Curso de Licenciatura em Engenharia Informática Curso de ... · Sistemas Digitais 10-04-2016 Octávio Dias Sistemas Digitais/1 Bibliografia de referência para a elaboração do

Sistemas Digitais

10-04-2016 Octávio Dias Sistemas Digitais/1

Bibliografia de referência para a elaboração do texto de apoio

• Sistemas Digitais, A. Padilla, McGraw-Hill, 1993; • Sistemas Digitais – Princípios e Prática, M. Dias, FCA, 2012;• Digital Fundamentals, Prentice Hall, T. Floyd, 2006;

Curso de Licenciatura em Engenharia Informática

Curso de Licenciatura em Informática de Gestão

Sistemas Digitais

Sistemas Digitais


Grandeza física é tudo o que pode ser medido e expresso por intermédio de

um número e uma unidade de medida.

A grandeza física permite caracterizar avaliar em termos qualitativos e

quantitativos a evolução de um dado fenómeno físico, ou seja, estudar uma

dada ocorrência física observável relativa à matéria, energia ou espaço-tempo.

Grandeza física

1 – Introdução

São exemplos de grandezas físicas:

• a temperatura;

• a massa;

• a força;

• a velocidade;

• a aceleração.

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Sinal eléctrico

v(t)

ia(t)

t

Em muitas situações uma grandeza é avaliada por intermédio de sinais

eléctricos. Assim, o sinal eléctrico, sendo ele próprio uma grandeza física,

representa a variação de outra grandeza física. Deste modo pode definir-se

sinal eléctrico como a variação de uma tensão ou corrente eléctrica, gerada por

um sistema de medida adequado à avaliação da gradeza física em estudo.

1 – Introdução

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Grandezas analógicas

Na natureza as grandezas são analógicas, ou seja variam de uma forma

contínua no tempo e na amplitude. Por conseguinte, uma grandeza analógica

pode tomar um número infinito de valores.

A temperatura do ar constitui um exemplo de uma grandeza analógica.

Gráfico de uma grandeza analógica contínua (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006)

1 – Introdução

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No caso da grandeza analógica ser avaliada (amostrada) em intervalos de

tempo regulares (ou não), a grandeza/sinal resultante da amostragem é ainda

analógica uma vez que a sua amplitude continua a poder assumir um número

infinito de valores. Diz-se então que a grandeza/sinal é analógica discreta.

Gráfico de uma grandeza analógica discreta (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006)

Grandezas analógicas

1 – Introdução

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Grandezas digitais

Diz-se que uma grandeza/sinal é digital se apenas pode assumir um número

finito de valores, isto é, se varia de forma descontínua de um valor possível

para outro valor possível. As grandezas/sinais digitais foram criadas pelo

Homem, por em muitas aplicações, oferecerem um vasto conjunto de

vantagens sobre as gradezas/sinais analógicas.

1 – Introdução

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Os sinais podem ser classificados como analógicos ou digitais;

Os sinais analógicos podem ser contínuos ou discretos no tempo;

Os sinais digitais são discretos no tempo e na amplitude.

analógicos

contínuos no tempo discretos no tempo

conversor A/D

digitais

sinais

a

t

a

t

a

t

Grandezas digitais

1 – Introdução

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10-04-2016 Sistemas Digitais/8

Sistema

Um sistema é uma associação de dispositivos e/ou componentes interligados

que desempenha uma função complexa.

Octávio Dias

Por exemplo, um amplificador de som é um sistema constituído pelos

dispositivos microfone, amplificador e alto-falante.

Sistema de amplificação de som (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006)

1 – Introdução

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Dispositivo

Um dispositivo é um circuito constituído por vários componentes que realizauma função simples.

Esquema electrónico de um amplificador de som.

1 – Introdução

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Componente

Um componente é cada uma das partes que constitui um dispositivo.

Componentes de um amplificador de som.

1 – Introdução

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Exemplo de um sistema electrónico analógico

O sistema de amplificação de som ilustrado na figura, é um sistema analógico

puro, uma vez que todos os sinais processados estão na forma analógica.

Amplificador de áudio analógico (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006)

1 – Introdução

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Exemplo de um sistema electrónico analógico e digital

O sistema de amplificação de som ilustrado na figura, é um sistema que tem

por entrada sinais digitais, provenientes do CD, que após convertidos para a

forma analógica são processados pelo amplificador linear.

Leitor de CD áudio (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006)

1 – Introdução

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2 – Sistemas de numeração

Sistema decimal

O sistema decimal ou de base dez é a linguagem natural do Homem. De facto, na vida

diária usamos um sistema de numeração baseado nos dez dígitos,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o que justifica a designação de sistema decimal.

