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1309 Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado ao Esforo Cortante 1

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

AO ESFORO CORTANTE

1. INTRODUO

Uma viga de concreto armado resiste a carregamentos externos primariamente pela

mobilizao de momentos fletores (M) e foras cortantes (V), como mostrado na fig. 1. De modo

geral, no projeto de uma viga de concreto armado, o dimensionamento flexo e o deslocamento

vertical (flecha) determinam as dimenses da seo transversal e a armadura longitudinal. O

dimensionamento da viga ao esforo cortante normalmente feito na seqncia, determinando-

se a chamada armadura transversal.

A

A

A

A

V

VM

V

M

V

M + dM

dx

Fig. 1 Esforos solicitantes na viga.

A ruptura de uma viga por efeito da fora cortante freqentemente violenta e frgil,devendo sempre ser evitada, o que se obtm fazendo a resistncia da viga fora cortante

superior sua resistncia flexo. A armadura de flexo deve ser proporcionada de tal modo

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que, se vier a ocorrer a ruptura, deve ser por flexo, de modo que se desenvolva lenta e

gradualmente, ou seja, necessrio garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual

runa ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usurios (NBR 6118/2003, item

16.2.3).

Os itens seguintes apresentam a anlise terica e os procedimentos aplicados pela nova

NBR 6118/2003 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento) para o projeto de vigas

de concreto armado ao esforo cortante. A resistncia da viga fora cortante ser proporcionada

pelo concreto comprimido, por meio das bielas de compresso, e por uma armadura transversal

(normalmente na forma de estribos verticais), convenientemente dimensionada. A baixa

resistncia do concreto trao ser desprezada, como feito tambm no caso do

dimensionamento das vigas flexo.

2. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGNEAS NO ESTDIO I

Considere a viga no fissurada de seo retangular, biapoiada e sob carregamento

uniformemente distribudo, como mostrado na fig. 2. Sejam dois elementos infinitesimais A1 e

A2 da viga de material homogneo, istropo (material que apresenta propriedades de deformao

iguais para qualquer direo) e elstico linear.

p

A 2

1A

a bw

hL.N.

a 2 2a

a1 1

ay

Linha Neutra

c

t

Fig. 2 Tenses na viga homognea.

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As tenses normais de trao e de compresso, atuantes ao nvel dos planos a 1 e a2,

respectivamente, assim como a variao da tenso de cisalhamento ao longo da altura da viga,

encontram-se indicadas na fig. 2.

Da teoria clssica da Resistncia dos Materiais, a tenso normal e a tenso de

cisalhamento no elemento A1 so:

I

yM=

Ib

SV

w

y=

com: M e V = momento fletor e fora cortante na seo a-a;

y = distncia do elemento A1 linha neutra;

Sy = momento esttico da rea considerada em relao linha neutra;I = momento de inrcia da seo transversal;

bw = largura da viga.

As fig. 3 e 4 mostram o estado de tenso nos elementos A 1 e A2, bem como o crculo de

Mohr correspondente.

L.N.R

R

A1

x

y

20

tenso principal detrao I

tenso principal de

compresso II

mximatenso decisalhamento

cc

st

yx

xy

x x

xy

I

xy

Fig. 3 - Tenses no elemento A1 .

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2A

L.N.

v

I

R

Ry

x

2

tenso principal decompresso II

mximatenso de

cisalhamento

tenso principal detrao

cc

st II

yx

x

xy

x

xy

Fig. 4 - Tenses no elemento A2 .

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS NA FLEXO COM FORA

CORTANTE

Considere uma viga de concreto biapoiada, sob carregamento uniforme, com momentos

fletores e foras cortantes como indicadas na fig. 5. O carregamento induz o surgimento de

estados de tenso nos vrios pontos da viga, que podem ser representados por um conjunto de

diferentes componentes, em funo da orientao do sistema de eixos coordenados. A fig. 5

mostra dois pontos da viga com os estados de tenso desses pontos representados, conforme os

eixos coordenados x-y e os eixos principais. Os eixos x-y definem, entre outras, as tenses

normais x e as tenses de cisalhamento xy, e os eixos principais definem as tenses principais

de trao I e de compresso II .

De modo geral, a tenso y pode ser desprezada, tendo importncia apenas nos trechos

prximos introduo de foras.

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X

y

X

yy = 0

x

X

y

( - )

( + )

III

( - )

( + )

+

xy

yx

Fig. 5 Representao dos estados de tenso por diferentes componentes de tenso.

Na fig. 6 so mostradas as trajetrias das tenses principais I e II , inclinadas de 45 (ou

135) com o eixo longitudinal da viga, na altura da linha neutra. importante observar que as

trajetrias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si.

O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as

tenses x e xy . No entanto, conhecer as trajetrias das tenses principais importante para se

posicionar corretamente as armaduras de trao e para conhecer a direo das bielas de

compresso.

Considere agora a viga de concreto armado biapoiada mostrada na fig. 7, submetida a

duas foras concentradas P de igual intensidade, com armaduras longitudinal e transversal, para

resistirem s tenses de trao. A armadura longitudinal de trao composta pelas cinco barras

posicionadas prximas face inferior da viga. No lado esquerdo da viga a armadura transversal

composta por apenas estribos verticais, e no lado direito composta por estribos verticais

combinados com barras longitudinais dobradas a 45. Nota-se que no trecho da viga entre as

foras concentradas a solicitao de flexo pura (V = 0).

A fig. 7a mostra as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso,

semelhantes quelas j indicadas na fig. 6. Observe que no trecho de flexo pura as trajetrias

das tenses de compresso e de trao so paralelas entre si e com o eixo longitudinal da viga.

Nos demais trechos as trajetrias das tenses principais inclinam-se, por influncia da atuao da

fora cortante.

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Fig. 6 - Trajetria das tenses principais em uma viga biapoiada no Estdio I.

(LEONHARDT & MNNIG - 1982).

Para pequenos valores das foras P no ocorrem fissuras, permanecendo toda a viga no

Estdio I. Com o aumento das foras P e conseqentemente das tenses principais, no instante

que a tenso de trao supera a resistncia do concreto trao, surgem as primeiras fissuras no

trecho de flexo pura, chamadas fissuras de flexo. As fissuras de flexo so aquelas que

iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em direo linha neutra, conforme aumenta o

carregamento externo aplicado. Apresentam-se aproximadamente perpendiculares ao eixo

longitudinal da viga e s trajetrias das tenses principais de trao.

O trecho fissurado passa do Estdio I para o Estdio II e os trechos entre os apoios e as

foras concentradas, sem fissuras, permanecem no Estdio I (fig. 7b). Para este nvel decarregamento a viga apresenta trechos nos Estdios I e II.

Continuando a aumentar as foras P, outras fissuras de flexo continuam a surgir, e

aquelas j existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direo ao topo da viga (fig. 7c).

Nos trechos entre os apoios e as foras P, as fissuras de flexo inclinam-se, devido inclinao

das tenses principais de trao I. Essas fissuras so chamadas de fissuras de flexo com fora

cortante (ou fissuras de flexo com cisalhamento). Nas proximidades dos apoios, como a

influncia dos momentos fletores muito pequena, podem surgir fissuras de cisalhamentopuras (ver fig. 8).

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Fig. 7 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada.


As tenses de trao inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura

transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na regio

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de maior intensidade das foras cortantes, a inclinao mais favorvel para os estribos seria de

aproximadamente 45, ou seja, paralelos s trajetrias das tenses de trao e perpendiculares s

fissuras. Por razes de ordem prtica os estribos so normalmente posicionados na vertical, o que

os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados.

A colocao de armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, alm disso,

possibilita que as tenses principais de compresso possam continuar atuando, sem maiores

restries, entre as fissuras inclinadas prximas aos apoios.

Fig. 8 - Fissuras na viga no Estdio II (LEONHARDT & MNNIG - 1982).

O comportamento da regio da viga sob maior influncia das foras cortantes e comfissuras inclinadas de cisalhamento no Estdio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a

analogia com uma trelia isosttica (fig. 9). A analogia de trelia consiste em simbolizar a

armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de

estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compresso) como as

diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexo tracionada e o

banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra.

A trelia isosttica com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45 chamada

trelia clssica de Ritter-Mrsch. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: A chamada

trelia clssica de Ritter-Mrsch foi uma das concepes mais fecundas na histria do concreto

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armado. H mais de meio sculo tem sido a base do dimensionamento das armaduras

transversais estribos e barras inclinadas das vigas de concreto armado, e est muito longe

de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificaes ou

complementaes na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a

viga de concreto armado, depois de fissurada, e a trelia. Essas palavras continuam vlidas at

o presente momento.

Rcb

sR

R s Rcb

a) armadura transversal a 45 b) armadura transversal a 90

Fig. 9 - Analogia de trelia para as foras internas na regio de esforo cortante de uma viga.


A analogia feita com trelias isostticas com diagonais tracionadas simples, distantes

entre si de tal forma que algumas fissuras podem no ser interceptadas. Deve-se imaginar,

portanto, a existncia de uma trelia com diagonais tracionadas mltiplas (fig. 10 a) ou trelia em

malha (fig. 10 b). A trelia em malha altamente hiperesttica internamente e

simplificadamente considerada como a superposio de vrias trelias isostticas, deslocveis

entre si.

