Custos de ajustes de investimento incluindo custos fixos e ... · de ajuste de investimento, Lundgren e Sjöström (2001) propõem uma es- pecificação flexível o suficiente para

Estud. Econ., São Paulo, vol.47, n.4, p.773-803,out.-dez. 2017

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/0101-416147457bmh

Custos de ajustes de investimento incluindo custos fixos e descontos por quantidade com aplicações a empresas brasileiras ♦

Bruno Miranda HenriqueMestrando – Programa de Pós-Graduação em Administração – Universidade de Brasília (UnB)Endereço: Campus Universitário Darcy Ribeiro, Prédio da FACE – Brasília/DFCEP: 70910-900 – E-mail: [email protected]

Recebido: 25/08/2016. Aceite: 26/06/2017.

ResumoCustos de investimento são valores pagos pela organização para ajustar seu estoque de capital produtivo. Tais custos são de difícil mensuração direta, sendo analisados agregadamente pelo valor da firma. Assim, o objetivo deste trabalho é equacionar as curvas de custos de ajustes de investimento a partir de dados de balanço de empresas brasileiras. São estudadas as formas gerais mais comuns na literatura, como a quadrática em relação ao investimento, e propostas componentes da equação, incluindo descontos por quantidade e custos fixos. São usadas regressões lineares para adaptar as curvas aos dados empíricos de empresas selecionadas na BOVESPA. Com isso, demonstra-se que os custos de ajustes de investimento nem sempre são explicados apenas por componentes quadráticos no investimento. Nestes casos, a curva de ajuste de investimentos torna-se melhor adaptada a dados empíricos quando considerados descontos por quantidade e custos fixos, além do tradicional componente quadrático com relação aos investimentos. Finalmente, é proposta e analisada empiricamente uma equação simplificada de retorno do investimento em função do q de Tobin.

Palavras-ChaveInvestimento. Custo de ajuste. Preço sombra. Valor da firma.

AbstractInvestment costs are paid by organizations adjusting their productive capital stock. Those costs are hardly directly measurable, being analyzed aggregately through the value of the firm. Therefore, the goal of this work is to find equations for the investment adjustment costs using balance sheets data from Brazilian companies. Common general forms of the curves found in the literature are studied, like the quadratic relation to the investment, and equation components are proposed, including quantity discounts and fixed costs. Linear regressions are used to adapt the curves to the empirical data of companies selected from BOVESPA. Thus, it is shown that investment adjustment costs are not always explained just with the quadratic component with respect to the investments. In those cases, the adjustment costs curve is

♦ O autor gostaria de agradecer o esmero do trabalho dos editores e revisores, que fizeram críticas e sugestões valiosas para garantir a correção e a qualidade desta publicação, contribuindo até mesmo na seleção de proxies corretas no exercício empírico.


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better fitted to empirical data when fixed costs and quantity discounts are considered, besides the traditional quadratic component of the investments. Finally, a simplified equation for the investment return is proposed and empirically analyzed as a function of Tobin’s q.

KeywordsInvestment. Adjustment cost. Shadow price. Value of the firm.

JEL ClassificationC13. C51. D24.

1. Introdução

Uma organização busca aumentar seu valor através de investimentos que aumentam seu lucro operacional. Entretanto, aumentar o capital produtivo, isto é, investir objetivando lucratividade, significa incorrer em custos adi-cionais. Os custos de investimento, ou de ajustes de investimento, são va-lores pagos pela organização para ajustar seu estoque de capital produtivo, aumentando-o ou diminuindo-o. Este estudo caracteriza formas teóricas das curvas de ajustes de investimentos, incluindo custos fixos e descontos por quantidade, trazendo exemplos empíricos de duas empresas brasileiras.

A decisão de investir da firma é afetada pela incerteza sobre o futuro do mercado. Pindyck (1988) investiga o valor da firma sob decisões incremen-tais de investimento sobre sua capacidade. Porém a valoração da firma deve considerar o preço de não realizar o investimento ou mesmo adiá-lo, como tratado por McDonald e Siegel (1986). Tais investimentos são realizados sob um custo, função da mudança no estoque de capital produtivo. Gould (1968) estuda este custo do investimento, aproximando-o por uma fun-ção específica o suficiente para capturar efeitos empíricos. Alguns custos práticos incorridos quando de investimentos sobre capital produtivo são de contratações, estocagem e instalação de maquinário, para citar exemplos.

Os custos de ajuste são centrais no estudo de investimentos corporativos. Abel e Eberly (1994), por exemplo, baseiam todo seu modelo de regimes de investimento na forma da curva de ajuste de custos. Por sua vez, o es-tudo de Cooper e Haltiwanger (2006) afirma ser vital seu entendimento para avaliar políticas de investimento dinâmicas, taxações e fatores de difícil medição, como os custos de entrega e instalação. Outros estudos

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igualmente importantes, como Barnett e Sakellaris (1998) e Bolton et al. (2011), relacionam a curva de custos de ajuste e investimentos ao q de Tobin, creditado a Tobin (1969).

