CURSO DE MATEMÁTICA PROFESSOR CADOCA (67) 99277-5639

CURSO DE MATEMÁTICA – PROFESSOR CADOCA (67) 99277-5639 GEOMETRIA PLANA EPCAR

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1. (Epcar 2018) A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

A medida de AC, uma das diagonais do pentágono

regular, em cm, é igual a

a) 1 5+

b) 1 5− +

c) 5

22

+

d) 2 5 1− 2. (epcar 2021) Na figura a seguir, todas as medidas estão em cm.

A área do trapézio BCDE mede 221cm , e o

quadrilátero ABCD é um retângulo.

A medida AH h,= em cm, é

a) 12

5 b)

5

2 c)

3 2

2 d)

3 2

5

3. (epcar 2021) No retângulo EPCR da figura a

seguir, PC 6 cm, RA 3 cm= = e AC 5 cm.=

O valor de sen cosα α+ é

a) 3 5

5

b) 4 5

5

c) 2 5

5

d) 5

5

4. (epcar 2019) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir.

Considere que:

1. OA OB OC OD OE OF OG OH R= = = = = = = = 2. Os arcos de circunferência

AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro

no ponto médio de cada uma das cordas

AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA,

respectivamente, ora têm centro no ponto O 3. 3π =

4. 2 1,4=

A área hachurada no croqui, em função da medida R,

é igual a

a) 21,4 R b) 21,6 R c) 21,8 R d) 22 R

5. (epcar 2019) Considere a figura a seguir.


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Sabe-se que: 1. MNST e NPQS são quadrados

2. MS 4 2 cm=

3. ( )ˆmed UQS 15=

4. os pontos M, U, S e R estão alinhados.

Sejam 1A a área do triângulo SRQ e 2A a área do

triângulo URQ, ambas em 2cm . O valor de 1

2

A

A é

a) 2

2 b)

3

3 c)

6

2 d)

6

3

6. (epcar 2018) Considere a figura e os dados a seguir:

DADOS: - O ngulo ABCגo circuncentro do tri י

- ˆmed(ACD) 50=

- ˆBEC e ˆBDC sדo retos

- FG ncia de centro Oך metro da circunferגo di י

A medida do גngulo ÂFG, em graus, י igual a

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 7. (epcar 2017) Considere os círculos abaixo, de centro O e raio 4R, cujos diâmetros são divididos em

oito partes iguais. Sabe-se que todos os arcos traçados nas quatro figuras são arcos de circunferência cujos diâmetros estão contidos no

segmento AB.

Sobre as áreas I II IIIS , S ,S e IVS hachuradas nas

figuras (I), (II), (III) e (IV), respectivamente, pode-se afirmar que a) I II III IVS S S S= = =

b) III IS S

c) IV II1

S S2

=

d) II IIIS S

8. (epcar 2017) Na figura abaixo, tem-se que DF é um arco de circunferência de centro E e raio DE.

Sabe-se que: - ADE é um triângulo - DE é paralelo a BC

- BD 7 cm=

- AC 10 cm=

- BC 6 cm=

- ÂCB 120=

- 1

cos 1202

= −

A área do setor circular hachurado na figura, em 2cm ,

é igual a

a) 27π b) 27

2

π c)

9

2

π d) 3π

9. (epcar 2017) Considere duas calçadas r e s,

paralelas entre si, a uma distância de 6 m uma da

outra.

Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se

encontram nos pontos A e B definidos na calçada s. Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10 m da pessoa posicionada em

A. Quando a pessoa em A se deslocar para P sobre o


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segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa

posicionada no ponto B, em metros, será de

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 10. (epcar 2017) Na figura, E e F são, respectivamente, pontos de tangência das retas r e s com a circunferência de centro O e raio R. D é ponto de tangência de BC com a mesma

circunferência e AE 20 cm.=

O perímetro do triângulo ABC (hachurado), em centímetros, é igual a a) 20 b) 10 c) 40 d) 15 11. (epcar 2016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e F

são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 metro e centro O.

Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a

área da parte sombreada, nessa figura, em 2m , é

igual a

a) 33

π− b)

3

2π−

c) 3

3

π− d) 3 π−

12. (epcar 2016) Um terreno com formato de um

triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.

Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a

razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é

a) 5

3 b)

10

11 c)

3

5 d)

11

10

13. (epcar 2016) As cidades A, B e C situam-se às

margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se

BC 6 3 km,= então CP é, em km, igual a

a) 6 3+ b) ( )6 3 3−

c) 9 3 2− d) ( )9 2 1−

14. (epcar 2013) Seja ABCD um paralelogramo cujos

lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e 10.

Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o

triângulo APD, cujo ângulo ÂPD é congruente ao

ângulo ÂCB, conforme a figura.

Então, a medida AP é

a) 0,2 b) 2 c) 2 10

5 d)

10

5


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15. (epcar 2013) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único triângulo por vez, usando os 12 palitos sem parti-los. Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos

isósceles, z triângulos equiláteros e w triângulos escalenos. A soma x y z w+ + + é igual a

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 16. (epcar 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e AB BC CD DE EA= = = = são arcos de circunferência cujo raio mede a.

Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a

a) 25a 3

2 3 2

π −

b) 2 35a

3 2

π −

c) ( )2a

4 5 34

π −

d) ( )2a 4 5 3π −

17. (epcar 2012) Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por

21cm e dobrou conforme o procedimento abaixo

descrito. 1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M

2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E

3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.

4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.

Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a

medida do segmento MR, em centímetros, é igual a

a) 6

b) 6 2 c) 9

d) 9 2 18. (epcar 2012) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles 1 2OO O .

AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em 2O , O e 1O respectivamente, cujos raios medem

2r.

Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é

a)

Circunferência de diâmetro AB e

semicircunferências de diâmetros OA e OB


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b) Circunferência de centro O

c) Circunferência de centro O

d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado.

Dois setores circulares de raio r 19. (epcar 2012) A figura abaixo representa um

octógono regular tal que CH 6 cm.=

A área desse polígono, em 2cm , é igual a

a) ( )56 2 1− b) ( )64 2 1−

c) ( )72 2 1− d) ( )80 2 1−

20. (epcar 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles

cuja base BC mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm

O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para

pintar 25400 cm .

Adote 3π = Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 12


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Resposta da questão 1: [A] A medida de cada ângulo interno do pentágono

regular ABCDE é dada por

180 (5 2)108 .

5

−= Logo, sendo os triângulos ABC

e BCD isósceles congruentes, temos

180 108CAB ACB DBC BDC 36 .

2

− = =

Em consequência, vem

APB DPC DCP 72 . =

Portanto, como o triângulo APB é isósceles de base

PB, segue que AP 2cm= e, assim, pela

semelhança dos triângulos ABC e BPC,

encontramos

22 PC 2PC 2PC 4 0

2 PC

PC ( 1 5)cm.

+= + − =

= − +

A resposta é AC AP PC (1 5)cm.= + = +

Resposta da questão 2: [A]

Considerando que a área do trapézio é 221cm ,

podemos escrever que:

( )

( )2

x 2 3x x21

2

2x 1 x 21

2x x 21 0

+ + =

+ =

+ − =

Resolvendo a equação obtemos:

x 3= ou x 7 2= − (não convém)

Considerando x 3,= temos a seguinte figura

No triângulo ABE, temos:

2 2 2BE 4 3 BE 5 cm

4 3 BE h

12 5h

12h cm

5

= + =

=

=

=

Resposta: 12

cm.5


No triângulo EPC, temos:

2 2 2EC 6 8 EC 10= + =

Calculando a área do triângulo AEC, obtemos:

5 6 10 hh 3

2 2

= =

No triângulo ERA, temos: 2 2 2AE 6 3 AE 3 5= + =

EHA ERA (caso H.C.) AÊR .Δ Δ α =

No triângulo ERA, obtemos:

3 6 3 3 5sen cos

53 5 3 5 5α α+ = + = =

Resposta da questão 4: [B]

2 2 2 2 2AB R R 2 R Rcos45 AB R (2 2) AB 0,6 R= + − = − =

Determinando a área 1A , obtemos:

22 2

1R 45 1

A R R sen 45 R (0,375 0,35) 0,025 R360 2

π = − = − =

A área 2A será a diferença entre A área do

semicírculo de diâmetro AB e a área 1A .