Fig. 10 Trelia mltipla ou em malha (LEONHARDT & MNNIG - 1982).

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Os estribos devem estar prximos entre si a fim de interceptarem qualquer possvel

fissura inclinada devido ao esforo cortante, o que leva necessidade da trelia mltipla. Uma

ruptura precoce pode ocorrer quando a distncia entre as barras for 2z para estribos inclinados

a 45 e >z para estribos a 90 (fig. 11).

2 z fissura de cisalhamento z fissura de cisalhamento

Fig. 11 - Analogia clssica de uma viga com uma trelia.

4. FORMAS DE RUPTURA POR FORA CORTANTE

Quando as tenses principais de trao inclinadas I alcanam a resistncia do concreto

trao, surgem as primeiras fissuras de cisalhamento, perpendiculares direo de I , como

mostrado nas fig. 7 e 8. medida que as fissuras vo surgindo ocorre uma redistribuio dos

esforos internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam ento a

trabalhar de maneira mais efetiva. A redistribuio de esforos depende da quantidade e da

direo da armadura transversal, o que leva a diversos tipos de ruptura por fora cortante.

Com o aumento do carregamento as fissuras de flexo na regio de maiores foras

cortantes propagam-se com trajetria inclinada, dando origem s chamadas fissuras de flexo

com cisalhamento. Se a armadura transversal for insuficiente, o ao atinge a deformao deincio de escoamento (y). As fissuras inclinadas de cisalhamento prximas ao apoio

desenvolvem-se rapidamente em direo ao banzo comprimido, diminuindo a sua seo

resistente, que por fim pode se romper bruscamente (fig. 12). A falta de armadura transversal

tambm pode levar a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se tambm pela armadura

longitudinal de trao nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (fig. 12).

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Fig. 12 Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto.


Pode tambm ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido,

ou a ruptura na ligao das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A fig. 13 mostra a

ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformao excessiva dos estribos.

Fig. 13 Runa da viga por rompimento dos estribos.


Em sees com banzos reforados, como sees I, que possuam armaduras longitudinal e

transversal reforadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compresso entre as

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fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistncia do concreto compresso. Tal

ruptura ocorre quando as diagonais so solicitadas alm do limite da resistncia do concreto

compresso, antes que a armadura transversal entre em escoamento (fig. 14).

As bielas de compresso delimitam o limite superior da resistncia das vigas ao esforo

cortante, o que depende da resistncia do concreto. A tenso de compresso nas bielas depende

da inclinao dos estribos, como se ver adiante.

Fig. 14 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforada.


5. ESFOROS E TENSES NA TRELIA CLSSICA DE MRSCH

A fig. 15 mostra a trelia clssica para uma viga, com fora cortante constante, com

diagonais comprimidas (bielas de compresso) inclinadas de 45 e com diagonais tracionadas

inclinadas de um ngulo qualquer. A trelia isosttica o que significa que as foras nas barras

podem ser determinadas considerando-se apenas as condies de equilbrio dos ns, a partir do

esforo cortante. A trelia esquematizada representa uma das diversas trelias isostticas, que,

juntas, formam a trelia mltipla ou em malha, que internamente hiperesttica.

Sendo V a fora cortante que atua na seo 1-1 da fig. 15, a fora ou resultante nasdiagonais comprimidas (bielas de compresso - Rcb) :

(1)45senRV cb=

V245sen

VRcb == (2)

45

V

Rcb

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diagonal comprimidaP

V =P2

z ( 1 + cotg )

diagonal tracionada

z ( 1 + cotg )

banzo tracionado

banzo comprimido

z

(1+cotg)

2z

45

Fig. 15 - Trelia clssica de Mrsch.

A fora em cada diagonal comprimida relativa distncia ( )+ cotg12

z, e

considerando-se a largura bw da viga, a tenso mdia de compresso na biela dada por:

( ) ( )+=

+=

cotg1zb

V22

cotg12

zb

R

ww

cbcb

( )+=

cotg1zb

V2

wcb (3)

A fora ou resultante na diagonal tracionada (Rs,) pode ser determinada na seo 1-1 da

fig. 15:

(4)= senRV ,s

=

sen

VR ,s (5)

VRs,

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Supondo que a resultante de trao, relativa distncia horizontal z (1 + cotg ) na viga,

seja absorvida por uma armadura transversal Asw , compostas por barras espaadas por um

comprimento s, a tenso sw na armadura transversal tracionada, inclinada de um ngulo ,

resulta:

( ) ( )

+

=+

=,swsw

,s,sw A

s

sencotg1z

V

s

cotg1zA

R

( ) +

=,sw

,sw A

s

cossenz

V(6)

s

Asw,

6. RELAES DA TRELIA CLSSICA PARA NGULOS , 45 E 90

Apesar da clssica analogia de trelia com um viga fissurada ter sido criada h cerca de

cem anos, a sua simplicidade a faz continuar sendo um modelo para o dimensionamento da

armadura transversal das vigas. A NBR 6118/2003 admite dois modelos para clculo da

armadura, denominados Modelos de Clculo I e II, sendo que, no Modelo I, a trelia admitida a

trelia clssica de Mrsch, com banzos paralelos e bielas de compresso inclinadas de 45.

A Tabela 1 resume as diversas relaes possveis para a trelia clssica em funo do

ngulo de inclinao da diagonal tracionada.

A equao para determinao da tenso na diagonal comprimida mostra que a tenso

depende do ngulo de inclinao da armadura de trao (estribos). Disso resulta que, como a

armadura transversal a 90 no favorvel, a tenso na diagonal comprimida (biela de

compresso) o dobro da mesma tenso para a armadura a 45.

O fato j enunciado da armadura transversal inclinda de 45 ser mais eficiente por

acompanhar a inclinao das tenses principais de trao I , fica evidenciado ao se comparar as

equaes da tenso na armadura transversal (sw). Nota-se que a armadura a 45 resulta 2

vezes menor que a armadura a 90. No entanto, o estribo a 45 apresenta comprimento 2 vezes

maior que o estribo a 90, o que acaba levando a volumes de armaduras praticamente iguais.

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Tabela 1 - Resumo das relaes para a trelia clssica em funo do ngulo

de inclinao das diagonais tracionadas.

Relao qualquer = 45 = 90

Resultante na diagonalcomprimida (Rcb)

V2 V2 V2

Tenso na diagonal

comprimida (cb) + cotg11

zb

V2

w

zb

V

w

zb

V2

w

Resultante de trao (Rs)

senV

45sen

V

V

Tenso na armadura

transversal (sw) + cossen

1

A

s

z

V

,sw

2A

s

z

V

45,sw

90,swA

s

z

V

7. GENERALIZAO DA TRELIA CLSSICA

Os resultados experimentais obtidos em numerosas pesquisas experimentais mostraram

que a trelia clssica de Mrsch conduz a armaduras transversais um pouco exageradas. Aconciliao de tais resultados com as hipteses bsicas de Mrsch conduziu idealizao de uma

nova trelia, a trelia generalizada. As principais diferenas entre as trelias so:

a) a inclinao das fissuras menor que 45;

b) os banzos superior e inferior no so paralelos. O banzo comprimido inclina-se em direo ao

apoio, como mostrado na fig. 16;

c) a trelia altamente hiperesttica internamente. Existe um certo engastamento das diagonaiscomprimidas no banzo comprimido.

As bielas comprimidas so muito mais rgidas que os montantes tracionados. Existe um

certo engastamento das bielas com o banzo comprimido, o que faz as bielas trabalharem flexo,

aliviando os montantes tracionados. Alm disso, observa-se que os esforos de trao na alma

diminuem com a inclinao do banzo comprimido e com a inclinao menor que 45 para as

diagonais comprimidas (fig. 16).

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- 30 - 38

- 38 - 45

a) trelia de alma espessa

b) trelia de alma delgada

PP

Fig. 16 - Trelia generalizada (CEB - 1979).

A trelia internamente hiperesttica no conduz a um equacionamento simples para o

dimensionamento ao cortante mas , porm, til para a concepo do comportamento estrutural

das vigas. Por simplicidade, a nova trelia utilizada no equacionamento leva em conta apenas o

fato das diagonais comprimidas no formarem um ngulo de 45 com o eixo longitudinal da

viga, mas sim um ngulo genrico , varivel em funo da quantidade de armadura transversal e

principalmente da relao entre as larguras superior e inferior da viga. A trelia com ngulo

genrico est mostrada na fig. 17. A deduo das foras na trelia apresentada a seguir

semelhante quela j apresentada no item precedente.

Sendo V a fora cortante que atua na seo 1-1 da fig. 17, a fora ou resultante nas

diagonais comprimidas (bielas de compresso - Rcb) :

(7)= senRV cb

=

sen

VRcb (8)

45 V

Rcb

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diagonal comprimida

PV =

2

diagonal tracionada

z

banzo tracionado

banzo comprimido

P

z(cotg + cotg )sen

z(cotg + cotg ) z(cotg + cotg )

Fig. 17 - Trelia generalizada com bielas de compresso de inclinao e estribos inclinados.