Dada a importância dos custos de ajuste em investimentos, importa es-tudar a forma e as características dessa curva. Comumente a literatura atribui-lhe uma forma convexa, como argumenta Abel e Eberly (1994). Entretanto alguns autores, como Hamermesh e Pfann (1996), afirmam que as curvas de custos de ajustes de investimento podem assumir outras formas. Sendo assim, são buscados componentes diferentes das convexas em custos de investimento. Uma contribuição especial a esses custos pode ser encontrada na literatura de descontos por quantidade, revisada por Munson e Rosenblatt (2009).

Os custos dos investimentos são deduzidos dos lucros operacionais da fir-ma para se obter uma estimativa de valor da mesma. Contudo, modelar os custos de ajustes de investimento não é simples, uma vez que envolve fato-res de difícil mensuração, como argumenta Cooper e Haltiwanger (2006). Além disso, a literatura acerca de custos de ajustes de investimento, a exemplo de Abel e Eberly (1994), relaciona-se intimamente com a do q de Tobin, outra quantidade de difícil mensuração prática. O q de Tobin, chamado “preço sombra”, não é diretamente observado no mercado cor-porativo, e sua quantificação é importante tópico de pesquisas empíricas.

Eminentes referências da literatura modelam o valor da firma usando lu-cros operacionais e custos de investimento, tais como Abel e Eberly (1994) e Cooper e Haltiwanger (2006). Sendo assim, uma função geral de custos de ajustes de investimento, de comportamento e forma bem definidos, é desejável. Entretanto, essa é uma problemática de difícil solução devido aos inúmeros fatores contribuindo para estes custos. Trabalhos teórico-em-píricos, como o de Lundgren e Sjöström (2001), tentam dar uma forma geral a tais custos, mas mesmo estes autores concluem que os custos po-dem assumir múltiplas formas numa mesma firma, a depender do tipo de investimento. Outros estudos, como a avaliação empírica de Groth e Khan (2010), concluem que a problemática dos custos de ajustes de investimento é sujeita a muitos fatores ainda não explicados.

O presente trabalho objetiva analisar os custos de ajustes de investi-mento, de forma agregada ao valor da firma. O objetivo principal é ca-racterizar matematicamente as equações das curvas de custo de ajustes



de investimento, incluindo custos fixos e descontos por quantidade de investimentos. Para ilustrar, exemplos empíricos estimam tais curvas para duas empresas brasileiras. Observa-se que os descontos por quantidade são ricamente explorados como um tema central de pesquisas. Contudo, este trabalho objetiva introduzir simplificadamente a teoria de descontos por quantidade em estimativas das funções de custos de investimento. Finalmente, usando resultados de estimativas das curvas de custos de ajus-tes, este trabalho analisa empiricamente a proposta de estudo de retornos de investimento trabalhada por Abel e Eberly (1994), enriquecendo a teo-ria com um exemplo de retornos não tratado pelos autores.

Para alcançar os objetivos principais deste trabalho, são formuladas algumas hipóteses sobre as formas gerais das curvas de ajustes de investimentos. Apesar da comum assunção na literatura de convexidade de custos com relação aos investimentos, investiga-se a precisão dessas curvas em dois casos reais. Em especial, busca-se a presença significativa de componentes de descontos nas curvas de custos de investimentos.

2. Referencial teórico

Demonstrando a presença dos custos de investimento a partir do modelo de valoração da firma, Gould (1968) estuda a dinâmica dos investimentos à luz de seus custos. Esse autor afirma que a natureza desses custos está nos fatores encarecedores do investimento. São custos internos e externos indistintamente considerados sob uma mesma equação. Em seu artigo, Gould (1968) questiona como seria uma especificação matemática para uma curva de custos de ajuste em função do investimento realizado. Tal texto então assume uma forma quadrática de simples tratamento matemá-tico e que se aproxima de considerações empíricas.

Conforme descrito acima, o texto de Gould (1968) toma uma curva conve-xa para a função de custos de investimento. A convexidade é assumida em muitos textos, a exemplo de Abel e Eberly (1994) e Bolton et al. (2011). Contudo, Rothschild (1971) chama a atenção para o peso da assunção de convexidade para os resultados de dinâmicas de investimentos na literatu-ra. Sendo assim, esse autor propõe uma forma não convexa para a curva de custos de ajuste, estudando as implicações para os investimentos da firma.



O estudo de custos de investimentos em Hamermesh e Pfann (1996) é realizado sob a ótica de ajustes de fatores produtivos da firma. Tal estudo especifica formas lineares, irregulares e convexas para as curvas de custos, considerando inclusive possíveis assimetrias em torno do investimento ze-ro.1 Também buscando outras possibilidades à forma da curva de custos de ajuste de investimento, Lundgren e Sjöström (2001) propõem uma es-pecificação flexível o suficiente para acomodar cinco formas, dentre elas a forma côncava e uma equação constante, de apenas custos fixos.