Por exemplo, no sistema decimal, o número 4728 corresponde a 4 milhares, 7 centenas,

2 dezenas e 8 unidades, ou seja,

4728=4×(1000)+7×(100)+2×(10)+8×(1)

Conclui-se assim que, cada digito no número é multiplicado por dez elevado a uma

potência que corresponde à posição do digito no número, isto é,

4728=(4×103)+(7×102)+(2×101)+(8×100)

Sistemas Digitais


Sistema decimal

No sistema decimal, uma fracção é representada segundo o mesmo princípio, porém, os

expoentes das potências de base 10 são negativos.

di são os dígitos que constituem o número, com i a indicar a sua posição no número.


Assim, um número com parte inteira e parte decimal, comporta dígitos ponderados por

potências de base dez com expoente positivo ou negativo, em função da posição que

ocupam no número, à esquerda ou à direita da vírgula, respectivamente. Por exemplo,

472,256=(4×102)+(7×101)+(2×100)+(2×10-1)+(5×10-2) +(6×10-3)

Generalizando, pode concluir-se que, um número N na base dez tem a representação,

∑=⇔×+×+×+×+×+×−

−

−

−

−

i

i

idNddddddd 10...101010101010...

3

2

2

1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

Sistemas Digitais


Sistema de base b


O raciocínio usada para interpretar a representação de um número N na base dez, pode

ser generalizado a um qualquer sistema de numeração ponderado de uma qualquer base

b natural.

Ou seja, a representação de um número N em um qualquer sistema ponderado de base

b natural, é descrita pelo algoritmo,

∑=⇔×+×+×+×+×+×−

−

−

−

−

i

i

ibdNdbdbdbdbdbdbd ......

3

2

2

1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

Onde d representa os dígitos que constituem o número, b representa a base do sistema

de numeração, e o índice i representa a posição do digito no número.

Realça-se que nestes sistemas de numeração o número de dígitos diferentes é igual ao

valor b da base.

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Sistema binário

No sistema binário, ou sistema de base dois, os números são representados por

intermédio de dois dígitos diferentes (0 e 1), ponderados por potências de base 2.

Sempre que a situação se preste a equívocos, a representação do número, é

complementada por um índice que indica a base de representação. Por exemplo, os

números 0 e 1 têm a mesma representação nos sistemas binário e decimal.


O sistema binário é a linguagem natural dos computadores. De facto, nestes dispositivos,

a informação é guardada por intermédio de códigos que se baseiam em dois estados,

que correspondem à presença (símbolo binário 1) ou ausência (símbolo binário 0) de

energia eléctrica.

02 = 010 ; 12 = 110

Sistemas Digitais


∑=⇔×+×+×+×+×+×−

−

−

−

−

i

i

idNddddddd 2...222222...

3

2

2

1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

Sistema binário


Em coerência com que atrás foi dito, o valor expresso na base dez de um número

binário é determinado por intermédio do algoritmo,

Assim, o valor número binário,

1001,1012

expresso no sistema decimal toma a forma,

(1×23)+(0×22)+(0×21)+(1×20)+(1×2-1)+(0×2-2)+(1×2-3)=8+0+0+1+1/2+0+1/8

=9+0,5+0,125=9,62510

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E 2.1 - Converta 10112 para decimal

1011,1012=(1×23)+(0×22)+(1×21)+(1×20)+(1×2-1)+(0×2-2)+(1×2-3)=11,62510

1011,1012 =11,62510

10112=(1×23)+(0×22)+(1×21)+(1×20)=1110

10112 =1110

0,0012=(0×2-1)+(0×2-2)+(1×2-3)=0,12510

E 2.2 - Converta 0,0012 para decimal

0,0012 =0,12510



Conversão do sistema binário para o sistema decimal

Sistemas Digitais


Conversão do sistema decimal para o sistema binário

Para converter um número representado na base dez para a base dois, a parte inteira e a

parte fraccionária são convertidas separadamente.

Parte inteira

A parte inteira de um número decimal é convertida para binário, por intermédio de

divisões sucessivas por 2.

E 2.4- Converta 13610 para binário

13610 =100010002


LSD

MSD

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0,37510 =0,0112 (valor exacto)

Parte fraccionária

E 2.5 - Converta 0,37510 para binário



A parte fraccionária de um número decimal é convertida para binário, por intermédio de

multiplicações sucessivas por 2, como se mostra nos exemplos que a seguir expõem.

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Parte fraccionária

E 2.6 - Converta 0,8110 para binário com seis dígitos

0,8110 =0,1100112 (valor aproximado)


0,81×2=1,62 → d-1=1

0,62×2=1,24 → d-2=1

0,24×2=0,48 → d-3=0

0,48×2=0,96 → d-4=0

0,96×2=1,92 → d-5=1

0,92×2=1,94 → d-6=1


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Sistema octal


O sistema octal ou sistema de base oito, utiliza os oito dígitos,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7

Cada um dos dígitos que integram um número representado na base oito, é

ponderado por potências de base 8, cujo expoente depende da posição que

ocupam no número. Por exemplo, para o número 24,68 tem-se,

24,68=(2×81)+(4×80)+(6×8-1) = 16+4+6×1/8= 20,7510

De facto, o número representado pela soma de cada um dos dígitos

ponderados por potências de 8, com os expoentes a dependerem da posição

que ocupam no número, constitui a sua conversão para a forma decimal.