A fora em cada diagonal comprimida relativa distncia ( ) + sencotggcotz , e

considerando-se a largura bw da viga, a tenso mdia de compresso na biela dada por:

( ) +=

sencotggcotzb

R

w

cbcb

( ) +=

2w

cbsencotggcotzb

V(9)

A fora ou resultante na diagonal de trao (Rs,) pode ser determinada na seo 1-1 dafig. 17:

(10)= senRV ,s

=

sen

VR ,s (11)

VRs,

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Supondo que a resultante de trao, relativa distncia horizontal z (cotg + cotg ) da

viga, seja absorvida por uma armadura transversal Asw , compostas por barras espaadas por um

comprimento s, a tenso sw na armadura transversal tracionada, inclinada de um ngulo ,

resulta:

( )s

cotggcotzA

R

sw

,s,sw +

=

( ) +

=,sw

,sw A

s

sencotggcotz

V

(12)

s

Asw,

8. DETERMINAO DO NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DE

COMPRESSO ()

Investigaes experimentais mostraram que, aps iniciado o processo de fissurao na

viga, ocorre uma redistribuio dos esforos internos, proporcional rigidez, principalmente das

diagonais de compresso e do banzo comprimido. No caso de seo retangular, por exemplo, as

diagonais de compresso so rgidas em relao ao banzo comprimido, o qual inclina-se emdireo ao apoio, criando o efeito de arco atirantado na viga (fig. 18). O banzo comprimido, ao

inclinar-se em direo ao apoio pode at mesmo absorver toda a fora transversal, por meio de

sua componente vertical, como indicada na fig. 19.

q

PP

Fig. 18 Efeito de arco ou prtico atirantado na viga.

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R

P

cc

ccR ~~V

ccR

P

Rs Rcb

h f

b

bw

ccR~V~

Fig. 19 Efeito de arco em viga de seo retangular e seo T com inclinao

do banzo comprimido em direo ao apoio.

Com a diminuio da relao b/bw ocorre um aumento da inclinao da fora no banzo

comprimido e uma diminuio da inclinao das diagonais comprimidas (diminuio de ) e,

como conseqncia, os esforos de trao na alma diminuem progressivamente em comparao

aqueles calculados segundo a trelia clssica.

Os ensaios experimentais realizados na Alemanha e descritos por LEONHARDT &

MNNIG (1982) mostraram tambm que a inclinao das fissuras de cisalhamento ou dasdiagonais comprimidas varia com a relao b/bw; essa inclinao situa-se em torno de 30para

b/bw = 1 e cresce para cerca de 45para b/bw = 8 a 12. As diagonais de compresso que

possuem uma inclinao menor que 45 conduzem a esforos de trao na alma de menor

valor.

Na seo retangular as fissuras de cisalhamento mostram-se com inclinao inferior a

45, reduzindo-se at 30, como relatado por LEONHARDT & MNNIG 1982. As diagonais

comprimidas absorvem uma maior parcela da fora cortante, diminuindo conseqentemente osesforos de trao na alma e a armadura transversal. Dessa constatao feita em diversos ensaios

experimentais de vigas pode-se concluir que adequado considerar ngulos inferiores a 45

quando do dimensionamento de vigas de concreto de seo retangular.

No caso de sees com banzos comprimidos mais rgidos, como sees em forma de T, I,

etc., a fora no banzo comprimido inclina-se pouco, e as fissuras de cisalhamento apresentam-se

com inclinao de aproximadamente 45 (fig. 19).

A rigidez depende da quantidade das armaduras longitudinal e transversal, masprincipalmente das reas de concreto que formam o banzo comprimido e as diagonais de

compresso, expressa simplificadamente pela relao b/bw, como indicado na fig. 19.

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9. REDUO DA FORA CORTANTE

Ensaios experimentais com medio da tenso nos estribos mostram que o modelo de

trelia desenvolvido para as vigas efetivamente vlido aps uma pequena distncia dos apoios,

pois se constatou que os estribos muito prximos aos apoios apresentam tenso menor que os

estribos fora deste trecho. Em funo desta caracterstica, na regio junto aos apoios, a

NBR 6118 permite uma pequena reduo da fora cortante para o dimensionamento da armadura

transversal (item 17.4.1.2.1).

No caso de apoio direto, com a carga e a reao de apoio aplicadas em faces opostas

(comprimindo-as), valem as seguintes prescries:

a) a fora cortante oriunda de carga distribuda pode ser considerada, no trecho entre o apoio e aseo situada distncia d/2 da face de apoio, constante e igual desta seo (fig. 20);

b) a fora cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distncia a 2d do eixo

terico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/2d.

Esta reduo no se aplica s foras cortantes provenientes dos cabos inclinados de protenso

(fig. 21).

h

d / 2

R dVd

Fig. 20 Reduo da fora cortante para viga sob carregamento uniforme.

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h

a < 2d

R d reduo em dV

R d Vd

Fig. 21 Reduo da fora cortante para viga sob carga concentrada.

As redues indicadas neste item no se aplicam verificao da resistncia

compresso diagonal do concreto (bielas de compresso). No caso de apoios indiretos, essasredues tambm no so permitidas.

10. ATUAO DO ESTRIBO NA ANALOGIA DE TRELIA

A fig. 22 mostra a atuao ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de

trelia, para uma viga com trao na fibra inferior. No n em sua parte inferior o estribo

entrelaa a armadura longitudinal tracionada e no n na sua parte superior o estribo se ancora no

concreto comprimido e na armadura longitudinal superior.

As bielas de compresso se apiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no

trecho final dos ramos verticais dos estribos e nos seus ramos horizontais, principalmente na

interseco do estribo com as barras longitudinais, como mostrado na fig. 22.

O ramo horizontal inferior dos estribos importante porque, alm de servir de apoio s

bielas, tambm atua para equilibrar as tenses de trao oriundas da inclinao transversal das

bielas diagonais, como indicado na fig. 22 III e IV.

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Fig. 22 Atuao do estribo no modelo de trelia (FUSCO 2000).

Na fig. 22 II mostra-se o apoio da biela na interseco do estribo com a barra longitudinal

inferior, e o acrscimo de tenso s na armadura longitudinal, entre um estribo e outro e

proveniente da atuao da tenso de aderncia b , entre a barra e o concreto.

No n superior os estribos se ancoram no concreto comprimido, e nas barras

longitudinais a posicionadas. Barras porta-estribos tambm atuam para evitar o fendilhamento,

que pode ser provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tenses de trao num pequenovolume de concreto.

O ramo horizontal superior do estribo no obrigatrio, porm, sua disposio indicada

para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforos secundrios que

possam surgir.

Vigas com larguras superiores a 30/40 cm devem ter estribos de quatro ou mais ramos

verticais.

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11. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS AO ESFORO CORTANTE SEGUNDO A

NBR 6118/2003

A nova metodologia apresentada na NBR 6118/2003, embora continue considerando a

analogia de trelia, em alguns aspectos difere significativamente daqueles constantes da NBR

6118/78. Entre eles pode-se citar os novos valores adotados para a parcela Vc da fora cortante

absorvida por mecanismos complementares de trelia, adoo da resistncia do concreto

compresso para regio fissurada (fcd2), constante no cdigo MC-90 do CEB-FIP e

considerao de uma nova sistemtica para verificao do rompimento das diagonais

comprimidas, por meio da fora cortante resistente de clculo (VRd2) em substituio tenso de

cisalhamento ltima (wu).

De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com

algumas modificaes e adaptaes. Uma das principais inovaes est na possibilidade de se

poder considerar inclinaes variveis (30 45) para as diagonais comprimidas (bielas de

compresso). Apesar das modificaes introduzidas foi possvel simplificar o equacionamento,

possibilitando a automatizao manual dos clculos de dimensionamento, com conseqente

ganho de tempo nos clculos.

A NBR 6118 admite como hiptese bsica a analogia com o modelo em trelia, de

banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior

do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc.

O projeto do elemento estrutural fora cortante sugerido com base em dois modelos

de clculo, chamados Modelos de Clculo I e II.

A condio de segurana do elemento estrutural satisfatria quando verificados os

estados limites ltimos, atendidas simultaneamente as duas condies seguintes:

2RdSd VV (13)

swc3RdSd VVVV += (14)

onde: VSd = fora cortante solicitante de clculo (Vd), na seo;

VRd2 = fora cortante resistente de clculo, relativa runa das diagonais comprimidas de

concreto;

VRd3 = Vc + Vsw = fora cortante resistente de clculo, relativa runa por trao

diagonal;

Vc = parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares ao de trelia;

Vsw = parcela absorvida pela armadura transversal.

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11.1 Modelo de Clculo I

No modelo de clculo I a NBR 6118 adota a trelia clssica de Mrch, ao admitir o

ngulo de 45o para as diagonais comprimidas de concreto (bielas de compresso), e a parcela

complementar Vc tem valor constante, independentemente do esforo cortante VSd .

