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Sessão Técnica de Sistemas Dinâmicos
Coordenação: Claudio Aguinaldo Buzzi
Programação
Qua 25/04 Qui 26/04 Sex 27/04
14h00-14h20 P. R. Silva A. J. Santana T. Carvalho
14h20-14h40 L. F. Martins T. Ferraiol T. Rodrigues
14h40-15h00 C. Pessoa P. H. Baptistelli P. Cardin
15h00-15h20 W. Pereira L. G. Oliveira M. Dumett
15h20-15h30
Resumos
Tıtulo: Structural stability of constrained systems on compact manifold.
Autor: Paulo Ricardo da Silva.
Resumo: We consider constrained systems and impasse regular regularcurves on S
2. We study the structural stability and present the Peixoto’stheorem for constrained systems on S
2. Moreover we make a global analysisof the systems
A(x).x = F (x), x ∈ IR3, A ∈ M(3), F : IR3 → IR3
in the Poicare ball (i.e. in the compactification of IR3 with the sphere S2 of
the infinity)
Tıtulo: Folheacoes singulares de dimensao 2 construıdas a partir de
retratos de fase de campos de vetores.
Autor: Luciana de Fatima Martins.
Resumo: Nesta apresentacao exibiremos um metodo de construcao de fo-lheacoes singulares no toro solido S1xD2 a partir de campos de vetores X
em D2 dados por seu retrato de fase. Algumas das folheacoes sao obtidasfazendo a suspensao do campo X . Uma tal folheacao F tem a propriedadeque as folhas da folheacao de dimensao 1 obtida nos discos Σ = {θ} × D2
fazendo a intersecao das folhas de F com Σ sao precisamente as orbitas deX . Reciprocamente, para uma famılia de folheacoes singulares em S1xD2,mostramos que as folheacoes induzidas nos discos Σ como acima (ou em umaperturbacao do disco) sao orientaveis e bem caracterizadas.
Tıtulo: Ciclicidade de graficos em do tipo Lips em duas e tres dimensoes.
Autor: Claudio Gomes Pessoa.
Resumo: Nesta apresentacao falaremos dos resultados conhecidos envol-vendo bifurcacoes de uma classe de graficos, chamados de lips (i.e. labios),que ocorrem genericamente em famılias infinitamente diferenciaveis a tresparametros de campos de vetores em variedades de dimensao dois. Os labiosconsistem de um conjunto de graficos formados por duas selas-no, uma atra-tora e outra repulsora, conectadas pelas separatrizes dos setores hiperbolicose por orbitas comuns aos interiores dos setores nodais das selas-no. Tambemdiscutiresmos as possıveis extensoes deste problema para dimensao tres.
On the reversible quadratic polynomial vector fields on S2
Claudio Pessoa, Weber F. Pereira,Depto de Matematica, IBILCE, UNESP,15054-000, Sao Jose do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract: In this work, we study a class of quadratic reversible polynomial vector fields on S2
with (3, 2)-type reversibility. We classify all isolated singularities, symmetric and nonsymmetric,and we prove the nonexistence of limit cycles for this class. Our study provides tools to determinethe phase portrait for these vector fields.
Conjugação topológica de fluxos em sistemas de controle e grupos deLie
Alexandre J. Santana (e-mail: [email protected])Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, Brasil
1 ResumoConsidere dois fluxos Φ e Ψ em espaços topológicos M e N . Num contexto geral, conjugação topológica visa esta-belecer condições para estes fluxos no intuito de encontrar homeomorfismos entre M e N que levam Φ-trajetórias emΨ-trajetórias, preservando a parametrização pelo tempo. Neste contexto, o principal objeto desta palestra é a conjuga-ção topológica de fluxos. Em particular, nós generalizamos o resultado clássico que, no caso de hiperbolicidade, duasequações diferenciais autônomas lineares são topologicamente conjugadas, se e só se as dimensões dos subespaços está-veis coincidem. Para provar este resultado, a existência de domínios fundamentais homeomorfos, um para cada fluxo, éessencial para construir a conjugação.