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Conversão do sistema octal para o sistema decimal

E 2.7 - Converta 16348 para decimal

16348=(1×83)+(6×82)+(3×81)+(4×80)


0,348=(3×8-1)+(4×8-2)

0,348 =0,437510

16348 =92410


16,348=(1×81)+(6×80)+(3×8-1)+(4×8-2)

16,348 =14,437510

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943 8

14 117 8

63 37 14 8

7 5 6 1 8

1 0



Conversão do sistema decimal para o sistema octal

E 2.10 - Converta 94310 para octal

LSD

MSD

94310 =16578

E 2.11 - Converta 0,20312510 para octal

0,203125 × 8=1,625000 → d-1=1

0,625 × 8=5,000000 → d-2=5

0,20312510 =0,158 (valor exacto)

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Conversão do sistema decimal para o sistema octal

E 2.12 - Converta 0,974310 para octal com quatro dígitos

0,9473×8=7,7944 → d-1=7

0,7944×8=6,3552 → d-2=6

0,3552×8=2,8416 → d-3=2

0,8416×8=6,7328 → d-4=6

E 2.13 - Converta 943,974310 para octal com quatro dígitos na parte fraccionária

Dos exercícios E2.10 e E2.12 conclui-se que,

943,974310 =16578+0,76268 =1657,76268

Sistemas Digitais



Conversão do sistema octal para o sistema binário

E 2.14 - Converta 3218 para binário

Para converter um número representado na base oito para a sua representação na base

dois, converte-se cada um dos dígitos octais para a sua representação binária. O número

representado na base dois é formado pelo dígitos binários assim obtidos, respeitando a

ordem pela qual foram determinados.

3218 =0110100012=110100012

3 2 1

010 001011

Sistemas Digitais



Conversão do sistema octal para o sistema binário


0,746

100 110111

0,7468 =0,1111001102


3 2 5 , 7 4 6

101

111011 010 100 110

325,7468 =11010101,1111001102

Sistemas Digitais



Conversão do sistema binário para o sistema octal

Em seguida converte-se para octal cada um dos grupos. O número

representado em octal é formado pelo conjunto de dígitos obtidos respeitando

a ordem pela qual foram determinados.

Parte inteira do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos

de três bits, da direita para a esquerda. Se necessário acrescentam-se zeros à esquerda

para completar o último grupo.

Parte fraccionária do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em

grupos de três bits, da esquerda para a direita. Se necessário acrescentam-se zeros à

direita para completar o último grupo.

Para converter um número da base dois para a base oito, procede-se do seguinte modo:

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Conversão do sistema binário para o sistema octal

E 2.17 - Converta 110100112 para octal

011 010 011

3 2 3110100112 =3238


0, 111 100 110

7 4 60,111100112 =0,7468



11010011,111100112 = 323,7468

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Sistema hexadecimal


O sistema hexadecimal ou sistema de base dezasseis, utiliza os dezasseis símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, A, B, C, D, E, Fcom,

A=1010, B=1110, C=1210, D=1310, E=1410, F=1510,

Cada um dos símbolos que formam um número representado na base

dezasseis, é ponderado por potências de base 16, cujo expoente depende da

posição que ocupam no número. Por exemplo, para o número 24,616, tem-se:

24,616= 24,6H=(2×161)+(4×160)+(6×16-1) = 32+4+6×6/16= 36,37510

O número representado pela soma dos seus símbolos ponderados por

potências de base 16, com os expoentes a dependerem da posição que

ocupam no número, constitui a representação do número na base dez.

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Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal

E 2.20 - Converta 123A16 para decimal

123A16=(1×163)+(2×162)+(3×161)+(10×160) = 466610

123A16 =466610

E 2.21 - Converta 0,2F16 para decimal

0,2F16=(2×16-1)+(15×16-2) = (2×1/16) + (15/162) = 0,125+0,0585937510 =0,1835937510

0,2F16=0,1835937510

E 2.22 - Converta 123A,2F16 para decimal

123A,2F16=4666,1835937510


Sistemas Digitais



Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal

E 2.23 - Converta 94310 para hexadecimal

943 16

143 58 16

15 10 3 16

3 0

94310 =3AF16

E 2.24 - Converta 0,974310 para hexadecimal com quatro digitos

LSD

MSD

0,9473×16=15,5888 → d-1=F

0,5888×16=9,4208 → d-2=9

0,4208×16=6,7328 → d-3=6

0,7328×16=11,7248 → d-4=B

0,974310 =F96B16

Sistemas Digitais



Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal

E 2.25 - Converta 943,974310 para hexadecimal

943 16

143 58 16

15 10 3 16

3 0LSD

MSD

0,9473×16=15,5888 → d-1=F

0,5888×16=9,4208 → d-2=9

0,4208×16=6,7328 → d-3=6

0,7328×16=11,7248 → d-4=B0,974310 =0,F96B16

Parte inteira

Parte fraccionária94310 =3AF16

Assim: 943,974310 =3AF,F96B16

Sistemas Digitais



Conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário

Para converter um número representado na base dezasseis para a sua representação na

