Universidade Federal da Bahia -UFBAInstituto de Matemática - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMATDissertação de Mestrado

Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sobInvoluções orientadas

Edward Landi Tonucci

Salvador-BahiaAbril de 2013

Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sobInvoluções Orientadas

Edward Landi Tonucci

Dissertação de Mestrado apresentada aoColegiado da Pós-Graduação em Matemática daUniversidade Federal da Bahia como requisitoparcial para obtenção do título de Mestre emMatemática.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit CorrêaLobão.

Salvador-BahiaAbril de 2013

Tonucci, Edward Landi, 1988Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob Involuções Orien-

tadas / Edward Landi Tonucci. – Salvador: UFBA, 2013.69 f. : il.Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão.Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2013.Referências bibliográficas.1. Anéis (Álgebra). 2. Anéis de Grupo. 3. Teoria de Grupos. I.

Petit Lobão, Thierry. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto deMatemática. III. Título.

CDU : 512.552.7

Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sobInvoluções Orientadas

Edward Landi Tonucci

Dissertação de Mestrado apresentada aoColegiado da Pós-Graduação em Matemática daUniversidade Federal da Bahia como requisitoparcial para obtenção do título de Mestre emMatemática, aprovada em 19 de Abril de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão (Orientador)UFBA

Profa. Dra. Manuela da Silva SouzaUNICAMP

Profa. Dra. Paula Murgel VelosoUFF

Aos meus pais, Cláudio eRita, minha companheiraJacqueline e meus irmãosJoão Paulo e Caroline.

Agradecimentos

Primeiro, agradeço imensamente à minha família por todo apoio moral e finan-ceiro, pois sem este tenho certeza que nunca alcançaria o nível intelectual, acadêmico eprofissional no qual me encontro. Em especial, agradeço muito aos meus pais Cláudio eRita por todo amor, carinho, incentivo e educação moral, pois cada um desses detalhesajudou a construir minha personalidade e a pessoa que sou. Agradeço também aos meusirmãos, João Paulo e Caroline, e aos meus primos pelos quais possuo tanto afeto, portodo o carinho, amizade e diversão que me proporcionaram desde a minha infância até opresente momento.

Agradeço à minha companheira Jacqueline por todo carinho, amor, confiança,companheirismo e por estar sempre ao meu lado me ajudando a passar por todos osmomentos difíceis que apareceram nesta jornada, incentivando e apoiando as decisõesimportantes que tive que tomar após iniciar minha carreira acadêmica, além de ser umapessoa excepcional com quem posso dividir meus desejos e gostos.

Agradeço aos meus amigos, ex-colegas de graduação e mestrado pelos bons mo-mentos que passamos estudando e por ajudarem a me divertir e distrair nos momentosde descanso. Agradeço em especial aos amigos Ângela Soldatelli, João Paulo Cirineu eMarcus Morro, por toda a disposição e ajuda prestada neste trabalho e à Elen Deise porter sido companheira durante toda a jornada.

Agradeço muito também ao meu orientador, Thierry Petit Lobão, tanto pela suadisposição, dedicação e prestatividade quanto pelo seu constante incentivo e profissiona-lismo durante o período da pesquisa orientada do mestrado e por sua disposição para meorientar no doutorado.

Agradeço às professoras Manuela Souza e Paula Veloso por aceitarem participarda comissão julgadora de minha dissertação e me darem a grande honra de tê-los comomembros da banca examinadora de minha defesa.

Agradeço a todos os professores do DCE-UESB e IM-UFBA que contribuíramefetivamente para minha formação como matemático. Agradeço ainda mais aos que con-tribuíram para minha formação não somente como matemático, mas também como serhumano. Agradecimentos especiais aos professores Adelzito, Acioly, Claudinei, Clênia,Débora, Eridan, Flaulles, Júlio, Márcio, Reginaldo, Tânia e ao meu orientador Augusto,por seus exemplos como profissionais e ótimos professores.

Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durantetodo o meu mestrado.

“Sonho que se sonha só é só um sonho quese sonha só. Mas sonho que se sonha juntoé realidade.”

–John Lenon, traduzido por Raul Seixas

Resumo

O presente trabalho exibirá a estrutura dos grupos tais que o conjunto dos ele-mentos simétricos sob uma involução orientada, em um anel de grupo por ele gerado, écomutativo, e, de forma original, estenderá tal resultado quando o anel é um corpo decaracterística 0 e os simétricos satisfazem alguma propriedade de Lie. Finalmente, serãocaracterizados os grupos tais que os simétricos em relação à involução orientada indu-zida pela involução clássica, e o anel é um corpo, satisfazem alguma propriedade de Lie,generalizando, quase que completamente, os resultados anteriores. Serão apresentadastambém condições para que as propriedades de Lie encontradas nos simétricos possam serestendidas para todo o anel de grupo. Além disso, será mostrado que algumas hipótesesdesses últimos resultados nunca poderão ser satisfeitas de forma não trivial.

Palavras-chave: Anéis de Grupos; Involuções; Involuções Orientadas; Propriedades deLie.

Abstract

This work will show the structure of groups such that the set of the symmetricelements under an oriented involution, in a group ring generated by this groups, is commu-tative, and extend this result when the ring is a field of characteristic 0 and the symmetricelements satisfy a Lie propertie, which is an original result. Finally, the groups such thatthe symmetric elements under the classical oriented involution, and the ring is a field,satisfy some Lie propertie will be classified, generalizing, almost completely, the resultsabove. It will be also shown conditions to extend the found properties in the symmetricelements to the whole group ring, therefore, we will show that some hypothesis of theselast results will never be satisfied in a non-trivial way.Keywords: Group Rings; Involutions; Oriented Involutions; Lie Properties.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 41.1 Módulos e Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Anéis de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 O Homomorfismo de Aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 O Centro de um Anel de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Involuções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Involuções em Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Involuções em Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Os conjuntos (RG)σϕ e (RG)−σϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Propriedades de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Comutatividade de (RG)σϕ 22

3 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0 293.1 Involuções Orientadas em Q8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Propriedades de Lie de (KG)σ∗ e (KG)−σ∗ 434.1 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Extensão das propriedades de Lie dos elementos simétricos para o anel de

grupo KG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Grupos sem Elementos de Ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.2 Grupos que não contêm Q8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Propriedades de Lie dos elementos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Conclusão 64

Referências 65

Introdução

Dados um grupo G e um anel comutativo R, podemos tomar o R-módulo livre-mente gerado por G e definir um novo anel chamado anel de grupo de G sobre R. Oestudo dessa nova estrutura possui uma íntima relação com as teorias das estruturas fun-damentais de grupos e anéis; portanto tem se desenvolvido em mão dupla, ou seja, comresultados da teoria dos anéis de grupos, extraem-se propriedades dos grupos e anéis, evice-versa.

Dado uma involução ϕ em um grupo G, podemos induzir uma involução no anelde grupo RG. Podemos observar, nas referências dessa dissertação, que muitos autorestêm estudado o conjunto (RG)ϕ = {α ∈ RG : ϕ(α) = α}, dos elementos simétricos, paraconseguir as informações supracitadas sobre as estruturas fundamentais. O estudo doconjunto (RG)ϕ é um exemplo de como funciona essa via de mão dupla. A partir deuma involução ϕ no grupo G, construímos uma involução no anel de grupo; estudamos aspropriedades dessa nova involução em RG e daí podemos fazer diversas afirmações sobreo grupo e a involução ϕ.

Definindo o colchete de Lie como [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ RG, podemos facil-mente verificar que um subconjunto A de RG é comutativo se, e somente se, [x, y] =0, ∀x, y ∈ A. Generalizando o conceito de comutatividade, temos que um subcon-junto A ⊂ RG é dito Lie n-Engel, se [x, y, y, . . . , y︸ ︷︷ ︸

n vezes] = 0, ∀x, y ∈ A, e Lie nilpotente

se [x1, x2, . . . , xn] = 0, ∀xi ∈ A, onde [x1, x2, x3, . . . xn] = [[x1, x2], x3, . . . xn].Para estudar RG utilizando involuções, podemos verificar sob quais condições

em G, R ou ϕ, podemos estender certas propriedades de (RG)ϕ para todo o anel RG.Algumas dessas condições podem ser encontradas, por exemplo, em [JM06, L00, LSS09].Outra linha de pesquisa é tentar descrever o grupo G quando (RG)ϕ satisfaz algumadas identidades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência ou comutatividade). Tais resultadospodem ser encontrados, por exemplo, em [JM06, L00].

Um problema bastante difícil e extremamente importante de se tratar em anéisde grupos é descrever o conjunto das unidades desse anel. Novamente, podemos verificarem [JM06] a eficiência do estudo das involuções para resolver os mais diversos problemasrelacionados aos anéis de grupo.

S. P. Novikov em [N70] introduziu, a partir de uma orientação σ de G (homo-

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morfismo de G em C2), uma nova involução σϕ em RG chamada involução orientada e,naturalmente, a partir disso vários pesquisadores começaram a estudar as propriedadesdos elementos simétricos sob esse novo tipo de involução. Os mesmos métodos de seresolver problemas utilizando involuções podem ser utilizados para as involuções orienta-das. Nesse sentido, podemos buscar condições que o grupo G deva satisfazer para que oconjunto (RG)σϕ satisfaça alguma identidade de Lie, ou ainda, sob quais condições taispropriedades podem ser estendidas para todo o RG.

Nosso trabalho será estudar condições que o grupo deve possuir para que o con-junto dos elementos simétricos sob uma involução orientada satisfaça alguma das identi-dades de Lie, e, em alguns casos, mostrar condições para que a mesma propriedade nossimétricos possa ser estendida para todo o anel de grupo.

No Capítulo 1, introduziremos os conceitos básicos e resultados fundamentaispara o entendimento dos resultados.

No Capítulo 2, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que oconjunto (RG)σϕ seja comutativo. Além disso, particularizaremos o resultado para o casoquando ϕ = ∗, a involução clássica.

No Capítulo 3, mostraremos que se, K é um corpo de característica 0 e (KG)σϕé Lie n-Engel, então (KG)σϕ é comutativo, além de apresentar algumas consequênciasdesse resultado.

No Capítulo 4, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que oconjunto (RG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, assim como exibiremos algumascondições para que se tais propriedades forem satisfeitas em (RG)σ∗ ou (RG)−σ∗, tambémo sejam em todo o anel de grupo.

Capítulo 1

Preliminares

Neste primeiro capítulo, apresentaremos os conceitos elementares que serão defundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Todos os anéis serãocomutativos, tomados com unidade e denotados por R, exceto quando se tratar especifi-camente de um corpo, o qual denotaremos por K.

1.1 Módulos e Álgebras

Esta seção está baseada em [Po72].

Definição 1.1. Seja R um anel. Um grupo abeliano (M,+) é chamado de um R-módulo(à esquerda) se, para cada r ∈ R e cada m ∈ M , corresponde um elemento rm ∈ M talque:

(i) (r + s)m = rm + sm;

(ii) r(m + n) = rm + rn;

(iii) (rs)m = r(sm);

(iv) 1m = m,

para todos r, s ∈ R, m, n ∈M .

De maneira análoga, podemos definir um R-módulo à direita. Utilizaremos aexpressão R-módulo para nos referirmos a um R-módulo à esquerda.

Exemplo 1.2. Todo espaço vetorial sobre um corpo K é um K-módulo.

Exemplo 1.3. Todo grupo abeliano G pode ser considerado como um módulo sobre o anelZ definindo-se o produto de um inteiro n por um elemento g ∈ G por:

ng =

g + g + . . .+ g(n vezes) , se n > 0;(−g) + (−g) + . . .+ (−g)(|n| vezes) , se n < 0;0 , se n = 0.

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Exemplo 1.4. Se I for um ideal de um anel R, então I admite uma estrutura de R-módulo com a soma induzida pela soma de R e a multiplicação por escalares definida pelamultiplicação de R.

Exemplo 1.5. Seja G um grupo abeliano. Indicaremos por End(G) o conjunto de todosos endomorfismos de G. Neste conjunto, pode-se induzir uma estrutura de anel definindo-se a soma e produto de dois endomorfismos f, g ∈ End(G) por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), e(f.g)(x) = f(g(x)), ∀x ∈ G.

Pode-se definir uma estrutura de End(G)-módulo em G associando, a cada par(f, x) ∈ End(G)×G, o elemento f.x = f(x) ∈ G.

Definição 1.6. Sejam R um anel e I um conjunto de índices. Dizemos que uma sequência(λi)i∈I de elementos de R é quase nula se apenas uma quantidade finita de elementosda sequência é não-nula.

