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Universidade Nove de Julho-UNINOVE-
Material de apoio às aulas deFundamentos da
Matemática
para PROJETOS I
‘Nome: RA:
CURSO: Semestre/turma:
Departamento:
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.
Resumidamente:
1) Parênteses ( )2) Colchetes [ ]3) Chaves { }4) Potência ou Radiciação5) Multiplicação6) Soma ou Subtração
Veja o exemplo abaixo:
[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 - 2[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 - 2[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 - 2[6 + 60 - 2] / 1 - 264 / 1 - 264 - 262
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
ExemplosA = 2a + 7bB = (3c + 4) – 5C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
2
2
‘Potenciação ou RadiciaçãoMultiplicação ou DivisãoAdição ou subtração
Observações:
Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. AssimP = 2(5) + 10P = 10 + 10P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2(9) + 10A = 18 + 10A = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:X = 4.(5) + 2 + 7 – 7X = 20 + 2 – 0X = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então :Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16Y = 30 –16Y = 14Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Operações Algébricas
Adição e Subtração
Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.
Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal.
3
3
‘Solução: (7-1+5).xy = 11xy.
OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3xb) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5
EX ERCICIOS - EXPRESSÕES1) Calcule o valor das expressões numéricas;
a) (-3)2 – 4 – (-1) + 52 =b) 15 + (-4) . (+3) – 10 = c) 52 + - [(+20) : (-4) + 3] =d) 5 + (-3)2 + 1 = e) 10 + (-2)3 – 4 =f) 18 - (+7) + 32 = g) (-2)3 + (– 3)2 – 25 =h) (-3)2 . (+5) + 2 = i) + 23 – 1 =j) 40:[(-1)9 + (-2)3 – 11] = k) 10 – [5 + (-2) + (-1)] =l) 2 – {3 + [4 – (1 -2) + 3] -4} =m) 50:{-5 + [-1 – (-2)5 + (-2) + 3]} =n) 72 – [6 – (-1)5 – 22] =
2) Resolva as expressões algébricas:
a) 5ab – 2ab + ab =b) 3y + (-2y) =c) 4xy + (-3xy) + 5xy =d) 5y + 4y – 3 =e) 6a + 2ab + (-3a) =f) 19x3 – 34x3 + (-2y) = g) 5x9 + 12 x9 =h) 4x5y6 – 6 x5y6 = i) (6x3 + 2x2 – 3x + 1) + (2x3 - 4x2 + 2x - 2) =j) (x5 - 3x2 + 2) - (4x5 + x3 - 4x2 + 2) =
3) Para as expressões a seguir se, x = 2 e y = -3, encontre o valor de A.
a) A = 3x + 2yb) A = -4x + 3yc) A = y + 3xd) A = -5x + y
4) Calcule o Valor Numérico das expressões algébricas:
a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4b) , para a = 3 e b = 4
c) + , para x = 4
4
4
Respostas:1a)31 1h) 47 b) -7 i) 14c)30 j) -2d)15 k) 8e) -2 l) -5f) 20 m) 50/27g)) -24 n) 46
2 a) 4ab 2f) -15x3 – 2yb) y g) 17x9
c) 6xy h) -2x5y6
d) 9y – 3 i)8x3 – 2x2 – x - 1 e) 3a + 2ab j) -3x5 – x3 + x2
3a) A=0 b) A =-17 c) a=3 d)A = -13
4 a) -6b) 5c) 8d) 81e) -8f) 2
‘d) 3x + x , para x = 2
e) , para x = 1 e y = 3
f) x = , calcule x, para a=3,b=- 7 e c=2
Operações com frações
* Adição e subtração com denominadores iguais
Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo:
4/20 + 5/20 + 6/20
Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores:
Resultado da fração acima: 15/20
* Adição e subtração com denominadores diferentes
Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do MMC dos denominadores.
1/4 + 1/2 + 2/3
MMC (4,2,3) = 12
Assim:
3/12 + 6/12 + 8/12 = 17/12
* Multiplicação de frações
Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples:
1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro númerador
2) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador
Exemplos:
a) 2/5 x 3/2 =6/10
b) 4/3 x 1/5 x 1/4 =4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) =1/15
5
5
‘
* Divisão de frações
Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor.