base dois, converte-se cada um dos símbolos hexadecimais para a sua representação

binária. O número representado na base dois é formado pelos dígitos binários assim

obtidos, respeitando a ordem pela qual foram determinados.

E 2.25 - Converta F2B16 para binário

F2B16 =1111001010112

F 2 B

0010 10111111

Sistemas Digitais



Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal

Em seguida converte-se cada um dos grupos para a representação

hexadecimal. O conjunto dos símbolos obtidos constituem a representação

hexadecimal do número.

Para converter um número da base dois para a base dezasseis, procede-se do seguinte

modo:

Parte inteira do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos

de quatro bits, da direita para a esquerda. Se necessário acrescentam-se zeros à

esquerda para completar o último grupo

Parte fraccionária do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em

grupos de quatro bits, da esquerda para a direita. Se necessário acrescentam-se zeros à

direita para completar o último grupo.

Sistemas Digitais


E 2.26 - Converta 1010100112 para hexadecimal.

0001 0101 0011

1 5 31010100112 =153H


Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal

E 2.27 - Converta 0,101012 para hexadecimal.

0, 1010 1000

10 8

0,101012 =0,A8H

E 2.28 - Converta 101010011,101012 para hexadecimal.

101010011,101012 =153, A8H


Sistemas Digitais


Correspondência entre as notações decimal, binária octal e hexadecimal


Sistemas Digitais


3 – Operações aritméticas

Algoritmo da adição numa base b

• Este procedimento é aplicado sucessivamente às colunas seguintes.

• Se o resultado da adição dessa coluna for inferior ao valor da base b, o valor da

soma é colocado na coluna sem alteração.

• Se a soma da coluna for igual ou maior do que o valor b da base do sistema de

numeração, então o resultado da adição é a diferença entre o valor produzido e o

valor b, gerando-se um transporte C (Carry) igual a 1 para a coluna seguinte.

O algoritmo da soma em uma qualquer base b de numeração, corresponde aos

seguintes passos:

• Começa-se pela coluna mais à direita.

Sistemas Digitais



Adição na base 10

Tabela de adição no sistema decimal

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Sistemas Digitais


Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=10, então o resultado é dado por

(9+5) - 10 = 14-10 = 4. Gera o transporte C=1, para a coluna 2.


Adição na base 10

E 3.1 - Considere-se a adição 43510+38910.

Coluna 2. O transporte (C=1) da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna.

Tem-se assim: 1+3+8=12, por consequência, o resultado da soma é dado por 12-10=2, e

gera o transporte C=1, para a coluna 3.

Coluna 3. O transporte (C=1) da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna.

Tem-se assim: 1+4+3 = 8. Não gera transporte, pois 8 é inferior a 10.

110

Sistemas Digitais


+ 0 1

0 0 1

1 1 1 0


Adição na base 2

Tabela de adição no sistema binário

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10 (resultado = 0; transporte=1)

Sistemas Digitais



Adição na base 2

E 3.2 - Determine a soma 11112+1012

Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=2, deste modo, o resultado é dado

por (1+1) -2= 2-2 = 0. Gera o transporte C=1, para a coluna 2.

Coluna 2. O transporte C=1 da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna.

Logo, 1+1+0=2, e o resultado é 2-2=0. Gera o transporte C=1, para a coluna 3.


Logo, 1+1+1=3, portanto, o resultado é 3-2=1. Gera o transporte C=1, para a coluna 4.

Coluna 4. Com o transporte C=1 da coluna 3, tem-se: 1+1=2; 2-2=0, com C=1. Logo, a

soma desta coluna é 1 0.

1111

Sistemas Digitais



Adição na base 8

Tabela de adição no sistema octal

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7 10

2 2 3 4 5 6 7 10 11

3 3 4 5 6 7 10 11 12

4 4 5 6 7 10 11 12 13

5 5 6 7 10 11 12 13 14

6 6 7 10 11 12 13 14 15

7 7 10 11 12 13 14 15 16

Sistemas Digitais


Adição na base 8

E 3.3 - Determine a soma 2768+3078.

Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=8, deste modo, o resultado é dado

por (6+7) = 13-8 = 5. Gera o transporte C=1, para a coluna 2.


