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Coordenadas horizontais

A figura abaixo ilustra o sistema de coordenadas horizontais. Na figura vemos a metade da abboda

celeste (= esfera celeste) visvel ao observador situado em O. A posio da estrela est marcada por

E. O znite do observador indicado por Z. O znite o ponto da esfera celeste acima da cabea do

observador. De maneira mais tcnica podemos defin-lo como sendo o ponto da esfera celeste que

resulta da extenso ad infinitum da vertical do observador. Assim sendo, a direo de Z

perpendicular ao plano horizontal do observador, no qual se situam os pontos cardeais: norte (N), leste (E), sul (S) e oeste (W) .

O plano que contm tanto os pontos cardeais N e S quanto o znite Z o plano meridiano, cuja

interseco com a esfera celeste define o meridiano astronmico do observador. Este ltimo, por

vezes chamado de linha meridiana, divide a esfera celeste ao meio, sendo portanto um grande

crculo. Analogamente, a interseco do plano horizontal do observador com a esfera celeste o

horizonte do observador, novamente um crculo mximo da esfera celeste. As duas metades da

esfera celeste definidas pelo horizonte so o hemisfrio visvel (acima do horizonte e que contm o

znite) e o hemisfrio invisvel (abaixo do horizonte). A figura abaixo, como j dissemos, representa

apenas a metade visvel da esfera celeste. Como o meridiano astronmico no todo disponvel

observao, alguns autores preferem definir como meridiano astronmico apenas o semi-crculo

meridiano situado acima do horizonte. Outros fazem referncia a este ltimo como sendo o

meridiano superior ou ainda, semi-meridiano superior.

O plano que contm o observador O, o znite Z e a

estrela E chamado de vertical da estrela. A

interseco do vertical da estrela com a esfera celeste define o crculo vertical da mesma.

Figura I.1 - Sistema de coordenadas horizontais

Pois bem, podemos situar qualquer ponto na esfera

celeste com duas coordenadas. No caso do sistema

horizontal essas coordenadas so a altura h e o

azimute A. Pela figura vemos que a altura o

ngulo entre a direo estrela (segmento de reta

OE) e o plano do horizonte. A altura arbitrada

como sendo positiva para pontos da esfera celeste

situados acima do horizonte e negativa para aqueles

abaixo do horizonte. J o azimute o ngulo, contado ao longo do plano horizontal, entre o plano

meridiano e o vertical da estrela. A origem da contagem de A (ou seja, A=0) em geral arbitrada

como sendo o ponto cardeal norte (N); mas alguns autores preferem usar o ponto cardeal sul (S).

comum tambm substituir-se a altura h pela distncia zenital z; esta ltima o ngulo entre a

direo vertical (ou seja, OZ) e a direo estrela. Fica claro, tanto pelas definies quanto pela

figura, que a altura e a distncia zenital so ngulos complementares, ou seja:

h + z = 90

Azimute e altura geralmente so definidos de forma que seus valores possam variar dentro dos seguintes domnios:

0 =< A =< 360

-90 =< h =< +90

0 =< z =< 180

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Valores negativos de altura se aplicam a objetos abaixo do horizonte, sendo z > 90 neste caso.

Para fins de fixao, procuremos agora responder s seguintes perguntas:

1 - Qual a altura de um objeto exatamente no horizonte do observador?

2 - Qual a altura de uma estrela que esteja no nadir, ou seja, no ponto da esfera celeste diametralmente oposto ao znite?

3 - Qual o azimute de um astro que se situa no meridiano astronmico do observador, entre o znite e o ponto cardeal norte?

4 - Qual a altura de um astro cuja distncia zenital z = 40?

5 - Qual o azimute de uma estrela cujo vertical contm o ponto cardeal leste (E)?

Uma observao importante sobre o sistema horizontal que as coordenadas de um objeto mudam

com o passar do tempo. fcil constatar isso, pois sabemos que, devido rotao da Terra, os astros

se movem lentamente de leste para oeste. Ao nascer na direo leste, qualquer estrela ter

necessariamente um azimute no domnio 0

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Figura I.3 - Variao das coordenadas

horizontais em funo da posio do

observador.

Na prxima seo veremos um

sistema de coordenadas que no

depende do tempo ou da

localizao do observador na superfcie da Terra.

Coordenadas equatoriais

J havamos mencionado que os pontos e crculos que so

definidos sobre a superfcie da Terra, tm seus equivalentes

na esfera celeste. Esta situao retratada na figura abaixo,

na qual vemos uma representao da Terra (esfera interna) e

da esfera celeste (esfera externa). Note que esta ltima tem

raio infinito, o que obviamente impossvel de reproduzir

na figura. Mas o importante da figura o fato de permitir a

visualizao dos equivalentes celestes ao equador e plos

geogrficos. Eles so naturalmente chamados de equador celeste e plos celestes norte e sul.

Figura I.4 - Polos e equador celestes.

O fato de haver um nico plano equatorial, reconhecido como tal por todos os observadores em

Terra, independente de onde estejam na sua superfcie, constitui-se na condio bsica para a

definio de um sistema de coordenadas que seja universal, ou seja, utilizvel por todos os

observadores e cujas coordenadas para uma dada fonte tenham o mesmo valor irrespectivamente de

quem as mede. Este o sistema equatorial de coordenadas.

O sistema equatorial de coordenadas, assim como o horizontal, tambm baseado em dois ngulos: a

ascenso reta e a declinao . Outra semelhana entre os dois sistemas o fato de ambos serem definidos a partir de um plano de referncia. No sistema horizontal este plano o plano horizontal

do observador. No sistema equatorial, como novamente implcito pelo prprio nome, o plano de

referncia o plano que contm o equador da Terra e o equador celeste, ou plano equatorial . Na

verdade, um observador atento vai notar que h uma enorme semelhana formal entre os sistemas horizontal e equatorial.

Na figura abaixo vemos uma representao grfica do sistema equatorial, onde T o observador e E

uma estrela. Tambm indicamos a posio do plo norte celeste (PNC). O plano perpendicular a

este ltimo e que contm o observador o plano equatorial. A interseco entre o plano equatorial e a esfera celeste o grande crculo chamado de equador celeste.

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A declinao definida como o ngulo entre o plano equatorial e a direo estrela (segmento TE

da figura). Analogamente ao caso horizontal, o sinal de caracteriza os pontos dos diferentes

hemisfrios separados pelo plano de referncia: (corresponde a pontos a norte (sul) do equador celeste. J o conjunto de todos os pontos cuja declinao constante chamado de paralelo

celeste ou paralelo de declinao . O complemento da declinao, representado pelo ngulo p na

figura, se chama distncia polar, sendo, como implica o prprio termo, o ngulo entre a direo

estrela e a direo ao plo norte celeste (segmento de reta T-PNC). A distncia polar desempenha, no

sistema equatorial, o mesmo papel que a distncia zenital no caso das coordenadas horizontais. Podemos ento escrever:

p = 90

Figura I.5 - Sistema de coordenadas equatoriais.

J a ascenso reta, analogamente ao azimute no

sistema horizontal, contada ao longo do plano de

referncia. Logo a origem da contagem da ascenso

reta () necessariamente um ponto sobre o

equador celeste. Este ponto representado por na

figura abaixo. O ponto (ou ponto vernal ou ainda ponto de ries) um dos dois pontos da esfera celeste

que pertence tanto ao equador celeste quanto ecltica

(ver captulo sobre Movimento anual do Sol ). A

ascenso reta definida como o ngulo entre o plano

que contm PNC, T e e o plano que contm PNC, T e a estrela E (ver figura). A interseco deste ltimo

(primeiro) plano com a esfera celeste define um

grande crculo chamado de crculo horrio da estrela

(do ponto vernal). Os pontos sobre o crculo horrio da estrela tm o mesmo valor de Vemos pela

figura que a ascenso reta contada para leste e pode assumir valores entre 0 =< =< 360. comum, no entanto, exprimirmos a ascenso reta em unidades de tempo. Se atribuirmos um domnio

de 24h ao domnio de valores de acima, teremos 1h = 15. Por exemplo, os pontos sobre o crculo

horrio do ponto tm Esta relao entre ascenso reta e tempo ficar mais ntida adiante, quando discutirmos o conceito de ngulo horrio e as diferentes definies de sistemas de tempo.

ngulo horrio

ngulo horrio H de um astro o ngulo entre o crculo

horrio deste astro e o meridiano astronmico do

observador. Este ngulo, assim como a ascenso reta,

tambm contado sobre o equador celeste, variando de 0

=< H =< 360. A figura abaixo muito semelhante

mostrada acima. A diferena a incluso do meridiano

astronmico do observador na figura. Conforme

explicado anteriormente, o meridiano o grande crculo

no cu que contm o znite e os pontos cardeais norte e

sul. O meridiano necessariamente contm tambm os

plos celestes norte e sul. Na figura vemos que o ngulo

horrio cresce, a partir do meridiano, em direo oposta

ascenso reta. H cresce para oeste, acompanhando o

movimento diurno dos astros (de leste para oeste). J cresce para leste, seguindo o movimento anual do Sol.

Figura I.6 - Coordenadas horrias

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precisamente o fato de acompanhar o movimento diurno dos astros que torna H um indicador til

para contagem de tempo. Por exemplo, se num dado instante uma estrela est no meridiano

astronmico de um observador, seu ngulo horrio H = 0. Um dia depois, aps a Terra dar um giro

completo em torno de seu eixo, a estrela estar novamente passando pelo meridiano do observador.

Durante estas duas passagens meridianas, o ngulo horrio da estrela ter variado de 0 a 360.

Podemos, portanto, definir a hora do dia com base no ngulo horrio do astro. Da o nome!

A verdade que o cu um imenso relgio, do qual os astros so os ponteiros. A partir da posio

destes ponteiros podemos ento obter uma medida da hora. Por exemplo, define-se hora sideral (S)

como sendo simplesmente o ngulo horrio do ponto vernal (ponto Pela figura acima, vemos ento que:

S = H= H* +

onde H* e se referem a uma estrela qualquer.

Podemos tambm usar o ngulo horrio do Sol como indicador da hora. Uma vantagem bvia de

faz-lo reside no fato de que o Sol facilmente localizvel no cu, o mesmo no se aplicando ao

ponto vernal. A hora solar (M) ento dada pela expresso:

M = Hsol + 12h

onde Hsol o ngulo horrio do Sol em um dado instante. O acrscimo de 12h serve simplesmente

para fazer com que a passagem meridiana do Sol (Hsol = 0h) corresponda ao meio-dia (M = 12h) e

no meia-noite. Mais adiante voltaremos a discutir, em mais detalhe, os sistemas de marcao de tempo usados em Astronomia.

Para fins de fixao, veja se consegue responder as perguntas abaixo.

1) Qual o valor de declinao do Plo Sul Celeste? E qual o valor de para o Plo Norte Celeste?