Exemplos:
a) 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 x 7/2 =21/10
b) 2/3 ÷ 1/6 = 2/3 x 6/1 = 12/3 (Neste caso podemos simplificar) =4
* Exercícios
1. Calcule os resultados das expressões
a)11 + (1/2 + 2/5) R.11 9/10
b) 2 /3 x 4/5
c)7/3 x 4/5 =
d ) 1/2 ÷ (1 +3/4)
2 - Quanto vale 3/4 de 480 ? R.360
Problemas com frações:
01 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ? R. 30 cintos
02 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ? R. 135
03 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ? R. 5.115
04 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno? R. R$ 8.344,00
6
6
‘05 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ? R. 165 km
06 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ? R. 15
07 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ? R. R$ 170,00
08 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ? R. 600 e 250
09 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? R. 189
10 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números. R. 810
11 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno? R. R$ 2.500,00
12 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ? R. 48
13 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ? R.72
14 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ? R. 128
15 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números. R. 117 e 27
16 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os. R.180 e 165
17 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo? R. R$ 1.722,00
18 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira. R. R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50
19 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ? R. R$ 165,00
20 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ? R. R$ 139,50
21 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro. R. 945, 1260 e 1512
22 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ? R. R$ 600,00
23 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse? R. 5.877
24 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ? R. 108
7
7
‘25 – Marieta tinha R$ 240,00.Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto.Com quanto ficou ? R. R$ 128,00
26 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira. R. R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00
27 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira R. R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00
28 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ? R. R$ 136,00
29 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ? R. 3/20
30 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ? R. 1 horas e 12 minutos
31 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ? R. 1/4 h ou 15 min
32 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ? R. 1/6 h ou 10 min
33 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ? R. 17/180
34 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ? R. 13 h 30 min
35 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ? R. 12 h
36 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ? R. R$ 120.000,00
37 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ? R. R$ 6.930,00 , R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00
38 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ? R. 1h 30 min
39 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ? R. 98
40 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500. R. 160 , 100 e 240
8
8
‘41) João gastou em compras diversas dois quintos da quantia que possuía e ainda lhe resta o valor de R$ 80,00. Quanto João tinha inicialmente? R. R$ 200,00
42) Um caderno de 10 matérias custa 2/3 a mais que um caderno de 5 matérias. Juntos eles tem o valor de R$ 24,00. Qual o valor de cada caderno? R. R$ 15,00 e R$ 9,00
POTENCIAÇÃO
Expoente inteiro maior do que 1
an= a . a . a .... a n fatores
Exemplos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (- 7)2 = (- 7) . (- 7) = 49 (0,1)3 = (0,1) . (0,1) . (0,1) = 0,001
= . . . =
Observação:Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser:- Positivo, se o expoente for par; - negativo, se o expoente for ímpar. (- 3)2 = (- 3) . (- 3) = 9 (-2)3 = (-2) . (- 2) . (-2) = - 8
Expoente inteiro negativo
a-n = 1 . an
Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro.
Exemplos: 2 –2 = 1 = 1 22 4
( - 3) –4 = 1__ = 1_ (- 3)4 81
= = =
Expoente Zero
a 0 = 1
Sendo a um número real não-nulo.
Exemplos: (0,65)0 = 1 ( - 11,6)0 = 1 (0,232323...)0 = 1
9
9
‘
= 1
Expoente 1
a 1 = a
Exemplos: (0,25)1 = 0,25 (- 1,6)1 = - 1,6
=
(0,666...)1 = 0,666...
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Produto de potências de mesma base
am. an = a m+n
Exemplos: (0,15)2 . (0,15)3 = (0,15)2 + 3 = (0,15)5
(0,777...)-1 . (0,777...)5 = (0,777...)-1+5 = (0,777...)4
(-3)7.(-3)-5 = (-3)7+(-5) = (-3)7-5 = (-3)2
Divisão de potências de mesma base ( a 0 )
am : an = a m – n
Exemplos: (0,19)6 : (0,19)2 = (0,19) 6 – 2 = (0,19)4
(0,333...)7 : (0,333...)-3 = (0,333...) 7 – ( - 3) = (0,333...) 7+3 = (0,333...)10
Potência de potência
(am)n = a m . n
Exemplos: [(0,32)3]2 = (0,32) 3 . 2 = (0,32) 6
= =
Distributiva da potenciação em relação à multiplicação
( a . b )m = am . bm
Exemplos: (2 . 5 ) – 3 = 2 –3 . 5 – 3
. = .
