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CosmologiaProf. Rodrigo Holanda (UEPB)
Ementa do curso
• Cosmologia e relatividade geral: fundamentos de relatividade geral, gravitação e curvatura do espaço-tempo, métrica de Friedmann-Robertson-Walker.
• O Universo em expansão: soluções da equação de Friedmann.
• Matéria e energia escuras • A radiação cósmica de fundo e a história térmica do
universo • Teoria newtoniana do processo de formação de estruturas• Problemas do modelo padrão e a teoria inflacionária
Cosmologia
• É a ciência que estuda a origem, estrutura e evolução do Universo.
• O objetivo é entender como o Universo se formou, por que tem as características que vemos hoje e qual será o destino final.
• Principais ferramentas: física, matemática, estatística, química e até filosofia.
Cosmologia
• A ciência dos grandes números Nossa galáxia possui 100 bilhões (1011) de estrelas. No Universo observável existem 100 bilhões de
galáxias (1011). No Universo observável existem 1022 estrelas. Em um balde cheiro de areia existem 109 grãos de
areia.Cem baldes de areia existirão 1011 grãos de areia,
apenas igual ao número de estrelas na nossa galáxia!!!!
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
O Sol é invisível nesta escala!
A via Láctea
Hubble Deep Field: tamanho angular equivalente a de uma bola de ténis vista a uma distância de 100 metros.
Você ainda se acha especial?!
• 1908- Henrietta Leavitt descobre a relação período-luminosidade das cefeidas.• 1915- Einstein publica a TRG.• 1917- Einstein aplica sua teoria ao Universo: universo estático• 1920- O grande debate: Shapley x Curtis, Nebulosa de Andrômeda e as Nuvens de Magalhães
• 1922- A. Friedmann e G. Lemaitre encontram soluções expansionistas para o universo.• 1929- E.d Hubble encontra a expansão do universo.• 1933- F. Zwicky encontra a primeira evidência para a matéria escura em aglomerados.• 1934- R. C. Tolmam mostra que a radiação de corpo negro resfria em um universo em expansão e
permanece térmica.• 1946- G. Gamow discute a nucleossíntese primordial.• 1948- G. Gamow, R. Alpher e R. Herman predizem que o universo deve ter uma radiação de
fundo correspondente a um corpo negro de 5 K.• 1965- A. Penzias e R. Wilson descobrem a radiação de fundo.• 1969- Charles Misner discute o problema dos horizontes cosmológicos• 1980- Vera Rubin encontra evidência de matéria escura em galáxias espirais• 1980- Alan Guth propõe a teoria do universo inflacionário.• 1992- Levantamento da curva de corpo negro pelo satélite COBE• 1998- Permutter e A. Riess descobrem a aceleração do universo.• 2000- medidas de balões (boomerang e Maxima) mostram que o universo é pseudo-euclidiano.
Fatos históricos
Fatos históricos
Paradigma atual
Cosmologia
• Hipóteses: As leis da física válidas no sistema solar valem
também para o resto do UniversoAs leis da física podem ser extrapoladas para o
passadoPrincípio Copernicano: não ocupamos um lugar
privilegiado no UniversoPrincípio cosmológico: o Universo é homogêneo e
isotrópico em larga escalaGravitação é dominante em larga escala
• Física newtoniana: partículas se movem ao longo de linhas retas em um espaço euclidiano até que uma força atue sobre ela.
- “O espaço absoluto, por sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa que seja exterior, permanece sempre semelhante e imóvel.” - “O tempo absoluto, real e matemático, por si só e por sua natureza, flui uniformemente, sem relação com qualquer coisa externa, e recebe também o nome de duração.”
�⃗�=−𝐺𝑚𝑚𝑟3 𝑟
A gravitação newtoniana: gravidade é uma força!!!!
Incompatível com a teoria da relatividade especial, pois na visão newtoniana a gravidade é uma força que se transmite
instantaneamente!!!!!