Definição 1.7. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M é ditoum conjunto gerador de M (ou dizemos que {xi}i∈I gera M) se, para todo m ∈ M ,existe uma sequência quase nula (λi)i∈I de elementos de R tal que m =

∑i∈I

λixi. Se o

conjunto {xi}i∈I é finito, dizemos que M é finitamente gerado.

Definição 1.8. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M diz-se linearmente independente (ou livre) se para toda sequência quase nula (λi)i∈I deelementos de R tem-se que

∑i∈I

λixi = 0 implica que λi = 0 ∀i ∈ I.

Definição 1.9. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M diz-seuma R-base de M se {xi}i∈I é um conjunto linearmente independente e gera M . UmR-módulo é chamado de livre se possui uma R-base.

Neste ponto, podemos observar que alguns resultados válidos para espaços veto-riais não necessariamente o são para módulos.

(i) Em geral não é verdade que todo subconjunto linearmente independente de ummódulo livre possa ser ampliado a uma base;

(ii) Em geral é falso que todo conjunto gerador contém uma base;

(iii) Tanto para espaços vetoriais como para módulos, se, numa família de elementos{xi}i∈I de um R-módulo M , um deles é combinação linear dos outros, a família nãoé livre. A recíproca sempre é verdadeira no caso dos espaços vetorias, porém podenão ser para módulos;

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(iv) Nem sempre um submódulo de um módulo livre é livre;

(v) Sejam M um A-módulo livre e S ⊂M , com S 6= M , um submódulo, também livre.Nem sempre é verdade que o número de elementos de uma base de S é menor queo número de elementos de uma base de M ;

(vi) Também não é válido, em geral, que duas bases de um mesmo R-módulo livre Mpossuam a mesma cardinalidade.

Com o teorema a seguir, teremos condições suficientes para conseguirmos umresultado positivo para o item (vi).

Teorema 1.10. Sejam R um anel comutativo eM um R-módulo livre finitamente gerado.Então quaisquer duas R-bases de M possuem o mesmo número de elementos.

Definição 1.11. Seja M um R-módulo. Se M é livre e todas as R-bases de M possuemo mesmo número de elementos, a cardinalidade de uma R-base é chamada de posto deM .

Devido à definição acima, temos que o posto deM está bem definido seM estivernas condições do Teorema 1.10.

Definição 1.12. Seja R um anel comutativo. Um R-módulo M é chamado de uma A-álgebra (associativa) se existe uma multiplicação definida em M de tal maneira que coma adição em M e esta multiplicação, M é um anel e para todos r ∈ R,m, n ∈M é válidaa seguinte condição: r(mn) = (rm)n = m(rn). Uma A-álgebra é dita comutativa se M éum anel comutativo.

Exemplo 1.13. Seja R um anel comutativo. O conjunto Mn(R) das matrizes de ordemn com coeficientes em R com as operações de adição e multiplicação usuais é uma R-álgebra não comutativa. O conjunto UTn(R) das matrizes triangulares superiores é umasubálgebra de Mn(R).

Exemplo 1.14. Todo anel comutativo R é uma álgebra comutativa sobre si próprio.

1.2 Anéis de Grupo

Esta seção está baseada em [PS02].

Definição 1.15. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Denote por RG o conjuntode todas as combinações lineares formais da forma

α =∑g∈G

agg,

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onde ag ∈ R e {ag}g∈G é quase nula. O conjunto (RG,+, ·) dotado das operações de somae produto definido da forma a seguir é um anel, chamado anel de grupo de G sobre R:(∑

g∈G

agg

)+

(∑g∈G

bgg

)=∑g∈G

(ag + bg)g;

(∑g∈G

agg

)·

(∑g∈G

bgg

)=∑g,h∈G

(agbh)(gh).

Note que RG é um anel com identidade, onde 1RG = 1R1G, que, de agora emdiante, denotaremos por 1.

Dado α =∑g∈G

αgg ∈ RG, chamamos de suporte de α, supp(α), o conjuto dos

elementos g ∈ G que aparecem na composição de α de forma não trivial, ou seja, αg 6= 0;em outras palavras, supp(α) = {g ∈ G : αg 6= 0}.

Podemos também definir um produto por escalares do anel R da seguinte maneira

b ·

(∑g∈G

agg

)=∑g∈G

bagg, ∀b ∈ R,

e facilmente verificamos que RG é um R-módulo. E, se R é comutativo, segue-se que RGé uma álgebra sobre R.

Exemplo 1.16. Sejam G = C∞ ' {. . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . .} e R = R, o corpo dosnúmeros reais. Temos que RG = RC∞ é isomorfo ao anel dos polinômios de Laurent.

Observe também que se R é comutativo e G é finito, pelo Teorema 1.10, temosque posto de RG está bem definido e posto(RG) = |G|. Utilizando o monomorfismo deinclusão i : R → RG definido por i(r) 7→ r1G temos naturalmente que RG contém umsubanel isomorfo a R, o qual frequentemente trataremos como o próprio R.

1.2.1 O Homomorfismo de Aumento

A próxima proposição introduzirá um homomorfismo de anéis de forma bastantenatural de RG em R.

Proposição 1.17. Seja a função ε : RG→ R dada por

ε

(∑g∈G

agg

)=∑g∈G

ag.

Esta função é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento deRG. Neste caso, denotaremos seu núcleo por ∆(G) e o chamaremos de ideal de aumentode RG.

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Demonstração. Sejam∑g∈G

agg,∑g∈G

bgg ∈ RG. Então

(i)

ε

(∑g∈G

agg +∑g∈G

bgg

)= ε

(∑g∈G

(ag + bg)g

)

=∑g∈G

(ag + bg)

=∑g∈G

ag +∑g∈G

bg

= ε

(∑g∈G

agg

)+ ε

(∑g∈G

bgg

);

(ii)

ε

(∑g∈G

agg ·∑g∈G

bgg

)= ε

(∑g,h∈G

(agbh)gh

)

=∑g,h∈G

(agbh)

=∑g∈G

ag.∑g∈G

bg

= ε

(∑g∈G

agg

).ε

(∑g∈G

bgg

).

Proposição 1.18 (Proposição 3.2.10, [PS02]). O conjunto {g − 1; g ∈ G, g 6= 1} é umaR-base de ∆(G) sobre R.

A proposição anterior nos garante então que podemos escrever

∆(G) =

{∑g∈G

αg(g − 1); g 6= 1, αg ∈ R

}.

Definição 1.19. Seja H < G. Denotaremos por ∆(G,H) o ideal à esquerda de RGgerado pelo conjunto {h− 1; h ∈ H}, isto é,

∆(G,H) =

{∑h∈H

αh(h− 1);αh ∈ RG

}.

Observe que na definição de ∆(G,H) os αg são tomados em RG, ao passo quena definição de ∆(G) são tomados em R. Note também que, pela definição acima, o ideal∆(G,G) coincide com ∆(G).

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Note que, se N /G, uma vez que (n− 1)g = g(g−1ng− 1) e g(n− 1) = (gng−1 −1)g, ∀n ∈ N e g ∈ G, temos que ∆(G,N) é um ideal bilateral e pode ser descrito como

∆(G,N) =

{∑n∈N

(n− 1)αn; αn ∈ RG

}.

Além disso, podemos visualizar ∆(G,N) de uma forma diferente e bastante útil também.ComoN/G, podemos tomar o quocienteG/N e o homomorfismo canônico ψN : G→ G/Ne, assim, definir um homomorfismo de anéis ψN : RG→ R(G/N) da seguinte forma

ψN

(∑g∈G

αgg

)=∑g∈G

αgψN(g).

Proposição 1.20 (Proposição 3.3.4, [PS02]). Sejam N/G e ψN definido da forma acima,então ker(ψN) = ∆(G,N).

1.2.2 O Centro de um Anel de Grupo

Sejam G um grupo e g ∈ G. Definimos a classe de conjugação de g como sendoo conjunto C(g) = {x−1gx|x ∈ G}. Observe que, para todo h ∈ G, h−1C(g)h = C(g).

Definição 1.21. Sejam G um grupo, R um anel comutativo, RG o anel de grupo de Gsobre R e {Ci}i∈I o conjunto das classes de conjugação de G que possuem apenas umnúmero finito de elementos. Para cada i ∈ I, escreva γi =

∑x∈Ci

x ∈ RG. Esses elementos

são chamados de somas de classes de G sobre R.

Teorema 1.22 (Teorema 3.6.2, [PS02]). Sejam G um grupo e R um anel comutativo.Então o conjunto {γi}i∈I de todas as somas de classes de G sobre R é uma R-base deZ(RG), onde Z(RG) = {α ∈ RG;αβ = βα, ∀β ∈ RG} é o centro de RG.

1.3 Involuções

Nesta seção, introduziremos os conceitos e alguns resultados de involuções emgrupos e involuções em anéis para posteriormente definirmos a principal ferramenta destetrabalho, involuções orientadas em anéis de grupo.

1.3.1 Involuções em Grupos

Definição 1.23. Seja G um grupo. Uma aplicação ϕ : G→ G é dita uma involução degrupos, ou simplesmente involução, se, para todos g, h ∈ G, temos que,

(i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g);

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(ii) ϕ(ϕ(g)) = g.

Note que [(ii)] diz que ϕ é bijeção (ϕ−1 = ϕ).

Lema 1.24. Sejam G um grupo e ϕ uma involução em G. Então:

(1) ϕ(1G) = 1G;

(2) ϕ(g−1) = ϕ(g)−1;∀g ∈ G.

Demonstração.

(1) Temos que 1G = ϕ(ϕ(1G)) = ϕ(1Gϕ(1G)) = 1Gϕ(1G) = ϕ(1G).

(2) Temos que 1G = ϕ(1G) = ϕ(gg−1) = ϕ(g−1)ϕ(g). Logo, ϕ(g−1) = ϕ(g)−1.

Exemplo 1.25. Seja G um grupo. A aplicação ∗ : G→ G definida por g∗ = ∗(g) = g−1

é uma involução em G, chamada de involução clássica de G.

Exemplo 1.26. Seja S3 = {1S3 , (12), (13), (32), (123), (321)} o grupo de permutações de3 elementos e considere a aplicação ϕ : S3 → S3 definida por ϕ(g) = (12)g−1(12). Aaplicação ϕ é uma involução em S3. De fato,

(i) ϕ(gh) = (12)h−1g−1(12) = [(12)h−1(12)][(12)g−1(12)] = ϕ(h)ϕ(g);

(ii) ϕ(ϕ(g)) = (12)(12)(g−1)−1(12)(12) = g.

Definição 1.27. Um elemento g ∈ G diz-se ϕ-simétrico, ou simplesmente simétrico,se g é um ponto fixo para a involução ϕ, ou seja, ϕ(g) = g. Denotaremos por Gϕ ={g ∈ G;ϕ(g) = g} o conjunto dos elementos simétricos de G em relação a involução ϕ.

Naturalmente, para H < G, denotaremos por Hϕ o conjunto dos elementos de Hque são simétricos em relação a involução ϕ, ou seja, Hϕ = {h ∈ H : ϕ(h) = h}.

Vamos introduzir agora os LC-grupos1, uma classe interessante de grupos em quepodemos induzir uma involução de forma bastante natural e que nos será muito útil nosCapítulos 2 e 3. Para isso, precisaremos antes conhecer alguns outros conceitos.

Definição 1.28. Seja G um grupo. Dados g, h ∈ G, o operador (g, h) = g−1h−1gh seráchamado de comutador de g e h. Denotamos por G′ = {〈(g, h)〉 : g, h ∈ G}, o subgrupogerado por todos os comutadores de G, o chamado subgrupo derivado de G.

Definição 1.29. Seja G um grupo não abeliano. Dizemos que um elemento s ∈ G é oúnico comutador não trivial de G se s 6= 1 e (g, h) = g−1h−1gh ∈ {1, s} ∀g, h ∈ G,ou seja, G′ = {1, s}

1Do inglês Limited Commutativity, o que poderia ser entendido por “comutatividade limitada”.

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Lema 1.30. Seja G um grupo não abeliano. Se G possui um único comutador não trivials, então s2 = 1 e s ∈ Z(G).

Demonstração. Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim temos que g−1h−1gh = s ⇒ s =h−1g−1hg = s−1, logo s = s−1 ⇒ s2 = 1. Suponha por absurdo que s /∈ Z(G) e sejag ∈ G tal que sg 6= gs. Temos que s = s−1g−1sg ⇒ 1 = g−1sg ⇒ g = sg ⇒ s = 1, umacontradição.

Definição 1.31. Dizemos que um grupo não abeliano G é um LC-grupo se, para todosg, h ∈ G tais que gh = hg, temos que g ∈ Z(G), h ∈ Z(G) ou gh ∈ Z(G).