10
10
‘
Distributiva da potenciação em relação à divisão (b 0 )
( a : b )m = am : bm
Exemplos: ( 8 : 3 )2 = 8 2 : 3 2
: = :
CUIDADO!!! am + an am + n
am - an am – n
(a + b)n an + bn
(a – b)n an - bn
E X E R C Í C I O S1. Calcule as potências dos números abaixo:
a) 24 b) (-4)3 c) 10 –3 d) e) 10 3 f)
___________________________________________________________________________________________2. Calcule o valor de:a) 3x3 – 2 x2 – x + 5 , para x = -1 b) 26 – 25 + 24 – 23 + 22 – 21 + 20
c) (0,2)3 – (0,1)-1 d) (-1)8 – 3 . (-1)5 + (-1)16
3. Utilizando as propriedades das potências, calcule:a) 23 . 24 . 25 . 26 b) 103 . 10 . 10 c) 64 : 62 d) 715 : 710 e) (2 . 3 )3
4. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de:
a) b) (75 : 73) . 72 c) d) (7 . 4)2 e)
5. Sendo A = 30 . 31 + 34 : 32 , B = 81 + (83 . 8) : 82 e C = (5 3 . 5) : 5 2 52
Determine o valor de 3A + 4B + C6. Encontre o valor de (0,1) –1 + (3 10 . 3 -5 ) 3 37. 37
7. Transforme numa só potência de base :a) . b) : c) d) . 8. Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras:
a) (2 . 5)3 = 23 . 53 b) (2 + 5 )3 = 23 + 53 c) (17 – 1)2 = 17 2 - 12 d) = 23
EXERCICIOS COMPLEMENTARES – POTENCIAÇÃO
11
11
‘
an = a .a. a . ....a (n vezes) * a0 = 1 * a-n = 1 , para n 0 * a1 = a an
Propriedades:1) am . an = am+n 2) am : an = am-n 3) (am )n = am . n
01) Calcular: a) 23 =
b) (-2)3 =
c) -23 =
d) (0,2)4 =
e) (0,1)3 =f) 2-3 =
g) (-2)-3 =
h) -2-3 =
i) 50 =
j) 2 -3
3 =
k) (0,34)1 =
l) 24 . 23. 2 =
m) 3. 35. 37 =
02) Das três sentenças abaixo:
I. 2x+3 = 2x . 23
II. (25)x = 52x
III. 2x . 3x = 5x
a) somente I é verdadeirab) somente II é verdadeirac) somente III é verdadeira d) somente II é falsae) somente III é falsa
R A D I C I A Ç Ã O
Raiz enésima de um número real
Consideremos as igualdades: = 5 , pois 5 . 5 = 52 = 25
12
12
n) 43. 47 =
o) 5 5 = 52
p)(23)4 =
q) (2:5)2 =
r) 1 –2 = 4
s) –1 3 = 3
t) -2 -1 = 4
03) Calcule o valor da expressão para x = 2
a) 4x2 – 3x + 4 – 5x2
b) –x + 3x2 + 4x –1
c) x3 – (-2x3) + 8x - xRESPOSTAS EXERCICIOS COMPLEMENTARES:01. 01. 03.a) 8 l)256 a) -6b) -8 m)1.594.323,00 b) 17c) -8 n)1.048.576,00 c) 38d) 0,0016 o)125e) 0,001 p) 4096f) 0,125 q) 0,16g) -0,125 r) 16h) -0,125 s) -0,037i) 1 t) -2j) 3,375 02.ek) 0,34
‘ = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 = 3, pois 3 . 3 . 3 . 3 = 34 = 81 = -1, pois (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) = (-1)5 = -1
Dizemos que as expressões , , e representam respectivamente, a raiz quadrada de 25, a raiz cúbica de –8, a raiz quarta de 81 e a raiz quinta de –1.
Então, se considerarmos um número real a, a raiz enésima desse número é representada pela expressão:
Onde: n é o índice da raíz e a o radicando.Podemos ter dois casos em relação ao índice n :a) Índice par:a.1) Quando o índice é um número par, e o radicando (a) é um número real positivo: = = 2 (Quando temos um radical de índice 2, chamamos de raiz quadrada e pode ser suprimido
o seu índice.) = = 5 = = 3 = = 2
= =
= =
a.2) Quando o índice é um número par, e o radicando (a) um número real negativo:Não se define a raiz, pois, devido a definição de raiz, não encontramos Nenhum número que elevado a um expoente (índice) par, resulta em um número negativo, dentro do conjunto dos números reais. = em IR = em IRb) Índice Ímpar:b.1) Quando o índice é um número ímpar e o radicando (a) é um número positivo: = = 2 = = 5
= =
b.2) Quando o índice é um número ímpar e o radicando (a) é um número negativo: = = -2 = = -3
= = = -
Propriedades dos radicais1) = = = = 2 = = -2 2) =
13
13
‘ = = = = = = = =3) = = = =
4) = . . = = = 8 . = . = 4 . 2 = 8 = . . = 2xy = . . = . . = = . . . . . =
= a.a.b.b.b.c = a2b3c
Operações com Radicais
1) Adição e Subtração Algébrica de Radicais : serão efetuadas as operações quando os radicais forem
iguais, devendo ser somados ou subtraídos somente os fatores externos aos radicais.
Obs.: Não se define as operações de soma e subtração de radicais de índices diferentes, ficando apenas
indicada a sua soma. Ex.:
2) Multiplicação e Divisão de Radicais :
14
14
‘
Racionalização de denominador
Quando, numa fração algébrica, temos como denominador um radical, temos que racionalizar a fração de modo a eliminarmos o radical do denominador. Para efetuar tal operação, devemos multiplicar a fração que queremos racionalizar por uma outra fração, com numerador e denominador formados por um radical que, multiplicado pelo radical do denominador, origina um outro com radicando igual ou múltiplo do índice, para obter uma fração com denominador racional.
1 = 1 . = = = 2 2 2 . 2 . 2 4
3 = 3 . = 3 . = 3 = 3
Nos exemplos anteriores, os radicais e , usados para racionalizar os denominadores das frações, são denominados fatores de racionalização.
Qual é o fator de racionalização quando o denominador for 2 + ou - ?Aplica-se o processo de racionalização através do conjugado do denominador, e o resultado se dá através do produto da soma pela diferença: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
Veja:
10 2 +
Denominador Conjugado 2 + 2 - como (2 + ) . (2 - ) = 22 – ( )2 = 4 – 3 = 1
então 10 = 10 . 2 - 2 + (2 + ) 2 - 10 = 10 ( 2 - ) 2 + 1
10 = 10 (2 - ) 2 +
16 -
Denominador Conjugado - + como ( - ) . ( + ) = ( )2 – ( )2 = 5 – 2 = 3
15
15
Fator de racionalização:
2 -
‘então
16 = 16 . ( + ) - ( - ) ( + )
16 = 16 . ( + ) - 3
E X E R C Í C I O S - RADICIAÇÃO
1)Resolva e simplifique quando possível.
a) b) c) d) e)
f) PROMOÇAO somente g) . h)
2) Racionalize o denominador de cada fração:
a) j)
b) l)
c) m)
d) n)
e) o)
16
16
Fator de racionalização:
+
‘
f) p)
g) q)
h) r)
i)
s) 11
2 -1
3) O valor da expressão + é:
(A)
(B)
(C)
(D)
17
17
RESPOSTAS EXERCICIOS 1a)6 1b)4 1c)6 1d) 1e) 1f) 8,00 1g)6 1h)
2a) 2 2b) 3 2c) 3 2d) m 2e) 3 2f) 2g) 3 2 20 n 2 2
2h) 3 2i) 3 2j) 3 - 2l) - 2m) - 2n)4( + 2)5 6
2o) 5 + 2p) 7( + 2) 2q) 3 + 2 2r) + 2s) 11( + 1) 11 -1 -1 4
3) + 3 (letra D) 3
3
‘
PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com freqüência e que têm regras definidas que facilitam a sua determinação. Exemplos:
(a + b)2 Quadrado da soma de dois termos. (a – b)2 Quadrado da diferença de dois termos. (a + b).(a – b) Produto da soma pela diferença de dois termos.
Quadrado da soma de dois termosO quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por (a + b)2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ou seja:O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
+ 3b 2 = + 2 . . 3b + (3b)2 = + + 9b2
( + )2 = ( )2 + 2 . . + ( )2 = m + 2 + n
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos a e b é indicado por (a - b)2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:
18
18
‘
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Ou seja:O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos: ( c – d )2 = c2 – 2cd + d2
- 2b2)2 = - 2 . . 2b2 + (2b2)2 = - + 4b4
( - 1)2 = ( )2 – 2 . . 1 + 12 = m - 2 + 1
Produto da soma pela diferença de dois termosO produto da soma pela diferença de dois termos a e b é indicado por (a + b) . (a – b). Desenvolvendo esse produto, obtemos:
( a + b) . ( a – b) = a2 – b2
Ou seja:O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos: (x + y) . (x – y) = x2 – y2
(bx + 5) . (bx – 5) = (bx)2 – 52 = b2x2 – 25
+ 1 . - 1 = - 12 = - 1
E X E R C Í C I O S
1) Calcule os produtos notáveis:a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y) d) (x+3)²
e)
f) f) (2a-5)²
g) (2xy+4)²
h)
i) (3 + x)2 – (x - 4)2
2) Simplifique as expressões algébricas:
19
19
‘a) x(6x - 2) + x(2 – 4x) b)(z + 4) . (z – 4) – (z+ 4)2
3) Desenvolva os produtos notáveis:
a) b)
F A T O R A Ç Ã O
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la como uma multiplicação de duas ou mais expressões algébricas, quando for possível.
Vamos considerar três situações envolvendo “fatoração” de termos algébricos. No entanto é importante observar que esses procedimentos representam o caminho inverso da obtenção do produto de expressões algébricas.
