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FGV – Economia – 2a Fase – 18/dezembro/2011

CPV o Cursinho que mais aprova na GV

matEmátiCa

01. Considere a sequência (4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, …). O 3o termo da sequência é igual ao algarismo da unidade da soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele, e essa mesma lógica de formação se preserva para os demais termos após o 3o.

a) Determine a soma dos 100 primeiros termos da sequência. b) Sendo n a quantidade de termos da sequência até o n-ésimo termo, e Sn a soma desses n termos, determine o menor valor

de n para o qual Sn > 10.000.

Resolução:

a) Pela lei de formação, obtemos a seguinte sequência: 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1... (a sequência obtida repete-se de 12 em 12 termos)

Assim, os 100 primeiros termos são formados por 8 repetições de 12 termos, mais 4 termos seguintes. Portanto, a soma deles será:

8 . (4 + 7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 3) + (4 + 7 + 1 + 8) = 8 . 60 + 20 = 500

A soma dos 100 primeiros termos da sequência vale 500.

b) Pelo item a, obtemos que a soma dos 12 termos é 60. Para a soma dos n termos ser maior que 10.000, precisamos de 166 repetições de 12 termos: 166 . 60 = 9.960, mais 7 termos seguintes: 4 + 7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 = 42.

Portanto, o número de termos será: n = 166 . 12 + 7 = 1.999 Para Sn > 10.000, n deve ser igual a 1.999.

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2

02. Um losango ABCD de lado 12 cm e medida do ângulo BÂD igual a α é rotacionado por um eixo sobre AB, gerando um sólido de revolução denotado por S.

a) Calcule o volume de S, em cm3, quando α = 30º.

b) Considere p2 < α < π. Seccionando S por um plano que contém ED e é perpendicular a AB, dividimos S em dois sólidos,

S1 e S2.

Sendo R a razão entre o maior volume dentre os dois sólidos e o menor, determine R em função de cos α.

Resolução:

B

E

30º

A

a) Para α = 30º:

Como o Δ ADE = Δ BCF, podemos calcular o volume como sendo o volume do cilindro formado pela rotação do quadrilátero EDCF, assim:

V = p . (6)2 . 12 = 432p cm3

b) Para p2 < α < p, o plano que contém ED e é perpendicular

a AB não secciona o sólido S em duas partes, como podemos observar na figura abaixo.

Portanto, não existe uma razão R entre os volumes citados.

12

12

6

6F

30ºE D

AC

B

a

3

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03. No livro Teoria Microeconômica, de Mario Henrique Simonsen, discute-se um caso em que existe uma certa quantidade fixa N de mão de obra (trabalhadores) para fabricar dois produtos, A e B, cujas quantidades produzidas são x e y, respectivamente. Admite-se no problema que a função de produção de x e y seja dada por x = N1 e y = 2 2N , sendo N1 e N2 a quantidade de mão de obra destinada à fabricação de A e B, de forma que N1 + N2 + ≤ N. Considerando, no problema, que x, y, N1, N2 e N podem ser quaisquer números reais não negativos, responda o que se pede a seguir.

a) Faça um esboço do gráfico do lugar geométrico dos pares (x; y) que atendem às restrições do problema para o caso em que N = 81.

b) Assuma que N = 80,8 e que x e y estão submetidos à restrição y = x – 2. Determine o maior valor possível de N1.

Resolução: a) Para N = 81 e x, y, N1, N2 ³ 0, temos:

N N

x N

y N

1 2

1

2

81

2

+ ≤

=

=

Þ

N N

N x

N y

1 2

12

22

81

4

+ ≤

=

=

Þ

Þx2 + y2

4 £ 81 Þx y2

2

2

29 181

( )+( )

≤

Portanto, o gráfico representa uma elipse, mais o seu interior, no 1o quadrante, como abaixo:

18

9

b) Para N = 80,8 e y = x – 2, temos:

N N

y x

N y

x N

1 2

22

1

80 8

2

4

+ ≤

= −

=

=

,

Þ

N N

N x

x N

1 2

2

1

80 8

24

+ ≤

=−

=

,

( ) Þ

Þ

N N

NN N

1 2

21 1

80 8

4 44

+ ≤

=− +

,

Þ5N1 – 4 1N – 319,2 £ 0

Assim, 0 £ N1 £ 70,56

Portanto, o maior valor de N1 é 70,56.y

x

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4

04. Os pontos A(3; 9), B(1; 1), C(5; 3) e D são vértices de um quadrilátero ABCD, de diagonais AC e BD, no primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal. O polígono cujos vértices são os pontos médios de AB, BC, CD e DA é um quadrado.

a) Denotando por α o ângulo agudo de lados BA� ���

e BC� ���

, calcule cos α. b) Determine as coordenadas do vértice D.

Resolução:

a) Chamando de P, Q, R e S os vértices do quadrado, a figura sugerida pode ser esboçada:

Note que, como P é ponto médio de AB, xP = x xA B+

2 = 2 e yP = y yA B+

2 = 5.

Analogamente, xQ = x xB C+

2 = 3 e yQ = y yB C+

2 = 2.

No DPBQ, temos:

PB = ( ) ( )1 4 172 2+ =

BQ = ( ) ( )2 1 52 2+ =

PQ = ( ) ( )1 3 102 2+ =

Aplicando o Teorema dos Cossenos, temos:

10 17 5 2 17 52 2 2= + − . . . cos α

Portanto, cos α = 6 8585

.

9

5

3

2

1

1 3 5 x

B

Q

CR

D

S

P

A

T

y

5

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33

P

R

1

QT 1

b) Para encontrarmos um terceiro vértice do quadrado PQRS, no primeiro quadrante, faremos a rotação do DPTQ em torno do ponto Q, em 90º, no sentido horário.

Com isso, obtemos: xR = xQ + 3 = 3 + 3 = 6 e yR = yT + 1 = 3.

Como o ponto R é o ponto médio de CD, temos:

xR = x x x

xC D DD

+⇒ =

+⇒ =

26

52

7

yR = y y y

yC D DD

+⇒ =

+⇒ =

23

32

3

As coordenadas do ponto D são (7; 3).

ComEntário do CPV

A prova da 2a fase de Matemática do Vestibular FGV Economia (Dez 2011), mostrou-se, como de costume, uma prova difícil e trabalhosa.

As questões, de modo geral, cobraram do candidato bastante concentração e paciência, exigindo cálculos detalhados e estruturação do raciocínio para resolução.

Quanto aos temas abordados, notamos uma presença maior da Geometria (plana, espacial e analítica), a qual pode ser questionada quanto às necessidades do graduando em Economia.

No segundo item da questão 2, notamos uma incoerência no enunciado que tornava a resposta incompatível.

Esperamos que mesmo com estes pequenos problemas, a banca alcance os seus objetivos, aprovando os candidatos mais bem preparados.