11.1.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

A equao que define a tenso de compresso nas bielas para a trelia clssica ( = 45o)

foi deduzida no item 5, sendo a eq. 3, aqui repetida:

( )+=

cotg1zbV2

wcb

A norma limita a tenso de compresso nas bielas ao valor fcd2 , como est definido no

cdigo MC-90 do CEB. O valor fcd2 atua como um fator redutor da resistncia compresso do

concreto, quando h trao transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais s

tenses de compresso, como mostrado na fig. 23. O valor fcd2 definido por:

cdck

2cd f250

f160,0f

= (15)

fissura

tenso de traode armadura

tenso < fcd2

Fig. 23 Tenso de compresso com trao transversal conforme o MC-90 do CEB-FIP.

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A NBR 6118 (item 17.4.2.2) chama o fator

250

f1 ck de v2 . Na eq. 3, substituindo z

por 0,9 d, cb por fcd2 e transformando V no valor de clculo VSd , a eq. 3 transforma-se em:

( )2

gcot1d9,0bf60,0V wcd2vSd

+= (16)

( )+= gcot1dbf27,0V wcd2vSd (17)

Fazendo VSd como a mxima fora resistente de clculo (VRd2), correspondente runa

das diagonais comprimidas de concreto, tem-se:

dbf27,0V wcd2v2Rd = (18)

com250

f1 ck2v = (fckem MPa)

Portanto, conforme a eq. 13, para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas

deve-se ter:

2RdSdd VVV =

11.1.2 Clculo da Armadura Transversal

Da eq. 14 (VSd VRd3), fazendo a cortante de clculo (VSd) igual mxima cortante

resistente de clculo, relativa ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:

swc3RdSd VVVV +==

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos

complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo

Vc = 0

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b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo

dbf6,0VV wctd0cc == (19)

Com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= (20)

a equao de Vc fica:

dbf3,0.7,0

6,0VV w3 2

ckc

0cc == (21)

com fckem MPa.

c) na flexo-compresso

0cmx,Sd

00cc V2

M

M1VV

+= (22)

onde:

bw = menor largura da seo, compreendida ao longo da altura til d;

d = altura til da seo, igual distncia da borda comprimida ao centro de gravidade da

armadura de trao;

s = espaamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo

longitudinal do elemento estrutural;

fywd = tenso na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a

70 % desse valor no caso de barras dobradas, no se tomando, para ambos os casos,

valores superiores a 435 MPa;

= ngulo de inclinao da armadura transversal em relao ao eixo longitudinal doelemento estrutural, podendo-se tomar 45 90;

M0 = momento fletor que anula a tenso normal de compresso na borda da seo

(tracionada por Md,max), provocada pelas foras normais de diversas origens

concomitantes com VSd, sendo essa tenso calculada com valores de f e p iguais a 0,9,

os momentos correspondentes a essas foras normais no devem ser considerados no

clculo dessa tenso pois so considerados em MSd, apenas os momentos isostticos de

protenso;

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MSd,max = momento fletor de clculo, mximo no trecho em anlise, que pode ser tomado

como o de maior valor no semitramo considerado, (para esse clculo, no se consideram

os momentos isostticos de protenso, apenas os hiperestticos).

Com o valor de Vc conhecido, da eq. 14 calcula-se a parcela do esforo cortante a ser

resistida pela armadura transversal:

cSdsw VVV = (23)

A equao que define a tenso na diagonal tracionada para a trelia clssica ( = 45o) foi

deduzida no item 5, sendo a eq. 6, aqui repetida:

( ) +

=,sw

,sw A

s

cossenz

V

Substituindo z por 0,9 d, V por Vsw, e fazendo sw, igual mxima tenso admitida na

armadura ( fywd), a eq. 6 fica:

)cos(senfd9,0s

AV ywd

,swsw +=

(24)

onde 43515,1

ff ykywd = MPa.

A inclinao dos estribos deve obedecer condio .oo 9045

Para estribo inclinado a 45 a eq. 24 fica:

ywd45,sw

ywd45,sw

sw fds

A27,12fd9,0

s

AV ==

isolando Asw,45/s

ywd

sw45,sw

fd27,1

V

s

A= (25)

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No caso de se utilizar os aos CA-50 e CA-60 e armadura transversal somente na forma

de estribos, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2, que aplicado eq. 25 fica:

5,43d27,1

V

s

A sw45,sw =

d4,55

V

s

A sw45,sw = (26)

Para estribo vertical ( = 90) a eq. 24 fica:

ywd90,sw

sw fd9,0s

AV =

ywd

sw90,sw

fd9,0

V

s

A= (27)

No caso de se utilizar os aos CA-50 e CA-60 e armadura transversal somente na forma

de estribos, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2, que aplicado eq. 27 fica:

d2,39

V

5,43d9,0

V

s

A swsw90,sw ==

d2,39

V

s

A sw90,sw = (28)

importante observar ques

Asw a armadura transversal por unidade de comprimento da

viga e Asw a rea total do estribo, cortando todos os ramos verticais existentes.

11.2 Modelo de Clculo II

No modelo de clculo II a norma admite que a inclinao () das diagonais de

compresso varie livremente entre 30o e 45o e que a parcela complementar Vc sofra reduo com

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o aumento de VSd. Ao admitir ngulos inferiores a 45 a norma adota a chamada trelia

generalizada.

11.2.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

Conforme a eq. 9, deduzida no item 7 para a trelia com diagonais comprimidas

inclinadas de um ngulo :

( ) +=

2w

cbsengcotgcotzb

V

A norma limita a tenso nas bielas comprimidas ao valor fcd2 , valor este constante do

cdigo MC-90 do CEB e definido no item anterior. O valor fcd2 (eq. 15) definido por:

cdck

2cd f250

f160,0f

=

Chamando o fator

250

f

1ck

de v2 e substituindo z por 0,9 d, cb por fcd2 e V pela

mxima cortante resistente de clculo (VRd2), a eq. 9 transforma-se em:

( ) +=

2w

2Rdcd2v

sengcotgcotd9,0b

Vf60,0 (29)

isolando VRd2 fica:

( )+= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd (30)

Para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas deve-se ter (eq. 13):

2RdSd VV

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11.2.2 Clculo da Armadura Transversal

Da eq. 14, fazendo a cortante de clculo (VSd) igual mxima cortante resistente de

clculo, relativa ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:

swc3RdSd VVVV +==

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos

complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo

Vc = 0

b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo

Vc = Vc1

c) na flexo-compresso

1cmx,Sd

01cc V2M

M1VV

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com

3 2ck

cc

ctm

c

,infctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

=

Conforme o grfico mostrado na fig. 24, o valor de V c1 pode ser calculado segundo a

equao seguinte:

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV

= (33)

0 Vc1 Vc0 Vc1

Vc1

VRd2 - VSd

Vc0

VSdVc0VSd

VRd2 Vc0

VRd2

Fig. 24 Interpolao para determinao do valor de Vc1 .

Com o valor de Vc1 conhecido, na flexo simples faz-se Vc = Vc1 , e aplicando a eq. 14

calcula-se a parcela Vsw do esforo cortante a ser resistida pela armadura transversal (eq. 23):

cSdsw VVV =

A equao que define a tenso na diagonal tracionada para a trelia com ngulo de

inclinao das diagonais comprimidas igual a foi deduzida no item 7, sendo a eq. 12, aqui

repetida:

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( ) +

=,sw

,sw A

s

sencotggcotz

V

limitando sw, mxima tenso admitida na armadura (fywd) tem-se:

( ) +

==,sw

ywd,sw A

s

sencotggcotz

Vf

isolando V e substituindo z por 0,9 d:

( +=

sencotggcotfd9,0s

A

V ywd,sw

) (34)

A eq. 34 a parcela Vsw do esforo cortante total (VSd) resistido pela armadura

transversal, isto :

( += sencotggcotfd9,0s

AV ywd

,swsw ) (35)

isolando Asw/s

( ) +=

sencotggcotfd9,0

V

s

A

ywd

sw,sw (36)

onde 43515,1

fff

yk

s

yk

ywd=

= MPa.

A inclinao dos estribos deve obedecer condio .oo 9045

12. ARMADURA MNIMA

Com o objetivo de impedir uma ruptura brusca por fora cortante-flexo, deve existir

uma armadura transversal mnima. A NBR 6118 estabelece a seguinte equao para a taxa

geomtrica mnima, constituda por estribos:

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ywk

m,ct

w

swsw f

f2,0

sensb

A

= (37)

onde: Asw = rea da seo transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus

ramos;

s = espaamento dos estribos;

= ngulo de inclinao dos estribos em relao ao eixo longitudinal do elemento

estrutural;

bw = largura mdia da alma;

fywk= resistncia ao escoamento do ao da armadura transversal;

fct,m = resistncia mdia trao do concreto.

Isolando Asw/s:

senbf

f2,0

s

Aw

ywk

m,ctsw (38)

Para estribo vertical ( = 90) e fazendo o espaamento s igual a 100 cm, a armadura

mnima fica:

wywk

m,ctmn,sw bf

f20A = (cm2/m) (39)

com: bw em cm

fywke fct,m em kN/cm2

3 2ckm,ct f3,0f = (MPa)

13. DISPOSIES CONSTRUTIVAS

As armaduras destinadas a resistir aos esforos de trao provocados por foras cortantes

podem ser constitudas por estribos, combinados ou no com barras dobradas ou barras soldadas.