Conforme Lundgren e Sjöström (2001) e Hamermesh e Pfann (1996), a tradicional forma convexa da função de custos de investimento não se adapta a diversos casos empíricos. Assim, Cooper e Haltiwanger (2006) estudam algumas formas além da convexa e concluem, com dados empíri-cos e simulados, que nenhuma delas isoladamente se adapta a casos reais. Aqueles autores apontam então para uma função de características mistas, côncavas e convexas. Outro estudo empírico que conclui pela dificuldade em dar forma aos custos de ajuste é o de Groth e Khan (2010). Analisando indústrias americanas, os autores usam uma abordagem desagregada de estimação dos custos, reportando que muitos componentes dos mesmos permanecem sem explicação direta.

A função de custos de ajustes de investimento é central na teoria desen-volvida por Abel e Eberly (1994). Os autores consideram os custos fixos apenas como uma descontinuidade na curva de custos de ajuste. O pre-sente trabalho, no entanto, inclui os custos fixos explicitamente na curva teórica. Abel e Eberly (1994) derivam ainda uma forma simplificada de retorno de investimentos como uma função do q de Tobin e do investi-mento ótimo escolhido. Em sua teoria, Abel e Eberly (1994) tecem con-clusões fundamentais sobre regimes de investimentos com base na forma da curva de custos dos mesmos e do q de Tobin. Os resultados a seguir exemplificam formas empíricas de tais curvas em q, estendendo a teoria para incluir descontos por quantidade. Outra contribuição de grande valor de Abel e Eberly (1994) é a proposição de duas formas de medir os pre-ços sombra. Tais preços são relacionados aos custos do investimento em Barnett e Sakellaris (1998).

Conforme descrito anteriormente, o presente trabalho propõe incluir nos custos do investimento os descontos por quantidade adquirida. Trata-se de

1 Especificamente o artigo de Hamermesh e Pfann (1996) trata de contratações, mas seu tratamento dos custos de ajuste tem aplicação análoga a investimentos, principalmente quanto à forma das curvas.



uma tradição nos negócios, uma expectativa de o comprador ver o preço do produto diminuído devido ao montante negociado com o vendedor, como introduzem Munson e Rosenblatt (2009). O assunto começou a ser abordado academicamente nos anos 70, mas foi nos anos 80 que a pers-pectiva passou ao vendedor, que tentava estimular a demanda anual ofe-recendo descontos por quantidade. Munson e Rosenblatt (2009) revisam a literatura no assunto de descontos por quantidade, tabulando as fontes da literatura em perspectivas do comprador, do vendedor e mistas. Estes autores trazem ainda um estudo empírico através de entrevistas com 39 representantes de companhias americanas. Seu estudo aponta fatores que levam à implantação de políticas de descontos por quantidade negociada.

O desconto por quantidade influencia diretamente na decisão de investir, conforme argumentam Schotanus et al. (2009). Tal artigo propõe uma função que descreve os descontos de acordo com preços e quantidades ne-gociadas. Apesar das limitantes assunções sobre esta função, os autores ve-rificam empiricamente sua adaptabilidade a programas de descontos reais. Um aprofundamento nos aspectos integrantes de descontos por quantidade em compras é encontrado em Li e Huang (1995). Por sua vez, Hwang et al. (1990) detalham matematicamente um modelo para computar custos totais na presença de descontos por quantidade. O presente estudo inclui uma componente de descontos por quantidade nos custos totais de ajuste dos investimentos. Sendo uma componente significativa no equacionamen-to dos custos, trata-se de uma prática de mercado que altera a forma das curvas de custos e, com isso, deve alterar o planejamento de uma empre-sa. Importantes estudos, tais como Gould (1968), Abel e Eberly (1994), Hamermesh e Pfann (1996) e Lundgren e Sjöström (2001), tratam os cus-tos de investimentos sem considerações sobre os descontos por quantidade.

Mesmo sujeitos a muitos fatores de influência em sua computação, os cus-tos de ajustes de investimento são objetos de análises empíricas. Groth e Khan (2010) propõem medi-los de forma desagregada ao valor da firma. Estes autores medem valores baixos para investimentos em manufaturas americanas, sendo os investimentos muito responsivos ao “preço sombra”. Este termo remonta ao texto de Tobin (1969), que introduz uma quanti-dade q em sua teoria monetária de análise de mercado. O q de Tobin en-contra importantes aplicações em finanças corporativas, como no gerencia-mento de riscos assumidos por empresas sob restrições de investimento e financiamento, tratado por Aldrighi e Bisinha (2010) e Bolton et al. (2011).