Observação 1.32. Com a definição acima, temos que, se G é um LC-grupo, então g2 ∈Z(G), ∀g ∈ G e com isso (g, h) = g−2(gh−1)2h2 ∈ Z(G), ∀g, h ∈ G.

Exemplo 1.33. Seja o grupo dos quatérnios de ordem 8, Q8 = 〈x, y;x4 = 1, x2 =y2, xy = x−1〉.

Dado essa presentação, podemos verificar que a tábua de multiplicação de Q8 é aseguinte.

· 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

1 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

x x x2 x3 1 xy x2y x3y y

x2 x2 x3 1 x x2y x3y y xy

x3 x3 1 x x2 x3y y xy x2y

y y x3y x2y xy x2 x 1 x3

xy xy y x3y x2y x3 x2 x 1

x2y x2y xy y x3y 1 x3 x2 x

x3y x3y x2y xy y x 1 x3 x2

Por se tratar de um grupo finito, podemos computar g−1h−1gh, ∀g, h ∈ Q8 everificar que Q′8 = {1, x2} e, assim, concluir que Q8 possui um único comutador nãotrivial x2. Note também que os únicos elementos que comutam entre si e que não estãono centro são x com x3 e xy com x3y, e, nestes casos, xx3 = 1 e xyx3y = 1, o que implicaque Q8 é um LC-grupo.

O próximo corolário é uma consequência do Teorema 1.22.

Corolário 1.34. Sejam R um anel comutativo e G um LC-grupo com um único comutadornão trivial s. Então o conjunto

Z(G) ∪ {g + sg; g ∈ G\Z(G)}

12

é uma R-base de Z(RG).

Demonstração. Seja g ∈ G. Se g ∈ Z(G) então C(g) = {g}. Agora, ∀x, y ∈ G taisque xy 6= yx, temos que s = x−1y−1xy, assim y−1xy = sx, logo, se g /∈ Z(G), entãoC(g) = {g, sg}. Pelo Teorema 1.22, temos o resultado.

Lema 1.35. Seja G um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Então aaplicação ϕ : G→ G dada por

ϕ(g) =

{g, se g ∈ Z(G);sg, se g /∈ Z(G),

define uma involução em G.

Demonstração.(i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g), ∀g, h ∈ G.Suponha que gh 6= hg.Assim, temos que g, h, gh /∈ Z(G), já que, se g ou h ∈ Z(G), teríamos que

gh = hg e, se gh ∈ Z(G), teríamos que ghg = ggh ⇒ gh = hg, absurdo. Note queg−1h−1gh = s⇒ gh = shg, logo ϕ(gh) = sgh = hg = shsg = ϕ(h)ϕ(g).

Suponha agora que gh = hg.Como G é um LC-grupo, então g ∈ ZG, h ∈ ZG ou gh ∈ ZG.Se g, h ∈ Z(G), então ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g).Se g ∈ Z(G) e h /∈ Z(G), então ϕ(gh) = sgh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g). O caso

g /∈ Z(G) e h ∈ Z(G) é análogo.Se g, h /∈ Z(G), então gh ∈ Z(G), logo ϕ(gh) = gh = hg = s2hg = shsg =

ϕ(h)ϕ(g).(ii) ϕ(ϕ(g)) = g, ∀g ∈ G.De fato, se g ∈ Z(G), temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(g) = g. Se g /∈ Z(G), utilizando

o item anterior, temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(sg) = ϕ(g)ϕ(s) e, pelo Lema 1.30, ϕ(g)ϕ(s) =sgs = s2g = g.

Definição 1.36. Dizemos que um LC-grupo, G, com um único comutador não trivial s,juntamente com a involução ϕ dada pelo Lema 1.35, é um SLC-grupo2 em relação àinvolução ϕ.

No próximo capítulo, enunciaremos um teorema que nos fornece condições neces-sárias e suficientes para que G seja um SLC-grupo em relação à involução ϕ.

2Do inglês Special LC-group.

13

1.3.2 Involuções em Anéis

Definição 1.37. Seja R um anel. Dizemos que uma aplicação ϕ : R→ R é uma involu-ção de anéis em R, ou, simplesmente uma involução, se, para todo r, s ∈ R, as seguintespropriedades são satisfeitas:

(i) ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s);

(ii) ϕ(rs) = ϕ(s)ϕ(r);

(iii) ϕ(ϕ(r)) = r.

Lema 1.38. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R, então valem as seguintes pro-priedades:

(i) ϕ(1) = 1;

(ii) ϕ(0) = 0;

(iii) ϕ(−r) = −ϕ(r), ∀r ∈ R;

(iv) Se u ∈ U(R) então ϕ(r−1) = ϕ(r)−1;

(v) r ∈ Z(R), se e somente se, ϕ(r) ∈ Z(R).

Demonstração.

(i,iv) Seguem de forma análoga ao Lema 1.24.

(ii,iii) Seguem do fato de que a involução atua como um homomorfismo de grupos naestrutura de grupo aditivo que R possui.

(v) Se r ∈ Z(R) então para todo s ∈ R temos que

ϕ(r)s = ϕ(r)ϕ(ϕ(s)) = ϕ(ϕ(s)r) = ϕ(rϕ(s)) = ϕ(ϕ(s))ϕ(r) = sϕ(r).

Portanto, ϕ(r)s = sϕ(r), o que implica ϕ(r) ∈ Z(R). Reciprocamente, se ϕ(r) ∈Z(R), então, do que já foi mostrado, temos que r = ϕ(ϕ(r)) ∈ Z(R).

Exemplo 1.39. A função identidade é uma involução em um anel comutativo. De formamais geral, todo homomorfismo de ordem 2 é uma involução em um anel comutativo.

Exemplo 1.40. Sejam R um anel e Mn(R) o anel das matrizes de ordem n com coefici-entes em R. A transposição de matrizes é uma involução em Mn(R).

Exemplo 1.41. A conjugação complexa é uma involução em C.

14

Exemplo 1.42. Seja H = {a+ bi+ cj + dk; a, b, c, d ∈ R, i, j, k são unidades básicas}.Definido a soma por

(a+ bi+ cj + dk) + (a′ + b′i+ c′j + d′k) = (a+ a′) + (b+ b′)i+ (c+ c′)j + (d+ d′)k

e o produto induzido pelo produto de R; sendo ele distributivo em relação à soma e satis-fazendo as seguintes leis para as unidades básicas:

i2 = j2 = k2 = ijk = −1ij = k = −jijk = i = −kjki = j = −ik,

obtemos o anel (H,+, ·) dos quatérnios.As aplicações

ϕ : H → Ha+ bi+ cj + dk 7→ a− bi− cj − dk

eψ : H → H

a+ b1i+ b2j + b3k 7→ a+ bγ(1)i+ bγ(2)j + bγ(3)k,

onde γ é uma permutação do conjunto {1, 2, 3}, são involuções em H.

Exemplo 1.43. Sejam R uma anel com uma involução ϕ e G um grupo com uma invo-lução ϕ′. Definimos para o anel de grupo RG a seguinte aplicação:

ϕ : RG → RGα =

∑g∈G αgg 7→

∑g∈G ϕ(αg)ϕ

′(g).

Esta aplicação define uma involução em RG.De fato,

15

(i)

ϕ(α + β) = ϕ

(∑g∈G

αgg +∑g∈G

βgg

)

= ϕ

(∑g∈G

(αg + βg)g

)=

∑g∈G

ϕ(αg + βg)ϕ′(g)

=∑g∈G

(ϕ(αg) + ϕ(βg))ϕ′(g)

=∑g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g) +

∑g∈G

ϕ(βg)ϕ′(g)

= ϕ (α) + ϕ (β) ;

(ii)

ϕ(α · β) = ϕ

((∑g∈G

αgg

)·

(∑g∈G

βgg

))

= ϕ

(∑g,h∈G

(αgβh)gh

)=

∑g,h∈G

ϕ(αg · βh)ϕ′(gh)

=∑g,h∈G

(ϕ(βh) · ϕ(αg))ϕ′(h)ϕ′(g)

=∑g∈G

ϕ(βg)ϕ′(g) ·

∑g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g)

= ϕ (β) · ϕ (α) ;

(iii)

ϕ(ϕ(α)) = ϕ

(ϕ

(∑g∈G

αgg

))

= ϕ

(∑g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g)

)=

∑g∈G

ϕ(ϕ(αg))ϕ′(ϕ′(g))

=∑g∈G

αgg

= α.

Definição 1.44. Nas condições do exemplo anterior, se R for um anel comutativo e ϕfor a identidade, dizemos que ϕ é uma involução induzida em RG pela involução ϕ′.Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos as duas involuções pelo mesmosímbolo ϕ. Em particular, quando ϕ′ = ∗, a involução clássica de G, chamamos ϕ deinvolução canônica, ou clássica, de RG.

Definição 1.45. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R. Um elemento r ∈ R é

16

chamado de simétrico ou antissimétrico, se ϕ(r) = r ou ϕ(r) = −r, respectivamente.Denotamos por Rϕ e R−ϕ o conjunto dos elementos simétricos e antissimétricos de R, ouseja, Rϕ = {r ∈ R;ϕ(r) = r} e R−ϕ = {r ∈ R;ϕ(r) = −r}.

Lema 1.46. Seja R um anel com uma involução ϕ. O conjunto Rϕ é um subanel de Rse, e somente se, Rϕ é comutativo.

Demonstração. Sejam a, b ∈ Rϕ. Então ϕ(a− b) = ϕ(a)−ϕ(b) = a− b. Logo a− b ∈ Rϕ.Agora, ϕ(ab) = ϕ(b)ϕ(a) = ba. Assim, ab ∈ Rϕ se, e somente se, ab = ba; isto é, se, esomente se, Rϕ é comutativo.

1.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos

Definição 1.47. Seja G um grupo. Um homomorfismo σ : G → {1,−1} é chamado deuma orientação de G.

Observação 1.48. Seja N = ker(σ). Se σ é uma orientação não trivial de um grupo G,então N 6= G, [G : N ] = 2, e com isso G = N ∪Ng para qualquer g /∈ N . Também, se Gé um grupo finito e adimite uma orientação não trivial, então |G| é um número par.

Observação 1.49. Note que, pela definição de subgrupo, se g, h ∈ N , então gh ∈ N ese g ∈ N e h /∈ N , então gh /∈ N . Podemos garantir usando a propriedade da orientaçãoque se g, h /∈ N , então gh ∈ N , pois σ(gh) = σ(g)σ(h) = (−1)(−1) = 1.

Exemplo 1.50. Seja Sn o grupo das permutações de n elementos e considere o homo-morfismo

σ : Sn → {1,−1}ψ 7→ σ(ψ)

onde

σ(ψ) =

{1, se ψ for uma permutação par;−1, se ψ for uma permutação ímpar.

Então σ é uma orientação de Sn com núcleo N = An, o grupo das permutaçõespares.

Exemplo 1.51. Seja (Q∗, ·) o grupo dos racionais não nulos em relação ao produto. Aaplicação ϕ : Q→ {1,−1} definida por

ϕ(α) =

{1, se α > 0;−1, se α < 0

é uma orientação em (Q, ·).

Exemplo 1.52. Tomando G = {A ∈ GL(n) : det(A) = ±1}, temos que σ(A) = det(A)define uma orientação em G.

17

Seja R um anel comutativo. Dados σ uma orientação de um grupo G e ϕ umainvolução em G, podemos definir uma aplicação σϕ em RG dada por

σϕ

(∑g∈G

agg

)=∑g∈G

agσ(g)ϕ(g).

Se N = ker(σ) e ϕ(N) = N , então a aplicação σϕ é uma involução em RG. Defato,

(i)

σϕ

(∑g∈G

αgg +∑g∈G

βgg

)= σϕ

(∑g∈G (αg + βg)g

)=

∑g∈G

(αg + βg)σ(g)ϕ(g)

=∑g∈G

αgσ(g)ϕ(g) +∑g∈G

βgσ(g)ϕ(g)

= σϕ

(∑g∈G

αgg

)+ σϕ

(∑g∈G

βgg

);

(ii)

σϕ

((∑g∈G

αgg

)(∑h∈G

βhh

))= σϕ

(∑g,h∈G

(αgβh)gh

)=

∑g,h∈G

(αgβh)σ(gh)ϕ(gh)

=∑g,h∈G

(αgβh)σ(g)σ(h)ϕ(h)ϕ(g)

=∑g,h∈G

(βhσ(h))(αgσ(g))ϕ(h)ϕ(g)

= σϕ

(∑h∈G

βhh

)σϕ

(∑g∈G

αgg

);

(iii)

σϕ

(σϕ

(∑g∈G

αgg

))= σϕ

(∑g∈G

αgσ(g)ϕ(g)

)=

∑g∈G

αgσ(g)σ(ϕ(g))g

=∑g∈G

αgg,

já que ϕ(N) = N e [G : N ] = 2.

