivativo).

• Dessa forma, é comum utilizar apenas a derivada da leitura do sensor na parte derivativa.

WIND-UP

• O termo integral realiza uma acumulação do erro,

mas muitas vezes esse erro acumulado pode ser

tornar muito grande.

• Essa problema faz com que a parte integral

continue atuando mesmo quando o erro seja zero,

visto que o erro acumulado não “descarregou”.

WIND-UP

• O wind-up torna o sistema oscilatório e, muitas

vezes, instável.

• Existem diversas técnicas de anti wind-up, como

limitar o erro acumulado ou apenas “ligar” a parte

integral quando o valor absoluto do erro é

pequeno.

NÃO CAUSALIDADE

• Um controlador PID possui mais zeros que polos,

de forma que não pode ser implementado.

• Uma forma de resolver esse problema é adicionar

um polo à parte derivativa. Se esse polo estiver

distante dos demais polos, sua influência no sistema

é pequena.

NÃO CAUSALIDADE

• Esse polo pode ser utilizado como um filtro para

diminuir o ruído, melhorando a ação derivativa,

numa técnica chamada de “filtro derivativo”. Nesse

caso, a ação derivativa é substituída por:

𝑘𝑑 𝑠

𝑘𝑑𝑁

𝑠 + 1

Com 𝑁 entre 3 e 20 (tipicamente utiliza-se 10)

VARIAÇÕES

• É muito comum que no lugar de 𝑘𝑝 , 𝑘𝑖 e 𝑘𝑑 sejam

utilizados os parâmetros 𝑘𝑝 , 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑 onde:

𝑘𝑝 = 𝑘𝑝

𝑘𝑖 =𝑘𝑝

𝑇𝑖

𝑘𝑑 = 𝑘𝑝 𝑇𝑑

SINTONIA DE PID

• Características desejáveis do controlador:

• Resposta rápida

• Rejeição a perturbações

• Insensível a erros de modelagem e erros de medição

• Evitar ação de controle excessiva

• Controla em uma ampla faixa de pontos de operação

SINTONIA DE PID

• Existem diversas formas de realizar a sintonia de

um controlador PID:

• Tentativa e erro

• Métodos de Tabela (Ziegler-Nichols)

• Síntese Direta

• Otimização

MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS DE MF

1. Fazer 𝑘𝑖 = 0 e 𝑘𝑑 = 0

2. Aumentar o valor de 𝑘𝑝 até a resposta ficar

oscilatória com amplitude estável. O valor de 𝑘𝑝que torna o sistema oscilatório é chamado 𝑘𝑢 (é a

margem de ganho do sistema).

3. Com o sistema oscilatório, mede-se o período de

oscilação 𝑇𝑢

4. Jogar os valores de 𝑘𝑢 e 𝑇𝑢 em uma tabela e obter

os parâmetros do controlador.

MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS DE MF

Tabela – Método de Ziegler Nichols

Controlador 𝒌𝒑 𝒌𝒊 𝒌𝒅

P 0,5 𝑘𝑢 - -

PI 0,45𝑘𝑢 𝑇𝑢/1,2 -

PD 0,8𝑘𝑢 - 𝑇𝑢/8

PID 0,6𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/8

PID (algum overshoot) 0,33𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/3

PID (nenhum overshoot) 0,2𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/3

SINTONIA - 𝜆

• Considerando que existe um bom modelo do

processo a ser controlado

• Considerando uma FT de MF na forma:

𝐺𝑀𝐹 𝑠 =1

𝜆𝑠 + 1

• Define-se um parâmetro 𝜆 tal que 𝜆 > 3𝜏 e 𝜆 ≫ 𝜃

SINTONIA - 𝜆

Modelo 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅

𝑘

𝜏𝑠 + 1

𝜏

𝑘𝜆𝜏 -

𝑘

(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏2𝑠 + 1)

𝜏1 + 𝜏2𝑘𝜆

(𝜏1 + 𝜏2)𝜏1𝜏2

(𝜏1 + 𝜏2)

𝑘

𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏 𝑠 + 1

2𝜁𝜏

𝑘𝜆2𝜁𝜏

𝜏

2𝜁

𝑘

𝑠(𝜏𝑠 + 1)

1

𝑘𝜆- 𝜏

OTIMIZAÇÃO

• Utilização de um método de otimização (como

algoritmos genéticos) para encontrar parâmetros

adequados para o controlador PID

• Depende de um bom modelo, que explique bem a

dinâmica da planta.