3. Metodologia

Passa-se à construção do modelo funcional de relação entre valor da firma, investimentos, custos e “preços sombra”. As equações são construídas em função da curva de custos de ajuste, buscando formalizar custos fixos e descontos por quantidade separadamente. Seguem abaixo as especificações e modelagens.

3.1. Modelo básico

Seja a função de lucro operacional da empresa denotada por Π. Assim como Cooper e Haltiwanger (2006), assume-se que seja uma função li-nearmente homogênea com relação ao estoque de capital de produção K. Tal função é sujeita a uma variável aleatória A representando choques ou variações na produtividade ou trabalho da firma:

𝛱𝛱(𝐾𝐾, 𝐴𝐴) = 𝐴𝐴𝐾𝐾𝜃𝜃 (1)

onde é um grau de homogeneidade qualquer. A pode ser gerada por um processo estocástico modelando variações na tecnologia, custos trabalhistas ou processos judiciais, por exemplo. Usando W para denotar um processo de Wiener padrão, a variável aleatória A segue a difusão temporal

𝑑𝑑є = µ(є)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜎𝜎(є)𝑑𝑑𝑑𝑑 (2)

em que µ e σ representam respectivamente o drift e o desvio padrão do processo.

A problemática de investimentos sob incertezas e custos trata da escolha ótima de incremento ou decremento do capital produtivo K. Assume-se que esse capital evolui no tempo de acordo com o processo abaixo, onde é uma taxa de depreciação qualquer e 𝐼𝐼𝑡𝑡 é o investimento no período:

𝑑𝑑𝐾𝐾𝑡𝑡 = (𝐼𝐼𝑡𝑡 − 𝛿𝛿𝐾𝐾𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 (3)

Observa-se que o investimento é modelado como uma quantidade de ca-pital a ser incrementada ou decrementada do estoque de capital atual. Sendo assim, o investimento da firma no período presente 𝐼𝐼𝑡𝑡 é totalmente



acrescido ao capital de produção no próximo período, sem perdas ou tempo de instalação. Eventuais perdas no investimento são consideradas custos e, portanto, estão incluídas na função de custos de ajuste, modelada a seguir. Portanto 𝐼𝐼𝑡𝑡 = 𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 e a Equação (3) torna-se

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = [𝑑𝑑𝑡𝑡+1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡(𝛿𝛿 + 1)]𝑑𝑑𝑑𝑑 (4)

O valor da firma num tempo t é o valor esperado da diferença entre o lucro operacional e os custos totais de investimento, descontado de uma taxa r. Para os fins deste trabalho, os custos de investimento serão expli-citados em custos de ajustes propriamente ditos, custos fixos e eventuais descontos por quantidade de compras. Tal é feito para estudar o compor-tamento do custo total de investimento de acordo com cada uma dessas componentes. Portanto, o modelo assume a possibilidade de funções de ajuste de custo de qualquer forma além da tradicional convexa. Além disso, o modelo possibilita reversibilidade, denotada por 𝐼𝐼𝑡𝑡 < 0 , isto é, 𝐾𝐾𝑡𝑡 > 𝐾𝐾𝑡𝑡+1 . Contudo, os casos de descontos por quantidade são tratados apenas para 𝐼𝐼𝑡𝑡 > 0 . Logo, não são considerados descontos por quantidade quando a firma diminui capital de produção.

3.2. Valor da firma

A forma geral do valor da firma no tempo t é dada pelo valor trazido a presente dos f luxos contínuos no tempo dos lucros operacionais descontados dos custos totais de investimento. Então a firma escolhe o investimento 𝐼𝐼𝑡𝑡 tal que:

𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)

= max𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠

∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡[𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑡𝑡+𝑠𝑠, є1,𝑡𝑡+𝑠𝑠) − 𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑡𝑡+𝑠𝑠, є2,𝑡𝑡+𝑠𝑠) − 𝐹𝐹𝑡𝑡+𝑠𝑠

∞

0+ 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠)]𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

(5)

A Equação (5) ressalta as três componentes do custo total de investimen-tos: (1) uma função de ajuste de custos 𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑡𝑡+𝑠𝑠, є2,𝑡𝑡+𝑠𝑠) , (2) os cus-



tos fixos denotados por 𝐹𝐹𝑡𝑡+𝑠𝑠 que podem variar no tempo, 2 e (3) 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠) representando o desconto conseguido devido ao volume do investimento. Observa-se que este valor é um retorno para a firma, isto é, um valor re-cebido apesar do incremento real no capital produtivo. Isso significa que ao realizar um incremento em de 𝐾𝐾𝑡𝑡 acordo com a Equação (4), a firma teoricamente investe 𝐼𝐼𝑡𝑡 , atingindo o capital 𝐾𝐾𝑡𝑡+1 , porém efetivamente paga um valor com desconto (𝐼𝐼𝑡𝑡 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑡𝑡)) .