Definição 1.53. A aplicação σϕ : RG → RG definida acima é chamada de involuçãoorientada em RG.

Observação 1.54. Note que, esta involução é induzida por uma involução em G se, esomente se, a orientação σ é trivial.

18

Em [N70], Novikov introduziu a noção de involução orientada em anéis de grupos.Neste trabalho, Novikov trabalhou com involuções orientadas, onde a involução ϕ era ainvolução clássica de G.

Em todo o texto, σ é orientação de grupo em G, N = ker(σ) e sempre que disser-mos que σϕ é uma involução orientada estaremos supondo que ϕ(N) = N . Vale ressaltartambém que, quando não explicitado o contrário, σ sempre denotará uma orientação nãotrivial, pois, para uma orientação trivial, a maioria dos resultados encontrados nessa dis-sertação possuem versões semelhantes e podem ser encontradas, por exemplo, em [GPS09]e [JM06].

Note que a condição ϕ(N) = N não é uma condição muito forte, visto que seϕ = ∗ então para qualquer orientação σ de G essa condição é verificada. O mesmo ocorrepara σ em G do exemplo 1.52 quando ϕ é a transposição de matrizes.

Definição 1.55. Seja R um anel com unidade. Dizemos que R possui característica 0,char(R) = 0, se 1 + 1 + . . .+ 1︸ ︷︷ ︸

n-vezes6= 0, ∀n ≥ 1. Caso char(R) 6= 0, o menor número i tal

que 1 + 1 + . . .+ 1︸ ︷︷ ︸i-vezes

= 0 é chamado de característica de R, neste caso, char(R) = i.

Observação 1.56. Se σϕ é uma involução orientada em RG e σ é não trivial, entãodevemos ter que char(R) 6= 2; pois, se char(R) = 2, teríamos que σ(g) = −σ(g), oque contradiz o fato de σ ser não trivial. Observe também que se σϕ é uma involuçãoorientada em RG, então σϕ|RN = ϕ, onde RN é o anel de grupo de N sobre R.

1.4 Os conjuntos (RG)σϕ e (RG)−σϕComo σϕ é uma involução no anel RG, podemos então considerar os conjuntos

(RG)σϕ e (RG)−σϕ. Estes serão os principais objetos de estudo dessa dissertação. Nosegundo capítulo, estudaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto(RG)σϕ seja comutativo; no terceiro, estudaremos condições necessárias e suficientes paraque o conjunto (KG)σϕ com char(K) = 0 seja Lie n-Engel; no quarto capítulo, estudare-mos sob quais condições podemos estender as propriedades de Lie dos conjuntos (KG)σ∗e (KG)−σ∗ para todo o anel KG, além de encontrar condições necessárias e suficientes paraque o conjunto (KG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente.

A importância do estudo desses conjuntos está no fato de que, sob certas con-dições, podemos estender algumas propriedades dos elementos simétricos para RG, etambém encontrar outras propriedades para G, R ou RG. Algumas dessas condiçõespodem ser observadas nos seguintes teoremas.

Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo decaracterística p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.

19

Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpode característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lienilpontente.

Em [L99], Gregory Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendidopara grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e classificou (RG)ϕquando Q8 ⊂ G.

No caso dos elementos simétricos sob involuções orientadas, (RG)σϕ, iremos des-crever a estrutura de G, caso (RG)σϕ satisfaça alguma indentidade de Lie, e mostrarque os teoremas acima podem ser verificados também quando se trata de uma involuçãoorientada.

Encontraremos algumas condições para que uma propriedade de (KG)σ∗ possaser estendida para KG. A seguinte proposição exemplifica uma dessas condições.

Proposição. Seja G um grupo tal que |Z(G)2| =∞. Então (KG)σ∗ ou (KG)−σ∗é Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KG é Lie nilpotente de índice n.

Denotaremos por (G)σϕ = {g ∈ G : σϕ(g) = g} e (G)−σϕ = {g ∈ G : σϕ(g) = −g}os conjuntos dos elementos simétricos e antissimétricos de G sob σϕ. Denotaremos tam-bém porGϕ os elementos simétricos sob a involução ϕ deG, ou seja, Gϕ = {g ∈ G : ϕ(g) = g}.

Seja g ∈ Gσϕ. Então σϕ(g) = σ(g)ϕ(g) = g. Logo, σ(g) = 1 e ϕ(g) = g. Assim,Gσϕ = N ∩Gϕ = Nϕ. Observe que, como gϕ(g) ∈ Gϕ,∀g ∈ G, então gϕ(g) ∈ Nϕ,∀g ∈ G.

Note que podemos particionar G, utilizando σ e ϕ, em quatro subconjuntos dis-juntos, como segue:

G = Nϕ ∪N\Nϕ ∪ (G\N)\Gϕ ∪Gϕ\N.

Vamos então descrever como (RG)σϕ e (RG)−σϕ podem ser gerados, como R-módulos, a partir de elementos em cada uma dessas partes.

Seja α =∑

g∈G αgg ∈ (RG)σϕ. Então σϕ

(∑g∈G

αgg

)=∑g∈G

αgσ(g)ϕ(g) =∑g∈G

αgg. Logo, αϕ(g) = σ(g)αg,∀g ∈ supp(α). Com isso obtemos que, se g ∈ supp(α) ∩

Gϕ\N , temos que 2αg = 0, pois

αg = σ(ϕ(g))αϕ(g) = −αg.

Observação 1.57. Para evitar que esses elementos estejam no suporte dos elementossimétricos, iremos sempre tomar anéis R tais que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}.

Observe que essa restrição é, de certa forma, natural; visto que ela é verificadaem todo anel de característica ímpar e nunca em característica par, exceto possivelmente0. Uma das excessões para característica 0 ocorre justamente quando o anel é um corpo,

20

ou seja, esta condição sempre se verifica para um corpo K tal que char(K) 6= 2.Logo, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então (RG)σϕ é gerado como

R-módulo pelo conjunto

S = Nϕ ∪ {g + σϕ(g) : g ∈ G\Nϕ} .

Para refinar esse conjunto gerador de (RG)σϕ, note que

supp(α) ∩G\Nϕ = supp(α) ∩ ((G\(N ∪Gϕ)) ∪ (N\Nϕ) ∪ (Gϕ\N))= supp(α) ∩ (((G\N)\Gϕ) ∪ (N\Nϕ)),

com isso temos que

S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N\Nϕ} ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N)\Gϕ} .

Em particular, se ϕ = ∗, então (RG)σ∗ é gerado por

S ={g ∈ N : g2 = 1

}∪{g + g−1 : g ∈ N, g2 6= 1

}∪{g − g−1 : g ∈ G\N, g2 6= 1

}.

Seja g ∈ G−σϕ. De forma análoga, encontramos que G−σϕ = (G\N)∩Gϕ = Gϕ\N .

Seja α =∑

g∈G αgg ∈ (RG)−σϕ. Temos que σϕ

(∑g∈G

αgg

)=∑g∈G

αgσ(g)ϕ(g) =

−∑g∈G

αgg. Logo, −αϕ(g) = σ(g)αg, ∀g ∈ supp(α). De forma análoga ao caso anterior,

temos que, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então supp(α) ∩Nϕ = ∅. Logo,(RG)−σϕ é gerado como R-módulo pelo conjunto

L = Gϕ\N ∪ {g − σϕ(g) : g ∈ G\(Gϕ\N)} .

Como N ∪Gϕ ⊂ G, temos que

supp(α) ∩G\(Gϕ\N) = supp(α) ∩ ((G\(N ∪Gϕ)) ∪ (N\Nϕ) ∪Nϕ)= supp(α) ∩ (((G\N)\Gϕ) ∪ (N\Nϕ)).

Então, (RG)−σϕ é gerado por

L = {g ∈ Gϕ\N} ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ G\(N ∪Gϕ)} ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ N\Gϕ} .

Em particular, se ϕ = ∗, então (RG)−σ∗ é gerado por

L ={g ∈ G\N : g2 = 1

}∪{g + g−1 : g ∈ G\N, g2 6= 1

}∪{g − g−1 : g ∈ N, g2 6= 1

}.

21

1.4.1 Propriedades de Lie

Em um anel associativo R, definimos o colchete de Lie de dois elementosx, y ∈ R por [x, y] = xy − yx. Esta definição pode ser estendida recursivamente por[x1, . . . , xn+1] = [[x1, . . . , xn], xn+1], ∀xi ∈ R.

Definição 1.58. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie nilpotente se existen ≥ 2 tal que [x1, . . . , xn] = 0, ∀xi ∈ S. O menor n tal que isso acontece é chamado deíndice de nilpotência de S.

Definição 1.59. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie n-Engel se existen ≥ 2 tal que [x, y, . . . , y︸ ︷︷ ︸

n vezes] = 0, ∀x, y ∈ S.

Note que, se S é Lie nilpotente de índice m, então S também é Lie n-Engel paraalgum n ≤ m.

Observe também que, se G for abeliano, teremos então que RG é comutativo,assim o fato de (RG)σϕ ser comutativo ou possuir alguma propriedade de Lie não acres-centa nenhuma informação realmente nova, logo não poderemos fazer nenhuma afirmaçãoacerca da estrutura do grupo. Assim, para que nosso estudo seja profícuo, exceto quandonão seja explicitado o contrário, G sempre denotará um grupo não abeliano.

Capítulo 2

Comutatividade de (RG)σϕ

Em [JM06], Eric Jespers e M. Ruiz Marín estudaram a comutatividade dos ele-mentos simétricos sob uma involução induzida em um anel de grupo, encontrando condi-ções necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo.

Teorema 2.1 (Teorema 2.4, [JM06]). Sejam ϕ uma involução em um grupo não abelianoG e R um anel comutativo tal que char(R) 6= 2. Então as seguintes afirmações sãoequivalentes:

1. (RG)ϕ é comutativo;

2. O grupo G é um SLC-grupo;

3. G/Z(G) ' C2 × C2,

ϕ(g) =

{g, se g ∈ Z(G);h−1gh, se g /∈ Z(G),

∀h ∈ G com (g, h) 6= 1.

O. Broche Cristo e C. Polcino Milies em [BP06] estudaram algo semelhante, subs-tituindo a involução induzida ϕ por uma involução orientada σϕ e encontrando condiçõesnecessárias e suficientes para que o conjunto (RG)σϕ seja comutativo. Este capítulo estábaseado nesta referência.

Embora o artigo [BP06] foi utilizado como base para esse capítulo, devemos notarque alguns resultados foram modificados, pois os autores cometeram um pequeno deslizeao desconsiderar a existência de elementos r ∈ R\ {0} tais que 2r = 0. Os própriosautores perceberam o equívoco e publicaram o artigo [GP13] considerando a existência detais elementos, corrigindo o resultado contido em [BP06]. Como nosso interesse é estudaros elementos simétricos em anéis de grupo tais que o anel é um corpo de característicadiferente de 2, temos que os resultados encontrados em [BP06] para esse tipo de anel sãosuficientes para nosso trabalho.

22

23

Em todo o capítulo, R será um anel comutativo com identidade tal que 2r 6=0, ∀r ∈ R\ {0}, ϕ uma involução em G e σ uma orientação em G. Lembramos que, sobessas condições sobre o anel R, temos char(R) = 0 ou char(R) = a, onde a é um númeroímpar.

Lema 2.2. Seja R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}. Se(RG)σϕ é comutativo, então (G\N)\Gϕ ⊂ Z(G). Além disso, se g ∈ (G\N)\Gϕ, entãogϕ(g) = ϕ(g)g.

Demonstração. Seja h ∈ G.Vamos analisar como h se relaciona com g ∈ (G\N)\Gϕ dependendo em que

subconjunto da partição de G esse elemento se encontra.(a) Suponha que h ∈ Nϕ. Então

0 = [g + σϕ(g), h] = [g − ϕ(g), h]⇓

gh+ hϕ(g) = hg + ϕ(g)h.

Como char(R) 6= 2 e g /∈ Gϕ, temos que gh = hg. Em particular, como gϕ(g) ∈ Nϕ, gcomuta com gϕ(g), ou seja, ggϕ(g) = gϕ(g)g, o que implica que g comuta com ϕ(g).

(b) Se h ∈ (G\N)\Gϕ, temos que

0 = [g − ϕ(g), h− ϕ(h)]⇓

gh+ ϕ(g)ϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)g = gϕ(h) + ϕ(g)h+ hg + ϕ(h)ϕ(g).

Como g, h /∈ Gϕ, temos que gh 6= gϕ(h) e gh 6= ϕ(g)h. Assim como char(R) 6= 2, devemosconsiderar as quatro seguintes possibilidades:

(1) gh = hg;

(2) gh = ϕ(h)ϕ(g);

(3) char(R) = 3 e três elementos do lado esquerdo da equação acima são iguais entresi.