Logo, 1+(7+0)=8, e o resultado é 8-8=0. Gera o transporte C=1, para a coluna 3.


Logo, 1+(2+3)=6, portanto, o resultado é 6, uma vez que 6 é menor do que b=8. Não

gera transporte.


2 7 6

+ 3 0 7

6 0 5

Sistemas Digitais



Adição na base 16

Tabela de adição no sistema hexadecimal

Sistemas Digitais



Adição na base 16

E 3.4 - Determine a soma 4A5716+D29316.

Coluna 1. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 7+3=10=A. Assim, o

resultado é A. Não gera transporte.

Coluna 2. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 5+9=14=E. Assim, o

resultado é E. Não gera transporte.

Coluna 3. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 10+2=12=C. Assim, o

resultado é C. Não gera transporte.

Coluna 4. A soma desta coluna é maior ou igual do que b=16. De facto, 4+13=17. Tem-se

assim, 17-16=1. Gera o transporte C=1. Logo, a soma desta coluna é 1 1.

Sistemas Digitais



Algoritmo da subtracção numa base b

• Este procedimento é aplicado sucessivamente a todas as colunas.

• Se numa qualquer coluna i, o aditivo for menor do que o subtractivo, soma-se o valor

da base do sistema de numeração ao aditivo e coloca-se na coluna i o resultado da

diferença entre o valor dessa soma e o subtractivo, gerando-se um transporte C

(Carry) igual a 1 que se soma ao subtractivo da coluna i+1;

O algoritmo da subtracção em uma qualquer base b de numeração, corresponde aos

seguintes passos:

• Se numa qualquer coluna i, o aditivo for maior do que o subtractivo, o resultado dessa

coluna corresponde à subtracção simples;

• Começa-se pela coluna mais à direita.

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Subtracção na base 10

E 3.5 - Determine a subtracção 2310-810.

Coluna 1. Como o aditivo 3 é menor do que subtractivo 8, soma-se o valor da base do

sistema b=10 ao aditivo, faz-se a diferença (10+3)-8=5. Gera o transporte C=1, que é

somado ao subtractivo da coluna 2.

Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna anterior, ao subtractivo desta coluna

0+1=1. Como o aditivo não é menor do que 1, obtém-se, 2-1 =1.

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sistema b=2 ao aditivo, faz-se a diferença (2+0)-1=1. Gera o transporte C=1, que é

somado ao subtractivo da coluna 2.

Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna anterior, ao subtractivo desta coluna

0+1=1. Como o aditivo não é menor do que 1, obtém-se, 1-1 =0.

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sistema b=8 ao aditivo e faz-se a diferença (2+8)-6=4. Gera o transporte C=1, para

somar ao subtractivo da coluna 2.

Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna 1, ao subtractivo desta coluna, obtendo-

se 0-(1+7) = 0-8.Como o aditivo 0 é menor do que 8, soma-se o valor da base do sistema

(b=8) ao aditivo (0+8=8) e faz-se a subtracção 8-8=0. Gera o transporte C=1 para somar

ao subtractivo da coluna 3.

7 0 2

- 3 7 6

3 0 4

Coluna 3. Soma-se o transporte C=1 da coluna 2, ao subtractivo desta coluna (1+3=4).

Como o aditivo 7 é maior do que 4, calcula-se 7-4=3. Não gera transporte.

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E 3.8 - Determine a subtracção 9F1B16 - 4A3616.

Coluna 1. O aditivo B é maior do que o subtractivo 6, logo, faz-se a diferença 11- 6= 5.

Não gera transporte.

Coluna 2. O aditivo 1 é menor do que o subtractivo 3, então, soma-se o valor da base do

sistema (b=16) ao aditivo 16+1=17, e faz-se a subtracção, 17-3= E. Gera o transporte

C=1 para somar ao subtractivo da coluna 3.

Coluna 3. Soma-se o transporte C=1 da coluna 2, ao subtractivo desta coluna

(1+A=11=B). O aditivo F é maior do que B, tem-se, F-B=15-11=4. Não gera transporte.

9 F 1 B

- 4 A 3 6

5 4 E 5

Coluna 4. O aditivo 9 é maior do que o subtractivo 4, calcula-se 7-4=3. Não gera

transporte.

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…….a4 a2 a3 a2 a1 a0 → multiplicando

× .………………...b1 b0 → multiplicador


Algoritmo da multiplicação numa base b

O algoritmo da multiplicação de um número a por um número b em uma qualquer base

de numeração resume-se ao seguinte:

• Os dois números a multiplicar são colocados um sob o outro;

• O número na posição superior é designado por multiplicando;

• O número na posição inferior é designado por multiplicador;

Passo 1 - O símbolo mais à direita (b0) do multiplicador, multiplica cada um dos símbolos

do multiplicando;

Se o produto de cada multiplicação é inferior ao valor da base do sistema de

numeração, regista-se o valor obtido sob o traço abaixo do multiplicador;

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O procedimento mantém-se até esgotar todos os símbolos do multiplicando.