É importante ressaltar a aleatoriedade presente nos termos do valor da firma. Conforme modelado anteriormente na Equação (1), o lucro opera-cional está sujeito a aleatoriedades diversas. Por sua vez, o custo de ajuste de investimentos sujeita-se a outras aleatoriedades, por exemplo, variações em frete, custo de instalação, interrupções na produção. Apesar de ambas as aleatoriedades serem difusões descritas pela Equação (2), elas seguem processos distintos entre si na Equação (5).

Claramente nenhum dos custos da Equação (5) estará presente na valora-ção caso a firma decida não investir. Neste caso, o valor da firma é apenas o valor esperado de seu lucro operacional com o capital produtivo atual, descontado a uma taxa r. Para incluir essa possibilidade no modelo da Equação (5), usa-se a função indicadora abaixo:

𝑖𝑖(𝐼𝐼) = {1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐼𝐼 ≠ 0 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐼𝐼 = 0 (6)

e portanto a Equação (5) toma a forma

𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)

= max𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠

∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑡𝑡+𝑠𝑠, є1,𝑡𝑡+𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑡𝑡+𝑠𝑠, є2,𝑡𝑡+𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑡𝑡+𝑠𝑠

∞

0− 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑡𝑡+𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

(7)

Observa-se a concisão na notação usada na Equação (7). Tal equação re-presenta o valor da firma sob a decisão de investir ou não, modelada pela

2 A rigor, os custos fixos dependem do sinal de I, isto é, os custos fixos incorridos em investimentos podem ser diferentes dos custos fixos ao se realizar desinvestimentos. Este texto considera-os iguais apenas para simplificar notações e manter concisas as equações.



função indicadora na Equação (6). Este modelo dispensa o uso de equações diferentes para cada decisão da firma, simplificando os desenvolvimentos que se seguem.

O problema de maximização da Equação (7), e condições dadas nas Equações (2) e (4), é especificado numa variável incremental s represen-tando a continuidade temporal. Contudo, o trabalho empírico aqui propos-to como exemplos dos casos teóricos sugere o uso de um modelo especifi-cado em períodos discretos, uma vez que os dados são coletados de acordo com uma periodicidade. Portanto, pode-se modelar o investimento que maximiza o valor da firma de acordo com o valor atual acrescido do valor esperado da firma nos próximos períodos, descontado a uma taxa (1 − r):

𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)= max

𝐼𝐼{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑡𝑡)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑡𝑡, 𝐾𝐾𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡) + 𝐹𝐹𝑡𝑡 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑡𝑡)]

+ (1 − 𝑟𝑟)𝐸𝐸𝑡𝑡[𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡+1, є1,𝑡𝑡+1, є2,𝑡𝑡+1)]}

que, considerando períodos incrementais no tempo, assume a forma de Bellman abaixo:

. 𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2) = max

𝐼𝐼{𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼)[𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) +

𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼)] + (1 − 𝑟𝑟)𝐸𝐸𝑡𝑡 [𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡]}

(8)

A Equação (8) tem sua demonstração formal relegada ao Apêndice. De acordo com esta equação, a firma escolhe o investimento ótimo que maximiza seu valor, função de uma componente incremental de valor no futuro. O problema na escolha de investimentos é maximizar o lucro ope-racional descontado de um custo de realizar o investimento e somado à esperança de incremento ao valor da empresa, denotada por 𝐸𝐸𝑡𝑡[𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑] . Além disso, a notação da Equação (8) evidencia a presença de processos estocásticos distintos na valoração da empresa. Neste ponto, este texto diferencia-se na notação de Abel e Eberly (1994), que não considera alea-toriedades específicas em sua função de custos de ajuste aumentada, con-siderando-as apenas no lucro operacional.



É importante ressaltar o caráter instantâneo Equação (8). Observa-se que até a Equação (7) todo o tratamento matemático foi feito com o tempo denotado pelo subscrito t, pois admite-se que o valor da firma, bem como as variáveis da qual ele depende, deve variar com o tempo. No entanto, a Equação (8) considera a variação do valor da firma no tempo por meio do termo incremental 𝐸𝐸𝑡𝑡[𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑] . Isto é, num tempo infinitesimal 𝑑𝑑𝑑𝑑 , a firma tem seu valor variando no valor esperado da taxa 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 .