Se (1) ocorre, temos o resultado.Suponha então que (2) ocorre, então temos que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh), impli-

cando que gh ∈ Nϕ, logo, podemos aplicar o caso (a), e verificar que gh e g comutam, oque nos garante que g e h comutam, e assim o resultado ocorre.

Se (3) ocorre, analisemos alguns casos. Se ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g) = ϕ(h)g, aplicandoϕ em todos os elementos, temos que hg = gϕ(h) = ϕ(g)h. Assim gh = ϕ(h)ϕ(g), enovamente temos o caso (2). Se gh = ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g), então ϕ(h)ϕ(g) = hg = gϕ(h).

24

Logo, ϕ(h)g = ϕ(g)h e dessa forma temos que ϕ(g)h ∈ Nϕ. Pelo caso (a), temos queϕ(g)hg = gϕ(g)h = ϕ(g)gh, e assim gh = hg. Se gh = hϕ(g) = ϕ(h)g ou gh =ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(h)g, de forma análoga encontramos o resultado.

(c) Suponha que h ∈ N\Gϕ. Então

0 = [g − ϕ(g), h+ ϕ(h)]⇓

gh+ gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h+ ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g.

Como char(R) 6= 2 e g, h /∈ Gϕ, temos que gh 6= gϕ(h), hϕ(g) 6= ϕ(h)ϕ(g) e gh 6= ϕ(g)h.Assim, gh ∈ {ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Se gh = ϕ(h)g, então ϕ(gh) = ϕ(g)h. Como g /∈ Gϕ,temos que gh /∈ Gϕ. Por outro lado, se gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(hg) então gh ∈ Gϕ se, esomente se, gh = hg. Suponha então que gh /∈ Gϕ. Como gh /∈ N , podemos aplicar ocaso (b) para gh e concluiremos que gh comuta com g implicando que gh = hg.

(d) Suponha agora que h ∈ Gϕ\N . Neste caso, temos que gh ∈ N e podemosanalisar dois casos: g ∈ Gϕ ou g /∈ Gϕ. Se gh ∈ Gϕ então, pelo caso (a), segue que gh eg comutam, e assim gh = hg. Agora, se gh /∈ Gϕ então, pelo caso (c), temos que ou ghcomuta com g ou ghϕ(g) = ϕ(gh)g. Assim, g comuta com h ou ghϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g)g =hgϕ(g). Logo, em ambos os casos, temos que gh = hg.

Para estudar os simétricos em relação às involuções orientadas, é de fundamentalimportância conhecer o caso não orientado, pois temos que σϕ em N se comporta comouma involução induzida sem orientação.

Visto isso, faremos as seguintes observações para continuarmos o estudo.

Observação 2.3. Suponha que (RG)σϕ é comutativo, então (RN)σϕ = (RN)ϕ é comu-tativo. Assim, pelo Teorema 2.1, temos duas possibilidades para N :

(A) N é um grupo abeliano;

(B) N é um LC-grupo com um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ édada por:

ϕ(g) =

{g, se g ∈ Z(N);sg, se g ∈ G\Z(N).

(2.1)

Agora provaremos o principal teorema desse capítulo.

Teorema 2.4. Sejam R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0},G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G, σ uma orientação não trivial de G eN = ker(σ). Então (RG)σϕ é comutativo se, e somente se, uma das condições é verificada:

(i) N é um grupo abeliano e (G\N) ⊂ Gϕ;

25

(ii) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involuçãoϕ é dada por

ϕ(g) =

{g, se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N)\Z(G);sg, caso contrário.

Demonstração. Assuma que (RG)σϕ é comutativo. Devemos estudar separadamente doiscasos dependendo se os elementos em G\N são simétricos sob ϕ ou não.

(1) (G\N) ⊂ Gϕ.Neste caso mostraremos que (B) não pode ocorrer e, assim, (A) será satisfeito,

consequentemente o item (i) também o será. De fato, suponha que (B) valha. Sejamx, y ∈ N tais que xy 6= yx. Dessa forma, podemos afirmar que x, y, xy /∈ Z(N). Assim,ϕ(x) = sx, ϕ(y) = sy e ϕ(xy) = sxy. Tome agora g ∈ G\N . Como x ∈ N e g /∈ N , temosque xg ∈ G\N , logo xg = ϕ(xg) = ϕ(g)ϕ(x) = gsx, ou seja, g−1xg = sx. Analogamente,g−1yg = sy e g−1(xy)g = sxy. Mas, sxy = g−1(xy)g = g−1xgg−1yg = sxsy = xy e assims = 1, contradição. Logo (B) não ocorre e assim N é abeliano.

(2) (G\N) 6⊂ Gϕ.Neste caso mostraremos que (ii) é satisfeito.Fixe g um elemento de (G\N)\Gϕ. Neste caso, o Lema 2.2 nos garante que g é

central. Usando o fato de que g ∈ Z(G) e a Observação 1.48, podemos afirmar que G éabeliano se, e somente se, N o é; logo, devemos assumir que N é não abeliano. Assim, Né um LC-grupo com um único comutador não trivial s.

Afirmação: G é um LC-grupo com um único comutador não trivial.De fato, se g é central, para todo x, y ∈ N temos que xg e yg comutam se, e

somente se, x e y comutam. Como N é um LC-grupo, isto é equivalente a x ∈ Z(N), y ∈Z(N) ou xy ∈ Z(N). Como G = N ∪ Ng, resta mostrar que, se xgy = yxg, entãoxg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G) e que se xgyg = ygxg então xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G)ou xgyg ∈ Z(G).

Suponha então que xgy = yxg. Como g ∈ Z(G), temos que gxy = gyx, o queimplica em xy = yx, mas, como N é um LC-grupo, temos que x ∈ Z(N), y ∈ Z(N) ouxy ∈ Z(N), o que implica xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G), já que G = N ∪Ng.

Suponha agora que xgyg = ygxg, portanto xy = yx, e, como N é LC-grupo,temos que x ∈ Z(N), y ∈ Z(N) ou xy ∈ Z(N), o que implica que xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G)ou xgyg ∈ Z(G). Assim, podemos concluir que G é um LC-grupo. Por outro lado, paratodos x, y ∈ N que não comutam, temos que (xg, yg) = (x, y) = s e (xg, y) = (x, y) = s.Assim, s é o único comutador não trivial de G, que sabemos pertencer ao centro de G.

Finalmente, lembrando que ϕ é dado por (2.1) em N , precisamos apenas mostrarque Z(N) = N ∩ Z(G) e determinar ϕ em G\N . Para determinar o segundo caso, sejah ∈ G\N . Se h /∈ Z(G), então pelo Lema 2.2 temos que h ∈ Gϕ. Se h é central,

26

tome x ∈ N\Z(N). Então xh ∈ (G\N)\Z(G) e novamente pelo Lema 2.2 obtemos quexh ∈ Gϕ, logo hx = xh = ϕ(xh) = ϕ(h)ϕ(x) = ϕ(h)sx e, assim, temos que ϕ(h) = sh.

Mostraremos agora que Z(N) = N ∩ Z(G). Seja x ∈ Z(N)\Z(G). Então,ϕ(x) = x e existe y ∈ G\N tal que xy 6= yx e ϕ(y) = y. Assim, xy ∈ (G\N)\Z(G) edo que foi mostrado acima temos que xy = ϕ(xy) = ϕ(y)ϕ(x) = yx, uma contradição.Assim Z(N) ⊂ Z(G), logo Z(N) = N ∩ Z(G), e temos que (ii) é verificado.

Reciprocamente, suponha que algum dos 2 itens ocorrem. Já que (RG)σϕ é geradocomo R-módulo pelo conjunto

S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N\Nϕ} ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N)\Gϕ} ,

é suficiente mostrar que os elementos de S comutam.Suponha que (i) ocorra. Seja g ∈ G\N . Temos que g + σϕ(g) = g − ϕ(g), mas

como G\N ⊂ Gϕ, temos que g − ϕ(g) = 0. Assim, G\N = ∅ e, neste caso,

S = Nϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N\Nϕ} ;

mas, por hipótese, N é abeliano; logo os elementos de S comutam, e assim (RG)σϕ écomutativo.

Suponha agora que (ii) valha. Primeiro, vamos mostrar que ϕ é uma involução.Como s é um elemento central de ordem 2 em G e s ∈ N , já que s é o único comutadornão trivial de N , temos que ϕ(ϕ(g)) = g. Para mostrar que ϕ satisfaz a propriedade (ii)da definição de involução, tome dois elementos g, h ∈ G e vamos considerar dois casosabaixo.

Suponha que gh 6= hg. Neste caso, hg = sgh e g, h e gh não são elementoscentrais. Dessa forma, se g, h ∈ N ou g, h /∈ N , temos que ϕ(gh) = sgh = hg = s2hg =shsg = ϕ(h)ϕ(g). Caso g ∈ N e h /∈ N , então ϕ(gh) = gh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g).Logo, em ambos os casos, ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g).

Suponha agora que gh = hg. Como G é um LC-grupo, temos que g, h ou ghé central. Suponha que g, h ∈ N ou g, h /∈ N . Se g, h ∈ Z(G) ou g, h /∈ Z(G), entãogh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g).

Suponha agora que g ∈ N e h /∈ N . Novamente, se g, h ∈ Z(G) ou g, h /∈ Z(G),então gh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = sgh = shg = ϕ(h)ϕ(g).

Com isso, ϕ dado por (ii) é uma involução, e neste caso, podemos escrever

S = Z(N) ∪ {g + sg : g ∈ N\Z(N)} ∪ {g − sg : g ∈ (G\N) ∩ Z(G)}

e, como s ∈ Z(G), temos que os elementos de

{g − sg : g ∈ (G\N) ∩ Z(G)}

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comutam com todos os elementos de S. Trivialmente temos que Z(N) comuta com{g + sg; g ∈ N\Z(N)}, assim a comutatividade de (RG)σϕ segue.

Definição 2.5. Um grupo não abeliano G diz-se Hamiltoniano se, para todo H < G,temos que H / G.

Definição 2.6. Um grupo G é chamado de p-grupo abeliano elementar se G é oproduto direto de cíclicos de ordem p.

Teorema 2.7 (Teorema 1.8.5, [PS02]). Um grupo não abeliano G é Hamiltoniano se, esomente se, G ' Q8 × E × A, onde E é um 2-grupo abeliano elementar e A é um grupoabeliano no qual todos os elementos possuem ordem ímpar.

Como a involução clássica, ϕ(g) = g∗ = g−1, é a involução mais natural quepodemos encontrar em um grupo, e possui propriedades bastante interessantes, o Capítulo4 será destinado ao estudo dos elementos simétricos sob essa involução, porém iniciaremoso estudo da mesma apresentando uma versão do Teorema 2.4 quando ϕ = ∗.

Teorema 2.8 (Teorema 2.3, [BP06]). Sejam R um anel comutativo com identidade talque 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, G um grupo não abeliano, ∗ a involução clássica de G e σ umaorientação não trivial de G. Então, o conjunto (RG)σ∗ é comutativo se, e somente se,uma das condições é verificada:

(1) N é abeliano e (G\N)2 = 1;

(2) N ' Q8 × E e G ' 〈x, y, g;x4 = 1, x2 = y2 = g2, y−1xy = x−1, g−1xg = x, g−1yg =y〉 × E, em que E é um 2-grupo abeliano elementar.

Demonstração. Mostraremos que, neste caso, os itens (i) e (ii) do Teorema 2.4 são equi-valentes aos itens (1) e (2), respectivamente.

Note que trivialmente temos que (i) ocorre se, e somente se, (1) ocorre.Assuma que a condição (ii) do Teorema 2.4 ocorra. Nesse caso, temos que Z(N) =

N ∩ Z(G).Como ϕ = ∗, temos que g2 = 1 se g ∈ Z(N) e g2 = s se g ∈ N\Z(N), já que

sg = ϕ(g) = g−1. Como a ordem de s é igual a 2, podemos afirmar que N é um 2-grupocom expoente menor ou igual a 4. Além disso, todo subgrupo cíclico de N é normal.De fato, sejam g, h ∈ N tais que gh 6= hg. Neste caso, temos que g2, h2 e (gh)2 sãoiguais a s e assim, |g| = |h| = |gh| = 4. Logo hgh = hshg = h2sg = s2g = g e assimh−1gh = h−1(hgh)h = gh2 = g3 = g−1. E assim temos que N é um 2-grupo Hamiltoniano.

Assim, o Teorema 2.7 nos garante que N = 〈x, y〉 × E, onde 〈x, y〉 é o próprioQ8 e E é um 2-grupo abeliano elementar. Observe também que, pela definição de ϕ,(G\N)2 = 1 ou (G\N) ∩ Z(G) 6= ∅.

