Crescimento das gotas por Crescimento das gotas por Colisão e CoalescênciaColisão e Coalescência

Colisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das gotículas com as forças gravitacional, elétrica e aerodinâmica.

 

O efeito gravitacional predomina nas nuvens, ou seja, as gotas grandes caem mais rápido que as pequenas, logo passando e capturando uma fração das gotículas que ficam ao longo do seu caminho.

 

O efeito elétrico e turbulento necessário para produzir um número comparável de colisões, deve ser muito maior do que usualmente existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos elétricos intensos criam efeitos locais significativos

Uma vez que a gota cai, ela irá colidir com somente uma fração das gotículas em seu caminho, porque algumas gotículas serão expelidas pelo fluxo de ar em volta da gota.

 

Dessa maneira, podemos definir a eficiência de colisão como a razão das gotículas com raio “r” que serão varridas ao longo do caminho pela gota coletora que irá colidir com elas.

Neste sentindo temos que a eficiência de colisão depende do tamanho da gota coletora e do tamanho das gotículas a serem coletadas

A colisão não garante coalescência, pois quando um par de gotas colide várias interações são possíveis:

1) Rebatem a parte;1) Rebatem a parte;

2) Coalescem;2) Coalescem;

3) Coalescem 3) Coalescem temporariamente e se temporariamente e se separam, aparentemente separam, aparentemente retendo suas identidades retendo suas identidades inicias;inicias;

4) Coalescem 4) Coalescem temporariamente e se quebram temporariamente e se quebram em várias gotículas menoresem várias gotículas menores

 Para gotas com raios menores que 100 m as interações (1) e (2) são as mais importantes

Dessa maneira podemos definir a Eficiência de Coalescência como sendo a razão entre o número de gotículas que coalesceram pelo número de colisões que ocorreram na gota coletora.

 

O crescimento de gotas pelo processo de colisão-coalescência é governado pela eficiência de coleta, que é o produto das eficiências de colisão e de coalescência.

 

Observações em laboratório indicam que para gotículas com raios menores que 100 μm a eficiência de coalescência é ~ 1 e a eficiência de coleta é igual a de colisão.

Definindo a velocidade de queda dos hidrometeoros

a) Velocidade Terminal das gotículasa) Velocidade Terminal das gotículas

 

temos que a Força de Fricção sob um fluido viscoso pode ser definido como:

 

 

e a Força gravitacional pode ser definida como:

 

 

onde é a viscosidade, l é a densidade do liquido e ar é a

densidade do ar, “r” é o raio da gota, g é a aceleração da gravidade e V é a velocidade.

mrrVFD 50,6

grgrF larlG 33 44

Quando FD=FG temos que V VT (Velocidade terminal da gota)

 Logo temos que VT pode ser expresso como:

 

 

R (m) VT (cm/s)

1 0,01210 1,2

30 10,9 50 30,2

grV lT

2

9

2

Podemos ainda expressar a velocidade terminal em função do número de Reynolds

 

onde é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynolds, CD é

o coeficiente de arrasto.

 

Para gotas bem pequenas, a solução de Stokes para um fluxo ao longo de esferas mostra que:

 

gRC

rVeD

lT

249

2 2

124

eDRC

logo, temos que a velocidade terminal pode ser descrita por:

 

onde K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.

 

Esta dependência quadrática da velocidade terminal é conhecida como lei de Stokes e aplica-se para gotículas com raios menores raios menores que 30 que 30 m.m.

21

2

9

2rKgrV l

T

Para raios no intervalo de: 40 Para raios no intervalo de: 40 m à 0.6 mm, m à 0.6 mm,

 

, sendo que

rKVT 3

)(,108 133

sxK

Para CD grandes, este coeficiente torna-se independente do Re e CD

~ 0.45, sendo que isto é valido para gotículas com raios no intervalo com raios no intervalo de: 0.6 mm à 2 mmde: 0.6 mm à 2 mm

 

 

, sendo que

 

onde é a densidade do ar e o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e

T = 20 oC

2/12rKVT

12/1

2/1

032 102,2

scmxK

(b) Eficiência de Colisão(b) Eficiência de Colisão Xo é a distância do colisão

 

 

Portanto a eficiência de colisão é igual a fração das gotículas com raio “r” que são varridas pela gota coletora de raio “R” que atualmente colide. Por outro lado, E(R,r) pode ser interpretado como sendo a probabilidade de colisão de uma gotícula se ela estivesse em um volume cheio de gotículas aglutinadas.

2

20

2

20,

rR

X

rR

XrRE

Equação de Crescimento por Equação de Crescimento por Colisão/Coalescência Colisão/Coalescência

Suponha uma gota coletora de raio R e velocidade Terminal V2, caindo em uma população uniforme de gotículas menores com raio “r” e velocidade terminal V1.

Durante uma unidade de tempo, a gota coletora irá coletar gotículas de raio “r” em um volume descrito por:

 

 

dtVVrRdV 122

Assumindo um crescimento contínuo, a massa da gota coletora crescerá:

 

 

onde Wl é o conteúdo de água líquida (massa de água líquida por

unidade de volume)

 

ldVWdM

dtWVVrRdVWdM ll 122

como a gota coletora somente coleta uma fração das gotículas, temos que:

 

 

onde E(R,r) é a eficiência de coleta, que é o produto da eficiência de colisão e pela eficiência de coalescência,

 

quando as gotículas são iguais em tamanho e menores que 100 microns, é usualmente assumido que a eficiência de coalescência = 1, logo eficiência de coleta = eficiência de colisão.

dtrREWVVrRdM l ,122

2

20,rR

XrRE

Dessa maneira temos:

 

 

mas a massa da gota coletora pode ser expressa por:

 

rREWVVrRdt

dMl ,12

2

lRM 3

3

4

então

 

logo temos:

 

dRRdRRRddM lll223 43

3

4

3

4

rREWVVrRdt

dRR

dt

dMll ,4 12

22

ll

WrREVV

R

rR

dt

dR,

412

2

2

Assumindo que E(R,r) e Wl são constantes e

V2 >> V1 e

 

Dessa maneira, a equação de crescimento pode ser descrita como:

1

2

2

R

rR

l

lEWV

dt

dR

42

MODELO DE BOWENMODELO DE BOWEN

Logo para sabermos com a gota coletora evolui no tempo, podemos assumir a lei de Stokes por exemplo

22 CRV

21

22

44RK

EWCREWV

dt

dR

l

l

l

l

cteCEW

Kl

l 41

Portanto o modelo de Bowen pode ser descrito como:

Então integrando de um estágio inicial Ro até R(t)

ttR

Ro

dtKR

dR

0

1

)(

2

tRK

RtR

01

0

1)(

Porém se queremos saber como esta gota sai de uma nuvem, temos que derivar que analisar a variação do raio com a altura (dR/dz)

Assumindo que

12

2

R

rR

l

lEWVVVu

dz

dR

dt

dz

dz

dR

dz

dz

dt

dR

dt

dR

412

2

Integrando de R0 a R(t), o que implica em uma altura Z0 a Z.

)(

4

00 12

2

zfW

dzWdREVV

Vu

l

z

z

l

Rf

R

l

Agora se quisermos saber qual é o raio que emerge da base da nuvem, temos que:

Assumindo que V2 >> V1 e

00

0

z

z

ldzW

22 CRV

,

CR

uR f

0

o raio final depende somente da velocidade da corrente o raio final depende somente da velocidade da corrente ascendente.ascendente.

Distribuição de Gotículas

S1 = 10 m S2 = 20 m

(a) Todas as colisões possíveis

(b) Somente colisões entre a S1

Distribuição de Gotículas

S1 = 10 m S2 = 20 m

(c) Somente colisões entre as goticulas S1 e S2(d) Somente colisões entre as goticulas S2

Condensação e Coalescência via processo Estocástico

(a) Sem Condensação

(b) Com Condensação

Nc(cm-3)=105 S0.63

Nc(cm-3) = 1450 S0.84.