2) Qual o valor de de um ponto cujo crculo horrio faz um ngulo de 180 com o crculo horrio do ponto vernal?

3) Qual o valor de de uma estrela situada 45 a Sul equador celeste?

4) Seja um observador situado no plo norte geogrfico da Terra. Que ponto de referncia do sistema

equatorial se situa no znite deste observador? Qual a declinao de um ponto cuja distncia zenital

medida por este observador 30?

5) Qual o valor de distncia polar de uma estrela de declinao = 20? E de uma estrela = -50?

Movimento diurno dos astros

As estrelas visveis no cu noturno variam com a poca do ano, a hora do dia e com a latitude do observador.

A dependncia com a poca do ano, causada pelo fato de o Sol se mover com relao s estrelas,

ao longo do ano. Este movimento anual do Sol , como veremos mais adiante, o resultado do

movimento orbital da Terra em torno do Sol. O caminho do Sol no cu em seu movimento anual se

chama ecltica . Dessa forma, as estrelas que aparecem no cu noturno, ou seja, que esto longe da posio do Sol na esfera celeste, mudam lentamente ao longo do ano.

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A dependncia com a hora do dia se deve rotao da Terra. De maneira geral, os astros nascem e

se pem no cu medida em que a Terra gira em torno de seu eixo. Como esse movimento faz com

que um observador fixo na superfcie da Terra descreva um crculo no espao, os astros, vistos por

este observador, descrevem tambm um crculo na esfera celeste. A este movimento chamamos de

movimento diurno. A rotao se d de oeste para leste; logo, o movimento diurno dos astros no cu

se d no sentido inverso, de leste para oeste. O movimento de um ponto fixo na superfcie da Terra

paralelo ao equador, mantendo-se constante, portanto, a latitude do ponto. Da mesma forma, o

crculo descrito por uma estrela em seu movimento diurno paralelo ao equador celeste. Portanto,

no se altera a declinao da mesma (ou a sua distncia polar p). Como o ponto fixo com relao s estrelas, tambm ele se move no cu ao longo do dia. A ascenso reta ento mantida

constante. Essa a grande vantagem das coordenadas equatoriais sobre as horizontais: enquanto a

altura h e o azimute A de um astro variam ao longo do dia, devido ao movimento diurno, a ascenso

reta e a declinao so fixas. Essas ltimas variam apenas em escalas de tempo muito mais longas, devido aos efeitos de precesso, nutao, aberrao, paralaxe e movimento prprio, que veremos em maior detalhe mais adiante.

Passagem meridiana

Em geral, parte do crculo descrito por um astro no cu ao longo de um dia, estar acima do horizonte

do observador e parte dele estar abaixo. No instante em que o astro est no plano que contm o

meridiano astronmico do observador, sua altura no cu um extremo. Isso acontece duas vezes em

um dia sideral; na culminao superior (ngulo horrio H = 0) a altura do astro mxima, na

culminao inferior (H = 180) sua altura mnima. A culminao superior a melhor ocasio para

se observar o astro, j que sua altura h mxima (distncia zenital, zmin, mnima). Neste instante de

passagem meridiana, podemos tambm estabelecer relaes simples envolvendo a altura hmax e

declinao da estrela e a latitude do observador. O primeiro passo para isso o de construir o diagrama do plano meridiano do observador . Este mostrado na figura abaixo. Nele vemos o

observador em O, sua vertical OZ que encontra a esfera celeste no znite (Z) e os pontos cardeais

norte (N) e sul (S). Tambm pertencem ao plano meridiano o plo celeste elevado (no caso da figura

o plo celeste sul, PSC) e um ponto do equador celeste que cruza o plano meridiano em EC. O

meridiano astronmico representado pelo semi-crculo no diagrama. A posio de uma estrela que

faz sua culminao superior tambm mostrada,

juntamente com sua declinao e sua distncia zenital z. Como latitudes e declinaes a sul so

arbitradas como de valor negativo, enquanto que

altura acima do horizonte e distncia zenital so

sempre positivas, faz-se necessrio incluir um sinal

negativo na frente de alguns ngulos mostrados,

como forma de compatibilizar estas definies.

Figura I.7 - Diagrama do plano meridiano de um

observador situado no hemisfrio sul terrestre.

Note que a figura mostra um resultado muito importante: a altura do plo elevado

numericamente igual latitude do observador . Para nos convercermos disso fazemos uso da

prxima figura, em que vemos o plano meridiano de um observador situado no ponto O da superfcie

da Terra. Nesta figura, vemos no apenas o plano meridiano, mas tambm todos os pontos na

superfcie da Terra que compartilham deste plano, incluindo-se ainda o centro da Terra e os seus

plos norte e sul geogrficos (PNG e PSG, respectivamente). fcil provar, usando equivalncia de

ngulos correspondentes e lembrando que o eixo de rotao perpendicular ao equador e que a

vertical do observador perpendicular que sua horizontal, que a altura do plo celeste elevado , de fato, numericamente igual latitude.

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Figura I.8 - A altura do polo elevado igual

numericamente latitude do observador.

Voltemos agora questo fundamental da

relao matemtica envolvendo a altura hmax

e a declinao da estrela e a latitude do observador. So duas as relaes

envolvendo estas variveis no instante da

passagem meridiana. A relao a ser usada

depende da culminao superior se dar a norte (A = 0) ou a sul de znite (A = 180):

zmin (se A = 0)

zmin (se A = 180)

Essas duas frmulas podem ser facilmente

deduzidas pela figura abaixo, que mostra

novamente o diagrama do plano meridiano.

Note que o plo celeste elevado agora o plo celeste norte, PNC. O ponto do equador celeste que cruza o plano meridiano EC.

A figura mostra a situao de culminao superior de duas estrelas, uma a norte do znite (K) e a outra a sul (V). Da figura segue imediatamente que:

kzk (Ak = 0)

vzv (Av = 180)

Figura I.9 - Diagrama do plano meridiano de um observador

situado no hemisfrio norte e com duas estrelas em culminao

superior: EV, a sul do znite, e EK, a norte do znite.

Estrelas circumpolares e estrelas invisveis

Consideremos agora o efeito da latitude do observador

sobre a visibilidade das estrelas. Estrelas muito prximas do plo norte celeste, por exemplo, esto

sempre acima (abaixo) do horizonte de observadores situados em latitudes norte (sul). Estrelas

sempre acima do horizonte so chamadas de circumpolares. Estrelas sempre abaixo do horizonte de

um observador so simplesmente chamadas de invisveis. Para que uma estrela seja circumpolar, a

altura mnima que ela atinge durante todo o dia tem que ser positiva, ou seja, hmin > 0. A altura

mnima de qualquer astro ocorre na sua culminao inferior. Pela figura abaixo podemos ver que a condio de circumpolaridade de uma estrela para um observador no hemisfrio norte dada por:

> 90- .

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Figura I.10 - Diagrama do plano meridiano

de um observador situado no hemisfrio

norte. As estrelas que se situam na calota

indicada em tom mais escuro satisfazem a

condio de circumpolaridade.

No diagrama acima o semi-crculo que

passa pelos pontos cardeais norte (N) e

sul (S) e tambm pelo znite o meridiano astronmico do observador. O plo celeste elevado o

plo celeste norte (PNC), cuja direo perpendicular ao equador celeste. Este ltimo cruza o

meridiano do observador no ponto EC. A altura do plo celeste visvel igual latitude do

observador, sendo que a direo de PNC bissetriz do arco mostrado em tonalidade escura na figura. Este arco representa a zona ocupada pelas estrelas circumpolares para o observador em questo.

Podemos determinar nossa latitude pela observao do movimento diurno de estrelas circumpolares.

O mtodo ilustrado na figura abaixo.

Figura I.11 - Diagrama do plano meridiano de um

observador situado no hemisfrio norte, mostrando a

relao entre as alturas de culminao superior e

inferior de uma estrela circumpolar e latitude do

observador.

Nela vemos novamente uma representao do plano meridiano de um observador. Vemos o plo

elevado (PNC), de altura igual latitude do observador. Vemos tambm as posies de uma estrela circumpolar nos momentos da culminao superior (C.S.) e inferior (C.I.). Como a declinao da

estrela no muda ao longo de um dia, sua distncia polar p tambm se mantm constante. Assim,

podemos ver facilmente pela figura que as alturas mxima (h_s) e mnima (h_i) da estrela durante

seu movimento diurno podem ser expressas em funo de e p:

h_i = p

h_s = + p

Logo, eliminando p do sistema de equaes acima, teremos:

= (h_s + h_i) / 2

Para um observador no Hemisfrio Sul da Terra, a frmula praticamente a mesma. A nica

diferena que temos que lembrar que, neste caso, convenciona-se que a latitude negativa,

enquanto que as alturas de uma estrela circumpolar sero sempre positivas. Assim temos apenas que mudar um sinal algbrico:

= (h_s + h_i) / 2

Note que o plo sul celeste est sempre abaixo do horizonte do observador em questo. Estrelas

suficientemente prximas a ele estaro sempre invisveis a este observador. A condio para uma

estrela nunca nasa (seja invisvel) (hmax < 0):

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< -(90-)

Figura I.12 - Diagrama do plano meridiano de um observador

situado no hemisfrio norte, mostrando a condio de

invisibilidade, neste caso necessariamente de estrelas

prximas ao plo sul celeste..

Assim, no caso de um observador cuja latitude = 45, por exemplo, estrelas com

socircumpolares e estrelas com so invisveis.

As condies de circumpolaridade e invisibilidade acima se aplicam para o caso em que o observador

est no hemisfrio norte da Terra (ou seja, Para o hemisfrio sul (teremos

Circumpolaridade: < -(90 +

nvisibilidade: > (90 +

Tente desenhar diagramas do plano meridiano de um observador, semelhantes aos diagramas acima,

mas para o caso de um observador no hemisfrio sul terrestre. Ao desenh-los, lembrando das

definies de plo e equador celestes e lembrando que a altura do plo sul celeste ser sempre igual

ao mdulo da latitude do observador, voc dever ser capaz de deduzir as expresses acima.

Movimento diurno: exemplos do efeito da latitude do observador

Diferentes pontos na superfcie da Terra vem diferentes partes da esfera celeste. As 5 figuras abaixo

representam, respectivamente, situaes de observadores no plo norte da Terra, a uma latitude norte

intermediria, no equador da Terra, a uma latitude sul intermediria e no plo sul. Em cada uma das

cinco figuras, a linha verde denota o caminho diurno descrito por uma estrela de declinao > 0 e

a linha azul representa o mesmo caminho para uma estrela de declinao < 0. Como veremos mais adiante estes caminhos representam muito bem os arcos diurnos descritos pelo Sol em um dia de

junho (linha verde) e em um dia de dezembro (linha azul). J nos equincios (aproximadamente em

21/03 e 21/09) o Sol se encontra sobre o equador celeste (linha escura), sendo este ento o caminho

por ele percorrido no cu ao longo destes dias.