Os estribos para cortantes devem ser fechados atravs de um ramo horizontal, envolvendo

as barras da armadura longitudinal de trao, e ancorados na face oposta. Quando essa facetambm puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa regio, ou

complementado por meio de barra adicional.

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As prescries para o dimetro do estribo so:

5 mm t bw/10 (40)

- para barra lisa, o dimetro deve ser inferior a 12,5 mm;

- para estribos formados por telas soldadas, o dimetro mnimo pode ser reduzido para

4,2 mm, desde que sejam tomadas precaues contra a corroso dessa armadura.

O espaamento mnimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento

estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom

adensamento da massa. Adotando-se uma folga de 1 cm para a passagem do vibrador, o

espaamento mnimo fica:

s vibr+ 1 cm (41)

O espaamento mximo deve atender s seguintes condies:

>

cm20d3,0sV67,0

cm30d6,0sV67,0

V2Rd

2Rd

Sd (42)

O espaamento transversal (st) entre ramos sucessivos da armadura constituda por

estribos no deve exceder os seguintes valores:

(43)

>

cm35d6,0sV20,0

cm80dsV20,0

Vt2Rd

t2Rd

Sd

As emendas por transpasse so permitidas apenas quando os estribos forem constitudos

por telas ou por barras de alta aderncia.

O item 18.3.3.3 da NBR 6118 apresenta as prescries para elementos estruturais

armados com barras dobradas. Na prtica, no mais usual a utilizao de barras dobradas para a

resistncia fora cortante, e por este motivo as prescries no esto aqui apresentadas.

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14. EQUAES SIMPLIFICADAS

Com base na formulao contida na NBR 6118/2003, elaboraram-se equaes

simplificadas com o objetivo de automatizar o dimensionamento das armaduras transversais para

as vigas de concreto armado, submetidas flexo simples. A automatizao torna o clculo um

pouco mais simples e rpido, facilitando o trabalho manual. Na seqncia, as equaes segundo

os modelos de clculo I e II so remanejadas e simplificadas.


14.1.1 Fora Cortante Mxima

Para verificar se ocorrer ou no o esmagamento das bielas de compresso, considera-se

a situao limite 2RdSd VV = , a partir das equaes 13 e 18:

dbf27,0V wcd2v2Rd =

Com 250

f

1

ck

2v = , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equao para VSd,u :

dbf250

f1027,0V wcd

cku,Sd

= (44)

comc

ckcd

ff

= e fckem MPa e VRd2 em kN.

Se VSd VRd2 no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso. (45)

14.1.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima

A fora cortante correspondente armadura mnima (VSd,mn) pode ser obtida por meio da

igualdade:

s

A

s

A swmn,sw = (46)

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Conforme as eq. 37 e 24 modificadas tem-se as eq. 37 e 24:

= senbs

Awmn,sw

mn,sw(37)

)cos(senfd9,0

V

s

A

ywd

swsw

+= (24)

Aplicando as eq. 37 e 24 na eq. 46 resulta:

)90cos90(senfd9,0

V90senb

ywd

mn,swwmn,sw +

= (47)

ou ainda,

ywdwmn,swmn,sw fd9,0bV = (48)

Sendo a taxa de armadura mnima dada por:

ywk

3 2ck

ywk

ctmmn,sw f

f3,02,0

f

f2,0 = (49)

A eq. 48 passa a ser escrita em funo das resistncias caractersticas do concreto e

do ao:

15,1

fd9,0b

f10

f06,0V ywkw

ywk

3 2ck

mn,sw = (50)

Fazendo as simplificaes na eq. 50 obtm-se a eq. 51, referente resistncia da viga

correspondente armadura mnima, em funo da resistncia caracterstica do concreto:

3 2ckwmn,sw fdb0047,0V = (51)

Fazendo Vc = Vc0 na eq. 14 de verificao do estado limite ltimo, tem-se:

mn,sw0cmn,Sd VVV +=

Substituindo-se as expresses de Vc0 e de Vsw,mn, eq. 21 e 51, respectivamente, resulta:

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+= 0047,0

10.4,1

3,0.7,0.6,0fdbV 3 2ckwmn,Sd (52)

ou ainda,

3 2ckwmn,Sd fdb0137,0V = (53)

com fckem MPa e VSd,mn em kN.

Se VSd VSd,mn utiliza-se armadura transversal mnima;

Se VSd > VSd,mn

calcula-se a armadura transversal para VSd .

14.1.3 Armadura Transversal

Para a determinao da armadura transversal necessria, tambm em funo da

resistncia do concreto, pode-se retomar a eq. 24:

)cos(senfd9,0

V

s

A

ywdswsw

+=

e, como , considerando-se tambm fcSdsw VVV = ywd = 435 MPa, s = 100 cm e estribo vertical

( = 90), obtm-se:

)90cos90(sen5,43.d.9,0

dbf6,0V

100

Aoo

wctdSdsw

+

= (16)

ou, ainda, simplificando-se:

3 2ckw

Sd90,sw fb023,0d

V55,2A = (55)

com fckem MPa e Asw em cm2/m.

A Tabela 1 mostra as eq. 44, 53 e 55, para VRd2 , VSd,mn e Asw respectivamente, em

funo da resistncia caracterstica do concreto compresso (fck). Nota-se que os coeficientes

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de segurana c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, j esto considerados nas

equaes constantes da Tabela 1.

Entrando com bw e d em cm e VSd em kN, resultam VRd2 e VSd,mn em kN e Asw em cm2/m.

Tabela 1 Equaes simplificadas para diferentes valores de fck.

(Modelo de Clculo I estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15).

Concreto VRd2 VSd,mn Asw

C-15 db27,0 w db083,0 w wSd b14,0d

V55,2

C-20 db35,0 w db101,0 w wSd b17,0d

V55,2

C-25 db43,0 w db117,0 w wSd b20,0d

V55,2

C-30 db51,0 w db132,0 w wSd b22,0d

V55,2

C-35 db58,0 w db147,0 w wSd b25,0d

V55,2

C-40 db65,0 w db160,0 w wSd b27,0d

V55,2

C-45 db71,0 w db173,0 w wSd b29,0d

V55,2

C-50 db77,0 w db186,0 w wSd b31,0d

V55,2


Processo semelhante ao desenvolvido para o modelo de clculo I pode ser aplicado ao

modelo II com o intuito de definir equaes simplificadoras.

14.2.1 Fora Cortante ltima

Para a verificao do esmagamento das bielas de compresso, considera-se a situao

limite , a partir da eq. 13 aplicada na eq. 30:2RdSd VV =

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( )+= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd

Com250

f1 ck2v = , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equao para VRd2 :

= cossendbf

250

f1054,0V wcd

ck2Rd (56)

comc

ckcd

ff

= e fckem MPa e VRd2 em kN.

Se VSd VRd2 no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso.

14.2.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima

A fora cortante correspondente armadura mnima (VSd,mn) pode ser obtida por meio da

igualdade, resultante da eq. 14:

mn,swcmn,Sd VVV += (57)

Da eq. 39 transformada (eq. 39) para a armadura mnima e eq. 35 para a parcela V sw ,

aqui repetidas:

= senbf

f3,02,0

s

Aw

ywk

3 2ckmn,sw (39)

( += sencotggcotfd9,0s

AV ywd

,swsw ) (35)

Aplicando a armadura mnima (eq. 39) na eq. 35 de Vsw:

( += sencotggcot15,1

fd9,0senb

f.10

f3,02,0V ywk

wywk

3 2ck

mn,sw

) (58)

Para estribo vertical ( = 90) a eq. 58 fica:

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= gcotdbf0047,0V w3 2

ckmn,sw (59)

Sendo Vc = Vc1 (item 11.2.2b) e aplicando a eq. 59 na eq. 57 tem-se o esforo cortante

mnimo, referente resistncia correspondente armadura mnima, em funo da resistncia

caracterstica do concreto:

+= gcotfdb0047,0VV 3 2ckw1cmn,Sd (60)

com fckem MPa e VSd,mn em kN.

Se VSd VSd,mn utiliza-se armadura transversal mnima;

Se VSd > VSd,mn calcula-se a armadura transversal para VSd .

14.2.3 Armadura Transversal

Para a determinao da armadura transversal necessria, tambm em funo da

resistncia do concreto, pode-se retomar a eq. 36:

( ) +=

sencotggcotfd9,0

V

s

A

ywd

sw,sw

e, como (eq. 14), considerando-se tambm f1cSdsw VVV = ywd = 435 MPa, s = 100 cm e estribo

vertical ( = 90), obtm-se:

=

gcot5,43.d.9,0

VV

100

A 1cSd90,sw

ou, ainda, simplificando-se

( )

=

gcot.d

VV55,2A 1cSd90,sw (61)

com d em cm, VSd e Vc1 em kN e Asw em cm2/m.