Nesta palestra nós primeiro falaremos de fluxos de sistemas de controle afim em Rd, depois de fluxos de camposvetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie.
No caso de sistemas de controle, nós consideramos sistemas da forma
x = A0x+ a0 +
m∑i=1
ui(t)[Aix+ ai], u = (u1, ..., um) ∈ U , (1)
onde Ai ∈ gl(d,R), ai ∈ Rd, e U := {u ∈ L∞(R,Rm), u(t) ∈ U para todo t ∈ R} é o conjunto das funções de controleadimissíveis com valores no conjunto U ∈ Rm. Nós denotamos as soluções com condição inicial x(0) = x0 ∈ Rd porψ(t, x0, u), t ∈ R.
O sistema de controle (1), chamado sistema de controle afim, define um sistema dinâmico (ou fluxo) em U × Rd por
Ψ : R× U × Rd → U × Rd, Ψt(u, x) = (θtu, ψ(t, x, u)), (2)
onde (θtu)(s) := u(t + s), s ∈ R, é o shift em U . De fato, Ψ satisfaz as propriedades de fluxo Ψ0 = id e Ψt+s =Ψt ◦ Ψs para t, s ∈ R. Se U é compacto e convexo, o conjunto U de funções de controle adimissíveis é um espaçometrizável compacto com a topologia fraco∗ de L∞ e Ψ é um fluxo produto contínuo. Neste trabalho, nós assumimosque conjugações topológicas de tais fluxos respeitem a estrutura produto; i.e., também para conjugações topológicasnos fibrados vetoriais U × Rd a primeira componente deve ser independente da segunda componente. Com isto nósestudamos, no contexto mais geral de fluxo afim em fibrados vetoriais, a existência de soluções únicas. Como resultadosprincipais desta parte, nós provamos que fluxos lineares são topologicamente conjugados a sua parte linear, com umahipótese adicional de continuidade. Em particular, usando a classificação de sistemas de controles lineares nós obtemosuma classificação de sistemas de controles afins.
Por fim trataremos de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie. Lembramos que no casoclássico de sistemas dinâmicos, os fluxos são dados por matrizes em gl(d,R). Sabendo que este conjunto é a álgebra deLie do grupo de Lie Gl(d,R) e sabendo da relação entre elementos hiperbólicos e a decomposição de Iwasawa de gruposde Lie semissimples, é natural pensar no resultado acima no caso de grupos de Lie semissimples. Considerando o grupode Lie semissimples G, o principal resultado desta parte da palestra estabelece que os fluxos em G de campos nilpotentesou hiperbólicos são topologicamente conjugados. A técnica usada na demonstração consiste em mostrar a existência deseções transversais em G, associadas a tais campos. Finalmente, nós consideramos o produto semidireto G = H o V ,onde H é um grupo de Lie arbitrário e V é isomorfo a Rn. Nós mostramos que a conjugação topológica de fluxos em G,induzidos por elementos (A, b) da álgebra de Lie g = ho V , não depende de b.
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Expoentes de Lyapunov para Fibrados Principais e Associados
Thiago Ferraiol (e-mail: [email protected])Universidade Estadual de Maringá
Resumo
Nesta apresentação pretendo mostrar uma generalização dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares para uma classede fluxos em fibrados principais, conforme proposta em [2]. O contexto será o de fluxo de endomorfismos de um G-fibrado principal, onde G é um grupo de Lie semissimples, e de seus fluxos induzidos nos fibrados Flag associados.O caso clássico de expoentes em fibrados vetoriais se recupera desta generalização tomando o fluxo induzido no fibradoFlag cuja fibra é o espaço projetivo. Em [3], mostra-se a versão do teorema ergódico multiplicativo para o nosso contexto,além de uma propriedade de estabilidade estrutural a partir da relação entre os espectros de Morse e de Lyapunov.
Além dos resultados já citados acima, pretendo mostrar como essa estabilidade estrutural pode fornecer condiçõespara a regularidade dos expoentes de Lyapunov por pequenas perturbações do fluxo, generalizando, por exemplo, oresultado apresentado em [1], que fornece a analiticidade dos expoentes de Lyapunov para uma classe de fluxos emfibrados vetoriais que deixam um cone invariante.