No plo norte (latitude =+90), o plo norte celeste (PNC) coincide com o znite e o equador celeste coincide com o horizonte. Assim, o cu visvel exatamente o hemisfrio norte celeste.

medida em que a Terra gira, todas as estrelas descrevem crculos em torno de PNC, ou seja, neste

caso em torno do znite. Os crculos por elas descritos so ento paralelos ao horizonte, de altura

constante (esses crculos de h = cte so chamados de almocntaras). Nenhuma estrela, portanto,

nasce ou se pe no cu. Todas as estrelas do hemisfrio norte celeste (ou seja, com > 0) so

circumpolares. As estrelas com < 0 so sempre invisveis. Se o Sol tem declinao positiva, ele tambm estar sempre acima do horizonte durante todo o dia. Por exemplo, no solstcio de junho (em

torno de 21/06), a declinao do Sol = 23.5, o que significa que ele estar o dia inteiro acima do horizonte, no almucntar de h = 23.5. O inverso ocorre no ms de dezembro, quando a declinao

do Sol negativa. Neste caso o Sol fica abaixo do horizonte (no se v a linha azul no diagrama) e um observador no plo norte da Terra fica ento imerso em noite constante.

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Figura I.13 - Arcos diurnos tpicos descritos no cu de um

observador situado no plo norte da Terra. A linha verde

representa uma estrela de declinao > 0.

A uma latitude norte intermediria (=+45), o PNC est a uma altura de 45 (a altura do plo sempre

igual ao mdulo da latitude, nunca se esquea

disso!). Metade do equador celeste est acima do

horizonte e a outra metade est abaixo. Note que

isso sempre verdade, exceto para um observador

no plos. O equador celeste cruza o horizonte nos

pontos cardeais leste (E) e oeste (W). Algumas estrelas so circumpolares (aquelas com > 45) e

outras nunca nascem (< -45). As demais estrelas nascem e se pem a cada dia, passando parte do dia acima e parte do dia abaixo do horizonte. O Sol, por exemplo, no satisfaz nem a condio de

circumpolaridade nem a de invisibilidade. Isso significa que em qualquer dia do ano o Sol nascer e

se por a esta latitude. Claro que em junho, ele est mais prximo de satisfazer a condio de

circumpolaridade, ficando portanto mais tempo acima do horizonte, enquanto que em dezembro a

situao se reverte e a noite mais longa do que o dia. Note ainda que o Sol nasce a norte do ponto

cardeal leste e se pe tambm a norte do ponto cardeal oeste em junho, enquanto que em dezembro

tanto o nascer quanto o por do Sol se

do a sul desses pontos cardeais.

Finalmente, vale notar que a altura do

Sol ao passar pelo meridiano maior

em junho do que em dezembro. Como

a incidncia dos raios solares mais

perpendicular no primeiro caso do que

no segundo, as temperaturas tendem a

ser maiores em resposta a este

aumento na insolao (e tambm ao

fato de o Sol passar mais tempo acima do horizonte).

Figura I.14 - Arcos diurnos tpicos descritos

no cu de um observador situado a uma

latitude norte intermediria. A linha verde

(azul) representa uma estrela de declinao

> (

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Figura I.15 - Arcos diurnos tpicos descritos no cu de um

observador situado sobre o equador terrestre (latitude = 0). A linha verde (azul) representa uma estrela de declinao

> ( +45). As demais estrelas nascem e se pem a cada dia, passando parte do dia acima e parte

do dia abaixo do horizonte. O Sol novamente nasce e

se pe todos os dias. Mas agora, ele fica mais da metade do dia acima do horizonte nos meses

prximos a dezembro, resultando no vero no hemisfrio sul. Prximo a junho, seu caminho no cu

ao longo do dia est majoritariamente abaixo do horizonte. Os pontos de nascer e ocaso do Sol

novamente esto a norte ou sul dos pontos cardeais E e W, dependendo tambm da poca do ano.

Figura I.16 - Arcos diurnos tpicos descritos no

cu de um observador situado a uma latitude sul

intermediria ( = -45). A linha verde (azul) representa uma estrela de declinao > ( 0 so sempre invisveis. O Sol fica o dia inteiro acima do horizonte entre os

dias 21/09 e 21/03, passando a ficar sempre abaixo do horizonte entre 21/03 e 21/09.

Figura I.17 - Arcos diurnos tpicos descritos no cu de

um observador situado no plo sul geogfico ( = -90). A linha azul representa uma estrela de declinao < 0.

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Recordao - Astronomia de Posio

ESFERA CELESTE

esfera: uma superfcie no espao tridimensional cujos pontos so equidistantes de um centro.

grande crculo ou crculo mximo: um crculo na superfcie de uma esfera que a divide em duas metades (hemisfrios).

pequeno crculo: qualquer crculo sobre uma esfera que no seja mximo.

esfera celeste: um modelo de cu pelo qual o consideramos a superfcie de uma esfera centrada em ns. Todos os astros (Sol, Lua, planetas, estrelas, cometas, etc) esto localizados sobre a esfera celeste. A esfera celeste tem as seguintes propriedades:

1. imaginria. 2. Seu raio considerado muito maior do que as dimenses da Terra, sendo,

portanto, qualquer ponto sobre a superfcie desta ltima igualmente vlido como centro da esfera celeste.

3. Apesar das distncias de diferentes astros Terra variarem, todos so considerados como situados sobre a esfera, tendo, portanto, uma posio aparente sobre esta. A posio de um astro relativamente a outro na esfera celeste pode e definida usando coordenadas angulares.

SISTEMA HORIZONTAL

direo vertical: a direo diretamente acima ou abaixo de um observador. De forma mais precisa, direo da acelerao gravitacional no ponto da superfcie terrestre onde ele se encontra.

znite: o ponto da esfera celeste que resulta do prolongamento ao infinito da vertical do observador no sentido contrrio gravidade. Ponto da esfera celeste diretamente acima da cabea do observador

nadir: a direo diretamente abaixo do observador, ou seja, o ponto da esfera celeste diametralmente oposto ao znite.

plano horizontal: plano perpendicular direo vertical de um observador e que contenha o mesmo.

horizonte:

o crculo mximo que resulta do prolongamento do plano horizontal do observador at encontrar a esfera celeste; a interseco entre a esfera celeste e o plano perpendicular vertical do observador.

meridiano astronmico: o grande crculo que passa pelo znite do observador e pelos pontos cardeais norte e sul. ao mesmo tempo um crculo vertical (perpendicular ao horizonte) e um crculo horrio. O meridiano de um observador o seu mais importante crculo de referncia.

plano meridiano: plano que contm o meridiano astronmico. o mesmo plano que contm o observador e o eixo de rotao da Terra

plano vertical: qualquer plano perpendicular ao plano horizontal. Plano vertical de um astro o plano que contm o crculo vertical do mesmo.

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crculo vertical: qualquer grande crculo que contenha o znite e o nadir. Seu nome se deve ao fato de ser um crculo perpendicular ao horizonte.

altura (h): Trata-se de uma das coordenadas do sistema horizontal (a outra o azimute). A altura de um objeto o ngulo entre a direo ao objeto e a horizontal, ngulo este contado ao longo do crculo vertical que contm o astro. A altura pode ser tanto positiva (h > 0, astro acima do horizonte) quanto negativa (h < 0, astro invisvel, abaixo do horizonte). A altura do znite h = 90 e a do nadir h = -90.

azimute (A): Outra coordenada horizontal. o ngulo, contado ao longo do horizonte, entre a direo norte e a base do crculo vertical do astro. Outra forma de defin-lo como sendo a ngulo entre o plano meridiano do observador e o vertical do astro. geralmente contado no sentido norte-leste-sul-oeste. A=0: ponto cardeal norte; A=90: ponto cardeal leste; A=180: ponto cardeal sul; A=270: ponto cardeal oeste.

almucntar: Crculo de altura constante paralelo ao horizonte. Chama-se tambm de paralelo de altura.

SISTEMA EQUATORIAL

plos celestes: so os pontos da esfera celeste que resultam do prolongamento do eixo de rotao da Terra. Os plos celestes norte e sul so pontos fixos da esfera celeste, ou seja, no se movem no cu de um observador durante a noite. Para um observador situado em um dos plos geogrficos da Terra, o plo celeste correspondente coincide com o znite.

equador celeste: o grande crculo que resulta da interseco entre o plano equatorial terrestre e a esfera celeste.

crculo (ou arco) diurno: o caminho aparente de uma estrela no cu durante um dia, devido rotao da Terra. Crculos diurnos so paralelos ao equador celeste e so crculos pequenos (exceto por uma estrela situada no equador celeste).

crculo horrio: qualquer grande crculo que contenha os plos celestes norte e sul. Os crculos horrios so perpendiculares ao equador celeste, assim como os crculos verticais so perpendiculares ao horizonte.

ponto vernal (g):

o ponto da esfera celeste onde se situa o Sol no Equincio de maro (em torno de 21/03). Este ponto se situa sobre o equador celeste e, ao passar por este ponto, o Sol sai do hemisfrio sul celeste e entra no hemisfrio norte celeste. Tambm chamado de Ponto g ou Ponto de ries.

ascenso reta (a): uma das coordenadas do sistema equatorial. o ngulo, medido ao longo do equador celeste, entre o ponto vernal e a base do crculo horrio que contm o objeto. Outra definio: ngulo entre o plano que contm o crculo horrio do ponto vernal e o plano que contm o crculo horrio do astro. A ascenso reta cresce no sentido leste e, em geral, contada em unidades de tempo (1h = 15; 24h = 360).

declinao (d): o ngulo entre a direo a um objeto e o plano do equador celeste, medido ao longo do crculo horrio do objeto. A declinao pode ser norte ou sul, casos em que d > 0 e d < 0, respectivamente. Plo Sul celeste: d = -90; plo norte celeste: d = 90.

ngulo horrio (H): o ngulo, contado a oeste, entre o meridiano do observador e o crculo horrio do objeto. Geralmente expresso em unidades de tempo.

14

ecltica: o caminho aparente do Sol na esfera celeste ao longo do ano. O movimento anual do Sol se deve revoluo da Terra ao longo de sua rbita em torno do mesmo. A ecltica , portanto, a interseco entre o plano orbital terrestre e a esfera celeste. A ecltica faz um ngulo de aproximadamente 23.5 com o Equador Celeste. Os dois pontos de interseco entre estes dois grandes crculos so o ponto Vernal (g ) e o ponto W , o primeiro dos quais marca a origem da ascenso reta.

