Ensino Superior

2.1. Curvas e Superfície de Nível

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Cálculo 3

Programa

1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).

1.1 Curvas e Superfície de Nível

2. Limites e derivadas de FVV.

3. Regra da cadeia e derivada direcional.

4. Integração dupla.

5. Aplicações de integração dupla.

6. Integração tripla.

7. Aplicações de integração tripla.

8. Mudança de variáveis.

9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.

Curvas de Superfície de Nível

Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis.

O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.                                   

Curvas de Superfície de Nível

Curva de nível                    tal que              .

Exemplo

1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana).Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.

As curvas de nível são os gráficos das equações           .

2.

Exemplo

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

z x 2 y 2

z = 9

z x 2 y 2

z = 4

z = 2

z = 0

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

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Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

Curvas de nível:          .

3.

Exemplo

Curvas de nível:

- hipérboles                                                          

4.

Exemplo

Curvas de Superfície de Nível

Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.                                   

Superfícies de nível                   tal que                 .

Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.

Curvas de Superfície de Nível

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Curvas de Superfície de Nível

A superfície

É o gráfico de f.

Uma curva de nível típica no domínio da função

Parabolóide

A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.

A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.

Plano z = 75

Curvas de Nível X Curvas de Contorno

Traço: é a curva definida pelo encontro da superfícief(x,y) com os planos xy, xz e yz.

Curvas de Nível

Curvas de Nível

Decréscimo mais rápido de f

A curva

Exercícios

1) Seja f(x, y) uma função com domínio dado por f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2 9}. Esboçar o gráfico da função. Determine s curvas de nível par z = 4, z = 6 e z = 8.

2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as curvas de nível da função z = xy.