22

2 1

2 22

22

0,6R

2A A

2

A 0.225 R 0.025 R

A 0,2 R

π

= −

= −

=

Portanto, a área assinalada será: 2

2A 8 A 1,6 R= =


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( )

ÛSQ 45 90 135

ˆSUQ 180 135 15 30

ˆQSR 180 135 45 SR QR h

= + =

= − + =

= − = = =

Portanto:

1

2

1h h

A h 32 tg301A RU 3

RU h2

= = = =


Se o ângulo BDC é reto, então também é o ângulo

CDA.

Se o ângulo CDA é reto e o ângulo ACD é igual a

50 , então o ângulo DAC é igual a 40 (pois a

soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer

é sempre igual a 180 ).

Se o ângulo BEC é reto, então também é o ângulo

BEA.

Se o ângulo BEA é reto e o ângulo DAC é igual a

40 , então o ângulo ABF é igual a 50 .

Se o ângulo ABF mede 50 , então a corda FA

mede 100 .

Se GF é o diâmetro da circunferência então a corda

que vai de F até G, passando pelo ponto A, mede

180 .

Se a corda FA mede 100 e a corda que vai de F

até G, passando pelo ponto A, mede 180 , então a

corda que vai de A até G mede 80 . Assim, seu

respectivo ângulo, AFG, medirá 40 .

Resposta da questão 7: [C]

Calculando as áreas, temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 22

I

2 2 2 22

II

2 2 22

III

2 22

IV

4R 3R RS 4 R

2 2 2

3R 2R 2R RS 4 R

2 2 2 2

2R R RS 2 4 R

2 2 2

2R 2 RS 2 2 R

2 2

π π ππ

π π π ππ

π π ππ

π ππ

= − + =

= − + − =

= − + =

= − =

Portanto, IV II1

S S .2

=


Aplicando o Teorema dos cossenos no triângulo

ABC, temos:

2 2 2

2

2

AB 6 10 2 6 10 cos120

1AB 136 120

2

AB 196

AB 14 cm

= + −

= − −

=

=

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo:

AB 6

AB 7 R

14 6

14 7 R

2 6

3 R

R 9 cm

=+

=+

=

=

Calculando agora, a área A do setor circular de raio

R, temos:

2260 9 81 27

A cm360 6 2

π π π = = =



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Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d

a distância entre P e B, podemos determinar S de

dois modos diferentes.

10 d 5 6S ou S

2 2

= = Portanto,

10 d 5 6d 3 m

2 2

= =

Resposta da questão 10: [C] De acordo com a propriedade dos segmentos

tangentes, podemos escrever que: AE AF 20 cm.= =

Considerando EB x,= temos BD x= e,

considerando CD y,= temos FC y.=

Temos, ainda que: AB 20 x= − e AC 10 y.= −

O perímetro P do triângulo ABC será dado por:

P AB AC BC 20 x 20 y x y 40 cm= + + = − + − + + =

Resposta da questão 11: [A] Considere cada um dos triângulos equiláteros parcialmente hachurados com lado r, que é igual ao

raio da circunferência menor da figura.