Para dar tratamento empírico ao modelo funcional da Equação (8), é neces-sário explicitar o termo incremental do valor da firma. Para tanto, usa-se o Lema de Itô para dois processos estocásticos que, para a Equação (2) e uma função escalar V diferenciável duas vezes, deriva a conhecida relação:

𝑑𝑑𝑑𝑑(є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡, 𝑡𝑡)

= (𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕є1µ1 + 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕є2µ2 + 1

2𝜕𝜕2𝑑𝑑

𝜕𝜕є1𝜕𝜕є2𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜌𝜌 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕є1𝜎𝜎1𝑑𝑑𝑊𝑊1

+ 𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕є2

𝜎𝜎2𝑑𝑑𝑊𝑊2,

em que ρ é a correlação entre os processos de Wiener W1 e W2. Usando-se a Equação (3) na forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑/(𝐼𝐼 − 𝛿𝛿𝑑𝑑) e o fato de que o valor esperado de um processo de Wiener dW é zero, tem-se

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕 (𝐼𝐼 − 𝛿𝛿𝜕𝜕) + 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕є1µ1 + 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕є2µ2 + 1

2𝜕𝜕2𝑑𝑑

𝜕𝜕є1𝜕𝜕є2𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜌𝜌) 𝑑𝑑𝑑𝑑

que substituído na Equação (8) resulta em

𝑉𝑉 (𝐾𝐾, є1, є2) = max𝐼𝐼

{𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼)[𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼)]

+ (1 − 𝑟𝑟) [𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝐾𝐾 (𝐼𝐼 − 𝛿𝛿𝐾𝐾) + 𝜕𝜕𝑉𝑉

𝜕𝜕є1µ1 + 𝜕𝜕𝑉𝑉

𝜕𝜕є2µ2 + 1

2𝜕𝜕2𝑉𝑉

𝜕𝜕є1𝜕𝜕є2𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜌𝜌]}

(9)

Ressalta-se a presença da definição do q de Tobin na Equação (9):

𝑞𝑞 = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 (10)



que pode ser medido empiricamente através de um importante resultado de Abel e Eberly (1994). Os autores mostram que se as funções de lucro operacional e de custos de investimentos forem linearmente homogêneas em I e K, o q marginal pode ser medido pelo q médio. Tal aproximação continua válida mesmo na presença de custos fixos e, com isso,

𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝐾𝐾 (11)

Observa-se que as três últimas parcelas da Equação (9) são independen-tes do investimento I da maximização e variam de acordo com processos estocásticos de forma definida na Equação (2). Os efeitos aleatórios ao in-vestimento e capital produtivo dessas parcelas podem ser agregados numa única função definida como:

𝑍𝑍[𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)] = 𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕є1

µ1 + 𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕є2

µ2 + 12

𝜕𝜕2𝑉𝑉𝜕𝜕є1𝜕𝜕є2

𝜎𝜎1𝜎𝜎2𝜌𝜌 (12)

Usando as definições das Equações (10) e (12) e 𝐼𝐼𝑡𝑡 = 𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 no modelo funcional da Equação (9), tem-se uma expressão final com quantidades explicitadas para um trabalho empírico:

𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2) = max𝐼𝐼

{𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼)[𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼)]

+ (1 − 𝑟𝑟)[𝑞𝑞(𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 − 𝛿𝛿𝐾𝐾𝑡𝑡) + 𝑍𝑍[𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)]]}

(13)

A Equação (13) calcula o valor atual da firma em função de um investi-mento 𝐼𝐼𝑡𝑡 = 𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 admitindo-se que a firma faz a escolha para maximi-zar seu valor. Esta decisão pode ser de não realizar investimentos, contem-plada na possibilidade 𝑖𝑖(0) = 0 . Na Equação (13) o valor da firma é então composto por três termos. O primeiro é o lucro operacional atual da firma, antes do investimento em capital de produção. O segundo termo repre-senta os custos de ajuste de investimentos, quando realizados no período corrente. O terceiro termo é o valor marginal da firma por unidade de ca-pital, ponderado por investimento e depreciação, acrescido de um choque de aleatoriedades. Tais aleatoriedades, devidas aos processos estocásticos



presentes no lucro operacional e nos custos de ajuste de investimentos, são agregadas no termo representado pela Equação (12).

Caso a firma escolha realizar um investimento I sobre capital de produção K, ela deve fazê-lo buscando a maximização da Equação (13). Neste caso i(I)=1 e os custos de ajuste do investimento ótimo escolhido, denotado por 𝐼𝐼∗ , serão:

.. [𝐶𝐶(𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼∗)] = 𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2) +

(1 − 𝑟𝑟)[𝑞𝑞(𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 − 𝛿𝛿𝐾𝐾𝑡𝑡) + 𝑍𝑍[𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)]] (14)

Esta equação possibilita estimativas dos custos de ajustes de investimen-tos diretamente através de dados empíricos. Nota-se o caráter estático no tempo da Equação (14), possibilitando que as variáveis independentes do lado direito da equação sejam tomadas como amostras nos balanços e demonstrativos de empresas selecionadas para estudos práticos. Contudo, alerta-se para a cautela necessária na aplicação destas análises, uma vez que na prática as curvas de ajustes de investimentos podem variar com o tempo. O tratamento instantâneo da eq. (14) é usado apenas para ilustrar como os custos totais de investimentos variam conforme variam as variá-veis independentes do lado direito da equação, mantendo-se constante no tempo a forma da curva.