Quadro resumo de coordenadas celestes

Sistema Horizontal Horrio Uranogrfico Ecltico

Plano Fundamental Horizonte Equador Equador Ecltica

Abcissa Azimute ng. Horrio Ascenso reta Longitude

Smbolo A H a l

Origem ponto norte SMS ponto vernal ponto vernal

Sentido Direto (por leste) Retrgrado (por oeste)

Direto Direto

Variao 0 a 360 0 a 24h 0 a 360 0 a 360

Ordenada Altura (dist. Zenital) Declinao Declinao Latitude

Smbolo

h (Z)

(dist. Polar) d (p)

(dist. Polar) d (p)

b

variao -90 a + 90 (0 a 180)

-90 a + 90 (0 a 180)

-90 a + 90 (0 a 180)

-90 a + 90

Referenciamento Local Misto No-local No-local

Eixos

N 3

N 1

N 2

Vertical

(+) Z

meridiana

(+) pto. Sul

levrgiro

Eixo de rotao (+) Pn

linha EW

(+) oeste

levrgiro

Eixo de rotao (+) Pn

linha equin.

(+) p vernal

dextrgiro

Eixo da ecltica (+) Pn

linha equin.

(+) p. vernal dextrgiro

Reviso sobre sistemas de coordenadas

Astrnomos baseiam suas medidas de posio de objetos no

conceito de esfera celeste. uma esfera imaginria, centrada no

observador, em cuja superfcie todos os astros se situam,

desprezando-se assim suas diferentes distncias. Os plos e o

equador celestes so projees no cu dos plos e equador

terrestres. O meridiano astronmico de um observador a

projeo do seu meridiano geogrfico na esfera celeste. No cu do

observador, o meridiano astronmico um grande crculo que liga

um plo celeste ao outro, passando pelo ponto diretamente acima da

cabea do observador, o znite, e tambm pelos pontos cardeais

norte e sul.

Figura I.20 - Relao entre o equador e plos geogrficos e seus

correspondentes na esfera celeste.

15

H mais de um sistema de coordenadas, sua utilidade dependendo da situao especfica.

Coordenadas Equatoriais: Um sistema til para se usar com telescpios de montagem equatorial,

ou seja, um telescpio que se move em torno de eixos paralelos ao eixo de rotao e ao equador. Este

sistema de coordenadas vem sendo usado desde os primeiros catlogos de estrelas. As coordenadas

equatoriais so a ascenso reta () e a declinao ( ).

A ascenso reta anloga longitude e comumente medida em unidades de tempo: horas, minutos

e segundos. O ponto sobre o Equador celeste em que h o Ponto Vernal (ou Ponto de ries

ou ainda Ponto ). Este ponto corresponde tambm posio do Sol no Equincio de Maro. A ascenso reta contada ento a

partir deste ponto, ao longo do Equador celeste e na direo leste.

O domnio de valores de ascenso reta 0h < h ou 0 <

. Como sabemos, a converso de 15/h se deve ao fato de ser esta a velocidade angular de rotao da Terra. Note que, sendo

usualmente expressa em unidades de tempo, precisamos converter

valores de ascenso reta em graus antes de os usar nas frmulas

de trigonometria esfrica (que foram deduzidas anteriormente ).

A declinao anloga latitude, sendo portanto, = 0 correspondente a qualquer ponto sobre o equador celeste e

0 para pontos a norte (sul) do mesmo. A declinao geralmente expressa em graus, minutos e segundo de arco.

Figura I.21 - Coordenadas equatoriais e horrias de uma estrela.

Exemplos: Uma estrela sobre o equator celeste tem declinao

= 0. Se esta mesma estrela tem ascenso reta h, sua distncia angular ao Ponto Vernal, contada ao longo do equador celeste, de 6 h x 15 /h = 90.

Uma estrela com = 60 e h se situa a 6h x 15 /h x cos(60) = 45 do ponto com a mesma declinao (ou seja, sobre o mesmo paralelo astronmico) e com ascenso reta nula (ou seja, sobre o

mesmo crculo horrio que o Ponto .

Outra definio importante a de ngulo horrio (H). O ngulo horrio o ngulo, expresso em

unidades de tempo, entre o meridiano astronmico do observador e o crculo horrio do astro. Como

est implcito no prprio nome, o ngulo horrio uma medida de tempo. Seja, por exemplo, a definio de hora sideral, S.

S = HH* + *

A hora sideral simplesmente definida como o ngulo horrio do ponto vernal. Como este a

origem da ascenso reta, segue-se a segunda igualdade acima, onde H* e so o ngulo horrio e a

ascenso reta de uma estrela qualquer. Esta expresso reflete a relao entre as coordenadas H e e a marcao da hora, justificando assim que essas coordenadas sejam expressas em unidades temporais.

Podemos ento definir como dia sideral o intervalo de tempo necessrio para que o Ponto Vernal

passe duas vezes pelo meridiano de um observador qualquer. Em outras palavras, o intervalo

decorrido entre duas passagens meridianas do Ponto

Podemos tambm usar o ngulo horrio do Sol para marcar o tempo. Neste caso temos o tempo solar (M):

M = Hsol + 12h

16

Acrescenta-se 12h ao valor do ngulo horrio do Sol para permitir que a passagem meridiana deste

(quando Hsol = 0h) ocorra ao meio-dia (12h) e no meia-noite. Novamente podemos falar de dia

solar como sendo o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do Sol pelo meridiano de um observador.

Por estar a Terra orbitando em torno do Sol ao mesmo tempo em que gira em torno de seu eixo de

rotao, os dias solar e sideral no tm a mesma durao. Como o sentido de ambos os movimentos

o mesmo (anti-horrio se visto do norte e horrio se olhamos do sul) fcil provar que o dia solar

um pouco mais longo do que sideral:

Dia solar = 24h solares.

Dia sideral = 24h siderais = 23h 56m 04s solares.

Finalmente, cumpre mencionar que o eixo de rotao da Terra muda de direo no espao. Por

conseguinte, mudam no cu as posies dos plos celestes, do equador celeste e do Ponto Vernal. A

este movimento chamamos de precesso do eixo (ou precesso dos equincios). Como as

coordenadas equatoriais so definidas a partir deste pontos e crculos da esfera celeste, elas tambm

variam com o tempo. Frmulas para calcular as coordenadas equatoriais de um astro em diferentes

pocas so dadas pelo Astronomical Almanac. Essas frmulas so muito teis, pois os catlogos

astronmicos geralmente listam as coordenadas das estrelas para uma poca arredondada, como 1950

ou 2000. Se quisermos localizar com preciso um objeto no cu em uma poca arbitrria, teremos necessariamente que corrigir as coordenadas catalogadas para a precesso.

A precesso do eixo muito lenta. De maneira aproximada, a variao de da ordem de 3s por

ano e a de de uns 20"/ano. A figura abaixo mostra a variao da posio dos plos celestes devida precesso. A figura da esquerda mostra a situao no presente, em que o plo norte celeste (PNC)

coincide aproximadamente com a

estrela Polaris. Daqui a milhares de

anos, o plo celeste norte coindir

aproximadamente com a estrela Vega

(figura da direita). Em alguns

captulos mais adiante, discutiremos

com mais profundidade a precesso do

eixo, bem como outros movimentos

que levam variaes nas coordenadas equatoriais das estrelas.

Figura I.22 - Efeito da precesso do eixo de

rotao da Terra, levando os plos celestes a se

deslocarem lentamente no cu com relao ao

fundo de estrelas, descrevendo um cone em torno

do plo ecltico.

Coordenadas horizontais ou altazimutais: Este sistema de coordenadas baseado no plano do horizonte e na vertical do observador. Por serem a horizontal e a vertical fceis de localizar, este sistema de coordenadas o mais fcil de se visualizar e suas coordenadas so mais diretamente mensurveis. tambm mais fcil montar um telescpio de forma que ele se mova horizontal e verticalmente. Portanto,

quase todos os grandes telescpios tm montagem altazimutal.

Figura I.23 - Coordenadas horizontais: altura (h),

representada direita; azimute (A), representado esquerda.

17

As coordenadas do sistema horizontal so a altura (h) e o azimute (A). O azimute medido

paralelamente ao horizonte. A = 0 corresponde direo do ponto cardeal norte (N na figura acima),

A = 90 corresponde direo leste (E), A=180 aponta para o Sul (S) e A = 270 indica o ponto

cardeal oeste (W). A altura h o ngulo entre a direo ao astro no cu e o plano horizontal. O

domnio de h de -90 < h < 90, sendo h < 0 (h > 0) para objetos abaixo (acima) do horizonte. Os

valores extremos negativo e positivo correspondem, respectivamente, ao nadir e ao znite. Tanto a

altura quanto o azimute so expressos em unidades angulares. Cumpre notar tambm que,

contrariamente s coordenadas equatoriais, as coordenadas horizontais de um astro mudam com a

posio do observador e com a hora do dia. Isso porque o sistema equatorial baseado em pontos e

crculos que so universalmente reconhecidos por qualquer observador na superfcie da Terra. J

conceitos como o plano horizontal e direo vertical so relativos. Computadores podem ser

programados para transformar coordenadas de um sistema para outro. Essas transformaes podem

ser deduzidas usando-se frmulas de trigonometria esfrica. Como as coordenadas horizontais

variam rapidamente com o tempo, e tambm dependem de onde se encontra o observador, essas

transformaes tambm envolvem coordenadas temporais, como o ngulo horrio, e a latitude do

observador,

A Trigonometria Esfrica j foi discutida nos segmentos anteriores. Uma compilao mais extensa de

frmulas de Trigonometria Esfrica pode ser obtida no livro Conceitos de Astronomia, de I.

Boczko, do qual, inclusive, algumas figuras deste texto foram copiadas. Outra boa compilao pode ser obtida em Astrophysical Formulae, de Lang, p. 504.

Uma dificuldade comum consiste em sermos capazes de visualizar, ao mesmo tempo, os pontos e

crculos pertinentes tanto ao sistema horizontal quanto ao sistema equatorial de referncia. Tentamos

fazer isso na figura abaixo. A figura mostra o plano que contm o meridiano geogrfico de

observadores situados nos pontos O1 e O2 sobre a superfcie da Terra. So indicados o eixo de

rotao da Terra, ligando os plos geogrficos norte (PNG) e sul (PSG), bem como o Equador geogrfico.

Figura I.24 - Orientao relativa entre os pontos e crculos de

referncia dos sistemas horizontal e equatorial.

O plano horizontal do observador em O1, assumindo-se a

Terra como esfrica e de densidade uniforme,

simplesmente o plano tangente superfcie da Terra em

O1, tal como indicado. J a vertical do observador ser o

prolongamento da reta que liga o centro do planeta (C) ao

observador. O ngulo entre esta reta e o plano equatorial

, por definio, a latitude () de O1. Como a vertical perpendicular horizontal, o mesmo acontecendo com a direo dos plos celestes com relao ao

equador celeste, fica evidente pela figura que a altura do plo celeste visvel do observador (no

caso de O1 na figura o plo celeste norte, PNC) igual latitude do observador. Note que para

O1 o plo elevado (acima do horizonte) o celeste norte, enquanto que para O2, por situar-se a sul

do equador da Terra, o plo celeste elevado o sul. Para O2, portanto, a igualdade entre a altura do plo elevado e a latitude uma igualdade em mdulo, com sinais algbricos opostos.