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A parcela Vc1 sai da eq. 33 j definida:

( )

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV

=

A Tabela 2 mostra as eq. 56, 60 e 61, para VSRd2 , VSd,mn e Asw respectivamente, em

funo da resistncia caracterstica do concreto compresso (fck). Nota-se que os coeficientes

de segurana c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, j esto considerados nas

equaes constantes da Tabela 2.

Entrando com bw e d em cm e VSd e Vc1 em kN, resultam VRd2 e VSd,mn em kN e Asw em

cm2/m.

Tabela 2 Equaes simplificadas para diferentes valores de fck.

(Modelo de Clculo II estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15).

Concreto VRd2 VSd,mn Asw

C-15 cos.sen.d.b54,0 w 1cw Vgcot.d.b.029,0 +








( )

gcot.d

VV55,2 1cSd

15. Exemplo Numrico 1

A fig. 25 mostra uma viga biapoiada para a qual deve-se calcular e detalhar a armadura

transversal, composta por estribos verticais.

7/27/2019 Cortante-04

42/70


p = 40 kN/m

5 0 m

50 cm

100Vk (kN)

10012 cm

seo transversal

Fig. 25 Esquema esttico e carregamento da viga (DUMT & PINHEIRO - 2000).

So conhecidos:

concreto C-20 ; ao CA-50 A

d = 4 cm

d = h d = 50 4 = 46 cm

0,1400,100.4,1V.VkN0,100V kfSdk ==== kN

Para fins de comparao os clculos sero feitos segundo os modelos de clculo I e II,

com o ngulo de 30 para o modelo II. Os clculos sero feitos conforme as equaes

deduzidas nos itens 11.1, 11.2 e 14 - equaes da norma NBR 6118 e equaes simplificadoras.

15.1 Equaes de Norma

15.1.1 Modelo de Clculo I

O modelo de clculo I supe a trelia clssica de Mrsch, ou seja, admite apenas o ngulo

de 45.

a) Verificao da Compresso na Biela

Para no ocorrer o esmagamento do concreto que compe a biela comprimida deve-se ter:

VSd VRd2

A equao que define VRd2 (eq. 18):

7/27/2019 Cortante-04

43/70


dbf250

f127,0V wcd

ck2Rd

= , com fckem MPa

Substituindo os valores numricos na eq. 18:

9,19546.124,1

0,2

250

20127,0V 2Rd =

= kN

VSd = 140,0 kN < VRd2 = 195,9 kN

A verificao demonstra que no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso.

b) Clculo da Armadura Transversal

Para efeito de comparao com a armadura calculada, primeiramente ser determinada a

armadura mnima (eq. 39) para estribo a 90 e ao CA-50:

w

ywk

ctmmn,sw bf

f20A (cm2/m)

A resistncia do concreto trao direta :

21,2203,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa

06,112.50

221,0.20A

mn,sw

cm2/m

Para calcular a armadura deve-se determinar as parcelas do esforo cortante que sero

absorvidas pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que (eq. 14):

swcSd VVV +=

Na flexo simples, a parcela Vc determinada pela eq. 21:

dbf6,0VV wctd0cc ==

7/27/2019 Cortante-04

44/70


com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= , com fckem MPa

11,1204,1

3,0.7,0f 3 2

ctd== MPa

6,3646.1210

11,16,0VV 0cc === kN

Portanto, da eq. 14:

Vsw = VSd Vc = 140,0 36,6 = 103,4 kN

A armadura, de acordo com a eq. 28 :

d2,39

V

s

A sw90,sw = 0573,046.2,39

4,103

s

A 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 5,73 cm2/m > 1,06 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura calculada,

5,73 cm

2

/m)

15.1.2 Modelo de Clculo II

O modelo de clculo II supe a possibilidade de se adotarem diferentes valores para o

ngulo de inclinao das diagonais comprimidas, no intervalo de 30 a 45. Para utilizar esse

mtodo, adotou-se nesta demonstrao o valor de 30o para a inclinao () das diagonais de

concreto.


Para no ocorrer o esmagamento do concreto que compe a biela comprimida deve-se ter

(eq. 13):

VSd VRd2


7/27/2019 Cortante-04

45/70


( +

= gcotgcotsendbf

250

f154,0V 2wcd

ck2Rd ) , com fckem MPa

Aplicando numericamente a eq. 30:

( ) 6,16930gcot90gcot30sen.46.124,1

0,2

250

20154,0V 22Rd =+

= kN

VSd = 140,0 kN < VRd2 = 169,6 kN

A verificao demonstra que no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso em

ambos os apoios. Das relaes 32 tem-se que Vc1 0.




swcSd VVV +=

Na flexo simples, a parcela Vc igual a Vc1. Devem tambm serem calculados (eq. 21):

dbf6,0V wctd0c =

com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= , com fckem MPa

11,1204,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa

6,3646.1210

11,16,0V 0c == kN

VSd,A = 140,0 > Vc0 = 36,6 kN

7/27/2019 Cortante-04

46/70


O esquema grfico mostrado na fig. 26 apresenta a relao inversa entre a resistncia V c1

e a solicitao de clculo VSd, explicitando que, quanto maior o grau de solicitao fora

cortante, menor ser a contribuio da biela comprimida na composio resistente do elemento

de viga a esta fora.

0 Vc1 36,6 Vc0

VRd2 - VSd

Vc1

29,7

36,6

VSd36,6140,0

VRd2 Vc0 = 133,1

169,7

Fig. 26 - Interpolao para obteno do valor de Vc1 em funo de VSd.

Conforme a eq. 33, resulta:

2,86,367,169

0,1407,1696,36

VV

VVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1cc =

=

== kN

A parcela do esforo cortante a ser resistida pela armadura transversal :

8,1312,80,140VVV cSdsw === kN

A eq. 36 foi definida para o clculo da armadura transversal:

( ) +

=

sencotggcotfd9,0

V

s

A

ywd

sw,sw

A armadura transversal :

7/27/2019 Cortante-04

47/70


( )

0423,090sen30cotg90gcot

15,1

50.46.9,0

8,131

s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 4,23 cm2/m > 1,06 cm2/m (portanto, deve-se dispor armadura calculada,

4,23 cm2

/m)

15.2 Equaes Simplificadas

A fim de exemplificao so aplicadas as equaes definidas no item 14.

15.2.1 Modelo de Clculo I

a) Verificao das Bielas de Compresso

Da Tabela 1, para o concreto C-20, determina-se a fora cortante ltima ou mxima:

2,19346.12.35,0db35,0V w2Rd === kN

== kN8,55V0,140V mn,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/

VSd .

Da equao para Asw na Tabela 1 (concreto C-20):

72,5A12.17,046

0,14055,2b17,0d

V55,2A swwSd

sw === cm2/m

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e, a ttulo de comparao, da eq. 39, a armadura mnima :

06,11250.10

203,020A

3 2

mn,sw == cm2/m

Como Asw = 5,72 > Asw,mn = 1,06 cm2/m, deve-se dispor a armadura calculada.

Observe a semelhana nos valores das armaduras calculadas segundo os dois processos

de clculo (norma e simplificado).

15.2.2 Modelo de Clculo II

Para utilizar esse mtodo, adotou-se nesta demonstrao o valor de 30o para a inclinao

() das diagonais de concreto.

a) Verificao das Bielas de Compresso

Da Tabela 2, para concreto C-20, a fora cortante ltima ou mxima :

7,16930cos.30sen.46.12.71,0cos.sendb71,0V w2Rd === kN

=

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49/70


6,3646.124,1.10

203,07,06,0dbf6,0V

3 2

wctd0c =

== KN

6,36V0,140V 0cSd =>= kN





0 Vc1 36,6 Vc0

VRd2 - VSd

Vc1

29,7

36,6

VSd36,6140,0

VRd2 Vc0 = 133,1

169,7



2,86,367,169

0,1407,1696,36

VV

VVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

=

= kN

Verifica-se que, para estribo vertical ( = 90), Vc1 independe do modelo adotado, ou

seja, se modelo de clculo I ou II.

Assim, das expresses da Tabela 2:

7,412,830gcot.46.12.035,0Vgcotdb035,0V o1cwmn,Sd =+=+= kN

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50/70


=>= kN7,41V0,140V mn,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal para

VSd .

( ) ( )

22,430gcot46

2,80,140

55,2gcotd

VV

55,2A o1cSd

sw =

=

= cm2

/m

Na Tabela 3 so apresentados os resultados obtidos para outros valores adotados para .

A fig. 28 mostra o detalhamento da armadura transversal na viga.

Tabela 3 Resultados de Asw obtidos segundo os dois modelos de clculo

da NBR 6118/2003 e segundo a NBR 6118/78.

Asw(cm2/m)NORMA

(o) E . Norma E . Sim lif.

Asw,mn(cm2/m)

NBR 6118/78 45 6,20 - 1,68NBR 6118/2003 - Modelo I

- Modelo II45454030

5,737,075,954,23

5,72--

4,22

1,061,061,061,06

Observa-se na Tabela 3 que o modelo de clculo I da NBR 6118/2003, resulta armadura

menor que a calculada segundo a NBR 6118/78, para o mesmo ngulo de 45.