Fator comum em evidência As situações Agrupamentos sucessivos Produtos notáveis
Fator comum em evidência
1) 2 .(a – b) = 2 . a – 2 . b = 2a – 2b
2) x3 . (2 + 5x + x2 ) = x3 . 2 + x3 . 5x + x3 . x2 = 2x3 + 5x4 + x5
3) 6a . (2ab - 7 + 5b ) = 6a . 2ab - 6a . 7 + 6a . 5b = 12a2b – 42a + 30ab
Tomando os mesmos exemplos, vamos percorrer o caminho inverso; ou seja, a partir das adições algébricas, obtemos as formas fatoradas:
1) 2a – 2b = 2 . a – 2 . b = 2 . (a – b)
2a : 2 = a 2b : 2 = b 2 é o fator comum
2) 2x3 + 5x4 + x5 = x3 . 2 + x3 . 5x + x3 . x2 = x3 . (2 + 5x + x2) (x3 . 2) : x3 = 2
20
20
RESPOSTAS- EXERCICIOS 1a) a2 – 4 1b)x2y2 – 9z2 1c)x4 – 16y2 1d) x2 + 6x + 9 1e) 1f) 4a2 – 20a + 25
1g) 4x2y2 + 16xy + 16 1h) + + 1i) 14x - 7
2a) 2x2 2b) -8z – 32
3a) x 2 + 4x + 4 3b) x 4 + 2x 2 + 1 x2 + 6x + 9 x2– 10x + 25
‘ (x3 . 5x) : x3 = 5x (x3 . x2) : x3 = x2
x3 é o fator comum
3) 12a2b – 42a + 30ab = 6a . 2ab - 6a . 7 + 6a . 5b = 6a . (2ab - 7 + 5b ) (6a . 2ab) : 6a = 2ab (6a . 7 ) : 6a = 7 (6a . 5b) : 6a = 5b 6a é o fator comum
Agrupamentos SucessivosA partir das multiplicações entre expressões algébricas, observe as fatorações que podem ser
efetuadas por agrupamentos:
1) (m + n) . (a + b) = m . (a + b) + n . (a + b)= ma + mb + na + nb
2) (x + 2) . (x2 + 5) = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5) = x3 + 5x + 2x2 + 10
3) (x3 - y) . (2 + x) = x3 . (2 + x) - y . (2 + x) = 2x3 + x4 – 2y - yx
Usando o caminho inverso nas operações efetuadas, chegamos à forma fatorada das expressões algébricas:
1) ma + mb + na + nb = m(a + b) + n(a + b)
(1a fatoração)
ma + mb + na + nb = m(a + b) + n (a + b)
(2a fatoração)
ma + mb + na + nb = (a + b) . (m + n)
21
21
Fatorar éTransformarem produto.
‘2)x3 + 5x + 2x2 + 10 = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5)
(1a fatoração)
x3 + 5x + 2x2 + 10 = x . (x2 + 5) + 2 . (x2 + 5)
(2a fatoração)
x3 + 5x + 2x2 + 10 = (x2 + 5) . (x + 2)
3)2x3 + x4 - 2y + yx = x3 . (2 + x) - y . (2 + x)
(1a fatoração)
2x3 + x4 - 2y + yx = x3 . (2 + x) - y . (2 + x)
(2a fatoração)
2x3 + x4 - 2y + yx = (2 + x) . (x3 - y)
As fatorações sucessivas, quando possível, são conhecidas também por fatorações por agrupamentos. Essas fatorações são efetuadas formando grupos que tenham fator(es) comum(uns).
Produtos notáveisLembrando-se dos produtos notáveis estudados, é possível transformar determinadas expressões
algébricas na forma fatorada.
- trinômio quadrado perfeito: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
- diferença de dois quadrados: a2 - b2 = (a + b) . ( a – b)
1) 4y2 + 12y + 9 = (2y + 3)2
(2y)2
2 . (2y) . 3 32
E X E R C I C I O S
1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:
a) ax+2a =
b) a²-b² =
c)a² - 4ab + 4b² =
d) 2x²-2 = 2(x²-1) =
22
22
2) 49 - 14y + y2 = (7 - y)2
72
- 2 . 7 . y y2
f) a²b² - ab³ =
g) a² + ab + ac + bc =
h) x² - b² =
i) x²-25 =
j) 4a² - 4 =
‘e) 3ax-7ay =
2) Fatore as expressões por agrupamentos sucessivos:
a) ax + ay + bx + by =
b) x2 – 3x + ax –3a =
c) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 =
3) Utilizando os produtos notáveis, escreva as expressões algébricas na forma fatorada:
a)x2 - 9 =
b)a2 – b2 =
c)16a2 – 1 =
d)1 – 16x2 =
e)16x2 – 8x +1 =
REGRA DE TRÊS SIMPLESUtilizamos o conceito para o estudo de grandezas que se relacionam através de uma proporção.Quando duas grandezas aumentam ou diminuem temos grandezas diretamente proporcionais.Quando, entre duas grandezas, uma das grandezas aumenta e a outra diminui, temos grandezas
inversamente proporcionais.
Problemas de aplicaçãoGrandezas diretamente proporcionais
1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas, produz 500 peças. Quantas peças iguais serão produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas?
Horas peças4 6009 x
23
23
RESPOSTAS EXERCICIOS1a) a(x +2) 1b) (a+b)(a – b) 1c) (a -2b)2 1d) 2(x+1)(x-1) 1e) a(3x-7y) 1f) ab(ab-b2)1g) (a+b)(a+c) 1h) (x+b)(x-b) 1i) (x+5)(x-5) 1j) (2a+2)(2a-2)
2a) (x+y)(a+b) 2b) (x-3)(x + a) 2c) (2 + a)(b2 + c3)
3a) (x+3)(x-3) 3b) (a+b)(a-b) 3c) (4a + 1)(4a -1) 3d) (1 + 4x)(1 - 4x) 3e) (4x – 1)2
‘
Resolução: peças
Grandezas inversamente proporcionais2. Para realizar um certo serviço 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais as
primeiras fariam o mesmo serviço?