Coordenadas eclticas: Este um sistema cujo plano de referncia o da ecltica, ou seja, o plano

que contm o caminho descrito pelo Sol no cu ao longo de um ano. Este sistema usado com

freqncia em Astronutica, por exemplo, para expressar e manter a posio e orientao de uma

nave com relao ao Sol. Latitude e longitude eclticas so usualmente expressas em graus e so

mais comumente usadas em Astronomia do Sistema Solar. A primeira ( a altura do astro com relao ao plano da ecltica (ver figura abaixo). J a longitude ecltica (L) contada ao longo deste

18

plano, com origem no ponto Transformaes entre este sistema e os demais podem ser encontradas nas mesmas referncias mencionadas acima.

Figura I.25 - Sistema de coordenadas eclticas, mostrando a

longitude ecltica (L) e a latitude ecltica ().

Coordenadas Galticas: Mais um sistema de coordenadas

esfricas, anlogo aos demais. Desta vez o plano de

referncia o plano do disco da Via-Lctea, a galxia a que

pertence o nosso Sistema Solar. A longitude galtica (l),

contada ao longo do plano do disco, tem origem na direo

ao centro da Galxia. Note que difcil definir o centro da

Via-Lctea, o que torna este sistema sujeito a revises mais

freqentes do que os anteriores. A latitude galtica

usualmente denotada pela letra b, podendo, assim como a

declinao, a altura e a latitude ecltica, assumir valores entre -90 < b < 90. A direo ao centro da

Galxia (ou seja, l=0) situa-se na constelao de Sagitrio, ao passo que o polo norte galtico (ou

seja, b = +90) fica na constelao da Cabeleira de Berenice. Este sistema de coordenadas mais

aplicado em estudos que envolvem a distribuio de objetos dentro da Via-Lctea. Consulte o livro

do Lang para ver transformaes entre este sistema e o equatorial.

Figura I.26 - Sistema de coordenadas galticas, mostrando o

plano da Galxia inclinado por mais de 62 com relao ao

plano equatorial.

Movimento Anual do Sol

As estrelas que vemos noite tm posies fixas no cu

umas com relao s outras (exceto pelos efeitos

secundrios de aberrao, paralaxe e movimento

prprio, que discutiremos mais adiante). O Sol contudo se move por entre as estrelas a uma taxa de

1 por dia aproximadamente. Assim, ao final de um ano, ter descrito um grande crculo no cu, a

que chamamos de ecltica. O movimento anual do Sol no cu causado pelo movimento orbital da

Terra em torno deste. A figura abaixo mostra a variao da posio do Sol no cu com relao s

estrelas mais distantes medida em que

a Terra se move em sua rbita anual.

Esta ltima corresponde elipse mais

interna da figura. A pequena esfera

branca representa a Terra e a elipse mais

externa a ecltica.

Figura I.27 - A esfera maior representa a

Terra em quatro posies ao longo de sua

rbita (elipse interna). O Sol (esfera central)

visto projetado sobre diferentes constelaes

situadas sobre a ecltica (elipse externa),

medida que a Terra percorre sua rbita.

19

As estrelas formam figuras imaginrias no cu, a que chamamos de constelaes. As constelaes

atravessadas pela ecltica so chamadas de constelaes zodiacais. A faixa do cu coberta por estas

constelaes chamada de zodaco. Por entre as estrelas do zodaco move-se no apenas o Sol, mas tambm os demais astros do sistema solar, como a Lua e os planetas.

Em torno do dia 21 de maro o Sol, em seu caminho sobre a ecltica, atravessa o equador celeste.

Este ponto de interseco entre os dois grandes crculos o ponto vernal (ou ponto ). Neste dia, chamado de Equincio de maro, o Sol cruza o equador celeste de sul para norte, marcando ento o

fim do vero no hemisfrio sul da Terra e o fim do inverno no hemisfrio norte. Pela definio de

ascenso reta, neste dia seu valor para o Sol 0h. Como est sobre o equador celeste, a declinao do Sol no equincio de maro tambm nula. Pela figura acima, vemos que o Sol se situa

na direo da constelao de Peixes nesta poca.

Uns 3 meses depois, em torno de 21 de junho, o Sol alcana seu maior valor de declinao: = 23. Nesta poca ele visto sobre a constelao de Gmeos. A partir deste instante, o Sol comea a se

mover de volta ao equador celeste. Este dia chamado de Solstcio de junho, marcando o incio do

vero (inverno) no hemisfrio norte (sul). Neste dia, 6h para o Sol. Em torno do dia 21 de setembro, o Sol volta a cruzar o equador celeste, mas desta vez do hemisfrio norte para o hemisfrio

sul. o Equincio de setembro, fim do inverno (vero) no hemisfrio sul (norte) terrestre. O Sol

est agora em Virgem. Coordenadas equadoriais do Sol: 12h ; .

Finalmente, uns 3 meses depois, o Sol atinge seu ponto mais a sul na esfera celeste: = -23,

18h . Este o Solstcio de dezembro, sempre em torno do dia 21/12. o incio do vero (inverno) no hemisfrio sul (norte). A partir deste dia, o Sol comea a se mover para norte at reatingir o ponto vernal no dia 21/3 do ano seguinte.

Figura I.28 - Projeo plana sobre a esfera celeste da ecltica (linha vermelha) e do Sol nos dias de equincios e

solstcios. As coordenadas equatoriais do Sol nestes dias so indicadas, assim como o equador celeste (linha

horizontal azul) e os paralelos de declinao = +/- 23.5 (que correspondem s projees dos trpicos de Capricornio e Cancer).

Em resumo, em sua jornada anual ao longo da ecltica, o Sol percorre 24h de ascenso reta, a uma

taxa mdia de 2h por ms. Note que este movimento anual independente do movimento diurno,

compartilhado por todos os astros e causado pela rotao da Terra. O movimento diurno mais

facilmente notvel, pois se d a velocidade maior .

A figura acima mostra uma espcie de "mapa mundi" da esfera celeste, no qual vemos toda a regio

com | =< 47 projetada em um plano. O equador celeste a linha horizontal que corta a figura em duas metades. As demais linhas horizontais so paralelos de declinao, ou seja, crculos

(pequenos) contendo todos os pontos de declinao constante, no caso, com = +/- 23.5. As retas

20

verticais representam os crculos horrios, de ascenso reta constante. A ecltica a linha mostrada

em vermelho, sendo que os dois pontos em que ela cruza o equador celeste, no meio e no extremo

direito figura, so, respectivamente, os pontos e

J a tabela abaixo mostra as coordenadas equatoriais do Sol nos equincios e solstcios.

Posies Especiais do Sol na Ecltica

Nome Data Approx. Coords Sol

equinocio maro 21/03 0h 0

solstcio junho 21/06 6h 23

equincio setembro 21/09 12h 0

solstcio dezembro 21/12 18h -23

Estaes do Ano e Eclipses

As estaes do ano em nosso planeta

As estaes do ano resultam do fato de que o eixo de rotao da Terra est inclinado por uns 23.5

com relao normal ao seu plano orbital (plano da ecltica). O eixo aponta sempre na mesma

direo no espao (exceto pelos efeitos secundrios de precesso e nutao, que discutiremos mais

adiante), de forma que o plo norte est por vezes inclinado na direo do Sol (de junho a agosto) e

por vezes na direo oposta (de dezembro a maro). Estas duas situaes, obviamente, caracterizam o

inverno e vero no Hemisfrio Sul da Terra, sendo a situao inversa no Hemisfrio Norte.

A figura abaixo procura ilustrar a situao: o Sol representado pela esfera no centro da figura. A

linha horizontal pertence ao plano da rbita da Terra em torno do Sol (este plano perpendicular

figura). A Terra (esfera menor) mostrada em duas situaes distintas: esquerda, vemos a Terra no

dia do solstcio de dezembro. Nesta situao, os raios solares incidem perpendicularmente sobre o

Trpico de Capricrnio (= paralelo de latitude = -23.5). Outra maneira de dizer a mesma coisa

que a declinao do Sol -23..5. Pelo fato do Sol iluminar mais o Hemisfrio Sul, as noites so mais curtas e os dias mais longos neste hemisfrio do que no Norte. A incidncia mais perpendicular

dos raios solares sobre o Hemisfrio Sul tambm ajuda a aquecer as regies a sul do Equador; inicia-

se, portanto, o vero (inverno) no Hemisfrio Sul (Norte) geogrfico. J na posio direita, a Terra

est no extremo oposto de sua rbita anual, sendo este ento o solstcio de junho. A declinao do

Sol agora +23.5 e os raios solares incidem perpendicularmente sobre o Trpico de Cncer

(= +23.5) neste dia. Trata-se do incio do inverno (vero) no Hemisfrio Sul (Norte).

Figura I.29 - Orientao do eixo de rotao da Terra com relao ao Sol nos solstcios de dezembro ( direita) e

junho ( esquerda). Nestes dias a declinao do Sol atinge um valor extremo, igual em mdulo obliquidade da

ecltica (d = +/- 23.5).

21

O ngulo de 23.5 entre os plano equatorial e o plano orbital da Terra chamado de

obliqidade da ecltica, sendo comumente representado pela letra grega epsilon ().

Sabemos que o cu muda sazonalmente, havendo constelaes visveis somente no vero ou no

inverno em cada hemisfrio. Isso ocorre porque, medida em que o Sol se move pela ecltica (como

reflexo do movimento orbital da Terra em seu torno), as estrelas que aparecem no cu noturno (ou seja, que se situam longe do Sol) variam.

Figura I.30 - Mudana sazonal do cu noturno devido ao

movimento anual do Sol ao longo da ecltica (elipse mais

externa).

Eclipses

Eclipses ocorrem quando a Terra, Sol e Lua se

encontram sobre uma linha reta. Podemos ento

ter duas situaes distintas: 1) a Lua se situa entre

o Sol e a Terra, projetando sua sombra sobre esta

ltima. 2) a Terra se situa entre o Sol e a Lua,

projetando sua sombra sobre esta ltima. No primeiro caso temos um eclipse solar, no segundo um

eclipse lunar. Note que eclipses lunares s ocorrem quando a Lua est na fase cheia, enquanto que os eclipses solares s ocorrem quando a Lua est na fase nova.

Outra diferena que a sombra da Lua projetada sobre a Terra no cobre toda a superfcie desta

ltima. J a sombra da Terra suficientemente grande (e a Lua suficientemente pequena) para cobrir

toda a Lua. Assim, eclipses solares s so visveis de alguns pontos da Terra, mas eclipses lunares

so visveis por qualquer observador que tenha a Lua acima do seu horizonte quando ocorrem.

