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henrique-ribeiro
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COVARIÂNCIA
Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, com valores esperados E(X) = μX e E(Y) = μY é definida como uma medida de como duas variáveis variam conjuntamente:
onde E é o operador do valor esperado.
Isto equivale à seguinte fórmula, a qual é geralmente usada para fazer os cálculos:
Se X e Y são independentes, então a sua covariância é zero. Isto acontece porque sob independência:
.
O inverso, no entanto, não é verdadeiro: é possível que X e Y não sejam independentes e terem no entanto covariância zero. Variáveis aleatórias cuja covariância é zero são chamadas descorrelacionadas.
Se X e Y são variáveis aleatórias de valor real e a, b, c e d constantes ("constante", neste contexto significa não aleatória), então os seguintes factos são uma consequência da definição da covariância:
Para variáveis aleatórias em vectores coluna X e Y com respectivos valores esperados μX
e μY, e n e m de componentes escalares respectivamente, a covariância é definida como matriz n×m
Para variáveis aleatórias em vector, cov(X, Y) e cov(Y, X) são a transposta de cada um.
A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias.
A correlação é um conceito relacionado usado para medir o grau de dependência linear entre duas variáveis.
ESPERANÇA – VALOR ESPERADO
Em teoria das probabilidades, o valor esperado (ou esperança, ou expectância) de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.
Definição matemática
Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis e com as suas probabilidades representadas pela função p(xi), o valor esperado calcula-se pela série:
desde que a série seja convergente.
Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade f(x):
Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:
e
Deve-se notar que, no caso geral, não comuta com a função g, ou seja:
Para o caso mais geral de ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:
e
em que a integral de Lebesgue é usada.
Exemplos
a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
a variável aleatória X dada por para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
Operador esperança
O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:
Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.
Esperança do produto
No caso geral, temos que
No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:
Referencia: Covariância.Wikipedia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Covari%C3%A2ncia>. Acesso em: 7 mar. 11.