Máquinas dias6 248 x
Resolução: dias
Exercícios Propostos1. Se 12 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 20 m do mesmo tecido?2. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 200 pães. Quantos pães iguais aos primeiros serão
fabricados com 8 kg de farinha de trigo?3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para encher totalmente
um recipiente cuja capacidade é 600 litros?4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45 minutos. Se a
velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel faria a mesma distância?5. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos operários
seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias?6. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 12 caminhões de 6 m3
cada um. Quantos caminhões de 9 m3 cada um seriam necessários para fazer o mesmo transporte?7. Pra pintar uma parede de 30 m2 foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da mesma tinta
serão gastos para pintar uma parede de 18 m2 ?8. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas?9. 24 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo
serviço?10. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada página,
quantas páginas teria o mesmo livro?
Problemas de aplicação para porcentagem1. Sobre um salário de R$ 9.000,00, é descontado 8% de INSS. Qual o valor do desconto?
% R$100 9.000 8 x
Resolução:
2. Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa de 2,5% ao mês?
Mês %1 2,53 x
24
24
‘Resolução: ao trimestre
Problemas de porcentagem1. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00. Determinar
a taxa de desconto dada nesta bicicleta.2. 15.000 candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram aprovados 9.600
candidatos. Qual a taxa de aprovação?3. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua
taxa de acerto?4. Numa empresa de 2.500 funcionários, 800 tem curso superior, 1.000 tem o ensino médio e o
restante concluiu o ensino fundamental.a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior?b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio?c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental?
5. Numa classe, 20% dos alunos são meninas. Quantos alunos existem na classe, sabendo-se que o número de meninas é igual a 9.
6. a) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 12% ao trimestre?b) Qual é a taxa anual proporcional à taxa de 6% ao bimestre?
c) Qual é a taxa diária proporcional à taxa de 15% ao mês? d) Qual é a taxa semestral proporcional à taxa de 36% ao ano?
Respostas dos exercícios propostos:1. R$ 1.000,00 Porcentagem:2. 320 pães 1. 15 %3. 120 minutos 2. 64 %4. 36 minutos 3. 80 %5. 16 operários 4. a) 32% b) 40% c) 28%6. 8 caminhões 5. 45 alunos7. 9 litros 6. a) 4% a.m. b) 36% a.a. c) 0,5% a.d. d) 18% a.s. 8. 10 minutos9. 48 dias10. 300 páginas
EQUAÇÕESEquações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade.
Exemplos:a) x -3 = 12 a variável (ou incógnita) é x.b) 3y + 7 = 15 a variável (ou incógnita) é y.
A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro.A expressão à direita do sinal = chama-se 2º membro. c) 2x – 1 = x + 7 2x -1, é o 1º membro x + 7 , é o 2º membro
Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade. a solução de uma equação é chamada de raiz da equação.
25
25
‘
Obs.: Para “passar” um termo de uma equação de um membro para outro, troca-se o sinal desse termo.
Importante: Veja a equação –x = 5Interessa-nos o valor de x e não o valor de –x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -1.Observe: -x = 5 (-1) x = -5
Exemplos:a) x + 1 = 8 b) 3x -1 = 14 c) x -1 + 8 = 6x x = 8-1 3x = 14 +1 -1 +8 = 6x –x x = 7 3x = 15 7 = 5x x = 15/3 7/5 = x ou x = 7/5 x = 5
E X E R C I C I O S
1) Dada a equação 7x – 3 = x + 5 – 2x, responda:
a) qual é o 1º membro? b) qual é o 2º membro? c) qual o valor de x?
2) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é:
a) 3 b) 4 c) -3 d)17
3) Resolva:
a) x - 3 = 5 g) m) 6x - 4 = 2x + 8
b) x + 2 = 7 h) 0 = x + 12 n) 17x -2 + 4 = 10 + 5x
c) + i) -3 = x + 10 o) 4x – 10 = 2x + 2
d) x -7 = -7 j) y/4 = 3 p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x -4e) x – 109 = 5 k) x/5 = 2 q) 5(2x -4) = 7(x + 1) - 3f) 15 = x +1 l) 3x = 12 r) 4(x + 3) = 1
FUNÇÃO DO 10 GRAU
Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo.
Definição: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.:
a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta.b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR.c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear.
ExemploConstrua o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1.