× .………………..b1 b0 → multiplicador

……c5 c4 c3 c2 c1 c0

Se o produto de cada multiplicação é superior ao valor da base do sistema,

regista-se o símbolo da direita do produto sob o traço abaixo do multiplicador e o

símbolo da esquerda é somado à multiplicação do símbolo seguinte do

multiplicando.

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×…...……………..b1 b0 → multiplicador

……c5 c4 c3 c2 c1 c0

……d5 d4 d3 d2 d1 d0

Passo 2 – Passa-se ao símbolo seguinte do multiplicador.



Os resultados obtidos são colocados sob os anteriores, mas deslocados de uma

posição para a esquerda.

Passo 3 – Repete-se o procedimento até esgotar todos os algarismos do multiplicador. O

resultado final é obtido somando as parcelas, obtidas pela multiplicação de cada um dos

símbolos do multiplicador por cada um dos símbolos do multiplicando.

……a4 a2 a3 a2 a1 a0 → multiplicando

× .……………..b1 b0 → multiplicador

……c5 c4 c3 c2 c1 c0 → parcela da multiplicação por b0

……d5 d4 d3 d2 d1 d0 → parcela da multiplicação por b1

……e5 e4 e3 e2 e1 e0 →resultado

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×××× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81


Multiplicação na base 10

Tabela de multiplicação no sistema decimal

Para realizar multiplicações na base dez, é necessário recorrer a esta tabela. Porém

como a base dez é o nosso sistema natural, fazemos esta operação de forma

automática.

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E 3.9 - Determine o produto 15710 × 2310.

Algarismo 3 do multiplicador


3×7=21 → 1 para a parcela e C=2;

3×5+2=17 → 7 para a parcela e C=1;





Em seguida procede-se à soma das parcelas.

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Tabela de multiplicação no sistema binário

×××× 0 1

0 0 1

1 0 1

Realça-se que na base dois o produto não gera transporte, uma vez que o valor dos

produtos parciais são sempre inferiores a b=2.

Para realizar multiplicações na base dois, é necessário recorrer a esta tabela. Porém

pela sua simplicidade, realizamos esta operação de forma automática.

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Algarismo 1 do multiplicador (LSB)

1×(1 0 1 1) =1 1 0 1;

1 1 0 1

×××× 1 0 1

1 1 0 1

0 0 0 0

1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1

0×(1 0 1 1) =0 0 0 0;


Algarismo 1 do multiplicador (MSB)

1×(1 0 1 1) =1 1 0 1;


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Tabela de multiplicação no sistema octal

×××× 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 10 12 14 16

3 0 3 6 11 14 17 22 25

4 0 4 10 14 20 24 30 34

5 0 5 12 17 24 31 36 43

6 0 6 14 22 30 36 44 52

7 0 7 16 25 34 43 52 61

Para multiplicar na base oito, é necessário recorrer a esta tabela, a qual é construída

fazendo o produto na base dez, que em seguida é convertido para a base oito.

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5 3 7

×××× 2 4

2 5 7 4

1 2 7 6

1 5 5 5 4



4×3=14 → 14+3=17 → 7 para a parcela e C=1;

4×5=24 → 24+1=25 → 5 para a parcela e C=2;


2×3=6 → 6+1=7 → 7 para a parcela e C=0;

2×5=12 → 12+0=12 → 2 para a parcela e C=1;

Algarismo 4 do multiplicador (LSB)


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Tabela de multiplicação no sistema hexadecimal

Para multiplicar na base 16, é necessário recorrer a esta tabela, a qual é construída

fazendo o produto na base 10, que em seguida é convertido para a base 16.

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E 3.12 - Determine o produto C2A16 × 1D16

C 2 A

×××× 1 D

9 E 2 2

C 2 A

1 6 0 C 2


D×A=82 → 2 para a parcela e T=8;

D×2=1A → 1A+8=22 → 2 para a parcela e T=2;

D×C=9C → 9C+2=9E → E para a parcela e T=9;

1×A=A → A para a parcela e T=0;

1×2=2 → 2+0=2 → 2 para a parcela e T=0;

1×C=C → C+0=C → C para a parcela e T=0;

Símbolo D do multiplicador (LSB)

Símbolo 1 do multiplicador

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5 1 7 2 1

- 4 2 2 4

0 9 7

8 4

1 3


O algoritmo da divisão em uma qualquer base b é muito semelhante à divisão decimal.

Recordemos a divisão decimal através de um exemplo.


Algoritmo da divisão numa base b

Neste exemplo divide-se 517 (dividendo) por 21 (divisor), ambos em decimal, obtendo-se

como resultado a divisão inteira, 24 (quociente), e como resto o valor 13.