Física newtoniana
Física newtoniana
• O universo é homogêneo e isotrópico em grandes escalas. Assim, se , fica indeterminado, segundo a equação de Poisson.
• A pressão uniforme de um fluido não desempenha nenhum papel gravitacional nesta equação ou em outra na dinâmica newtoniana, o que limita sua aplicabilidade apenas para o caso de matéria não relativística ().
• Se o Universo não for homogêneo e isotrópico, observa-se que um Universo onde é contraditória com a física estatística. A condição de contorno impõe à equação de Poisson que o potencial tenda a um valor fixo finito à grandes distancias (valor fixo quando ). Pela física estatística, qualquer objeto astronômico pode adquirir energia cinética o suficiente para vencer o valor do potencial e com isso desaparecer no infinito. Portanto, não seria obedecida, e a equação de Poisson seria inviável.
• Além disso, como observa Einstein, a energia radiante dos corpos provém da massa e ela perde-se no infinito, o que também é incompatível com .
𝛻2∅=𝛻 . �⃗�=−4𝜋 𝐺𝜌
E a equação de Poisson: substituta para a lei de ação à distância??!!!
Apenas a massa interior a um dado r é que realmente determina o movimento de uma camada esférica centrada em torno de um ponto arbitrário!!
Para desenvolver uma cosmologia newtoniana é preciso utilizar o teorema de Birkoff, demonstrável apenas na teoria da relatividade geral.
A teoria da relatividade especial
• Postulados: A velocidade da luz no vácuo é c=3.1010 cm/s para referenciais
inerciais, sendo independente do observador . As leis da física são as mesmas para todos os observadores inerciais
(não-acelerados) do universo.
A relatividade especial foi construída para tornar as equações de Maxwell do eletromagnetismo invariantes entre referenciais inerciais.
Transformações de Galileu Transformações de Lorentz
• Medidas de espaço e tempo deixam de ter naturezas independentes e absolutas e dão lugar a um contínuo espaço-tempo quadri-dimensional para cada observador. As leis da físicas em referenciais inerciais devem ser escritas neste espaço-tempo.
• O intervalo invariante sob transformações de Lorentz entre observadores neste espaço-tempo é fornecida por
, onde e x0=ct, x1=x, x2=y e x3 = z.
A teoria da relatividade especial
𝛽=𝑣𝑐
As equações de Lorentz transformam um sistema ortogonal em um não-ortogonal!!!
A teoria da relatividade especial
Três situações diferentes podem ocorrer
• = 0 Os dois eventos foram um par tipo luz e apenas a luz pode conectar estes dois eventos.
• > 0 Os dois eventos formam um par tipo-tempo e podem estar casualmente conectados. Existe um referencial onde os eventos ocorrem no mesmo local, mas não existe um onde ocorram ao mesmo tempo.
• < 0 Os dois eventos forma um par tipo-espaço e não tem qualquer relação de causa-efeito. Não existe um referencial onde os eventos ocorrem no mesmo local, mas existe um onde ocorram ao mesmo tempo.
No espaço-tempo da relatividade restrita, a estrutura de cones de luz é rígida!
A relatividade restrita é insuficiente para explicar a homogeneidade e a expansão do
universo ao mesmo tempo!!!!!
Espaço-tempo estático!!!
A teoria da relatividade Geral (1915)
Princípios• Princípio de equivalência: não existem experimentos locais que
possam distinguir a queda livre em um campo gravitacional de um movimento uniforme no espaço na ausência de um campo gravitacional.
• Princípio da relatividade: a TRE governa a física local, ou, localmente, o espaço-tempo é plano (Minkowski).
Em outras palavras: um referencial linearmente acelerado é localmente
indêntico a um referencial em repouso em um campo gravitacional.
• Considere um observador em um foguete em 3 situações diferentes:
A teoria da relatividade Geral
• Pelo princípio de equivalência o resultado deveria ser o mesmo para um observador em um campo gravitacional!!