A altura h de cada um dos triângulos equiláteros é dada por:

r 3h

2

r 3 1 3R 2h 2 1 r 3 r r

2 33

=

= = → = → = → =

A área de cada um dos triângulos equiláteros menores será igual a:

33

b h r 3 3 33S r S2 4 3 4 12

Δ Δ

= = = → =

A área que é delimitada por um setor circular abaixo de cada um dos triângulos equiláteros pode ser escrita com sendo:

2

setor

360

3 18 1S

360 9 36 18

ππ π

= = =

Por fim, a área hachurada pode ser calculada como sendo:

( )( ) ( )hachurada setor hachurada setor

hachurada

hachurada

S 6 S S S S 6 2 S S

2 3 3 3 3 3 3S 6 6 6

12 18 6 18 18 3

S 33

Δ Δ Δ

π π π π

π

= − − → = −

− −= − == − = =

= −

Resposta da questão 12: [D]

Se que os lados AB e BC medem 80 e 100

metros, então o lado AC mede 60 metros (Teorema

de Pitágoras). Sabe-se também que os segmentos

CM e BM são iguais e medem 50 metros (pois MP

é mediatriz da hipotenusa). Como o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo PMB, pode-se escrever:

lote1 lote1

lote2 lote2

100 50 125PB m

PB 80 2

125 35AP 80 AP m

2 2

MP 50 75MP m

60 80 2

75 35P 60 50 P 165 m

2 2

75 125P 50 P 150 m

2 2

= → =

= − → =

= → =

= + + + → =

= + + → =

Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será:

lote1

lote2

P 165 11

P 150 10= =

Resposta da questão 13: [B] Com os dados da figura, pode-se escrever:

BA 3 BAtg 30 BA 6

3BC 6 3 = → = → =

Ainda, pelo Teorema de Pitágoras:

( )22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12= + → = + → = → =

E finalmente pelo teorema da bissetriz interna:

( )

( )( )( )

( ) ( )

BC BA 6 3 672 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3

PC PA PC 12 PC

1 372 36 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3

1 3 1 3

= → = → − = → + =−

− = → = − − → = − → = −

+ −


ˆˆ ˆ ˆDAC BCA (alternos internos) e DAC = DPA

considerando o PAD, temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆDAC + CAB = DPA + ADP CAB ADP

Δ

=

=

10 xLogo, APD ~ BCA x 2

5 10Δ Δ = =

Resposta da questão 15: [C] Considerando a desigualdade triangular, os triângulos possíveis são:


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Triângulo equilátero: (4, 4, 4)

Triângulo isósceles: (5, 5, 2) e (4, 4, 4)

Triângulo retângulo: (3, 4, 5)

Triângulo escaleno: (3, 4 e 5)

Portanto, x 1, y 2, z 1= = = e w 1= e

x y z w 5.+ + + =

Resposta da questão 16: [A] Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas, sim, cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo.

Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do segmento circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida.

2 2 2

Ta 60 a 3 5 a 3

A 5.360 4 2 3 2

π π = − = −

Resposta da questão 17: [D]

O Δ MEN é isósceles, logo ÊNM 45 .=

ˆ ˆQRM ENM 45 = (ângulos correspondentes) e MQ

= QR = 15 – 6 = 9.

Logo, o segmento MR2 = 92 + 92 MR 9 2. =

Resposta da questão 18: [D] A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio 2r, pois é equivalente a um semicírculo de raio r. Resposta da questão 19: C]

x x 2 x 6

x(2 2) 6

6 2 2x

2 2 2 2

x 3 (2 2)

+ + =

+ =

−=

+ −

= −

Portanto, a área do octógono será calculada por:

A = 62 (área do quadrado) – x.x

42

(área dos

triângulos retângulos de catetos x) 2

2

A 36 2x

A 36 2 (3 (2 2))

A 36 18(4 4 2 2)

A 72 ( 2 1)

= −

= − −

= − − +

= −


2 2 2AC 16 12 AC 20= + =

R 16 RAOD ~ ACM R 6

12 20Δ Δ

− = =

2 2 2A 450. .R 450.3.6 48600cmπ= = =

Número de potes = 48600

95400

=

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