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Suponha que (G\N)2 = 1 e seja g ∈ G\N . Neste caso temos que xg ∈ G\N ,logo 1 = (xg)2, isto é gxg = x−1. Analogamente, gyg = y−1 e g(xy)g = y−1x−1 = x3y.Mas, g(xy)g = gxggyg = x−1y−1 = xy, uma contradição. Assim, (G\N)2 6= 1 e existeum elemento g ∈ (G\N) ∩ Z(G). Já que G = N ∪Ng, N ' Q8 × E e g ∈ Z(G), temosque E é um subgrupo central de G. Além disso, G = 〈x, y, g〉E e, assim, 〈x, y, g〉 é umsubgrupo normal de G.

Afirmação: G é o produto direto de 〈x, y, g〉 e E.Note que g2 = x2. De fato, como g−1 = ϕ(g) = sg e x−1 = ϕ(x) = sx, temos que

g2 = s = x2, assim, 〈x, y, g〉 = {ag : a ∈ 〈x, y〉} ∪ 〈x, y〉. Mas ag /∈ N = 〈x, y〉 × E paratodo a ∈ 〈x, y〉. Assim, 〈x, y, g〉 ∩ E = {1} e com isso G = 〈x, y, g〉 × E.

Já que g2 = x2, temos que

〈x, y, g〉 = 〈x, y, g;x4 = 1, x2 = y2 = g2, y−1xy = x−1, g−1xg = x, g−1yg = y〉,

e assim (2) segue.Reciprocamente, suponha que (2) ocorra e seja

H = 〈x, y, g;x4 = 1, x2 = y2 = g2, y−1xy = x−1, g−1xg = x, g−1yg = y〉.

Como E ⊂ Z(G) basta mostrar que (RH)σ∗|H é comutativo. Note que, na parte(2.1) da demonstração do Teorema 2.4, encontramos que H é um LC-grupo com um únicocomutador não trivial s. Assim (ii) segue pela demonstração do Teorema 2.4.

Dessa forma, temos que o Teorema 2.4 juntamente com o Teorema 2.1, encontradoem [JM06], exibem a estrutura do grupo necessária para que os elementos simétricos emrelação a uma involução induzida ou involução orientada sejam comutativos. Embora parauma involução induzida, o artigo [JM06] também exiba condições necessárias e suficientespara que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo, com char(R) = 2, não podemos fazer omesmo para os teoremas contidos neste capítulo, visto que char(R) 6= 2 faz-se necessáriopara definirmos uma orientação trivial.

Capítulo 3

Propriedades de Lie de (KG)σϕ comchar(K) = 0

Neste capítulo, trataremos de um resultado que generaliza, em parte, o resultadoanterior. Essa generalização foi feita substituindo-se a comutatividade de (RG)σϕ pelapropriedade Lie n-Engel, porém não foi uma generalização completa, pois, para o resultadoparticularizamos o anel R para um corpo K tal que char(K) = 0.

De agora em diante, K sempre denotará um corpo.O resultado principal deste capítulo nos garantirá que, se char(K) = 0, então

(KG)σϕ é comutativo⇔ (KG)σϕ é Lie n-Engel⇔ (KG)σϕ é Lie nilpotente. Vale ressaltarque isto pode ser verificado ao combinarmos o Teorema 2.12 de [Pa77] e o Lema 2 de[LSS09], porém, iremos apresentá-lo aqui com uma abordagem original em que serãonecessários apenas o teorema principal do capítulo anterior e as técnicas utilizadas parademonstrar-lo.

3.1 Involuções Orientadas em Q8

Ao observarmos o estudo das propriedades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotênciae comutatividade) dos elementos simétricos sob involuções, tanto orientadas como não,podemos verificar que o grupo dos quatérnios, Q8, possui um papel de bastante destaque.Por exemplo, nas hipóteses do Teorema 2.8, temos que caso N não seja abeliano, sempreteremos uma cópia de Q8 contida em N , logo em G.

Podemos observar também na literatura, em [CP12, L10, L99, L00] por exemplo,que a inclusão de Q8 em G impede a extensão das propriedades encontradas nos simétricospara todo o anel de grupo. Utilizando a descrição do conjunto S dos geradores dossimétricos e o Exemplo 1.33, podemos verificar que (KQ8)σ∗ sempre é comutativo, porém,pelo Teorema V.6.1 de [S78], KQ8 não pode ser Lie n-Engel para nenhum n. Paraexemplificar os resultados, podemos citar o Teorema 1 de [L00] e o Teorema 1 de [L99],

29

30

e verificar que fez-se necessário nas hipóteses admitir que Q8 6⊂ G; nos mesmos artigos,os autores descreveram quando encontraremos as propriedades de Lie para os elementossimétricos caso Q8 ⊂ G. Observações semelhantes podem ser feitas para o Capítulo 4dessa dissertação.

Embora o estudo de Q8 seja essencialmente útil para o próximo capítulo, faremosum estudo primordial de como algumas involuções orientadas se comportam nesse grupo,pois o corolário 3.3 servirá como motivação para buscarmos o resultado principal dessecapítulo.

Lema 3.1 (Lema 3.1.6, [L10]). Seja R um anel com char(R) = p, onde p é um inteiropositivo primo. Então, para todos x, y ∈ R, m ∈ N, temos que

[x, y, . . . , y︸ ︷︷ ︸pm vezes

] = [x, ypm

].

Demonstração. Sejam ry e ly os operadores de multiplicação pela direita e pela esquerda,respectivamente, em R por y. Então,

[x, y] = xy − yx = (ry − ly)(x).

Assim,[x, y, . . . , y︸ ︷︷ ︸

pm vezes] = [[x, y], y, . . . , y︸ ︷︷ ︸

pm−1 vezes]

= [(ry − ly)(x), y, . . . , y︸ ︷︷ ︸pm−1 vezes

]

= [[(ry − ly)(x), y], y, . . . , y︸ ︷︷ ︸pm−2 vezes

]

= [(ry − ly)2(x), y, . . . , y︸ ︷︷ ︸pm−2 vezes

],

portanto[x, y, . . . , y︸ ︷︷ ︸

pm vezes] = (ry − ly)p

m

(x).

Como os operadores definidos acima comutam, e char(R) = p, temos que

(ry − ly)pm

(x) = ((ry)pm − (ly)p

m

)(x) = xypm − ypmx = [x, ypm ].

Lema 3.2. Sejam σϕ uma involução orientada, sendo ϕ uma involução em 〈x, y〉 ' Q8e σ uma orientação não trivial de Q8 e K um corpo tal que char(K) 6= 2. Se (KQ8)σϕ éLie n-Engel, então a involução será dada por uma das seguintes condições:

31

(i) ϕ(x) = x e ϕ(y) = y, se x, y /∈ N ;

(ii) ϕ(x) = x3 e ϕ(y) = y, se x ∈ N , y /∈ N ;

(iii) ϕ(x) = x e ϕ(y) = x2y, se x /∈ N , y ∈ N .

Demonstração. Suponha por absurdo que x, y /∈ N com x, y /∈ Gϕ.Se char(K) = 0, temos que ZQ8 ⊂ KQ8. Assim, (ZQ8)σϕ é Lie n-Engel e,

portanto, para todo p primo, (ZpQ8)σϕ também é Lie n-Engel. Tomando p primo tal quep > max {3, n}, computando o colchete de Lie em (ZpQ8) temos que

0 = [x− ϕ(x), y − ϕ(y), . . . , y − ϕ(y)︸ ︷︷ ︸p vezes

]

= [x− ϕ(x), yp − ϕ(y)p].

Se p = 4t+ 1 para algum t ∈ Z, temos que [x− ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0, logo,

xy + ϕ(x)ϕ(y) + yϕ(x) + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(x)y + x3y + ϕ(y)ϕ(x). (3.1)

Como char(Zp) > 3 e xy /∈ {xϕ(y), ϕ(x)y, x3y}, temos que xy = ϕ(y)ϕ(x), assim ϕ(x) =ϕ(y)−1xy, como g−1 = x2g, ∀g ∈ Q8\ {1, x2} e ϕ(y) /∈ {1, x2}, já que involuções preservama ordem do elemento, podemos afirmar que ϕ(y)−1 = x2ϕ(y), assim ϕ(x) = ϕ(y)−1xy =x2ϕ(y)xy = ϕ(y)x3y. Observe também que ϕ(yx) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)x3yϕ(y), masghg = h−1, ∀g, h ∈ Q8\ {1, x2}, assim ϕ(yx) = ϕ(y)x3yϕ(y) = x3y. Substituindo em(3.1), temos que

yϕ(y)x3y + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(y)x3y.

Note que yϕ(y)x3y 6= ϕ(y)x3y. Logo ϕ(y)x = ϕ(y)x3y, absurdo.Se p = 4t+ 3, temos que

[x− ϕ(x), y3 − ϕ(y)3] = 0⇒ [x− ϕ(x), x2(y − ϕ(y))] = x2[x− ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0,

e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos um absurdo.Se char(K) = p > 3 podemos fazer o mesmo raciocínio e encontrar o resultado.Se char(K) = 3, temos que considerar a mesma equação de (3.1), porém com a

possibilidade de que 3 elementos coincidam do lado esquerdo da equação. Vamos mostrarque, se isso ocorrer, então os 4 elementos serão iguais e, novamente, teremos que xy éigual a algum elemento do lado direito da equação.

Suponha que xy = ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x).Como ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x) temos que ϕ(y)−1 = ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x)−1 = y ⇒ ϕ(y) = x2y

o que também implica que ϕ(y)x = x2yx = xy. Para os outros casos a prova segue deforma semelhante. Com isso, (i) ocorre.

32

Agora, suponha por absurdo que x ∈ N , y /∈ N , ϕ(x) 6= x3 e ϕ(y) 6= y.De forma análoga ao caso anterior, temos que, se p = 4t+ 1 então

[x+ ϕ(x), yp − ϕ(y)p] = 0,

assimxy + ϕ(x)y + ϕ(y)x+ ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + ϕ(x)ϕ(y) + x3y + yϕ(x).

Note que xy 6= x3y, xy 6= xϕ(y) e xy 6= yϕ(x). De fato, se xy = yϕ(x) temos queϕ(x) = x2yxy = x3, absurdo. Assim, xy = ϕ(x)ϕ(y), o que implica que ϕ(x) = x3yϕ(y).Logo temos que

ϕ(x)y + ϕ(y)x+ ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + x3y + yϕ(x)

⇓x3yϕ(y)y + ϕ(y)x+ ϕ(y)x3yϕ(y) = xϕ(y) + x3y + yx3yϕ(y)

⇓x3ϕ(y) + ϕ(y)x+ x3y = xϕ(y) + x3y + x3ϕ(y).

Dessa forma, temos que ϕ(y)x = xϕ(y), mas, como os únicos elementos quecomutam com x são xi e ϕ(y) ∈ Q8\ {1, x2}, temos que ϕ(y) = x ou ϕ(y) = x3.

Se ϕ(y) = x, temos que ϕ(x) = x3yx = x2y; mas ϕ(x2y) = ϕ(y)ϕ(x)2 = x3,implicando que ϕ não preserva a ordem dos elementos, logo não é uma involução, e deforma semelhante provamos que ϕ(y) = x3 não pode acontecer, assim encontramos umabsurdo.

Se p = 4t + 3, da mesma forma que o caso anterior, encontramos um absurdo.Assim temos que (ii) ocorre. Para char(K) 6= 0 a prova segue de forma semelhante aocaso (i).

O caso x /∈ N e y ∈ N , ϕ(x) = x e ϕ(y) = x2y é análogo ao anterior.

Corolário 3.3. Seja σϕ uma involução orientada em KQ8, em que σ é não trivial,Q8 = 〈x, y〉 e char(K) 6= 2. Então são equivalentes:

(i) (KQ8)σϕ é comutativo;

(ii) (KQ8)σϕ é Lie nilpotente;

(iii) (KQ8)σϕ é Lie n-Engel.

Demonstração. Trivialmente temos que (i)⇒(ii)⇒(iii), sendo assim, basta mostrar que(iii)⇒(i).

Suponha então que (KQ8)σϕ seja Lie n-Engel. Pela proposição anterior, podemosdescrever completamente σϕ em (KQ8) e, como Q8 é um grupo finito, podemos explicitaro conjunto S e verificar que esse é comutativo em qualquer um dos casos.

33

Embora o corolário acima nos permita estender as propriedades de Lie mais gerais(Lie n-Engel e Lie nilpotência) para o seu caso mais particular (comutatividade) paraKQ8, podemos facilmente verificar que nem sempre esse fato ocorre. No Capítulo 4,construiremos um exemplo de anel de grupo que exemplifica essa afirmação.