3.3. Retorno do investimento

Abel e Eberly (1994) sugerem uma nova medida do retorno dos inves-timentos, removendo da equação de Bellman os termos independentes deste investimento. Seguindo este raciocínio, constrói-se uma nova equa-ção a partir da Equação (13), mantendo apenas os termos dependentes do investimento I. Sendo assim, após a escolha de um 𝐼𝐼∗ que satisfaça a Equação (13), equaciona-se uma nova função desprezando-se os termos independentes de 𝐼𝐼∗ :

𝜓𝜓(𝑞𝑞, 𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾) = 𝑞𝑞(1 − 𝑟𝑟)(𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼∗)[𝐶𝐶(𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼∗)] (15)



A Equação (15) é uma forma de representar o valor da firma consideran-do-se apenas a influência do q de Tobin, mantendo-se fixos investimento ótimo e capital produtivo. Uma vez que ela ignora o lucro operacional da firma e outros componentes aleatórios independentes de 𝐼𝐼∗ , trata-se de uma medida especial de retorno do investimento, independente inclusive do custo fixo de investimento. Abel e Eberly (1994) usam de semelhan-te equação para determinar regimes de investimentos em função do q de Tobin. Contudo, a formulação matemática de Abel e Eberly (1994) deixa implícita a presença de custos fixos. Os autores tratam os custos fixos como caso especial de descontinuidade da função de ajuste de custos quando I = 0. Como visto na Equação (15), o presente trabalho opta por explicitar os custos fixos em F, dispensando uma formulação vinculada a descontinuidades em 𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) .

Abel e Eberly (1994) argumentam que a empresa selecionará um inves-timento ótimo 𝐼𝐼∗ que maximize a Equação 15 para o custo marginal do investimento igualar-se ao benefício marginal do mesmo. Sendo assim, a empresa seleciona 𝐼𝐼∗ tal que

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 [𝐶𝐶(𝜕𝜕∗, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝜕𝜕∗)] = 𝑞𝑞 (16)

Sendo assim, após especificar uma função para os custos de ajuste de investimentos, caso ela seja diferenciável em todos os pontos, é possível calcular o custo marginal do investimento, igualando-o ao q de Tobin. Isolando I e substituindo na Equação (15), tem-se uma medida especial de retorno do investimento em função apenas de q e K. Portanto, a medida 𝜓𝜓(𝑞𝑞, 𝐾𝐾) possibilita avaliar regimes de investimento em função de q igno-rando-se o lucro operacional da empresa dado na Equação (1) e fixando-se o capital produtivo.

Os próximos parágrafos destinam-se a detalhar a modelagem matemática das três componentes do custo ressaltadas na Equação (13). A análise em-pírica deste texto busca exemplificar a presença destas componentes nos custos de investimentos.



3.4. Custos de ajuste e custos fixos

Os custos de ajuste propriamente ditos, denotados c( ) como nas equações, são comumente assumidos como função do investimento I e do estoque de capital produtivo K, como descrevem Abel e Eberly (1994). Entretanto, o presente trabalho adota o raciocínio de Cooper e Haltiwanger (2006), en-tendendo que os custos também são função de uma componente aleatória ϵt. Esta componente aleatória diz respeito, por exemplo, a negociações com fornecedores ou choques de disponibilidade ou de demanda pelo recurso no mercado. O modelo de difusão desta aleatoriedade é dado na Equação (2). Portanto, tais custos são representados por 𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) .

A literatura comumente assume uma função convexa para os custos de ajuste. Abel e Eberly (1994) baseiam suas conclusões nessa premissa, sem uma formulação matemática explícita para tal função. Seguindo a convexi-dade, estudos teóricos como Gould (1968) e Hamermesh e Pfann (1996), e trabalhos empíricos e simulados como Cooper e Haltiwanger (2006) e Bolton et al. (2011), equacionam uma forma quadrática para os custos de ajuste. Seguindo os modelos propostos por esses autores, define-se uma componente convexa em I para os custos de ajuste, na forma

𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾) = 𝛾𝛾2

𝐼𝐼2

𝐾𝐾 (17)

onde γ é um parâmetro constante, usado apenas para flexibilizar a forma da parábola. A literatura usa uma função desse tipo por seu conhecido tratamento econométrico, conforme Rothschild (1971). Além disso, como afirmado em Lundgren e Sjöström (2001), a função quadrática adapta-se a muitos estudos empíricos. Como exceções, alguns resultados empíri-cos adiante mostram que a curva da Equação (17) nem sempre é a mais adequada para modelar o custo de investimento de empresas brasileiras. Outras componentes, como funções de descontos por quantidade, são pos-síveis e significativas.