• O algoritmo da divisão consiste em seleccionar uma parte do dividendo que seja

superior, mas próxima do valor do divisor.

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• Em seguida identifica-se o maior factor multiplicativo, de apenas um dígito, que

multiplicado pelo divisor dê um resultado igual ou inferior à parte seleccionada do

dividendo;

• No passo seguinte, acrescenta-se ao resultado a subtracção, o dígito seguinte do

dividendo;

• Este factor será o digito mais significativo do quociente;

• Repete-se o passo anterior até que, esgotar todos os dígitos do dividendo;

• O produto da multiplicação do factor escolhido pelo divisor, é subtraído à parte do

dividendo seleccionada;

• O resto final da divisão será inferior ao divisor.

Algoritmo da divisão numa base b

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Divisão binária

E 3.13 - Efectue a divisão 110012 ÷ 102

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4 – Representação de números em módulo e sinal

A representação de números reais tem de ter em conta que os números podem ser

positivos, negativos ou o número zero.

Uma forma adequada e evidente para identificar se um número binário é positivo ou

negativo consiste em reservar um bit para identificar o sinal. Por exemplo, se o bit de

sinal for 0 o número é positivo e ser for 1 o número é negativo.

Num sistema digital, um número é sempre representado com um determinado número de

bits, que constitui o comprimento do número, e corresponde ao número de bits dos

registos onde o número é armazenado e ao número de bits dos circuitos que processam

os números.

Suponhamos, como exemplo, que o comprimento do número é de quatro bits.

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Neste contexto, com quatro bits podem ser representados em módulo e sinal, os

números inteiros que se indicam abaixo.


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Esta forma de representar números inteiros é uma das possíveis. Tem porém, tem alguns

inconvenientes.

Repare-se, por exemplo que o número zero tem duas representações possíveis, o que

pode originar problemas.

Outro inconveniente desta representação reside na realização de operações do tipo

(+5)+(-3) ou (-5)+(+3), uma vez que é necessário identificar qual dos números tem o

maior módulo, para que seja atribuído ao resultado o sinal adequado, o que implica uma

maior complexidade dos circuitos lógicos, que realizam as operações de soma e

subtracção.

Por estas razões estudaremos a seguir uma outra forma de representação de números

em módulo e sinal, que evita os inconvenientes atrás referidos.


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Notação de complemento para 2


Na representação em complemento para 2, os valores positivos têm a mesma

representação do binário natural.

Complemento para 2 Decimal

0 0 0 0 + 0

0 0 0 1 + 1

0 0 1 0 + 2

0 0 1 1 + 3

0 1 0 0 + 4

0 1 0 1 + 5

0 1 1 0 + 6

0 1 1 1 + 7

Por exemplo na representação em complemento para 2, de 4 dígitos, podem representar-

se os valores de +7 a -7. O digito mais à esquerda fica reservado para o sinal (0 para

valores positivos e 1 para valores negativos)

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A representação dos valores negativos, simétricos de um número x na representação em

complemento para 2 de n bits, obtém-se por intermédio da expressão 2n-x.

Por exemplo, o complemento de 0101 é,

Assim, o número 1011 é o complemento para 2 de 0101, ou seja é o simétrico de 0101

na representação de complemento para 2.

Repare-se que, se o número tem n bits, o seu complemento para 2, ou seja o seu

simétrico, é também representado por n bits.

Para interpretar correctamente o valor de um número tem de saber-se a forma como está

representado.

24

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Complemento para 2 Decimal

0 0 0 0 + 0

0 0 0 1 + 1

0 0 1 0 + 2

0 0 1 1 + 3

0 1 0 0 + 4

0 1 0 1 + 5

0 1 1 0 + 6

0 1 1 1 + 7

1 1 1 1 - 1

1 1 1 0 - 2

1 1 0 1 - 3

1 1 0 0 - 4

1 0 1 1 - 5

1 0 1 0 - 6

1 0 0 1 - 7

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Uma forma mais expedita de obter o complemento para 2 de um número consiste em

negar todos os bits do número e somar-lhe 1.

Como exemplo, determine-se o simétrico do número 0100 0010

1

0 1 0 0 0 0 1 0

0111101

+ 1

01111101

Naturalmente que a soma de um número com o seu simétrico tem zero como resultado.

0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1 0+

000000001

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0 1 0 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1 1 1

transporte

1º operando

2º operando

soma

1 0 1 11 1 1

1 0 1 01 0 1 0

+

Soma de dois números representados na notação de complemento para 2, quando o

valor do resultado excede (overflow) a gama de representação possível para o número

de bits utilizados.

…resultado negativo !!!

transporte afecta o bit de sinal



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5 – Códigos

Como sabemos, para representar informação binária apenas se utilizam os símbolos

(bits) 0 e 1.

A informação binária não se restringe à representação de números. De facto, podem

também representar letras e outros símbolos.