Palavras-chave: Expoentes de Lyapunov, Fibrados Principais, Fibrados Flag.
Referências[1] David Ruelle. Analycity Properties of the Characteristic Exponents of Random Matrix Products Advances in Mathe-
matics, v.32, p.68-80, 1979.
[2] Lucas Seco and Luiz San Martin. Morse and Lyapunov spectra and dynamics on flag bundles, Ergodic Theory andDynamical Systems, v.26, p.923-947, 2009.
[3] Luciana Alves and Luiz San Martin. Multiplicative Ergodic Theorem on Flag Bundles for Flows on Principal Bundlesof Reductive Lie Groups. Artigo submetido, 2011.
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Teoria invariante no estudo de campos de vetores
reversíveis-equivariantes
Patricia Hernandes Baptistelli
Universidade Estadual de Maringá
Maringá, PR
Resumo
A presença de simetrias e antissimetrias em um sistema dinâmico pode levar ao apare-cimento de soluções múltiplas, além de afetar a genericidade da ocorrência de bifurcaçõeslocais. Simetrias e antissimetrias em um sistema de equações diferenciais são transformaçõesdo retrato de fase que levam trajetórias sobre outras trajetórias, incluindo uma reversãono tempo para as antissimetrias. Quando ambas ocorrem simultaneamente, o sistema échamado reversível-equivariante e o conjunto Γ de todos estes elementos tem estrutura degrupo. Neste caso, a existência de um homomorfismo σ : Γ → {−1, 1} implica na existênciade um subgrupo normal de índice 2, formado apenas pelas simetrias de Γ e denotado porΓ+. Neste trabalho, usamos ferramentas da teoria invariante algébrica para obter a formageral de campos de vetores Γ−reversíveis-equivariantes a partir da teoria invariante para Γ+.Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com Miriam Manoel (ICMC/USP).
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Expansões Periódicas de Frações Contínuas e Equações Quadráticas
Leonardo G. de Oliveira ([email protected])Túlio O. Carvalho ([email protected])
Departamento de Matemática - Universidade Estadual de Londrina,CP 6001, Londrina, PR, 86051-990
23 de março de 2012
Resumo
Neste artigo, expomos brevemente parte da teoria sobre frações contínuas, estudo que o primeiro autor faz dentro desuas atividades do PICME. Distinguimos o comportamento das expansões em frações contínuas de números racionais eirracionais e suas diferenças quanto à unicidade, por exemplo. A aplicação de Gauss é usada para demonstrar que todaexpansão periódica ou pré-periódica representa um número irracional que é raiz de uma equação do segundo grau.Palavras-chave: Frações contínuas, aplicação de Gauss.
1 Introdução
Este estudo se baseou grandemente na monografia [1] e também em [2], onde se pode encontrar as demonstrações dosteoremas que não são apresentadas.
Definição 1. Dado x 2 R, uma sequência de naturais (ak
)
k�1 (finita ou infinita) que satisfaça
x = a0 +1
a1 +1
a2 +1
. . .+
1
a
k�1 +1
a
k
+
1
. . .
é chamada expansão em frações contínuas de x e representada como x = a0 + [a1, a2, · · · , ak�1, ak, · · · ]
Definição 2. Para a0, a1, a2, · · · , an, · · · 2 N, os convergentesp
n
q
n
, n 2 N da fração contínua são dados por
[a0; a1, a2, · · · , an] = a0 +1
a1 +1
a2 +1
. . .+
1
a
n
=
p
n
q
n
2 Q .
Quando a0 = 0, escreve-se simplesmente [a1, a2, · · · , an] =p
n
q
n
. Note que p0 = a0, q0 = 1, p1 = a0a1 + 1 e
q1 = a1. Convencionamos q�1 = 0 e p�1 = 1. Denominamos cada fraçãop
k
q
k
como convergente de x, enquanto cada a
i
é chamado de quociente de x.O estudo das frações contínuas pode seguir por muitos rumos. Nesse texto veremos como se comportam expansões de
racionais e de irracionais e, com o estudo sobre as sequências dos convergentes de expansões em frações contínuas, con-cluiremos que ter expansão periódica ou pré-periódica e ser raiz de uma equação quadrática são condições equivalentes.