Corolário 3.4. Sejam KG tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que Q8 ⊂ G. Seja σuma orientação não trivial de G. Se (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n, então Q8 ⊂ N .

Demonstração. Basta verificar que, se Q8 6⊂ N , encontraríamos um absurdo, já que cadauma das possibilidades de involução garantidas pelo Lema 3.2 são diferentes de ∗.

3.2 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0

O resultado principal deste capítulo mostrará que seQ8 ⊂ G e char(K) = 0, entãoas três identidades de Lie são equivalentes para o conjunto dos elementos simétricos, ouseja, se (KG)σϕ for Lie n-Engel, então (KG)σϕ comutativo.

Para encontrar o resultado citado acima, foram encontrados lemas semelhantesaos do capítulo anterior e do artigo [JM06] ao substituir a hipótese de comutatividade em(RG)σϕ pela propriedade de Lie n-Engel.

Para os próximos resultados, K será sempre um corpo tal que char(K) = 0 e σpoderá ser trivial.

Lema 3.5. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) = 0. EntãoNϕ ⊂ Z(G). Em particular hϕ(h) = ϕ(h)h, ∀h ∈ G.

Demonstração. Seja x ∈ G e g ∈ Nϕ, vamos mostrar que gx = xg.Suponha que x ∈ Nϕ. Como char(K) = 0, temos que ZG ⊂ KG, assim (ZG)σϕ

é Lie n-Engel e, portanto, para todo p primo, (ZpG)σϕ também é Lie n-Engel. Tomandop > n com p 6= 2 temos que

0 = [x, g, . . . , g︸ ︷︷ ︸p vezes

] = [x, gp]

⇓xgp = gpx.

De forma análoga, tomando q primo, tal que q > p, encontramos que

xgq = gqx.

Como mdc {p, q} = 1, temos que existem r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, sendo

34

assimgpx = xgp

gp(r−1)gpx = gp(r−1)xgp

gprx = xgpr

gqsgprx = gqsxgpr

gqs+prx = xgqsgpr

gqs+prx = xgqs+pr

gx = xg.

Suponha agora que x ∈ N\Nϕ. Sendo assim, de forma análoga ao caso anterior,tomando p primo com p 6= 2 e p > n, temos que

0 = [x+ ϕ(x), gp]

⇓xgp + ϕ(x)gp = gpx+ gpϕ(x),

assim,

(i) xgp = gpx e ϕ(x)gp = gpϕ(x), ou;

(ii) ϕ(x)gp = gpx e xgp = gpϕ(x).

De forma análoga, tomando q primo tal que q > p, temos que

(1) xgq = gqx e ϕ(x)gq = gqϕ(x), ou;

(2) ϕ(x)gq = gqx e xgq = gqϕ(x).

Se (i) e (1) ocorrem, a prova segue de forma análoga ao caso anterior.Suponha que (i) e (2) ocorrem. De (2) temos que ϕ(x)gq = gqx e xgq = gqϕ(x),

sendo assimgqϕ(x) = xgq

gqϕ(x)gq = xgqgq

gqgqx = xg2q

g2qx = xg2q.

Note que se mdc {p, q} = 1 e p, q 6= 2, temos que mdc {p, 2q} = 1, assim, procedendocomo o caso anterior, encontramos o resultado.

Se (ii) e (1) ocorrem, o resultado segue de forma semelhante.Suponha agora que (ii) e (2) ocorrem.Procedendo de forma análoga, encontraremos que g2px = xg2p e g2qx = xg2q

35

ocorrem, e já que mdc {p, q} = 1, temos que mdc {2p, 2q} = 2, logo g2x = xg2, assim

xgq = gqϕ(x)

xgq−1g = gqϕ(x)

gq−1xg = gqϕ(x)

xg = gϕ(x).

Mas, se xg = gϕ(x) = ϕ(g)ϕ(x) = ϕ(xg), temos que xg ∈ Gϕ ∩N , e, pelo caso anterior,temos que xg comuta com g, logo xgg = gxg ⇒ xg = gx.

Suponha agora que x /∈ N ∪ Gϕ. Assim, tomando p primo com p 6= 2 e p > n,temos que

0 = [x− ϕ(x), gp]⇓

xgp + gpϕ(x) = gpx+ ϕ(x)gp.

Como x /∈ Gϕ, temos que xgp = gpx. Tomando q nas mesmas condições de p, com q > p,temos que xgq = gqx. Assim, utilizando o argumento do mdc o resultado segue.

Finalmente, se x ∈ Gϕ\N , temos que xg /∈ N . Se xg ∈ Gϕ, então xg = ϕ(xg) =ϕ(g)ϕ(x) = gx. Assim podemos assumir que xg /∈ Gϕ e, pelo caso anterior, temos que xgcomuta com x, o que já vimos que implica que xg = gx.

Note agora que hϕ(h) ∈ Nϕ, assim hϕ(h) ∈ Z(G), logo hhϕ(h) = hϕ(h)h, o queimplica hϕ(h) = ϕ(h)h.

A fim de simplificar as próximas demonstrações, enunciaremos o seguinte lemapara exibir como se comportam os elementos em alguns dos possíveis colchetes de Lie.

Lema 3.6. Suponha que (KG)σϕ Lie n-Engel com char(K) = 0 e g, h /∈ Gϕ.

(i) Se [g + ϕ(g), h+ ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N , então

(a) gh = hg, ou;

(b) gh ∈ {hϕ(g), ϕ(h)g};

(ii) Se g, h /∈ N , então gh = hg;

(iii) Se [g − ϕ(g), h+ ϕ(h)] = 0, g /∈ N e h ∈ N , então gh ∈ {hg, ϕ(g)ϕ(h)}.

Demonstração. Suponha que [g + ϕ(g), h+ ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N . Então

0 = [g + ϕ(g), h+ ϕ(h)]

⇓gh+ gϕ(h) + ϕ(g)h+ ϕ(g)ϕ(h) = hg + hϕ(g) + ϕ(h)g + ϕ(h)ϕ(g).

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Como char(K) = 0, temos que gh ∈ {hg, hϕ(g), ϕ(h)g, ϕ(h)ϕ(g)}. Suponha por absurdoque nem (a) nem (b) ocorram. Assim temos que gh ∈ Gϕ, já que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh).Logo, como g, h ∈ N , temos que gh ∈ N e, com isso, gh ∈ Nϕ, absurdo. Aplicando oLema 3.5, temos que gh ∈ Z(G) e assim gh = hg.

Suponha agora que g, h /∈ N . Então tomando p > n primo e computando emZpG temos que

0 = [g − ϕ(g), hp − ϕ(h)p]⇓

ghp + ϕ(g)ϕ(h)p + hpϕ(g) + ϕ(h)pg = gϕ(h)p + ϕ(g)hp + hpg + ϕ(h)pϕ(g).

Dessa forma, temos que ghp ∈ {gϕ(h)p, ϕ(g)hp, hpg, ϕ(h)pϕ(g)}. Como ghp 6= ϕ(g)hp,temos que ghp = hpg, ghp = ϕ(h)pϕ(g) ou ghp = gϕ(h)p. Suponha que ghp = ϕ(h)pϕ(g),ou seja, ghp ∈ Gϕ. Já que g, hp /∈ N , temos que ghp ∈ N . Logo ghp ∈ Nϕ e utilizandoo Lema 3.5, temos que ghp ∈ Z(G) e assim ghp = hpg. Repetindo o mesmo argumentopara q > p primo, temos que ghq = hqg ou ghq = gϕ(h)q.

Note que se ghp = gϕ(h)p e ghq = gϕ(h)q ocorrem simultaneamente, temos quehp = ϕ(h)p e hq = ϕ(h)q, assim, utilizando o argumento do mdc, encontraremos queh = ϕ(h), um absurdo.

Assim, sem perda de generalidade, temos que ghp = hpg ocorre. Se ghq = gϕ(h)q,podemos tomar t > q primo e de forma semelhante encontraremos que ght = ht ou ght =gϕ(h)t. Dessa forma, devemos ter que o segundo caso não ocorre, pois encontraríamosum absurdo, já que ghq = gϕ(h)q. Sendo assim, ght = htg. Novamente, utilizando oargumento do mdc, para ght e ghp, encontraremos que gh = hg.

Suponha que [g − ϕ(g), h+ ϕ(h)] = 0, g /∈ N e h ∈ N ocorra, então temos que

0 = [g − ϕ(g), h+ ϕ(h)]⇓

gh+ gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h+ ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g.

Dessa forma, como char(K) = 0 temos que gh ∈ {ϕ(g)h, ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Note quegh 6= ϕ(g)h, pois g /∈ Gϕ.

Suponha então que gh = ϕ(h)g. Assim, temos que ϕ(gh) = ϕ(g)h. Além disso,gh /∈ Gϕ e gh /∈ N já que g /∈ (Gϕ ∪N) e h /∈ N . Assim, utilizando o item (ii) para g egh, encontraremos que (gh)g = g(gh), logo gh = hg, absurdo.

O próximo lema é uma modificação do Lema 2.2.

Lema 3.7. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, se char(K) = 0 então (G\N)\Gϕ ⊂Z(G).

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Demonstração. Vamos dividir G em 4 partes e mostrar que g ∈ (G\N)\Gϕ comuta comos elementos de qualquer uma dessas partes.

(a) h ∈ Nϕ. Neste caso, pelo Lema 3.5, h ∈ Z(G) e assim g e h comutam.(b) h ∈ (G\N)\Gϕ. Pelo item (ii) do Lema 3.6, temos que gh = hg.Note que podemos proceder de forma análoga à demonstração do Lema 3.5 e

encontrar que (ZpG)σϕ, para qualquer p primo, é também Lie n-Engel.(c) Se h ∈ N\Gϕ, podemos tomar p > n primo e computando o colchete de Lie

em ZpG temos que

0 = [g − ϕ(g), h+ ϕ(h), . . . , h+ ϕ(h)︸ ︷︷ ︸p vezes

]

= [g − ϕ(g), hp + ϕ(h)p],

assim, pelo item (iii) do Lema 3.6, ghp ∈ {hpg, ϕ(g)ϕ(h)p}. Analogamente, tomando qprimo tal que q > max {p, n} e computando em ZqG, temos que ghq ∈ {hqg, ϕ(g)ϕ(h)q}.

Se ghp = hpg e ghq = hqg ocorrem simultaneamente, já vimos que o resultadosegue.

Suponha então que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p ocorre.Note que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p = ϕ(hpg), e assim, ghp ∈ Gϕ se, e somente se, ghp =

hpg. Se ghp /∈ Gϕ, assim, como ghp /∈ N , podemos utilizar o caso (b) e encontrar queghp = hpg. As mesmas afirmações podem ser feitas para ghq. Dessa forma sempreencontraremos que ghp = hpg e ghq = hqg ocorrem e, consequentemente, o resultadosegue.

(d) h ∈ (G\N) ∩Gϕ.Novamente, trabalhando em ZpG e ZqG com p, q primos maiores que n, temos

que ghp ∈ N . Se ghi ∈ Gϕ, com i ∈ {p, q} podemos aplicar o item (a) aos elementos g eghi, e encontrar que ghi = hig. Se ghi /∈ Gϕ, podemos aplicar o item (c) aos elementosg e ghi, e encontrar que ghi = hig. Dessa forma, pelo argumento do mdc, temos que oresultado segue.

Como σϕ|N = ϕ, conseguimos, sob as novas hipóteses, um resultado semelhanteao Lema 1.2 de [JM06].

Lema 3.8. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Seja g ∈ (G\Gϕ)∩N .Então gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g), ∀h ∈ N .

Demonstração. Se h ∈ Nϕ, temos que h ∈ Z(G), e, neste caso, o lema se verifica.Suponha então que h ∈ N\Nϕ.Seja p > n primo, pelo Lema 3.6, temos que ghp ∈ {hpg, hpϕ(g), ϕ(h)pg}. O

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mesmo vale para q > p e, assim, podemos considerar a combinação dos seguintes casos:

(i)ghp = hpg, (1)ghq = hqg,

(ii)ghp = hpϕ(g), (2)ghq = hqϕ(g),

(iii)ghp = ϕ(h)pg, (3)ghq = ϕ(h)qg.

É suficiente analisar apenas os casos semelhantes, pois, caso estes não ocorrampodemos tomar um primo s tal que p, q < s e observar qual das possibilidades ocorrerápara ghs e, caso ainda não se repita algum dos casos, tomando um novo t primo tal quet > s e, pelo Princípio da Casa dos Pombos, temos que algum dos casos será semelhanteao outro para algum dos 3 primos considerados anteriormente.