15.3 Detalhamento da Armadura Transversal

Para efeito de detalhamento, na fig. 28 os estribos verticais so mostrados conforme

definidos pelo modelo de clculo II, com ngulo de 30.

a) Dimetro do estribo: segundo a eq. 40: 5 mm t bw/10 t 120/10 12 mm

b) Espaamento mximo: segundo a eq. 42:

0,67 VRd2 = 0,67 . 169,6 = 113,6 kN

VSd = 140,0 > 113,6 kN s 0,3 d 20 cm

0,3 d = 0,3 . 46 = 13,8 cm Portanto, s 13,8 cm

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51/70


c) Espaamento transversal entre os ramos do estribo: segundo a eq. 43:

0,20 VRd2 = 0,20 . 169,6 = 33,9 kN

VSd = 140,0 > 33,9 kN st 0,6 d 35 cm

0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm Portanto, s 27,6 cm

d) Escolha do dimetro e espaamento dos estribos

Para a armadura calculada segundo o modelo de clculo II, de 4,23 cm2/m nos apoios,

considerando estribo vertical composto por dois ramos e dimetro de 5 mm (1 5 mm = 0,20

cm2), tem-se:

0423,0s

Asw = cm2/cm 0423,0s

40,0= s = 9,5 cm

Para a armadura mnima de 1,06 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

0106,0s

Asw = cm2/cm 0106,0s

40,0= s = 37,7 cm

20 cm

Sd, min = 41,7V

20 cm

(KN)SdV

N1 - 48 5 C = 122 cm

9 cm

47cm480 cm

250 cm 250 cm

Sd, minV

176 cm148 cm176 cm

171 176N1-19 c/9 N1-19 c/9

140

140

N1 - 10 c/14

Fig. 28 - Detalhamento dos estribos ao longo da viga.

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16. Exemplo Numrico 2

Calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais para os

esforos cortantes mximos da viga esquematizada na fig. 29. So conhecidos: C-25, CA-50,c = f= 1,4, s = 1,15, d = 80 cm.

viga transversal

4m 3m 25cm

A BC

150 KN29 KN / m

85cm

25 cm 25 cm

Fig. 29 Esquema esttico e esforos cortantes na viga.

Como os esforos cortantes na viga so diferentes nos apoios A e B, sero dimensionadas

duas armaduras transversais diferentes, uma para cada apoio. Os esforos cortantes de clculo

so:

Apoio A VSd,A = Vd,A = f . Vk,A = 1,4 . 165,8 = 232,1 kN

Apoio B VSd,B = Vd,B = f . Vk,B = 1,4 . 187,2 = 262,1 kN

Para comparao de resultados, a viga ter a armadura transversal calculada segundo os

modelos de clculo I e II, com o ngulo de inclinao das bielas comprimidas assumido com os

valores de 30 e 45. Todos os clculos sero feitos segundo a formulao terica derivada da

NBR 6118/2003 e tambm segundo as frmulas simplificadas definidas no item 14.


O modelo de clculo I supe a trelia clssica de Mrsch, ou seja, admite apenas o ngulo

de 45.

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53/70


16.1.1 Equaes de Norma



VSd VRd2


dbf

250

f127,0V wcd

ck2Rd

= , com fckem MPa

9,86780.254,1

5,2

250

25127,0V 2Rd =

= kN

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 867,9 kN

Apoio B VSd,B = 262,1 kN < VRd2

A verificao implica que no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso em

ambos os apoios.


A armadura mnima (eq. 39) para estribo a 90 e ao CA-50 :

wywk

ctmmn,sw bf

f20A = (cm2/m)

56,2253,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa

56,225.50

256,0.20A mn,sw == cm

2/m



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54/70


swcSd VVV +=

Na flexo simples, a parcela Vc determinada pela eq. 21:

dbf6,0VV wctd0cc ==

com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= com fckem MPa

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa

9,15380.2510

28,16,0VV 0cc === kN

Vsw = VSd Vc

Apoio A Vsw,A = 232,1 153,9 = 78,2 kN

Apoio B Vsw,B = 262,1 153,9 = 108,2 kN

A armadura, de acordo com a eq. 28 :

d2,39

V

s

A sw90,sw =

Apoio A: 0249,080.2,39

2,78s

A 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 2,49 cm2/m < 2,56 cm2/m (portanto, dispor a armadura mnima)

Apoio B: 0345,080.2,39

2,108

s

A 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 3,45 cm2/m > 2,56 cm2/m (portanto, dispor a armadura calculada)

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55/70


16.1.2 Equaes Simplificadas


Conforme a equao contida na Tabela 1, para o concreto de resistncia caracterstica

20 MPa, tem-se a fora cortante mxima:

0,86080.25.43,0db43,0V w2Rd === kN




ambos os apoios.


Primeiro deve-se verificar se a fora cortante solicitante levar ou no armadura

mnima. Da Tabela 1:

0,23480.25.117,0db117,0V wmn,Sd === kN

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VSd,mn = 234,0 kN

(portanto, dispor armadura mnima conforme definida no item anterior)

Para efeito de comparao, da Tabela 1 a armadura calculada resulta:

40,225.20,080

1,23255,2b20,0

d

V55,2A w

Sd90,sw === cm

2/m < Asw,mn = 2,56 cm2/m

Apoio B VSd,B = 262,1 kN > VSd,mn = 234,0 kN

(portanto, calcular a armadura transversal)

35,325.20,080

1,26255,2b20,0

d

V55,2A w

Sd90,sw === cm

2/m > Asw,mn = 2,56 cm2/m

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56/70


Verifica-se que as armaduras calculadas para o apoio B segundo as equaes de norma e

equaes simplificadas resultaram praticamente idnticas.


O modelo de clculo II supe a possibilidade de se adotar diferentes valores para o

ngulo de inclinao das diagonais comprimidas, no intervalo de 30 a 45. A ttulo de

comparao a viga ser calculada com os ngulos de 30 e 45, segundo as formulaes da

norma e as equaes simplificadas.

16.2.1 Equaes de Norma

16.2.1.1 ngulo de 30


Para no ocorrer o esmagamento do concreto que compe a biela comprimida deve-se ter

(eq. 13):

VSd VRd2


( +

= gcotgcotsendbf

250

f154,0V 2wcd


( ) 6,75130gcot90gcot30sen.80.254,1

5,2

250

25154,0V 22Rd =+

= kN

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 751,6 kN Vc1 0

Apoio B VSd,B = 262,1 kN < VRd2 Vc1 0

A verificao implica que no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso emambos os apoios.

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57/70




absorvidos pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que (eq. 14):

swcSd VVV +=

Na flexo simples, a parcela Vc igual a Vc1. Devem tambm serem calculados (eq. 21):

dbf6,0V wctd0c =

com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= com fckem MPa

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa

9,15380.25

10

28,16,0V 0c == kN

Apoio A VSd,A = 232,1 > Vc0 = 153,9 kN

Apoio B VSd,B = 262,1 > Vc0






Apoio A 8,1339,1536,751

1,2326,7519,153

VV

VVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

=

= kN

Apoio B 0,1269,1536,7511,2626,751

9,153VV

VV

VV 0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

=

= kN

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58/70


0 Vc1 153,9 Vc0

VRd2 -VSd

Vc1

153,9

VSd153,9751,6 (A) 232,1

(B) 262,1597,7



Apoio A 3,988,1331,232VVV A,cA,SdA,sw === kNApoio B 1,1360,1261,262VVV B,cB,SdB,sw === kN


( ) +=

sencotggcotfd9,0

V

s

A

ywd

sw,sw

A armadura transversal no apoio A :

( )0181,0

90sen30cotg90gcot15,1

50.80.9,0

3,98

s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 1,81 cm2/m < 2,56 cm2/m (portanto, dispor armadura mnima)

A armadura transversal no apoio B :

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59/70


( )

0251,090sen30cotg90gcot

15,1

50.80.9,0

1,136

s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 2,51 cm2/m < 2,56 cm2/m (portanto, dispor armadura mnima)

16.2.1.2 ngulo de 45



VSd VRd2

A equao que define VRd2 :

( +

= gcotgcotsendbf

250

f154,0V 2wcd


( ) 9,86745gcot90gcot45sen.80.254,1

5,2

250

25154,0V 22Rd =+

= kN

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 867,9 kN Vc1 0

Apoio B VSd,B = 262,1 kN < VRd2 Vc1 0


ambos os apoios.



absorvidos pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que:

swcSd VVV +=

7/27/2019 Cortante-04

60/70


Na flexo simples, a parcela Vc igual a Vc1. Devem tambm ser calculados:

dbf6,0V wctd0c =

com 3 2ckcc

ctm

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= com fckem MPa

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa

9,15380.25

10

28,16,0V 0c == kN

Apoio A VSd,A = 232,1 > Vc0 = 153,9 kN

Apoio B VSd,B = 262,1 > Vc0





0 Vc1 153,9 Vc0

VRd2 - VSd

Vc1

153,9

VSd153,9867,9 (A) 232,1

(B) 262,1714,0


7/27/2019 Cortante-04

61/70



Apoio A 0,1379,1539,867

1,2329,8679,153

VV

VVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

=

= kN

Apoio B 6,1309,1539,867

1,2629,8679,153

VV

VVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

=

= kN


Apoio A 1,950,1371,232VVV A,cA,SdA,sw === kN

Apoio B 5,1316,1301,262VVV B,cB,SdB,sw === kN


( ) +=

sencotggcotfd9,0

V

s

A

ywd

sw,sw

A armadura transversal no apoio A :

( )0304,0


50.80.9,0

1,95

s

A 90,sw =+

= cm2/cm


A armadura transversal no apoio B :

( )0420,0


50.80.9,0

5,131

s

A 90,sw =+

= cm2/cm


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16.2.2 Equaes Simplificadas

16.2.2.1 ngulo de 30



20 MPa (C-20), tem-se a fora cortante mxima:

7,75130cos.30sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd === kN




ambos os apoios.