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Tıtulo: Campos de vetores suaves por partes em R2− A singularidade
Dobra-Sela.
Autor: Tiago de Carvalho.
Resumo: Nesta apresentacao trataremos da analise de bifurcacoes locaisnuma vizinhanca de uma singularidade tıpica de campos de vetores suavespor partes em IR2. Nosso principal objetivo e descrever o desdobramentoda singularidade dobra-sela atraves da variacao de tres parametros. Formasnormais e diagramas de bifurcacao serao exibidos.
Tıtulo: O Fractal de Rauzy.
Autores: Prof.Dr. Jefferson L.R.Bastos UNESP (Campus: Sao Jose do RioPreto) e Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues - UNESP (Campus:Bauru).
Resumo: O Fractal de Rauzy e um subconjunto do plano complexo que foidefinido por G. Rauzy em 1982. Este assunto tem aplicacoes em diversasareas: sistemas dinamicos, teoria dos numeros, teoria dos azulejamentos,sistemas de numeracao, entre outras.
O objetivo desta palestra e apresentar um metodo para a construcao doFractal de Rauzy, suas propriedades topologicas, geometricas e aritmeticas.Tambem mostrar a relacao entre a fronteira deste Fractal e as propriedadesaritmeticas e algebrias da α-representacao de um numero complexo.
Tıtulo: Problemas de perturbacao singular com descontinuidades.
Autor: Pedro Toniol Cardin.
Resumo: Neste trabalho consideramos problemas de perturbacao singular,tambem conhecidos como sistemas lento–rapido, para o qual o fluxo lento edado por um sistema do tipo Filippov (sistemas que apresentam desconti-nuidades no lado direito). Investigamos sobre quais condicoes os resultadosda Teoria Geometrica das Perturbacoes Singulares obtidos em [1] continuamvalidos para estes tipos de sistemas. Apresentamos alguns resultados nestadirecao.
Co–autores: Marco Antonio Teixeira e Paulo Ricardo da Silva.
Bibliografia
[1] Fenichel, N., Geometric singular perturbation theory for ordinary dif-ferential equations, J. Diff. Equations 31 (1979), 53–98.
[2] Filippov, A. F., Differential Equations with Discontinuous RighthandSides, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Aca-demic Publishers, Dordrecht (1988).
Tıtulo: Caos estavel no ciclo biotico do ferro da pirita pela bacteriaAcidithiobacillus ferrooxidans.
Autores: Miguel Dumett (UFPR, Depto. de Matematica,[email protected])
James Keener (University of Utah, Dept. of Mathematics).
Resumo: O ciclo do ferro da pirita e uma colecao de reacoes quımicas queproduz acido sulfurico no meio (pH ! 1) na presenca de agua e oxigenio. Abacteria Acidithiobacillus ferrooxidans acelera um milhao de vezes a oxidacaode ıon ferroso para ıon ferrico, utilizando o eletron tomado para gerar aguadentro de seu citoplasma e para produzir ATP. Tem sido observadas os-cilacoes no pH e na populacao dessa bacteria por diversos autores. Pro-pomos um modelo de sistemas dinamicos que trata de explicar a presencade solucoes periodicas sem introduzir variacoes sazonais de agua e oxigenio.As velocidades de reacao, assim como a dinamica da populacao da bacteria,foram tomadas da literatura existente em microbiologia. Encontram-se bi-furcacoes de Hopf, homoclınicas, SNP e de duplo perıodo, assim como apresenca de orbitas periodicas estaveis e caos estavel para uma faixa de va-lores do parametro de metabolismo da bacteria. As implicacoes biologicasdisto permitem considerar a possibilidade de que a bacteria sobreviva numestado em que produza menos acido.
