Biofiacutesica para Medicina

Veterinaacuteria

Escala na biologia

Funccedilotildees Especiais

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Conversatildeo de Unidades

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

bull Para que a quantidade resultante tenha algum significado ao se fazer a medida de uma

grandeza deve-se associar a ela um valor dimensionado em relaccedilatildeo a uma unidade que

arbitrariamente se tenha definido para medi-la

bull No Sistema Internacional de Unidades (SIU) as unidades meacutetricas satildeo as mais utilizadas

para expressar as medidas de uma grandeza

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Unidades que natildeo satildeo elementares

Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)

Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10

Muacute

ltip

los

Su

bm

uacutelt

iplo

s

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

bull Para que a quantidade resultante tenha algum significado ao se fazer a medida de uma

grandeza deve-se associar a ela um valor dimensionado em relaccedilatildeo a uma unidade que

arbitrariamente se tenha definido para medi-la

bull No Sistema Internacional de Unidades (SIU) as unidades meacutetricas satildeo as mais utilizadas

para expressar as medidas de uma grandeza

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Unidades que natildeo satildeo elementares

Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)

Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10

Muacute

ltip

los

Su

bm

uacutelt

iplo

s

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Unidades que natildeo satildeo elementares

Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)

Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10

Muacute

ltip

los

Su

bm

uacutelt

iplo

s

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Unidades que natildeo satildeo elementares

Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)

Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)

Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10

Muacute

ltip

los

Su

bm

uacutelt

iplo

s

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Medidas unidades fundamentais e padrotildees

Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10

Muacute

ltip

los

Su

bm

uacutelt

iplo

s

Sistema Internacional de Unidades (SIU)

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Padrotildees

bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de

referecircncia

bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse

organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial

(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza

bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento

do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de

segundo

Funccedilotildees Especiais

Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se

necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Conversatildeo de Unidades

bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja

converter por ldquo1rdquo

Regras de Potenciaccedilatildeo

a b= 1a b

b a = =

0a ne

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Quando se tem uma igualdade do tipo

Conversatildeo de Unidades

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

100 1)100 1 (1)

1 100

cm mi cm m

m cm = rArr = =

1000 1)1000 1 (1)

1 1000

10 (1) (1) 10

m kmii m km

km m

L km km

= rArr = =

= sdot sdot = 1000msdot1km

100

1

cm

m

sdot

1000000 cm

=

Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)

Conversatildeo de Unidades

2) Converta 8km2 para m2

( )

( )

( )

2 22

222 2 2

1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado

1 1000

1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo

1 1000

10008 1 8 8

1

m kmi m km

km m

m km

km m

mA km km km

km

= rArr = =

= =

= sdot = sdot =

2 2

2 2

1000

1

m

kmsdot 28000000 m

=

3) Converta 1000cm3 para m3

( )

( )

expoente

1

0 0 1 1 1

base

) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)

) (bases iguais e expoentes diferentes)

)

1) para 0

) 1

Nomenclatura

n n n

n m n m

mn n m

I a b a b

II a a a

III a a

IV a aa

V a a a a a

+

sdot

minus

minus

sdot = sdot

sdot =

=

= ne

= rArr = sdot = 1

asdot 1=

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia

Funccedilatildeo Exponencial

( ) ny x a xplusmn= sdot

( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =

constantes positivasa b rarr

expoente da funccedilatildeon rarr

Funccedilotildees Especiais

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Funccedilotildees Especiais

Funccedilatildeo exponencial

Funccedilatildeo lei de potecircncia

( ) Bxy x A e= sdot

( ) By x A x= sdot

27182818e =

1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =

Funccedilotildees Especiais

110

( ) 10

1( ) log

Bxy x A

xy x

B Aminus

= sdot

=

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares

1) log( ) log( ) log( )

2) log log( ) log( )

3) log( ) log( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Propriedades do logaritmo

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( ))

bx

bx

bx

x

y x a e

y x a e

a e

a b e

a b x

y x c b x

= sdot= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas

1

1 1( ( )) ( ( ))

inversaf f

f f x f f x x

minus

minus minus

rarr rArr

= =

( )

ln( ( )) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( ) ln( )