Primeiro deve-se verificar se o cortante levar armadura mnima ou no. Da Tabela 2:

1cwmn,Sd Vgcotdb040,0V +=

A parcela Vc1 da fora cortante avaliada pela eq. 33:

( )

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV

=

Os valores de Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 751,7 kN, VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN so

conhecidos.

Substituindo os valores na eq. 33 de Vc1 fica:

( ) 8,1339,1536,751

1,2326,7519,153V A,1c == kN

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( )0,126

9,1536,751

1,2626,7519,153V B,1c =

= kN

1cmn,Sd V30gcot.80.25.040,0V +=

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VSd,mn,A = 272,4 kN

(portanto, dispor a armadura mnima)

Apoio B VSd,B = 262,1 kN < VSd,mn,B = 264,6 kN

(portanto, dispor a armadura mnima)

Conforme a Tabela 2, a equao para clculo da armadura :( )

=gcot.d

VV55,2A 1cSdsw

No apoio A:

( )81,1

30gcot.80

8,1331,23255,2A A,sw =

= cm2/m

No apoio B:

( ) 50,230gcot.80

0,1261,26255,2A B,sw == cm2/m

Verifica-se que as armaduras calculadas segundo as duas formulaes resultaram

praticamente idnticas.

16.2.2.2 ngulo de 45



20 MPa, tem-se a fora cortante mxima:

0,86845cos.45sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd === kN

Apoio A VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 868,0 kNApoio B VSd,B = 262,1 kN < VRd2

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ambos os apoios.


Primeiro deve-se verificar se o cortante levar armadura mnima ou no:

1cwmn,Sd Vgcotdb040,0V +=

A parcela Vc1 da fora cortante avaliada pela eq. 33:

( )

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV

=

Os valores j conhecidos so: Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 868,0 kN, VSd,A = 232,1 kN e

VSd,B = 262,1 kN. Substituindo na eq. 33 de Vc1 tem-se:

( )0,137

9,1530,868

1,2320,8689,153V A,1c =

= kN

( )6,130

9,1530,868

1,2620,8689,153V B,1c =

= kN

1c1cmn,Sd V0,80V45gcot.80.25.040,0V +=+=

Apoio A: 0,2170,1370,80V mn,Sd =+= kN

VSd,A = 232,1 kN > VSd,mn = 217,0 kN


Apoio B: 6,2106,1300,80V mn,Sd =+= kN

VSd,B = 262,1 kN > VSd,mn = 210,6 kN


Conforme a Tabela 2, a equao para clculo da armadura :( )

=gcot.d

VV55,2A 1cSdsw

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No apoio A:

( )03,3

45gcot.80

0,1371,23255,2A A,sw =

= cm2/m > Asw,mn = 2,56 cm

2/m

No apoio B:

( )19,4

45gcot.80

6,1301,26255,2A B,sw =

= cm2/m > Asw,mn = 2,56 cm

2/m

Verifica-se que as armaduras calculadas segundo os dois processos de clculo resultaram

praticamente idnticas.

A Tabela 4 resume os resultados encontrados nos clculos.

Tabela 4 Resultados obtidos conforme os dois modelos de clculo da NBR 6118/2003.

Asw(cm2/m)Modelo de

Clculo(o)

Processo deClculo Apoio A Apoio B

Modelo I 45 NormaSimplificado

2,492,40

3,453,35

Modelo II 30

45

NormaSimplificado

NormaSimplificado

1,811,81

3,043,03

2,512,50

4,204,19

16.3 Detalhamento da Armadura Transversal

Dentre as vrias possibilidades de valores para a armadura transversal, optou-se pelo

modelo de clculo I. O detalhamento encontra-se mostrado na fig. 32.

a) Dimetro do estribo: segundo a eq. 40: 5 mm t bw/10 t 250/10 25 mm

b) Espaamento mximo: segundo a eq. 42:

0,67 VRd2 = 0,67 . 868,0 = 581,5 kN

VSd,A = 232,1 < 581,5 kN s 0,6 d 30 cm

0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm Portanto, s 30 cm

VSd,B = 262,1 < 581,5 kN s 0,6 d 30 cm

Portanto, s 30 cm

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c) Espaamento transversal entre os ramos do estribo: segundo a eq. 43:

0,20 VRd2 = 0,20 . 868,0 = 173,6 kN

VSd,A > 173,6 kN e VSd,B > 173,6 kN st 0,6 d 35 cm

0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm Portanto, s 35 cm

d) Escolha do dimetro e espaamento dos estribos

Para as armaduras calculadas segundo o modelo de clculo I, de 2,49 cm2/m no apoio A e

de 3,45 cm2/m no apoio B. considerando estribo vertical composto por dois ramos e dimetro de

5 mm (1 5 mm = 0,20 cm2), tem-se para o apoio A:

Asw = 2,49 cm2/m < Asw,mn = 2,56 cm

2/m

0256,0s

Asw = cm2/cm < 0256,0s

40,0= s = 15,6 cm

Para o apoio B:

0345,0

s

Asw = cm2/cm 0345,0

s

40,0= s = 11,6 cm

N1 - 41 c/15

25 cm 25 cm

55A

700 cm

371 cm

331 cm 40 cm

VSd, mn = 234,0

262,1 cm

232,1cm

VSd (KN)

N1 - 46

sw,mn

N1 - 5 c/11

675 cm

Fig. 32 - Detalhamento dos estribos ao longo do vo livre da viga.

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17. QUESTIONRIO

1) Numa viga de concreto armado biapoiada sob duas foras concentradas P, como se

apresentam as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso? O que

diferencia o trecho de flexo pura com os demais?

2) E numa viga com carregamento uninforme?

3) Numa viga contnua, como se mostram as trajetrias das tenses principais?

4) Qual a configurao das fissuras numa viga no instante pr-ruptura? Desenhe.

5) Como so as fissuras de flexo e de flexo com fora cortante?

6) Em que instante do carregamento surgem as fissuras de flexo por exemplo?

7) Desenhe numa viga contnua qual a inclinao mais favorvel para os estribos? Explique.

8) Por que h indicao do espaamento mximo do estribo?

9) O que uma trelia mltipla ou em malha?

10) Explique a analogia de uma viga fissurada com a trelia clssica. Quais as hipteses da

trelia clssica?

11) Se os estribos resistem s tenses de trao, quem deve resistir s tenses de compresso?

Como isso ocorre?

12) Mostre as diferentes possibilidades de ruptura por fora cortante.

13) Qual a configurao da trelia generalizada? Quais as diferenas para a trelia clssica?14) Nas trelias clssica e generalizada, estude como surgem as equaes para clculo da

armadura transversal (Asw) e verificao da tenso na biela comprimida.

15) Quais as diferenas nos valores da armadura transversal e da tenso na biela de

compresso quando = 45 ou 90 ?

16) Por que a trelia clssica conduz a uma armadura transversal exagerada?

17) Quais as indicaes para adoo do ngulo ?

18) Por que pode ser feita uma reduo da fora cortante nos apoios. Como deve serconsiderada?

19) Comente sobre a forma de atuao dos estribos na analogia de trelia.

20) De que modo feita a verificao do esmagamento ou no do concreto comprimido nas

bielas?

21) O que so os modelos de clculo I e II? Quais as diferenas entre eles?

22) O que representa a parcela Vc da fora cortante?

23) Como calculada a parcela Vc1 ?24) O que significam os valores VSd,mn e VSd,u ?

25) Qual o valor da armadura mnima ao esforo cortante?

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26) Quais os limites para o dimetro e o espaamento dos estribos?

27) Quais os tipos de arranjos de armadura transversal que podem ser utilizados para uma

viga resistir ao esforo cortante?

18. EXERCCIOS PROPOSTOS

Calcular e detalhar a armadura transversal para as vigas mostradas nas fig. 33 e 34, sendodados:

1) C-20, CA-50, c = 2,0 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm.

600 cm

25 KN/m

l

20 cm 20 cm

Fig. 33 Esquema esttico e carregamento externo na viga.

2) Idem ao primeiro, mas com concreto C-30.

3) C-25, CA-50, c = 1,5 cm, bw = 30 cm, h = 60 cm, d = 56 cm.

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