• Com base no “Princípio de Fermat” da ótica: “a luz viaja entre dois pontos pela trajetória que minimiza o tempo de viagem”. Einstein concluiu que o espaço não é Euclidiano na presença de uma massa.
• Experimento de Sobral e na Ilha do Príncipe (29 de Maio de 1919): deflexão da luz.
A teoria da relatividade Geral
Na TRG: a gravidade é representada pela curvatura do espaço-tempo. Partículas se movem ao longo de geodésicas até que forças atuem nelas.
A equação da geodésica é:
O termo g é o tensor métrico transmite todas as informação sobre estrutura causal e geométrica do espaço-tempo. O termo Γ que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão, e representa uma medida de quanto um
dado referencial não é inercial!!
A teoria da relatividade Geral
02
2
xxx Γ 𝜈𝜆 𝜅❑ =
12𝑔𝜈𝜉 (𝜕𝜆𝑔𝜉𝜅+𝜕𝜅𝑔𝜉 𝜆−𝜕𝜉𝑔𝜆𝜅 )
0 então velocidade-quadri a é como
vv
vv
x
• Ao curvar tempo e espaço na presença de matéria-energia, a TRG os converte em participantes dinâmicos do universo, em lugar de considerá-los apenas um palco de fundo onde os acontecimentos ocorrem.
• O princípio cosmológico é naturalmente incorporado!!!!
A teoria da relatividade Geral
Testes experimentais
• Atraso no sinal de radar• A precessão do periélio de Mercúrio• O desvio da luz na presença de matéria• A igualdade da massa inercial e gravitacional• A emissão de ondas gravitacionais• Frame-dragging (Phys.Rev.Lett.106:221101,2011)• Estruturas em largas escalas (Nature 464, 256,2010)
A teoria da relatividade GeralTe
stes
clá
ssic
os
Pulsar PSR1913-16
• É importante salientar que a falta de peso em um elevador em queda livre está limitado a pequenas regiões locais: não existe um referencial que anule a gravidade da Terra em todos os pontos ao mesmo tempo.
• O princípio de equivalência permite-nos estender qualquer lei física que é expressa na linguagem covariante da relatividade especial para a forma mais geral na presença de gravitação: tudo que temos que fazer é escrever as entidades correspondentes no espaço-tempo-curvo ().
Exemplo:
A teoria da relatividade Geral
Tensor do campo eletromagnético está relacionado com o vetor densidade de
corrente por
A derivada ordinária é trocada pela derivada covariante
Derivada covariante: derivada que leva em conta a não-ortogonalidade das coordenadas!
V
x
V
;V
jF 4,
jF 4;
• Princípio da covariância geral: todos os observadores são equivalentes e as leis da física devem ser escritas em forma tensorial.
• Princípio da correspondência: no limite de campos gravitacionais fracos os resultados da TRG devem concordar com os resultados newtonianos.
A equação de campo da teoria da relatividade Geral
𝛻2𝜑=−4𝜋 𝐺 𝜌 Equação de Poisson
Equação de Campo de Einstein
Potencial gravitacional Densidade de matéria
T
4μνμνμν c
G8Rg
2
1RG
Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo
(Tensor de Einstein)
Conteúdo Material Energético
(tensor de energia-momento)
Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo
Rg2
1RG μνμνμν Tensor de Einstein
Tensor de Curvatura de Riemann : toda informação sobre a curvatura de uma variedade está contida no tensor de Riemann (tensor de quarta ordem)
+
Conexões da métrica Γ 𝑎𝑏𝑐❑ =
12𝑔𝑎𝑑(𝜕𝑏𝑔𝑑𝑐+𝜕𝑐𝑔𝑑𝑏−𝜕𝑑𝑔𝑏𝑐)
Tensor de Riemann e o transporte paralelo: a diferença entre os vetores de “partida” e de
“chegada” é proporcional ao tensor de Riemann
Tensor de Ricci (segunda ordem)
Escalar de Ricci
+
𝑅=𝑔𝑎𝑐𝑔𝑏𝑑𝑅𝑎𝑏𝑐𝑑
A quantidade possui divergência nula da mesma forma que o tensor energia momento devido a conservação local.
Rg2
1RG μνμνμν
0Gμν;
;T
Por que não usar o tensor de curvatura na equação de campo?!
Princípio de equivalência: localmente a TRE deve ser recuperada. Tensor de energia-momento é de segunda ordem.
Espaços não-euclidianos de curvatura constante
• São geometrias definidas em espaços não-planos: elíptica e hiperbólica.
• A geometria euclidiana: Postulados: 1-Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2-Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 3- Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4-Todos os ângulos retos são iguais; 5- Dada um reta e um ponto fora dela só é possível construir UMA outra reta paralela a primeira e que passa pelo ponto.
• Na geometria elíptica não há nenhuma curva paralela à primeira.
• Na geometria hiperbólica há mais de uma curva paralela à
primeira.
Espaços não-euclidianos de curvatura constante
Espaços não-euclidianos de curvatura constante
𝑑𝑠2=𝑔𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈
= tensor métrico
De forma mais geral, define o que chamamos de espaço-tempo, onde
Geometria não defini a topologia!!!!
A métrica de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico
• Vamos considerar inicialmente um universo unidimensional descrito por um círculo de raio R imerso em um plano. A maneira correta de se medir distâncias neste espaço é:
A curvatura tem que ser levada em conta!!!
φx1
x2
• Consideremos agora um espaço bidimensional imerso em um tridimensional. Um habitante neste espaço bidimensional consegue entender localmente o significado de x1 e x2, mas não x3. Para levar em conta o efeito da curvatura:
A métrica de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico
Não é possível ter acesso a R e θ. No máximo, ele terá informação da projeção de r=Rsenθ sobre sua superfície bidimensional!!!
• No caso de um espaço tridimensional como o nosso imerso em um espaço de 4 dimensões, define-se a hiperesfera:
Da mesma maneira que no slide anterior, a coordenada ψ é inacessível. O máximo que podemos ter acesso é a projeção r=Rsenψ em nossa hiper-superfície. De forma que:
𝑑𝑙2=(𝑑𝑟 )2
1−𝑘𝑟2 +𝑟2(𝑑𝜃)2+𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃(𝑑𝜑 )2
De forma geral:
onde k=1,0 e -1 representam, respectivamente uma hiper-esfera, plano tridimensional e pseudo-esfera (raio imaginário).
Postulado de Weyl (1923)
Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa em cada ponto do espaço-tempo. Isto quer dizer que :• geodésicas não se interceptam, exceto na singularidade inicial.• Em cada ponto do espaço-tempo o substrato cósmico possui uma única
velocidade.• As geodésicas do substrato são ortogonais a hipersuperfícies tipo-espaço.
Não podendo existir termos cruzados dtdx, dtdy, dtdz no elemento ds.• O substrato é um fluido perfeito.• O sistema de coordenadas é comóvel a expansão
Medidas de distâncias no espaço-tempo homogêneo, istrópico e expansão
• Como o universo está em expansão, modelos cosmológicos devem ser homogêneos e isotrópicos no espaço, mas não no tempo.
• Se considerarmos um triângulo formado por 3 partículas num tempo t e posteriormente, o fator de magnificação deve ser o mesmo independente da posição do triângulo. O tempo entrará na métrica como um fator comum.
• O elemento de distância então deve ter a seguinte forma
• A métrica de Friedmann-Robertson-Walker
)θdsen(dθr
kr1
dr(t)adtcds 2222
2
22222
As coordenadas r, θ e φ são coordenadas comóveis com a expansão, ou seja, o sistema de coordenadas expande junto com o universo. Observadores nestas coordenadas são chamados “comóveis” e possuem coordenadas fixas ao longo da evolução cósmica. A coordenada t é o tempo comóvel, e é o tempo decorrido desde o Big Bang de acordo com um relógio de um observador comóvel. Somente um observador comóvel ver o universo homogêneo e isotrópico.
