Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Curvas de nível

Objetivos da unidadeDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras 2. tridimensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático 3. por meio da construção de curvas de nível.

Guia do professor

SinopseEste experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico.

ConteúdosGeometria Plana; �

Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais. �

ObjetivosDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridi­2. mensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio 3. da construção de curvas de nível.

DuraçãoUma aula dupla.

Curvas de nível

Uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos de uma superfície que estão à mesma altitude. O seu estudo pode esclarecer as características dos acidentes do relevo de um terreno, permitindo verificar as elevações ou depressões existentes. Neste experimento é proposta uma atividade que permite aos alunos conhecer, interpretar e construir mapas topográficos a partir da composição e decomposição de relevos, proporcionando uma importante experiência de aplicação do conhecimento geométrico à situações de caráter prático.

O experimento possibilita a compreensão de aplicações muito diversifi-cadas, tais como: em agronomia, para proteger terrenos contra erosão, na escolha de lugares para se colocar antenas ou torres de transmissão, na leitura adequada de mapas topográficos para definir estratégias de defesa ou ataque, e mesmo na medicina, ciência cujos especialistas em córnea usam um smt, ou Sistema de Modelagem Topográfica, para produzir um mapa da curvatura da superfície do olho.

Comentários iniciaisEste experimento possibilita um trabalho em grupo de tal maneira que os alunos construam relevos, com a utilização de massa de modelar. Isto possibilitará obter cortes no relevo criado para depois desenhar as curvas de nível correspondentes e ainda obter o perfil topográfico do relevo, ou seja, é criada uma representação plana do espaço tridimensional.

Tipos de relevos

Descrição dos relevosOs mapas topográficos permitem localizar as regiões montanhosas e de planícies. Segue um exemplo de um mapa que utiliza uma gradação de cores para distinguir as diferentes alturas das elevações. Por exemplo, as menores altitudes são verdes e as maiores são coloridas em marrom ou vermelho.

fig. 1

Os mapas topográfi cos, entretanto, não permitem reconhecer os deta-lhes de formas do terreno, tais como vales, selas ou espigões. Para isso, é necessário o traçado de curvas de nível. No experimento é citado o termo “formas topográfi cas convexas”. No quadro abaixo encontra-se uma defi nição de sólido convexo e não convexo.

Um sólido é convexo se, para quaisquer dois pontos da sua superfície, o segmento de reta que une esses pontos está na sua superfície ou no seu interior. Caso tal não se verifi que, o sólido é não convexo. Exemplos:

fig. 2 Sólido convexo

fig. 3 Sólido não convexo

Defi nição

Curvas de nível

Associado à construção das curvas de nível, podemos destacar o conceito de projeção ortogonal. A projeção ortogonal, ’, de um ponto sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular ao plano , conduzida pelo ponto .

A projeção ortogonal de uma fi gura geométrica (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de sobre .

Observe na figura 10 do experimento os pontos das curvas de nível obtidos. Esses pontos correspondem a projeções ortogonais sobre um plano

dos pontos que estão nos contornos correspondentes à intersecção do terreno com planos paralelos ao plano .

fig. 4

fig. 5

P

α

α

P’

F’

F

Quanto mais próximo estiverem as curvas umas das outras, mais inclinado será o terreno; quanto mais espaçadas, menos inclinado ele o será. Certos aspectos das superfícies devem ser destacados, por exemplo: um pico montanhoso é rodeado de linhas de nível como a figura abaixo: �

456

440432

42020m

20m400

equidistância

vertical416

432416

456440420400

fig. 6

Observação

fig. 7

x 585x 563

uma passagem por uma cordilheira pode ter contornos como a figura �

abaixo:

500400300

fig. 8

fig. 9

fig. 10

300

400

500

x 563

300

500

600800

80070

0

500

300

um longo vale apresenta curvas de nível aproximadamente paralelas, con- �

forme a fi gura abaixo:

fig. 11

fig. 12

200100

100200

Uma situação em que ocorre o cruzamento de curvas de nível pode ser ilustrada pela fi gura abaixo. A foto mostra uma formação rochosa existente no parque Nacional das Sete Cidades, no Piauí, e, abaixo, a representação das curvas de nível para uma formação desse tipo:

Curiosidade

fig. 13

fig. 14

Reconstrução e comparação de relevos

Nesta etapa os alunos deverão construir um relevo a partir das curvas de nível, num processo inverso ao da etapa 2, permitindo ao aluno manipular, explorar e analisar as relações entre as representações plana e espacial de um relevo.

Perfil topográfico

A partir do traçado obtido das curvas de nível, é possível escolher uma linha horizontal na carta topográfica e representar os aclives e declives ao percorrer essa linha. A linha obtida por esse gráfico é o perfil topo-gráfico do percurso. Ao analisar um perfil topográfico, podemos identificar as formas côncavas ou convexas de um terreno. Essas formas são ilustradas nas figuras a seguir:

vista oblíqua Uma pendente escarpada até o cume e mais suave até a base é uma pendente côncava

vista de carta Note que as curvas de nível estão mais juntas na parte abrupta do declive e mais separadas na parte suave.

vista de perfil

fig. 15

A partir da identificação das formas côncavas ou convexas de um perfil topográfico, obtemos informações importantes relativas à visibilidade de um ponto em relação a outro. Essas informações são úteis, por exemplo, em projetos de transmissão de sinais de rádio, televisão ou telefonia celular.

2040

6080

100120

x 135

VISTA DE PERFIL

vista oblíqua Uma pendente suave até a base é uma pendente convexa

vista de carta As curvas de nível estão mais separadas na parte suave, mais juntas na parte mais inclinada do declive.

vista de perfilfig. 16

Observação

Este experimento se encerra com um problema de aplicação, no qual é necessário representar o perfil de uma linha de um terreno para responder à seguinte pergunta: a casa situada em receberá sinal de TV de uma torre situada em ? O problema deve ser resolvido conforme os passos descritos na etapa 4. A figura abaixo apresenta a solução, mostrando que a casa não receberá o sinal de TV, pois a elevação situada entre a casa e a torre impede a chegada do sinal.

fig. 17

Caso haja disponibilidade de cartas topográficas da região, adapte o pro-blema para locais conhecidos dos seus alunos. Também podem ser utilizados outros tipos de materiais, como eva, para a cons trução dos relevos e suas curvas de nível.

Gleason, Andrew; Hughes-Hallett, Déborah; Mccallum, William et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1997.

fig. 18

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresMiriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto