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Critério de Convergência e Divergência de Séries + Condição necessária de
convergência
Demonstração :Faremos em sala.
+ Observação: A recíproca do teorema não é verdadeira. Exemplo:
Série harmônica 1
𝑛∞𝑛=1
Se a série 𝑎𝑛∞𝑛=1 , for convergente
então 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏= 𝟎 .
Critério de Convergência e Divergência de Séries + Condição suficiente de
divergência – Teste da Divergência
+ Exemplo: Verifique a natureza da série
4𝑛2 + 1
𝑛2
∞
𝑛=1
Se 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏 não existir ou se
𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏≠ 𝟎, então a série
𝑎𝑛∞𝑛=1 é divergente.
Propriedades das séries convergentes
Sejam 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 e 𝑏𝑛
∞𝑛=1 séries convergentes e 𝑐 uma
constante, então
i. 𝑐 𝑎𝑛 = 𝑐∞𝑛=1 𝑎𝑛
∞𝑛=1
ii. (𝑎𝑛 ∞𝑛=1 + 𝑏𝑛) = 𝑎𝑛
∞𝑛=1 + 𝑏𝑛
∞𝑛=1
iii. (𝑎𝑛 ∞𝑛=1 − 𝑏𝑛) = 𝑎𝑛
∞𝑛=1 − 𝑏𝑛
∞𝑛=1
Testes de Convergência : Teste da Integral
Seja 𝑓 uma função contínua, positiva e decrescente em [𝑐,∞) e
seja 𝑎𝑛= 𝑓(𝑛). A série 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 será:
+ Convergente se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
1 for convergente.
+ Divergente se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
1 for divergente.
Testes de Convergência : Teste da Integral
Exemplos:
1) Teste a série 1
𝑛2+1 ∞
𝑛=1 quanto à convergência ou divergência.
2) Série Harmônica de ordem 𝑝
1
𝑛𝑝 ∞
𝑛=1
Mostre que a série 𝑝 converge
para 𝑝 > 1 e diverge quando 𝑝 ≤ 1.
Testes de Convergência : Teste da Integral
Exercícios:
1. Use o teste da integral para avaliar a convergência das séries.
a) ln 𝑛
𝑛 ∞
𝑛=1
b) 𝑛𝑒−𝑛2∞
𝑛=1
Testes de Convergência : Teste da Comparação Teste da Comparação Direta
Supondo que 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 𝑒 𝑏𝑛
∞𝑛=1 sejam séries de termos positivos.
i) Se 𝑏𝑛 ∞𝑛=1 converge e 𝑎𝑛≤ 𝑏𝑛, ∀n ∈ 𝑍+ então
𝑎𝑛 ∞𝑛=1 converge.
ii) Se 𝑏𝑛 ∞𝑛=1 diverge e 𝑎𝑛≥ 𝑏𝑛, ∀n ∈ 𝑍+ então 𝑎𝑛
∞𝑛=1 diverge.
Testes de Convergência : Teste da Comparação Exemplos:
a) 1
2+5𝑛 ∞
𝑛=1
b) 3
𝑛−1 ∞
𝑛=2
c) cos 𝑛
𝑛2 ∞
𝑛=1
Testes de Convergência : Teste da Comparação Teste da Comparação no Limite
Supondo que 𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 sejam séries de termos positivos. Se
lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛= 𝑐,
onde 𝑐 é um número finito e 𝑐 > 0 então ambas as séries
convergem ou ambas divergem.
Testes de Convergência : Teste da Comparação Avalie as séries usando o teste da comparação no limite
a) 3𝑛+1
4𝑛3+𝑛2−2 ∞
𝑛=1 b) 5
𝑛2+2𝑛+7 ∞
𝑛=1
c) 1
2𝑛−1 ∞
𝑛=1 d) 8𝑛+ 𝑛
5+𝑛2+𝑛72
∞𝑛=1
Séries Alternadas
(−1)𝑛𝑏𝑛
∞
𝑛=1
= −𝑏1 + 𝑏2 − 𝑏3 +⋯+ (−1)𝑛𝑏𝑛
(−1)𝑛+1𝑏𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 −⋯+ (−1)𝑛+1𝑏𝑛
Testes de Convergência : Teste da Série Alternada Se a série alternada
(−1)𝑛+1𝑏𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 −⋯+ (−1)𝑛+1𝑏𝑛
com 𝑏𝑛 > 0 satisfazer as condições seguir, então ela converge.
i) 𝐛𝐧+𝟏≤ 𝐛𝐧, ∀ 𝐧 ∈ 𝒁+
ii) 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐛𝐧= 𝟎
Testes de Convergência : Teste da Série Alternada Avalie as séries alternadas
a) −1 𝑛−1
𝑛 ∞
𝑛=1
b) −1 𝑛2𝑛
3𝑛−1 ∞
𝑛=1
c) −1 𝑛−12𝑛
4𝑛2−3 ∞
𝑛=1
Convergência Absoluto: Série Alternada
Definição: Uma série an é absolutamente convergente se a série
an = a1 + a2 + a3 +⋯+ an
for convergente.
Definição: Uma série que é convergente, mas não absolutamente
convergente é denominada condicionalmente convergente.
Convergência Absoluto: Série Alternada + Exemplos: Série absolutamente convergente
(−1)𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1
+ Série condicionalmente
convergente
(−1)𝑛−1
𝑛
∞
𝑛=1
Convergência Absoluto: Série Alternada + Teorema:
Se uma série an é absolutamente convergente, então a
série é convergente.
Testes de Convergência : Teste da Razão
Se lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛= 𝐿, então a série an é:
i) Absolutamente convergente (e portanto convergente), se 𝐿 < 1.
ii) Divergente, se 𝐿 > 1.
iii) Nada se pode concluir, se 𝐿 = 1.
Recomendado para séries que envolvem Fatoriais, Produtos notáveis e
potências.
Testes de Convergência : Teste da Raiz
Se lim𝑛→∞
𝑎𝑛𝑛 = L, então a série an é:
i) Absolutamente convergente (e portanto convergente), se 𝐿 < 1.
ii) Divergente, se 𝐿 > 1.
iii) Nada se pode concluir, se 𝐿 = 1.
Recomendado para séries em que os fatores do termo geral estão
elevados ao expoente n.
Utilizando os Testes da Razão e da Raiz, determine a natureza das séries
a) 1
(log 𝑛)𝑛 ∞
𝑛=1 b) 23𝑛+1
𝑛𝑛 ∞
𝑛=1
c) −1 𝑘+15𝑘
𝑘! ∞
𝑘=0 d) −1 𝑛 𝑛𝑛
(ln 𝑛)𝑛 ∞
𝑛=2
e) 5𝑛+1
(ln 𝑛)𝑛 ∞
𝑛=2
Séries envolvendo todos os testes estudados 1. Avalie as séries
a) −1 𝑛−1 7
6𝑛−1 ∞
𝑛=1 b) 𝑛
𝑛+3 ∞
𝑛=1
c) 4𝑛2−2𝑛+6
8𝑛7+𝑛−8 ∞
𝑛=1 d) 𝑘+4 !
4!𝑘!4𝑘 ∞
𝑘=1