222
22
122
000
000
00)1(0
0001
senra
ra
krag
Algumas perguntas intrigantes• Estão as galáxias dispostas sobre a superfície de uma esfera? Não!!!!
• O termo "universo" refere-se ao espaço, ou a matéria, ou a ambos? Na visão newtoniana o espaço era apenas o "vazio" em que a matéria “vivia”. Einstein mostrou que o espaço-tempo tem estrutura: é flexível e é distorcido na presença de matéria-energia. Além disso, matéria e anti-matéria são rotineiramente criadas em laboratório a partir próprio espaço, os tipos de partículas que podem existir refletem a estrutura do espaço. O termo universo se refer a toda estrutura espaço-temporal e material-energética.
• O Universo explodiu a partir de um ponto? Não!!!!!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!!......NÃO! O big bang não foi uma explosão que arremessou a matéria para fora. Não existe o fora! Explosão requer uma forte anisotropia de matéria e pressão que não é observado. O que ocorreu foi uma súbita expansão isotrópica do espaço que já estava preenchido com energia. Não havia nenhum centro da expansão. O que podemos afirmar é que universo observável foi extremamente quente, denso e pequeno.
O que existiu antes do Big-Bang? As teorias da física só se aplicam do presente até a era Planck t=10-43 s. Antes disso é especulação!!!
Para onde o Universo expande?
Existe um observador central para cada universo observável, mas não para o Universo! Descobrir as propriedades do espaço continua sendo um dos problemas mais profundos e mais importantes da ciência moderna.
O tensor de energia-momento do fluido perfeito
De forma geral a pressão deve ser levada em conta e o tensor de forma completo na TRE é
onde ε=ρ0c2 e p é a pressão medida no referencial de repouso com o fluido. Este tensor é conservado , ou seja, Na TRG, temos, simplesmente
c=1
O tensor de energia momento é uma combinação de densidade de energia, densidade de momento e densidade do fluxo de momento.
O tensor de energia-momento do fluido perfeito
Considere um sistema constituído de um conjunto de partículas sem pressão (que não interagem entre si). Considere um observador que não está em repouso com o fluido. Suponhamos que em um certo instante a densidade de partículas seja n e a velocidade do fluido v:
Densidade de energia: produto do número de partículas por unidade de volume pela energia por partícula:
Densidade de momento:
Densidade do Fluxo de momento: O fluxo de momento xy é definido como a quantidade de momento x que flui na direção y por unidade de área, por unidade de tempo. Como o momento x por partícula é mγvx o fluxo de momento xy será:
𝑇 00=𝜀𝛾 2
𝑇 𝐾 0=𝜀𝛾 2𝑣𝐾=𝑇0 𝐾
𝑇 𝐾𝑙=𝜀𝛾2𝑣𝐾 𝑣 𝑙
Nas coordenadas comóveis (c=1)
𝑇 𝑖𝑖=−𝑝𝑔𝑖𝑖 c=1
Resumo• Teoria da Relatividade Geral (1917)
T
4μνμνμν c
G8Rg
2
1RG
Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo Conteúdo Material Energético
• O Princípio Cosmológico: o Universo é homogêneo e isotrópico em largas escalas (>100 Mpc ≈ 1026 cm).
• A métrica homogênea e isotrópica: Métrica de Friedmann-Robertson-Lemâitre-Walker.
)θdsen(dθr
kr1
dra(t)dtcds 2222
2
2222
a(t) é o fator de escala e k o parâmetro que define a curvatura das seções espaciais, podendo ser 0, 1 e -1.
• Conteúdo Energético: Tensor de Energia-Momento para um fluido perfeito, caracterizado por sua densidade de energia e pressão isotrópica. Não possui esforços de cisalhamento e viscosidade.
gtPUUtptT )())()((
3
)(8
)(82
22
2
2
2
22
2
2
2
2
c
tG
a
kc
a
a
c
tGp
a
kc
a
a
a
a
• Equações Dinâmicas para o Universo
Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa em cada ponto do espaço-tempo.