Por que no ocorrem eclipses todo ms?

Por que o plano da rbita da Lua em torno da Terra no coincide com o plano da rbita da Terra em torno do Sol. Uma outra maneira de dizer isso que a Lua no se move sobre a ecltica, mas sobre um outro grande crculo no cu, que faz um ngulo de 5 com a ecltica. A linha que conecta os dois pontos de interseco entre o plano da ecltica e a rbita da Lua chamada de linha dos nodos. Somente quando a linha dos nodos aponta na direo do Sol podem ocorrer eclipses. H, portanto, duas poca ao longo do ano em que podem ocorrer eclipses. Estas pocas mudam com o tempo devido s perturbaes gravitacionais sofridas pela rbita da Lua. A linha dos nodos orbitais da Lua varre um ngulo de 360 em um perodo de 18.6 anos (chamado de ciclo de Saros). A figura abaixo ilustra este movimento da linha dos nodos orbitais da Lua.

Figura I.31 - A figura

mostra a precesso

da rbita da Lua com

consequente mudana

de orientao da

linha dos nodos no

espao.

22

A figura abaixo mostra a ecltica e a rbita da Lua projetadas sobre a esfera celeste. Elas fazem um

ngulo de 5.2 entre si. Este o valor da inclinao da rbita da Lua em torno da Terra com relao

ao plano orbital da Terra em torno do Sol. Os dois nodos orbitais da Lua so tambm mostrados. A

linha que os conecta a linha dos nodos e somente quando a Lua Cheia ou Nova ocorrem perto

destas posies temos eclipses.

Figura I.32 - Projees sobre a esfera celeste do plano horizontal, da

rbita da Terra em torno do Sol e da rbita da Lua em torno da Terra.

Estas projees resultam, respectivamente, no horizonte, na ecltica e no

grande crculo indicado como "rbita lunar" na figura.

A prxima figura descreve os eclipses da Lua e do Sol usando os

cones de sombra que a Lua e a Terra projetam no espao. A luz

do Sol vem da esquerda da figura. Quando a Lua est esquerda

da Terra, ela nova, pois sua face iluminada invisvel para ns.

A Lua cheia representada direita da Terra. No diagrama

superior, as fases cheia e nova no levam a eclipses, pois o cone

de sombra da Lua (da Terra) no se projeta sobre a Terra (Lua).

Essas fases esto ocorrendo fora dos nodos orbitais, quando,

portanto, o Sol no se situa ao longo da reta que liga a Terra

Lua. No diagrama inferior, por outro lado, os 3 astros esto

alinhados, fazendo com que a sombra da Lua Nova se projete sobre uma pequena regio da superfcie

da Terra (causando um eclipse do Sol nesta regio) e com que a sombra da Terra se projete sobre a

Lua Cheia (causando um eclipse lunar).

Figura I.33 - Os dois painis

mais acima mostram as

sombras projetadas pela Lua

e pela Terra no espao. No

painel mais alto est

representada a situao em

que o Sol no est alinhado

com o sistema Terra-Lua, de

forma que essas sombras se

projetam no vazio. No painel

do meio, o alinhamento dos

trs objetos leva a eclipses do

Sol (Lua Nova) e da Lua (Lua

Cheia). O painel de baixo

mostra o mesmo jogo de

sombras, mas agora composto

com os elementos das rbitas da

Terra e da Lua.

J a figura acima combina

os elementos orbitais e o

jogo de sombras para

mostrar a situao favorvel

ocorrncia de eclipses. A

linha dos nodos orbitais da

Lua a linha vermelha que

corta o centro da figura. Ao

longo dela vemos que as

fases nova e cheia da Lua

acarretam eclipses. J quando o Sol est fora da linha dos nodos (situaes mostradas nas partes

esquerda e direita da figura), as fases nova e cheia no levam a eclipses, pois o cone de sombra da Lua (da Terra) no projetado sobre a Terra (a Lua).

23

A ocorrncia de eclipses solares devida a uma coincidncia: o fato de que os dimetros angulares da Lua e do Sol, vistos da Terra, so quase iguais.

Mas note que o dimetro aparente da Lua varia ao longo do ms, pois sua rbita em torno da

Terra uma elipse moderadamente excntrica; no apogeu (ponto da rbita em que a distncia

mxima) a Lua parece ser 15% menor do que no perigeu (ponto de maior aproximao Terra).

Se ocorre um eclipse solar na primeira situao, a Lua no cobrir todo o Sol, ocasionando um

eclipse anular.

Sistemas de Medida de Tempo

Nesta seo vamos estudar em mais detalhe as diferentes formas de se medir o tempo com base no

movimento diurno dos astros. Veremos tambm a relao entre a hora local e a longitude do

observador. Mas para atingirmos este objetivo, faz-se necessrio definirmos alguns conceitos que parecem e so simples, mas por vezes resultam em alguma confuso.

Instante, Hora, Intervalo e Estado de um Cronmetro.

Uma possvel fonte de confuso est em saber diferenciar conceitos como instante, hora e intervalo

de tempo e compreender exatamente o que se quer dizer com essas definies. Todos ns temos uma

noo do cotidiana do tempo. Podemos ordenar, de acordo com nossa capacidade de memria, fatos

e acontecimentos em seqncia no tempo. Esta noo do tempo, baseada na nossa experincia do dia

a dia, nos faz "sentir" o tempo como algo que "passa" ininterruptamente, levando a uma sucesso

constante e linear de instantes. No abandonemos pois esta noo. Assim, definimos de forma

genrica o tempo como uma varivel cujo valor cresce de forma uniforme e que pode ser

representada em um eixo. Um instante ento pode ser entendido como um ponto ao longo do eixo do

tempo. O valor numrico desta varivel, o tempo, correspondente a cada instante ns chamamos de

hora. Colocado de outra maneira, podemos identificar qualquer instante no eixo do tempo atribuindo-lhe um valor numrico que corresponde hora naquele instante.

Mas h diferentes formas (ou sistemas) que podemos usar para atribuir uma hora a um dado instante.

Ou seja, um determinado instante no tempo pode ser e caracterizado por diferentes valores de hora.

J definimos anteriormente pelo menos dois sistemas de tempo, a cada um dois quais associamos

uma determinada definio de hora: hora solar e hora sideral. Qualquer instante ento caracterizado

por valores, em geral diferentes, de hora solar e de hora sideral.

Consideremos agora um outro conceito extremamente importante: o intervalo. Intervalo de tempo

a distncia ao longo do eixo do tempo entre dois instantes. O valor do intervalo depende do sistema

que estamos usando para marcar hora. O que veremos neste e no prximo captulo so justamente

diferentes definies de hora (ou dizendo em outras palavras, diferentes sistemas de tempo) e como converter um intervalo de tempo de um sistema para outro.

Como marcamos a hora associada a um dado instante? Em geral, usa-se um cronmetro. Existem

tanto cronmetros siderais, que marcam a hora sideral, quanto cronmetros comuns, marcando a hora

solar. Nem sempre a leitura do cronmetro nos d exatamente a hora nestes sistemas. E isso nem

necessrio, desde que saibamos converter a leitura feita no cronmetro em um dado instante

(chamada de instante cronomtrico, I) em hora sideral ou solar. A diferena entre a hora e o instante cronomtrico chamada de estado do cronmetro, E.

Hora = I + E

Por exemplo, S = IS + ES, onde S a hora sideral num dado instante, IS a leitura feita em um

cronmetro sideral neste instante e ES o estado deste cronmetro. Como determinar o estado de um

cronmetro? Basta fazermos a leitura do instante cronomtrico em um instante para o qual saibamos

com preciso a hora. Por exemplo, ao observarmos uma estrela passar pelo nosso meridiano,

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sabemos que a hora sideral neste instante igual ascenso reta estrela: S = Se neste instante o cronmetro indica IS, seu estado ser:

E = S - IS = - IS.

Conhecido o estado do cronmetro em um dado instante, espera-se que ele se mantenha constante,

pelo menos por algum tempo. Este certamente seria o caso de um cronmetro perfeito. Na prtica, h

variaes em E ao longo do tempo, que quantificam aquilo que chamamos de marcha (m) de um

cronmetro: m = E / Hora

Quanto menor a marcha, mais regular o cronmetro, mais fcil portanto ser us-lo para determinar

a hora. Como veremos neste captulo anterior, a marcha de um relgio de csio, que mede o tempo atmico, da ordem de m = 1 / 1.000.000.000 = 10-9.

As diferentes definies de hora

Vimos que, atravs da observao do movimento diurno dos astros, em especial pela determinao

do ngulo horrio, podemos medir o tempo. Vimos os conceitos de hora sideral e solar, baseadas,

respectivamente, nos ngulos horrios do ponto Vernal (ponto ) e do Sol.

S = HM = Hsol + 12h

Ou seja, medida em que a Terra rotaciona, variam os valores de ngulo horrio tanto do Ponto

Vernal quanto do Sol, variando portanto os valores de hora sideral e solar. A cada instante no tempo, portanto, podemos atribuir um valor de cada uma destas definies de hora.

Ns j vimos tambm que, pelo fato de o Sol mover-se por entre as estrelas, ao longo da ecltica e de

oeste para leste, a uma taxa mdia de 360/365.25 = 0.9856 por dia, o dia solar mais longo do que o

dia sideral. Ou seja, o intervalo entre duas culminaes superiores sucessivas do Sol 3m56.04s mais

longo do que o intervalo entre duas culminaes superiores sucessivas de uma estrela, pois o Sol est

constantemente se deslocando no sentido contrrio ao movimento diurno. Note que a hora que

marcamos no relgio, como veremos a seguir, ligada (mas no idntica) hora solar, de forma

que outra maneira de dizer a mesma coisa afirmar que uma dada estrela passa pelo meridiano de um observador 3m56.04s "mais cedo" a cada dia.

Na verdade, existe mais de uma definio de hora solar. O motivo que o movimento do Sol ao

longo da ecltica no se d uniformemente, ou seja, a velocidade angular com que o Sol se desloca ao

longo da ecltica varia com a poca do ano. Isso porque o movimento do Sol ao longo da ecltica o

reflexo do movimento orbital da Terra no espao em torno dele. Sendo a rbita da Terra uma elipse,

sua velocidade angular orbital varia, sendo maior no perilio e menor no aflio. Esta situao bem

representada na figura abaixo, onde a elipse representa a rbita da Terra em torno do Sol. Este

ltimo, de acordo com a 1a Lei de Kepler, se situa em um dos focos da rbita terrestre. O ponto P,

de mxima aproximao ao Sol o perilio, enquando que o ponto A, de maior distncia, o aflio.