= ln( )

ln( ( )) ln( )

b

b

b

y x a x

y x a x

a x

a b x

a b

y x c b x

ω

= sdot

= sdot

++ sdot+ sdot

= + sdot

Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia

Ver exemplos no Matlab

1

ln( )

1

( ) ( ) ln( )

(ln( ))

( ) ln( )

x

x

x x

y x e y x x

y x e x

y e e x

minus

minus

= rArr == =

= =

Funccedilotildees Especiais

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa

crescente

decrescente

Funccedilotildees Inversas

y

x

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Como determinar a funccedilatildeo Inversa

2ordmPasso Trocar y por x

1ordmPasso Trocar x por y-1

3ordmPasso Isolar y-1

1) ( ) 3 2

2) ( ) 5 8

3) ( ) 6

y x x

y x x

y x x

= += minus += minus minus

Funccedilotildees Especiais

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Natildeo admite funccedilatildeo inversa

( )y sen θ=

1

1 190ordm 90ordm

( )aa

y arcsen θminus

minusminus

=

1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =

2y x=

Funccedilotildees Especiais

11 2y xminus = 0x ge

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

10

110

log ( )1

110

base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()

( ) 10

( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo

x

x

x

y x y x x

y y x

y y x x

minus

minus

minus

= =

= == =

1

1 ln( )

1

base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )

( )

( ) ln( )

x

x

x

e y x e y x x

y y e x

y y e x

minus

minus

minus

= == =

= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente

Exemplo

Calcular x para

23

1) 1000 10

2) 32 5

3) 82 100

4) 152

x

x

x

xe

=

==

=

1) log( ) log( ) log(

Proprieadades do L

)

2) log log( ) log( )

3) log( ) l

ogaritmo

og( )n

A B A B

AA B

B

A n A

sdot = +

= minus

= sdot

Funccedilotildees Especiais

Composiccedilatildeo de funccedilotildees

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Lei de Escala na Natureza

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Periacuteodo e Frequecircncia de

oscilaccedilatildeo de um pecircndulo

simples

Lei de potecircncia com

2 ( )

1 1( 1 )

2

lT s

g

gf Hz s

T l

π

π

=

= = =

1

21

f ll

minusprop =

Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de

um animal passos por segundo

2

1( )

10

comprimento da perna em metro

gf passo s

l

g m s

l

π=

==

l

Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo

Aceleraccedilatildeo da gravidade

Frequecircncia nuacutemero de vezes que o

ciclo se repete em 1 segundo

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Relaccedilotildees de Escala

Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua

vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)

6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm)

Tempo meacutedio de vida

Aproximadamente constante

para todos os mamiacuteferos

14mt m∆ prop

14( ) 241cf m mminus= sdot

Vida meacutedia do animal

Frequecircncia cardiacuteaca

(bpm) e massa em Kg

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o

seu tempo meacutedio de vida

Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor

eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca

11c m

m

f tt

minusprop = ∆∆

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Vida meacutedia = 70anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia =40 anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Vida meacutedia = 25

Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos

Frequecircncia cardiacuteaca=

Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca

O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm

Relaccedilotildees de Escala

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Introduccedilatildeo

bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo

extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia

bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos

fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da

quiacutemica

bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees

quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Graacuteficos

fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml

tabela

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563

26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500

Construccedilatildeo de Graacuteficos

t y(t)

tabela

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Construccedilatildeo de Graacuteficos

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Graacuteficos

bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma

relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre

grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas

bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo

que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de

variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos

Linear

Logariacutetmica

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Graacuteficos

Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico

bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e

uma legenda que identifique cada tipo de ponto

bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo

bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Graacuteficos

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Graacuteficos

As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam

dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico

A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para

graacuteficos

bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares

bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma

escala logariacutetmica e outra linear

bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Escala Linear

Determinar o passo na direccedilatildeo x xp

Determinar o passo na direccedilatildeo y yp

_ _

x

Maior x Menor xp

pontos

minus=

_ _

y

Maior y Menor yp

pontos

minus=

Usar o inteiro mais proacuteximo

X Y

5 40

8 51

15 62

20 74

23 80

29 98

40

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Construccedilatildeo de escala logariacutetmica

bull Escala logariacutetmica

Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam

valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10

[4 22 78 193 437]