Podem assim, identificar-se duas grandes classes de códigos, os numéricos e os

alfabéticos, ou ainda a combinação de ambos que formam os códigos alfanuméricos.

No âmbito desta disciplina estudaremos os códigos numéricos, em particular o Código

Binário Natural (CBN), o Código Decimal Codificado em Binário (BCD - Binary Coded

Decimal) e o Código de Gray.. Estes códigos dizem-se regulares, uma vez que cada

sequência tem o mesmo número de dígitos.

Estas representações designam-se por códigos que consistem numa sequência de

conjuntos de bits que representam números e outos dados.

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5 – Códigos

No código CBN é um código regular uma vez que é formado por palavras de

comprimento fixo.

Código Binário Natural (CBN)

Neste código o número máximo de palavras de comprimento n corresponde a 2n

palavras. Por exemplo, o CBN com palavras de comprimento cinco possui 32 palavras,

com equivalentes decimais que vão de 010 a 3110.

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5 – Códigos

Código Binário Natural (CBN)

E 5.1 – Codifique em CBN de cinco bits, o número 3010

30 2

10 15 2

0 1 7 2

1 3 2

1 1 2

1 0

A codificação em CBN corresponde à conversão da base dez para a base dois.

Assim, 30 na base dez corresponde a 11110 em CBN.

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5 – Códigos

O código BCD (Binary Coded Decimal) que em português Decimal Codificado em Binário,

é usado fundamentalmente usado em sistemas de processamento numérico que utilizam

o sistema decimal para entrada/saída de dados.

Código Binary Coded Decimal (BCD)

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5 – Códigos


No código BCD cada um dos dígitos que formam o número decimal são convertidos

separadamente para a representação binária correspondente. Como o valor máximo de

um dígito decimal é nove, utilizam-se quatro dígitos binários para codificar cada um dos

algarismos decimais do número decimal a codificar em BCD.

Dado que, com 4 bits podem obter-se 24=16 combinações diferentes, e para o código

BCD são apenas necessárias 10 combinações, existem 6 combinações possíveis, que

são proibidas no código BCD.

Deste modo, se uma das combinações proibidas ocorre, o sistema gera uma mensagem

de erro e não considera o código recebido/gerado.

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E 5.2 – Codifique em BCD o número 782310

Portanto, 7823 em decimal corresponde a 0111100000100011BCD.

7 → 0111

8 → 1000

2 → 0010

3 → 0011

5 – Códigos


Sistemas Digitais


5 – Códigos


E 5.3 – Converta para decimal o valor 000110010111 codificado em BCD.

Identificam-se os seguintes grupos de dígitos binários,

000110010111 → 0001 1001 0111

Logo,

0001 → 1

1001 → 9

0111 → 7

Portanto, o valor 000110010111BCD corresponde ao valor decimal 19710.

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5 – Códigos


E 5.4 – Converta para decimal o valor 0110100010111001BCD.

0110100010111001 → 0110 1000 1011 1001

Identificam-se os seguintes grupos de dígitos binários,

0110 → 6

1000 → 8

1011 → 11 ERRO

1001 → 9

O código está errado uma vez que uma das sequências está a codificar um valor superior

a 9. O sistema gera uma mensagem de erro e recusa o código.

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5 – Códigos

Código de Gray

O código de Gray proporciona uma forma fácil de detecção de erros, uma vez que, entre

dois valores consecutivos apenas se verifica a alteração de um dígito.

Por exemplo para uma codificação de três bits tem-se,

Valor Decimal Código de Gray

0 000

1 001

2 011

3 010

4 110

5 111

6 101

7 100

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5 – Códigos

Código de Gray

Para codificar um número decimal em Código de Gray, converte-se o valor para a base

dois e em seguida procede-se do seguinte modo:

• O primeiro dígito do código de Gray é igual ao primeiro dígito do valor na base dois;

• O segundo dígito do código de Gray é igual à soma do primeiro dígito com o segundo

dígito do código binário;

• O terceiro dígito do código de Gray é igual à soma do segundo dígito com o terceiro


• O quarto dígito do código de Gray é igual à soma do terceiro dígito com o quarto


• O enésimo do código de Gray é igual à soma do dígitos n-1+n do código binário.

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5 – Códigos

Código de Gray

E 5.4 – Codifique no código de Gray o valor 1110.

O número 1110 é representado na base dois por 10112.

Em seguida aplica-se o algoritmo de conversão descrito no slide anterior.

Dígito n binário Dígito n de Gray Ordem dos dígitos

1 1 1º

1+0 1 2º

0+1 1 3º

1+1 0 4º

Deste modo 1110 em código de Gray é representado por 1110.

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Curso de Licenciatura em Engenharia Informática Curso de ... · Sistemas Digitais 10-04-2016 Octávio Dias Sistemas Digitais/1 Bibliografia de referência para a elaboração do