26
26
Respostas:1a)7x -3 b) x+ 5 – 2x c)1
2) letra d
3 a) 8 2f) 14 2l) 4b) 5 g) 8/3 m) 3c) 18 h) -12 n) 2/3d) 0 i)-13 o) 6e) 114 j) 12 p) 2
k) 10 q) 8
‘a) f(x) = x +2
x f(x) = x +2
0 0 + 2 = 21 1 + 2 = 3
b) f(x) = 5xx f(x) = 5x
0 5 . 0 = 0
1 5 . 1 = 5
Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.
Raiz ou zero da função do 1o grauDada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax
+ b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação.ExemploDetermine a raiz das seguintes equações:a) f(x) = 3x - 6Resolução:3x – 6 = 03x = 6x = 6/3 x = 2Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com o eixo x .
27
27
f(x) 3
2 Im = IR
1
0 1 x
f(x) 5
Im = IR
1 x
b) f(x) = –8xResolução:-8x = 0 . (–1)x = 0/8 x = 0
‘E X E R C I C I O S
1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x + 300
b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1.100,00
2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5
3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:
a) f(x) = 3x + 4
b) f(x) = x + 6
c) f(x) = -4x + 8
4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a equação que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000
5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos?R. R$= 34.000,00
6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00.X = 5.000.000 unidades
7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00
8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x.S(x) = R$ 2,00x + 415,00
9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ 835,00
10) (ENEM – 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.
28
28
‘
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então podemos afirmar que:
a) M(x) = 500 + 0,4xb) M(x) = 500 + 10xc) M(x) = 510 + 0,4xd) M(x) = 510 + 40xe) M(x) = 500 + 10,4x
Correta letra ( c)
29
29
‘SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU – duas variáveis
Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro grau nessas duas incógnitas.
Exemplo: Seja
2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18
Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x = 10 e y = 6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:
S = { (10, 6) }
Método da Adição: este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. Ë necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos.
Exemplos: Seja os sistemas:
a) x + y = 5
x – y = 1
b) 4x – y = 2
3x + 2y = 7
E X E R C I C I O S – sistemas
1) Resolva os sistemas a seguir:
a) x – 2y = 3
2x + 4y = 6
30
30
Resolução: (a)Somando-se membro a membro as duas equações:x + y = 5x – y = 12x = 6x = 6/2 x = 3substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas:x + y = 5 3 + y = 5 y = 5 –3 y = 2Logo: V = {(3, 2)}
Resolução: (b)Nesse caso não temos coeficiente simétricos. Vamos, então, multiplicar todos os termos da primeira equação por 2:8x – 2y = 43x + 2y = 711x = 11 x = 11/11 x = 1Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas:3x + 2y = 73 . 1 + 2 y = 73 + 2y = 7 2y = 7 –3 2y = 4 y = 4 /2 y = 2
‘b) 4x + 2y = 16
5x – 3y = 9
c) 2x + y = 4
x – y = -1
d) x + 2y = 10
4x – 6y = 6
e) 2x + 3y = 3
5x + 6 y = 12
Respostas.:
a) S = {3; 0} b) S = {3; 2} c) S = {1; 2} d) S = {36/7; 17/7} e) S = {6; -3}
2) A Companhia “KDT” produz e vende mouse a um preço único igual a R$ 8,00 a unidade. Sabe-se que a esse preço a demanda mensal é igual a 12.000 unidades. Ao oferecer um desconto de 25% no preço do mouse, a demanda aumenta para 14.000 unidades mensais. Determine uma função linear que representa a demanda mensal dos mouses da empresa “KDT” . R qd = -1000p + 20000
3) A empresa “MIT´S” produz e distribui à várias perfumarias braceletes pelo preço de R$ 4,50. A esse preço, a procura pelo produto atinge 150 unidades por semana. Verificou-se que, quando o preço sofre um desconto de R$ 0,50, a procura pelos braceletes aumenta em 30 %. De acordo com a situação descrita acima, a equação de 1º grau que representa a demanda semanal dos braceletes é igual :
a) qd = 45p + 345b) qd = - 45p + 345c) qd = - 90p + 555 d) qd = 90p – 555e) qd = - 90p - 555
R (c)
4) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, 5000 unidades são colocadas no mercado por mês; se o preço for R$ 12,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 1º grau e linear afim, obtenha suas equações e determine a função que representa a lei da oferta.R qo = 250p + 2500
31
31
‘FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO 2O GRAU)
As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão:
f(x) = ax2 + bx + c
Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.
Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função.
Exemplos:
a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2b) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0
c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5
Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2 o
grau e sim uma função do 1o grau.
Cálculo das raízes da função do 2o grau
A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2 + bx + c = 0 dependem do número b2 - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais.
Portanto, = b2 – 4ac
No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:
Logo,
32
32
‘
Exemplos: Resolver as seguintes equações:a) x2 – 8x + 12 = 0 a = 1, b = - 8 e c = 12 (primeiro vamos calcular o valor de delta)
(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)
(Delta positivo)
(fórmula de Baskara)
x = -(-8) + 16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1) 2(1)
x = 8 + 4
2
x’ = 12 / 2 = 6
x” = 4 / 2 = 2
S = {6 ; 2}
b) x2 – 12x + 36 = 0 a = 1, b = - 12 e c = 36
(Delta igual a zero)
S = {6}
33
33
‘
c) 2x2 – 4x + 3 = 0
a = 2, b = - 4 e c = 3
(Delta negativo)
S = { }, não existe raiz de número real negativo
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU
O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem: Im(f)=R.