4 22 78 193

10log (440) 264

264053

5 5

m

m

= =

= =

0 053

1

10 sdot

=

1 053

339

10 sdot

=

2 053

1148

10 sdot

=

3 053

389

10 sdot

=

4 053

1318

10 sdot

=

5 053

4467

10 sdot

=

0 1 2 3 4 5

Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo

de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo

= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que

do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das

esferas o fator de escala L seraacute 3

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico l

Comprimento caracteriacutestico lrsquo

Comprimento caracteriacutestico r

Comprimento caracteriacutestico rrsquo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Comprimento caracteriacutestico l

Aacuterea ~ l2

Volume ~ l3

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Fator de escala e tamanho de objetos regulares

R

3

2

4

3

4

V R

A R

π

π

=

=

Como escrever V em funccedilatildeo de A

3

2

V L

A L

=

=

L

R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera

L eacute o comprimento

caracteriacutestico do cubo

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Fator de escala e tamanho de objetos

As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos

caracteriacutesticos escolhidos

Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico

3~V h

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

2 2

3 3

2

Aacuterea ~ ou ~

Volume ~ ou V ~

~

A d A h

V d h

V h d

rArr

rArr

sdot

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Escala na biologia

bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala

bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees

bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea

superficial de seu volume e de sua massa

Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)

3

m kg

V m

m V

ρ

ρ

=

= sdot

3

3

13

4

3

(para esfera homogecircnea =constante)

m R

m R

R m

ρ π

ρ

= sdot

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante

3m

m V m lV

ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que

3 34

3

mm R m R

Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop

Mais massa na parte central que na periferia

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Mais massa na periferia que na parte central

Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel

Mais massa na parte central que na periferia

ρ deve diminuir com R

ρ deve aumentar com R

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop

3 34 ( )

3

mm R R m R

Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop

o expoente de R eacute menor que 3

o expoente de R eacute maior que 3

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Crescimento de uma ceacutelula

Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e

maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r

colapsaraacute se

bull r lt rlt

bull r gt rgt

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos

animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para

que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso

suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute

proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento

caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes

mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes

para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal

menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia

dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo

proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo

F

A

c

FF A

Aσ σ= = sdot

2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado

A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes

A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma

forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas

atividades desses seres vivos

bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja

m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito

provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza

mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo

Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes

Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu

tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio

organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee

De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois

seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as

formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas

Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso

Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

Desenvolver regras utilizando o conceito de

escala para explicar a forma e o tamanho desses

organismos enquanto suas proporccedilotildees se

alteram tem como ponto de partida as regras de

Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em

folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a

inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34

34

34( ) (Lei de Potecircncia)

Taxa Calor Massa

T m m

prop

prop

Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica

hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d

Formas e Tamanhos - Elasticidade

Moacutedulo de Elasticidade

(resistecircncia agrave compressatildeo)

E

m

Vρ

=

=

23~crh d

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

A altura critica eacute proporcional (~)

a d elevado a 23

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

13

2 3085cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior

sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso

Para a estabilidade elaacutestica do cilindro

considerado a altura criacutetica do cilindro

eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave

potecircncia 23

23~h d

13

2 3079cr

Eh d

ρ =

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado

O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e

comprimento l sustentado em seus extremos

Assim

23aproximadamente constante para qualquer animal

l

d=

23 23 23

elefanterato rinoceronte

rato rinoceronte elefante

ll l

d d d≃ ≃

23~h d

2~V l dsdot

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes

23

l

d

143

23

23

143 (valor meacutedio)

143

l

d

l d

=

= sdot

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Natildeo pode existir na natureza

23143 (valor meacutedio)

l

d=

23

23343 143

055= gt

Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor

23

32

32

143

143

23204

143

ld

ld

d m

=

=

= =

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Proporccedilotildees oacutetimas

23143 (valor meacutedio)

l

d=

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

Forma e tamanho

A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes

sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo

compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no

chatildeo

Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram

na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute

uma fraccedilatildeo de M

Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima

l αM14 d α M38

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l

2 2~ ~m

m V V l d m l dV

ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot

23

23 32 2 4 14

32 23 2 83 38

143 (valor meacutedio)

~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~

~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~

l

d

l d m l l m l l m

d l m d d m d d m

=

rArr sdot rArr

rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l