Na figura vemos dois arcos, e, varridos pela Terra em sua rbita quando prxima do perilio e do aflio, respectivamente. Pela 2a Lei de Kepler , sabemos que as reas

A1 e A2 varridas pela Terra so iguais se o intervalo de tempo decorrido

ao varr-las for o mesmo. Como prximo do perilio a distncia Sol-Terra

mnima, a velocidade angular tem que ser mxima para manter

constante a rea varrida. Logo, o deslocamento angular do Sol sobre a ecltica tambm varivel.

Figura I.34 - Representao da rbita da Terra em torno do Sol, na forma de uma

elipse, com o Sol em um dos focos. H um ponto na rbita de menor distncia ao

Sol, o perilio (P), e outro de maior distncia ao Sol, o aflio (A). As reas A1 e A2

na figura so iguais e foram varridas num mesmo intervalo de tempo.

25

Claro que esta situao no muito conveniente em termos de marcao da hora: no queremos ter dias com mais de 24h e outros com menos de 24h, seria muito confuso!

Para contornar este problema, definimos uma hora solar verdadeira (V) e uma hora solar mdia (M).

Somente a primeira baseado no ngulo horrio do objeto luminoso que vemos no cu e que

chamamos de Sol. A hora solar mdia baseada no ngulo horrio do Sol Mdio. O Sol Mdio um

sol imaginrio, mais bem comportado do que o Sol verdadeiro. Sua velocidade angular de

deslocamento no cu constante e, portanto, seu ngulo horrio varia uniformemente. Os valores de

hora solar verdadeira, V, e mdia, M, so dados portanto por:

V = HV + 12h

M = HM + 12h

onde HV e HM so, respectivamente, os ngulos horrios do Sol verdadeiro e do Sol mdio.

Outra definio importante de hora a de tempo universal (TU). Tempo universal simplesmente a

hora solar mdia no meridiano de Greenwich (longitude ). Sabemos que a hora associada a um determinado instante no tempo, seja sideral ou solar, verdadeira ou mdia, no a mesma em todos

os pontos da Terra. Ela varia com a longitude, ou seja, com o meridiano. Isso fcil de entender,

uma vez que se um astro (sol verdadeiro, sol mdio ou o ponto vernal) est passando pelo meridiano

a uma dada longitude , ele certamente no poder estar passando pelo meridiano a uma longitude

2, exceto se Se em M, por exemplo, em M = Ou seja, a diferena de hora entre dois meridianos em um dado instante igual diferena de longitude entre os dois meridianos. Como dissemos, isso vale para qualquer sistema de medida de tempo.

A figura abaixo ilustra este fato, mostrando a Terra vista de cima da direo do plo norte. Vemos na

figura dois meridianos, de longitudes e respectivamente. O crculo mais externo a esfera

celeste e nela esto indicadas a posio do ponto e do Sol Mdio em um dado instante. O movimento diurno se d no

sentido horrio, sendo portanto nesta direo que contamos

os valores de ngulo horrio. Basta olhar para a figura para constatar que vale a igualdade:

SS2 - S1 =

Figura I.35 - Posio, em um dado instante, do ponto vernal e do

Sol Mdio com relao a dois meridianos distintos, de longitudes 1 e 2. Os ngulos horrios de ambos os pontos com relao a ambos os meridianos so mostrados.

Note que se arbitrarmos que a longitude cresce para oeste,

sendo nula no meridiano de Greenwich, teremos que <

Logo, necessrio modificar ligeiramente a relao entre diferena de hora e diferena de longitude:

SS2 - S1 =

A inverso na posio das longitudes na expresso acima faz com que uma diferena positiva de hora

(meridiano a leste de ) corresponda a uma diferena positiva em longitute.

Dessa forma, podemos estabelecer uma relao simples entre a hora solar mdia M de um local cuja

longitude e a hora universal TU:

M - TU = 0 - - Logo: M = TU -

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O sinal negativo resulta dessa nossa conveno de contar a longitude positivamente para oeste, de

forma que pontos de longitude 0 esto atrasados com relao ao meridiano de Greenwich. Por exemplo, se so 9h solares mdias em Greenwich, TU = 9h, qual o valor de M no meridiano de

longitude -75? Trata-se de um meridiano a leste de Greenwich (longitude negativa), de forma que sua hora solar mdia tem que ser adiantada com relao a este ltimo. Pela expresso acima, de fato teremos:

M = TU + 75 = 9h + 5h = 14h

Qual a hora que marcamos no relgio? Essa pergunta procede, principalmente medida em que

introduzimos cada vez mais sistemas de contagem do tempo. Resposta: a hora do relgio a hora

legal (HL). A hora legal baseada no movimento do Sol Mdio, mas obedece a vrias convenincias

geo-polticas. A hora solar mdia M varia continuamente com a longitude. Em outras palavras, a hora

solar mdia no Rio de Janeiro diferente da de So Paulo por alguns minutos, pois esta a diferena

de longitude entre os meridianos que passam pelas duas cidades. No seria conveniente para o

comrcio, indstria, poltica, etc que os cariocas acordassem um pouco mais cedo, e comeassem a e

terminassem de trabalhar tambm um pouco mais cedo, simplesmente por que o Sol passa pelo seu

meridiano astronmico alguns minutos antes do que pelo meridiano dos paulistas. Necessidades de se

padronizar a hora em grandes regies unidas econmica, cultural e politicamente levaram definio

de grandes faixas de longitude, chamadas de fusos horrios (F), que compartilham de uma mesma

hora legal. Pela conveno dos fusos horrios, a superfcie da Terra dividida em 24 fusos,

compreendendo um domnio de 15 de longitude cada. O primeiro fuso (F=0h) aquele cujo centro

contm o meridiano de Greenwich (Contrariamente ao que fazemos com a longitude, a oeste (leste) de Greenwich os fusos so contados negativamente (positivamente). Uma representao

esquemtica dos fusos horrios dada pela figura abaixo. Nela vemos, em linhas tracejadas, o

meridiano de Greenwich, correspondente ao

fuso F = 0h. Na direo leste temos contados

os fusos positivos, at F = +12h, junto linha

de mudana de data. A oeste, temos os fusos

negativos, sendo que novamente F = -12h

encontra-se imediatamente a leste da linha

internacional de mudana de data.

Figura I.36 - Fusos horrios e suas

respectivas longitudes centrais. Os fusos so

positivos a leste de Greenwich, enquanto que

as longitudes so arbitradas como positivas na direo oposta.

A maior parte da populao brasileira est dentro do fuso F = -3h, cujo meridiano central , portanto,

o de longitude hx 15/h = +45. O domnio de valores de longitude contidos neste fuso horrio

37.5 < . J o primeiro fuso, cujo centro o meridiano de Greenwich, contm o domnio -

7.5 < .

Qual a relao entre a hora legal, que marcamos no relgio, e a hora solar mdia M? Trata-se de uma

relao muito simples, que apenas reflete a definio de hora legal como sendo a hora solar mdia no meridiano central de um fuso. Logo,

M - HL = M = -

M = HL -

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onde neste caso simplesmente a diferena de longitude entre o meridiano do observador e o meridiano central do fuso horrio em que este observador se situa. Considere o caso de um

observador em Porto Alegre, cuja longitude aproximadamente POA = 51 (lembre-se que estamos sempre considerando longitudes como positivas a oeste de Greenwich). Como vimos, o centro do

fuso F = -3h corresponde a 45. Logo, 51 - 45 = 6. Esta diferena positiva em longitude significa que Porto Alegre est a oeste do meridiano central do fuso F=-3. Assim, a hora solar mdia em Porto Alegre est atrasada com relao a este ltimo:

M = HL - 6 = HL - 24m.

Se em um dado instante a hora legal no fuso de -3h HL=15h, sabemos que a hora solar mdia no

meridiano de Porto Alegre MPOA = 14h36m. O ngulo horrio do Sol mdio com relao a este

meridiano ser ento HM,POA = MPOA - 12h = 2h36m.

Qual a relao entre hora legal HL em um dado meridiano de longitude e o tempo universal ? Esta relao igualmente simples:

HL = TU + F

onde F o fuso onde se situa o meridiano de longitude

Tambm fcil provar esta expresso, lembrando que a diferena HL - TU nada mais do que a

diferena de hora solar mdia entre dois meridianos centrais, um no fuso F (de longitude c) e outro

em Greenwich (= 0). Logo:

HL - TU = 0 - cF

Ou seja, no instante em que so 15h no fuso que contm a maior parte do territrio brasileiro (F = -

3h), a hora universal ser TU = HL - F = 15h + 3h = 18h.

O tempo sideral tambm pode ser definido de mais de uma maneira. Veremos mais adiante que a

posio do pontono rigorosamente fixa entre as estrelas, devido a vrios efeitos seculares como a precesso e a nutao. Se consideramos apenas a variao de posio do ponto vernal causada pela

precesso, falamos em ponto vernal mdio. Se incorporarmos os efeitos de nutao, teremos ento o

ponto vernal verdadeiro ou aparente. Assim , podemos falar de hora sideral mdia ou

verdadeira. A diferena entre ambas chamada de equao dos equincios (q):

q = SV - SM = HV - HM

Tanto a hora solar quanto a sideral so exemplos de sistemas de medida de tempo baseados no

movimento de rotao da Terra. So, portanto, chamados de sistemas rotacionais de medida de

tempo. Mas existem maneiras de se contar o tempo que no dependem da posio de algum astro no

cu com relao ao meridiano do observador. O tempo atmico, por exemplo, no rotacional, j

que baseado nas transies atmicas de tomos de Csio 133. No intervalo de um segundo de

tempo atmico ocorrem 9.192.631.770 transies de tomos de Ce 133 entre dois nveis hiperfinos de sua energia interna. Essa a definio mais moderna de 1s.

Os sistemas rotacionais sofrem de algumas irregularidades, algumas delas previsveis outras no. O

movimento do plo, por exemplo, afeta a longitude de qualquer ponto na superfcie da Terra, o que

se reflete no ngulo horrio do Sol ou do ponto vernal (ver captulo sobre variao de coordenadas

equatoriais). Alm disso, a velocidade angular de rotao da Terra no uniforme. H uma lenta

tendncia de desaceleramento da rotao, causada pelo atrito da massa lquida do planeta, que tende a

se alinhar com a Lua e o Sol devido s mars, com a parte slida. Alm disso h variaes sazonais,

provavelmente causadas por mudanas meteorolgicas, na rotao do planeta. Finalmente h componentes irregulares na variao da rotao, ainda no explicados de maneira satisfatria.

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Diantes das irregularidades mencionadas acima, podemos na verdade definir 3 tipos de sistemas de tempo universal:

TU0: baseado apenas no valor do ngulo horrio do Sol Mdio medido por um observador no

meridiano de Greenwich.

TU1: TU0 corrigido para o efeito de variao da longitude, causado pelo movimento do plo (ver captulo sobre variao de coordenadas equatoriais).