O sinal do coeficiente do termo dominante (concavidade da parábola) : COEFICIENTE “ a”
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função indica a concavidade da parábola ("boca aberta").
O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:
34
34
‘Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:
Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:
COEFICIENTE "c" : A função do coeficiente "c" é nos indicar onde a parábola "corta" o eixo Y. Se ele for positivo ela irá "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo irá "cortar" abaixo da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo:
35
35
‘Veja você que os coeficiente não dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinação de sinais.
COEFICIENTE "b"
A análise do coeficiente "b" nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y. Primeiro olhe a figura abaixo:
Neste exemplo, o "b" é negativo (b<0), pois seguindo a parábola para direita a partir do ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros exemplos:
Neste exemplo o "b" é maior que zero, pois acompanhando a curva iremos subir após o ponto de corte.
Neste exemplo, "b" é igual a zero, pois logo após o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo é muito particular, porque você pode achar que é positivo, pois irá subir. Porém, a regra diz que tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou seja, milimetricamente, então neste exemplo vai reto. b=0.
Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função :36
36
‘Resolução:
Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-2. Colocando na fórmula, temos:
As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:
Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:
Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:
37
37
‘
Estudo do Vértice
O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Veja os exemplos abaixo:
O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.
38
38
‘Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é:
Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:
Exemplo
Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo.
Resolução: Vértices
Xv = -(-2)/2 . 1 = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 . 1
Xv = 2/2 = (-2)2 - 4 . 1 . 3 Yv = 8/4
Xv = 1 = 4 - 12 = -8 Yv = 2
S = (1, 2)
a > 0 , a função assume um valor mínimo
Yv = - = -(-8) = 2
(4 . 1)
E X E R C I C I O S – FUNÇÃO DO 2º GRAU
1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:
a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1
2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo:
a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25
39
39
Se a > 0, a função assume um valor de mínimo:
Yv = -
Assim o conjunto imagem da função quadrática será:
Im = {y IR | y > - }
Se a < 0, a função assume um valor de máximo:
Yv = -
Assim o conjunto imagem da função quadrática será:
Im = {y IR | y < - }
‘1) Determine o conjunto imagem das seguintes funções:
a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 R. Im = {y IR | y > - }
b) f(x) = -x2 + 5x + 6 R. Im = {y IR | y < 12,25 }
2) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:
a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1
b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4
c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo
d) o conjunto imagem da função; R. Im = {y IR | y > - 4}
e) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.
5) A representação cartesiana da função f(x) = ax2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a<0, <0 e c>0 (B) a>0, >0 e c<0 (C) a>0, >0 e c>0 (D) a<0, >0 e c<0(E) a<0, >0 e c>0 R.(e)
6) O valor mínimo do polinômio f(x) =x2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:
R. ( c)
(A) –1 (B) –2 (C) -9/4 (D) -9/2 (E)-3/2
7) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y =-40x2
+ 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: R. ( c)
(A)6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250 m, 200 s (E) 10.000 m , 5s
8) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-2)2 + 2 é:
40
40
‘(A)(-2, -2) (B)(-2, 0) (C) (-2, 2) ( D) (2, -2) (E) (2, 2)
R. (e)EXERCICIOS COMPLEMENTARES – Função do 2O grau–
1) Determinar os valores de a, b e c das funções abaixo.
a) f(x) = 2(x - 3)2 - x2 Resp. a = 1 b = -12 c = 18b) f(x) = (x - 1)2 + (x - 2)2 Resp. a =2 b =-6 c = 5
2) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.
a) f(x) = x2 + 4x + 1b) f(x) = - x2 + 2a) f(x) = x2 + 1b) f(x) = - x2 + 3x - 4
3) Determine as raízes das funções, se houver:
a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. < 0, ou seja = -159 portanto, S = { }
4) Esboce o gráfico de uma função quadrática em que: < 0, a< 0 e c< 0
5) O gráfico abaixo representa uma função do tipo y = ax2 + bx + c, a 0. Então, podemos afirmar que: y
a) a > 0, b 0 e c < 0.b) a < 0, b 0 e c > 0.c) a > 0, b 0 e c > 0. d) a< 0, b 0 e c = 0.
xResp. letra C
6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo.
a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3
7) Assinale a alternativa correta: O gráfico que representa uma parábola com a > 0 e < 0 pode ser: a) b) c) d)
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41
‘
Resp. letra C
8) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado.
a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30;b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo;c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção;d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30;e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a)
Dowling,E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –Editora Mac Graw Hill.Iezzi, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.Nery, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.
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