Se (i) e (1) ocorrem, temos que gh = hg.Se (iii) e (3) ocorrem, temos ghpg−1 = ϕ(h)p e ghqg−1 = ϕ(h)q, logo, tomando

r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, ghprg−1 = ϕ(h)pr e ghqsg−1 = ϕ(h)sq, assim, multiplicandocada um dos membros por seus respectivos temos que

ghprg−1ghqsg−1 = ϕ(h)prϕ(h)qs

ghpr+qsg−1 = ϕ(h)pr+qs

ghg−1 = ϕ(h).

Assim, gh = ϕ(h)g.Suponha que (ii) e (2) ocorrem, logo temos que

ghp = hpϕ(g)⇒ h−pghp = ϕ(g), e

ghq = hqϕ(g)⇒ h−qghq = ϕ(g).

Observe que podemos aplicar o Lema 3.6 duas vezes aos elementos g e h−p, e, ge h−q, e considerar os casos:

(i)′gh−p = h−pg, (1)′gh−q = h−qg,

(ii)′gh−p = h−pϕ(g), (2)′gh−q = h−qϕ(g),

(iii)′gh−p = ϕ(h)−pg, (3)′gh−q = ϕ(h)−qg.

Vamos analizar as possibilidades para gh−p e gh−q.Se (i)′ ocorrer, temos que gh−p = h−pg, o que implica que ghp = hpg, entrando

em contradição com o fato de (i) não ocorrer. Analogamente, (1)′, (iii)′ e (3)′ não podemocorrer. Temos então que (ii)′ e (2)′ ocorrem.

Assim temos que gh−p = h−pϕ(g) ⇒ hpgh−p = ϕ(g), e como (ii) ocorre, temos

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que g = hpϕ(g)h−p, assim

h2pgh−2p = hphpgh−ph−p

= hpϕ(g)h−p

= g.

Já que (2)′ também ocorre, de forma análoga encontramos que h2qgh−2q = g.Assim, utilizando um argumento semelhante ao caso (ii) − (2) do Lema 3.5, temos quegh = hϕ(g) e o resultado segue.

O próximo lema é uma modificação do Lema 2.1 de [JM06].

Lema 3.9. Sejam g, h ∈ N . Se (KG)σϕ é Lie n-Engel e char(K) = 0, então ghg−1 ∈{h, ϕ(h)}.

Demonstração. Se g ∈ Nϕ, temos que g ∈ Z(G) e o lema se verifica.Suponha então que g /∈ Nϕ. Pelo Lema 3.8, temos que gh = hg, gh = ϕ(h)g

ou gh = hϕ(g). Se as duas primeiras opções ocorrem, temos que o resultado é válido.Suponha por absurdo que não ocorram. Sendo assim temos que gh = hϕ(g) e aplicandonovamente o Lema 3.8 para gh e h, temos que gh2 = hϕ(h)ϕ(g) ou gh2 = ϕ(h)gh.

Observe que, se gh2 = hϕ(h)ϕ(g), podemos aplicar o Lema 3.5 para hϕ(h) e,assim, encontramos que gh2 = ϕ(g)ϕ(h)h ⇒ gh = ϕ(g)ϕ(h). Se gh2 = ϕ(h)gh então,gh = ϕ(h)g. Mas, por hipótese, temos que gh = hϕ(h). Logo ϕ(h)g = hϕ(g), assim,novamente pelo Lema 3.5, gh2 = ϕ(h)gh = ϕ(h)hϕ(g) = ϕ(g)ϕ(h)h. Portanto gh =ϕ(g)ϕ(h).

Assim, sempre encontraremos que gh = ϕ(g)ϕ(h) e hg = ϕ(h)ϕ(g). Dessa formagh = ϕ(g)ϕ(h) = h−1ghϕ(h) = h−1hϕ(h)g = ϕ(h)g ⇒ gh = ϕ(h)g, uma contradição.

Lema 3.10. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Se g, h ∈ N eg, h /∈ Z(N) então g−1ϕ(g) = h−1ϕ(h).

Demonstração. Se gh 6= hg temos, pelo Lema 3.9, que

hgh−1 = ϕ(g)⇒ hg = ϕ(g)h

eg−1hg = ϕ(h)⇒ hg = gϕ(h),

logohg = ϕ(g)h = gϕ(h)⇒ g−1ϕ(g) = ϕ(h)h−1.

Assim, pelo Lema 3.5, temos que h−1ϕ(h) = ϕ(h)h−1 = g−1ϕ(g), encontrando o resultado.Suponhamos agora que gh = hg. Como g /∈ Z(N), temos que existe x ∈ N , tal

que gx 6= xg. Se hx 6= xh, pelo Lema 3.9, temos que g−1ϕ(g) = x−1ϕ(x) = h−1ϕ(h). Se

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hx = xh, então g(xh) 6= (hx)g, e, novamente pelo Lema 3.9,

g(xh) = ϕ(xh)g = ϕ(h)ϕ(x)g,

como gx = ϕ(x)g, temos que gxh = ϕ(h)gx.Observe que, como gh = hg, então gϕ(h) = ϕ(h)g, pois pelo Lema 3.9 temos que

g−1ϕ(h)g ∈ {h, ϕ(h)}. Assim, se g−1ϕ(h)g = ϕ(h), temos o resultado. Podemos suporagora que gϕ(h)g = h, o que implica ϕ(h) = ghg−1 = h, logo h ∈ Nϕ, absurdo; pois peloLema 3.5 deveriamos ter que h ∈ Z(G).

Logo, gxh = ϕ(h)gx o que implica em h = ϕ(h), já que g e x comutam com h; oque seria um absurdo pelo Lema 3.5, pois h /∈ Z(G).

Teorema 3.11. Sejam K um corpo tal que char(K) = 0, G um grupo não abeliano, ϕuma involução em G e σ uma orientação de G. Então são equivalentes:

(1) (KG)σϕ é comutativo;

(2) (KG)σϕ é Lie nilpotente;

(3) (KG)σϕ é Lie n-Engel;

(4) G e N satisfazem um dos seguintes itens:

(a) N é um grupo abeliano e (G\N) ⊂ Gϕ;

(b) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que ainvolução ϕ é dada por

ϕ(g) =

{g , se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N)\Z(G);sg , caso contrário.

Demonstração. Trivialmente temos que (1)⇒(2)⇒(3). Vamos mostrar agora que (3)⇒(4).Suponha então que (3) se verifique, ou seja, (KG)σϕ é Lie n-Engel. Vamos dividir

a prova em dois casos.(3.a) Suponha que σ seja trivial. Assim temos que G = N e (4) é equivalente a G

ser um grupo abeliano ou um SLC-grupo em relação à involução ϕ, e como, por hipótese,temos que G é não abeliano, basta mostrar que a segunda opção ocorre.

Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim, pelo Lema 3.9, temos que 1 6=g−1h−1gh = g−1ϕ(g) e, pelo Lema 3.10, s = g−1ϕ(g) é o único comutador não trivialde G. Já que s−1 também é um comutador, temos que s−1 = s, e gs = gg−1h−1gh =h−1ghg−1g = sg, ∀g ∈ G, ou seja, s ∈ Z(G).

Como s = s−1, temos que s = g−1ϕ(g) = ϕ(g)−1g = gϕ(g)−1, logo ϕ(s) =g−1ϕ(g) = s e com isso ϕ(h) = g−1hg = g−1hgh−1h = sh, ∀h ∈ G\Z(G).

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Se g ∈ Z(G) e h /∈ Z(G), então gh /∈ Z(G), logo

(sh)ϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh) = sgh = shg,

ou seja, ϕ(g) = g.Basta verificar que G é um LC-grupo. Sejam então g, h /∈ Z(G) tais que gh = hg,

assim ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g) = shsg = s2hg = gh. Logo gh ∈ Gϕ e pelo Lema 3.5 temos quegh ∈ Z(G).

Dessa forma temos que G é um SLC-grupo em relação a involução ϕ e (4) ésatisfeito.

(3.b) Suponha que σ seja não trivial.Neste caso, basta simular os itens (1) e (2) da demonstração do Teorema 2.4,

pois, para a sua prova, usamos apenas as hipóteses sobre N , a Observação 2.3, que égarantida pela item (3.a) feito anteriormente, e o Lema 2.2 que é equivalente ao Lema3.7, e encontrar que os itens (a) ou (b) serão satisfeitos.

Para finalizar a prova, resta mostrar que (4)⇒(1). Para isso, basta aplicar oTeorema 2.4 de [JM06], se σ for trivial, ou o Teorema 2.4, caso contrário.

Corolário 3.12. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo sem elementos deordem 2 e σ uma orientação de G. Então, (KG)σ∗ é Lie n-Engel se, e somente se, G éabeliano.

Demonstração. Suponha que (KG)σ∗ seja Lie n-Engel para algum n. Suponha, por ab-surdo, que G seja não abeliano. Aplicando o Teorema 3.11, podemos afirmar que (KG)σ∗é comutativo, assim, pelo Teorema 2.8, temos que N é abeliano e (G\N)2 = 1. Note queσ não pode ser trivial, pois, nesse caso N = G seria abeliano, absurdo. Porém, se σ énão trivial, temos que G\N 6= ∅, e assim encontraríamos elementos de ordem 2, absurdo.Logo G é abeliano.

A recíproca é trivial.

O corolário acima mostra que, para um corpo de característica 0 e uma orientaçãonão trivial, se (KG)σ∗ for Lie n-Engel, então devemos assumir que G possui elementosde ordem 2, ou, caso contrário, estaremos trabalhando com um grupo abeliano, o que jávimos ser irrelevante.

Corolário 3.13. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano semelementos de ordem 2 e σ uma orientação de G, então (KG)σ∗ é Lie n-Engel para nenhumn ∈ N.

Corolário 3.14. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano tal queQ8 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Se g2 6= 1, ∀g ∈ G\N , então (KG)σ∗ nãopode ser Lie n-Engel para nenhum n ∈ N.

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Demonstração. Suponha, por absurdo, que (KG)σ∗ é Lie n-Engel Aplicando os Teoremas3.11 e 2.8 e utilizando o fato de Q8 6⊂ G, encontramos que N é abeliano e (G\N)2 = 1,mas, por hipótese, temos uma contradição, logo (KG)σ∗ não pode ser Lie n-Engel.

Além de ser bastante interessante por si só, o resultado principal desse capítuloirá nos fornecer uma prova mais simplificada dos próximos resultados, além de que os doisúltimos corolários irão mostrar a inexistência de algumas hipóteses admitidas no artigobase do próximo capítulo.

Capítulo 4

Propriedades de Lie de (KG)σ∗ e(KG)−σ∗

Visto que o Capítulo 3 caracteriza os grupos G tais que (KG)σϕ é Lie n-Engel(nilpotente) quando char(K) = 0, temos que, para prosseguir o estudo nessa linha umcaminho a seguir é caracterizar os grupos que satisfaçam a mesma propriedade parachar(K) = p > 2, ou para um anel R comutativo com char(R) 6= 2. Tal caracterizaçãoainda não se encontra completa na literatura, porém temos que foi realizada por JohnCastillo Gómez e Polcino Milies em [CP12] para o caso ϕ = ∗ e Q8 ⊂ G. Este é umdos temas desse capítulo. Vale ressaltar que, o caso em que a involução é qualquer e aorientação é trivial, foi estudado em [LSS09].

Como vimos no Capítulo 1, Antonio Giambruno, Polcino Milies e SudarshanSehgal mostraram os seguintes teoremas:

Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo decaracterística p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.

Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpode característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lienilpontente.

No Teorema 1 de [L99], Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendidopara grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e caracterizou o grupoG, no Teorema 2 do mesmo artigo, quando (KG)ϕ é Lie nilpotente, com char(K) 6= 2 eQ8 ⊂ G.

Seguindo essa linha de pesquisa, Castillo e Milies também mostraram em [CP12]algumas condições para que as propriedades de Lie de (KG)σ∗ possam ser estendidaspara KG. Esse é o outro tema desse capítulo. Ressaltamos também que, o caso em quea involução é qualquer e a orientação trivial, foi estudado em [GPS09].

Note que, o caso em que char(K) = 0, combinando os Teoremas 3.11 e 2.8, já

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temos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (KG)σ∗ seja Lie n-Engelou Lie nilpotente, e que implicarão comutatividade. Temos também pelo Corolário 3.13que se, G é um grupo não-abeliano sem 2-elementos, então (KG)σ∗ não pode ser Lien-Engel. Dessa forma, todos os resultados contidos no artigo [CP12] para o caso dechar(K) = 0 estariam provados no capítulo anterior, caso os Teoremas 3.1 e 3.2 de[CP12] não estendessem as propriedades de Lie também quando (KG)−σ∗ é Lie n-Engel ouLie