TU1 = TU0 +

TU2: TU1 corrigido para as variaes sazonais na velocidade angular de rotao da Terra, :

TU2 = TU1 +

J o tempo atmico muito mais regular do que qualquer sistema rotacional de medida de tempo. A

regularidade da contagem do tempo usando transies de tomos de Csio, por exemplo, da ordem

de 1 parte em 1 bilho. Ou seja, aps 1 bilho de segundos (mais de 30 anos), a incerteza na

contagem do tempo atmico de apenas um segundo. Por outro lado, o tempo atmico est menos

sintonizado com a posio do Sol no cu. Assim, a discrepncia entre o tempo atmico e o tempo

rotacional tende a aumentar. Para evitar uma desvinculao muito grande entre o tempo atmico e o

solar, faz-se necessria a definio do tempo universal coordenado (TUC). O TUC um sistema de

tempo atmico que sofre correes peridicas para manter-se em consonncia com o tempo universal, mais especificamente o TU1.

Existem ainda outros sistemas de tempo. O tempo das efemrides, por exemplo, a varivel

independente que entra nas expresses que nos do a posio de planetas e de seus satlites em

algum sistema de coordenadas conveniente, como o sistema de coordenadas eclticas. medida em

que somos capazes de formular modelos mais sofisticados para descrever os movimentos de planetas

em torno do Sol e de satlites em torno de seus planetas, o tempo das efemrides se torna mais fcil

de ser obtido, sendo tambm uma medida de tempo independente da rotao da Terra.

Converso entre Sistemas de Medida de Tempo

Sabemos que um dia solar mdio tem 24h solares de durao, cada hora solar dividida em 60 minutos

(solares) e 3600 segundos (solares). Estes so os intervalos de tempo usados em nossa vida cotidiana.

Expresso nessas unidades, o dia sideral tem uma durao de 23h56m04.090538s. Mas podemos

definir intervalos como hora, minuto e segundo siderais, de forma que o dia sideral tenha 24h

siderais. Claro que a unidade de tempo sideral necessariamente ser sempre mais curta do que a

unidade solar. Uma questo importante e recorrente em determinaes astronmicas a de como

converter intervalos de tempo expressos em unidades siderais em solares ou vice versa.

Converso de tempo solar em sideral

Suponha que tenhamos um intervalo S de tempo sideral. Queremos saber qual o valor deste intervalo em unidades de tempo solar.

Para melhor entendermos por que o mesmo intervalo tem valor numericamente maior em unidades

siderais do que solares mdias, basta lembrarmos que o tempo baseado, em ambos os sistemas, em

valores de ngulo horrio: do ponto Sol Mdio)no caso do sistema sideral (solar mdio).

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Figura I.37 - ngulos horrios do ponto vernal e do Sol Mdio

medidos por um mesmo meridiano em dois instantes distintos.

Enquanto o ngulo horrio do ponto vernal varia por um valor

igual ao ngulo varrido pela Terra em rotao (assumindo-se que

o ponto vernal fixo no espao), o ngulo horrio do Sol varia por

um valor menor, pois o Sol se move no cu. O mesmo intervalo ,

portanto, numericamente menor em unidades solares do que

siderais.

Na figura acima mostramos o intervalo, expresso em

unidades siderais, S = S2 - S1 decorrido entre dois instantes no tempo. Neste intervalo, o meridiano de um

observador, devido rotao da Terra, varreu exatamente

este ngulo S no espao. Isso porque o observador mvel, enquanto o ponto Vernal pode ser considerado

como fixo na esfera celeste durante o intervalo. J a

posio do Sol Mdio, se deslocar ligeiramente para

leste, devido ao movimento anual do Sol. Sua ascenso reta aumentar ento por = S / 366.25, onde 366.25 o nmero de dias siderais no ano. Assim, o valor do mesmo intervalo em

unidade solares mdias, M, ser menor:

M = S -S (1 - 1 / 366.25) = S (1 - = S (1 - )

onde

O mesmo fator de converso pode ser obtido lembrando que um dia sideral tem 24h siderais, mas apenas 23h56m04.090538s solares mdios. Logo, temos a regra de proporcionalidade:

S / h / 23h56m04s = 1.00273790926 = 1 +

onde Note que vlida a relao:

(1 + )(1 - ) = 1

Assim, se conhecemos a hora sideral em um dado meridiano em um determinado instante, S0, e

desejamos conhecer a hora sideral S no mesmo meridiano decorrido um intervalo em hora solar igual

a teremos:

S / 1 + S = S - S0 = (1 +

S = S0 + (1 +

comum, por exemplo, querermos conhecer a hora sideral S s M horas solares mdias locais em

um determinado meridiano de longitude Sabemos que se so M horas solares mdias locais a esta

longitude, o tempo universal neste instante ser TU = (M+ (como de hbito adotamos a conveno

de que a oeste de Greenwich e a leste de GreenwichDas efemrides (do ON ou do Astronomical Almanac, por exemplo) podemos ler a hora sideral S0 em Greenwich correspondente a

TU=0h para o dia em questo. Em unidades solares mdias, ter-se-o decorrido (M+ horas desde este instante. O intervalo em horas siderais correspondente ser, portanto:

S

A hora sideral em Greenwich, SG, no instante desejado ser portanto:

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SG = S0 + SS0

Mas queremos a hora sideral S no meridiano de longitude e no em Greenwich ( = 0). Precisamos ento subtrair a diferena em longitude:

S = SG - SSeq.

A expresso acima nos d exatamente o que queramos: a hora sideral em um meridiano de longitude

dada e no instante em que a hora solar mdia local M. Como j mencionado, o valor de Sa hora

sideral em Greenwich (0 TU=0h listada, dia a dia no ano, no Anurio Astronmico do Observatrio Nacional (ON) ou no Astronomical Almanac.

A frmula acima bastante geral. Suponha que queiramos simplesmente a hora sideral em

Greenwich a uma hora solar mdia local M. Como se trata do meridiano de Greenwich, a hora solar

mdia local tambm a hora universal: TU = M. Alm disso, = 0h. Logo, a hora sideral desejada ser:

S = S0 + M(1+

onde S0 a hora sideral em Greenwich 0h TU (que pode ser encontrada em Efemrides) e = 0.00273790926.

Outro exemplo: provar que a hora sideral S em um meridiano de longitude M=0h solar mdia local dada por:

S = S0 +

onde, como sempre, S0 a hora sideral em Greenwich a TU = 0h.

Consideremos ainda uma situao, bastante comum, em que temos que escolher uma estrela para

observao em um determinado dia e intervalo de hora legal. A ocasio mais favorvel para

observarmos uma estrela , em geral, prxima do instante de sua culminao superior, quando sua

altura no cu mxima. Suponha que tenhamos o intervalo de hora legal compreendido entre HL1 e

HL2 (HL2 > HL1) para a observao. Inicialmente temos que converter hora legal HL em hora solar

mdia local M. Como vimos, a diferena entre as duas ser igual diferena entre a nossa longitude,

e a longitude do meridiano central do fuso horrio em que nos encontramos, c.

M1 - HL1 = c M1 = HL1 + c

M2 - HL2 = c M2 = HL2 + c

Os valores de hora sideral S1 e S2, correspondentes, respectivamente, a M1 e M2, sero dados pelas

expresso (1) acima, sendo que o valor de S0 , a hora sideral em Greenwich TU=0h, sempre tirado

das efemrides. Como sabemos que a culminao de uma estrela ocorre hora sideral igual sua

ascenso reta, temos que escolher nosso alvo usando o critrio em ascenso reta S1 < < S2.

Converso de tempo sideral em solar

Suponha agora que queiramos fazer o inverso: determinar a hora solar mdia local, M, dada a hora sideral S num dado instante. Basta resolvermos a equao (1) acima para M:

M = (S - S0 -

Como (1 +

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M = (S - S0 -

onde

Equao do Tempo

A rotao da Terra nos proporciona uma unidade natural de tempo: o dia. Vimos que podemos

definir o dia solar, por exemplo, como o intervalo entre duas passagens meridianas do Sol. J o dia

sideral o intervalo decorrido entre duas passagens meridianas de uma estrela. Vimos que em um

dia, solar ou sideral, o ngulo horrio do astro usado como referncia varia de 0 a 360 (ou de 0h a

24h).

Na prtica, se medirmos, com um cronmetro ou relgio, a durao do dia solar, notaremos que ela

varia. Em outras palavras, o dia solar no tem uma durao fixa. J discutimos a causa desta variao

na durao do dia solar: entre outras coisas, ela se deve ao fato de que o Sol caminha ao longo da

ecltica com velocidade varivel; quando a Terra est no perilio (ou seja, sua distncia ao Sol

mnima), a velocidade angular do Sol sobre a ecltica mxima, fazendo com que o dia solar seja de

maior durao. J quando a Terra est no aflio, a velocidade angular do Sol na ecltica mnima, o

que torna o dia solar igualmente mnimo. Outro motivo que explica a variao observada do dia solar

o de que a hora solar depende do ngulo horrio do Sol, Hsol , medido portanto ao longo do equador

celeste. Mas o movimento do Sol se d sobre a ecltica. Assim, mesmo que sua velocidade angular ao

longo desta ltima fosse constante, sua projeo sobre o equador celeste no o seria.

Um dia solar que no seja sempre de 24h no

muito conveniente para regular a vida das pessoas.

A soluo para este problema foi definir um Sol

Mdio. O Sol Mdio bem comportado: ele

caminha com velocidade angular constante e

sobre o equador celeste. Assim, duas culminaes

superiores do Sol Mdio estaro sempre separadas

no tempo pelo mesmo intervalo, chamado de dia

solar mdio. Este tem sempre a durao de 24h

tais como contadas por um cronmetro ou relgio

comuns. A diferena entre o dia solar verdadeiro e

o mdio chamada de equao do tempo.

Abaixo vemos a equao do tempo graficada ao longo do ano.

Figura I.38 - Diferena entre os ngulos horrios do Sol verdadeiro e do mdio, expressa em funo da poca do

ano. Quando o ngulo horrio do Sol verdadeiro maior (menor) do que o do mdio, o primeiro passa pelo

meridiano de um observador mais cedo (tarde).

Vemos, portanto, que a equao do tempo atinge valores de mais do que 15 minutos em

determinadas pocas do ano. Geralmente representamos a equao do tempo pela letra E (s vezes

usa-se o equivalente grego . De qualquer forma no confunda equao do tempo com estado de um cronmetro apenas porque usamos e mesma notao! Matematicamente temos que:

E = Hsol med - Hsol ver = sol ver - sol med

Na verdade, de acordo com esta definio, o grfico acima representa -E. A segunda igualdade acima

resulta do fato de que a hora sideral pode ser expressa tanto com o Sol Mdio quanto com o Verdadeiro:

S = Hsol ver + sol ver = H sol med + sol m