Conforme descrito anteriormente, o presente estudo propõe uma com-ponente aleatória aos custos de investimentos. Sendo assim, os custos de ajuste de investimentos devem ser equacionados como:

𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) = 𝛾𝛾2

𝐼𝐼2

𝐾𝐾 + є2 (18)



A Equação (17) é simétrica com relação a I = 0. Sendo assim, os custos serão os mesmos tanto para quantidades I investidas no capital de produ-ção quanto para quantidades I desinvestidas do mesmo. Com isso admite-se que os custos de ajuste são os mesmos tanto na compra de maquinário como na venda, por exemplo. Naturalmente pode-se especificar formas diferentes de 𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) para investimentos (I > 0) e desinvestimentos (I < 0). A forma escolhida na Equação (17) reduz notações e facilita a representação de resultados e formas, sendo geral o suficiente para os pro-pósitos deste trabalho. Formas assimétricas são tratadas detalhadamente em Hamermesh e Pfann (1996). Apesar de comumente os custos de ajuste serem especificados na forma da Equação (17), outras funções de I e K são igualmente possíveis. Em seu tratamento empírico, este texto propõe formas complementares à forma da Equação (17), adaptando-se melhor aos dados coletados de duas empresas brasileiras, usadas como exemplos. Com isso, são testadas formas de equações como a (17) e também formas contendo descontos por quantidade.

Por sua vez, os custos fixos são modelados como F, constantes em relação ao investimento. O modelo admite que os custos fixos podem variar com o tempo, mas não com o nível do investimento. Caso tais custos variem com o investimento, eles são assumidos como parte integrante do custo de ajuste 𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) descrito nos parágrafos anteriores.

Ressalta-se a importância de explicitar os custos fixos nos custos totais de investimentos da firma. Dessa forma, os custos fixos não dependem das especificidades do custo de ajuste 𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) , dando liberdade na mode-lagem de custos. Este tratamento difere da estratégia adotada por Abel e Eberly (1994), que modela o custo fixo como um caso de descontinuidade em 0 na curva de ajuste de investimentos, chamada 𝐶𝐶(0, 𝐾𝐾) .

3.5. Descontos

Finalmente, integrando os custos totais de investimento, existem os des-contos por quantidade. A depender do volume de compras, muitos forne-cedores oferecem descontos progressivos, função portanto do investimen-to realizado, como revisam Munson e Rosenblatt (2009). Tais descontos podem variar com o tempo e condições de mercado, como demanda e elasticidade de preços. Tratamentos mais completos para descontos por



quantidade podem ser encontrados em Hwang et al. (1990) e Li e Huang (1995). Para fins deste estudo, admitem-se descontos variando apenas com o investimento.

Os próximos parágrafos especificam o modelo de descontos usado. Adota-se o modelo proposto por Schotanus et al. (2009), dada sua adaptabili-dade a programas de descontos empíricos estudados pelos autores. Ao contrário do recomendado por Munson e Rosenblatt (2009), o modelo de descontos por quantidade adotado é contínuo nos preços. As entrevistas conduzidas por Munson e Rosenblatt (2009) concluem que os descontos por quantidade são praticados para limiares de quantidades fixas, isto é, não há continuidade real. Contudo, para fins desse estudo, um modelo contínuo é suficiente para simular sua influência em custos de investi-mentos. Ademais não há dados facilmente disponíveis agregando todos os programas de descontos dos fornecedores de uma determinada empresa, sendo necessário simular comportamentos. Portanto, dados os objetivos propostos, componentes de desconto nos custos de investimento são evi-denciados mesmo adotando-se um modelo simplório de descontos.

Sejam p e pd o preço corrente e o preço com desconto por quantidade acor-dado de um determinado produto, respectivamente. O preço pd descontado pela quantidade a adquirir é dado por Schotanus et al. (2009) como:

𝑝𝑝𝑑𝑑(𝑁𝑁) = 𝑝𝑝𝑚𝑚 + 𝑆𝑆𝑁𝑁𝜂𝜂 (19)

onde S é um parâmetro fixo de escala, N é a quantidade maior que zero, pm um preço mínimo e η uma constante determinada pela política de des-contos do vendedor do produto negociado. Aqui, interessa apenas quanto de desconto retorna para a firma, isto é, quanto a firma deixa de pagar devido a uma quantidade acordada. Sendo assim, o retorno para a firma é a diferença entre o que ela teria pago sem os descontos e o pagamento real na presença dos descontos, isto é, Np − Npd(N) = ξ(N,p):

𝜉𝜉(𝑁𝑁, 𝑝𝑝) = 𝑁𝑁𝑝𝑝 − 𝑁𝑁 (𝑝𝑝𝑚𝑚 + 𝑆𝑆𝑁𝑁𝜂𝜂) = 𝑁𝑁𝑝𝑝 − 𝑁𝑁𝑝𝑝𝑚𝑚 − 𝑁𝑁 𝑆𝑆

𝑁𝑁𝜂𝜂 (20)

Normalizando os preços em 1, a quantidade adquirida torna-se o investi-mento, isto é I = Np = N1. Assumindo que não há um preço mínimo para o início dos descontos, a Equação (20) torna-se:



𝜉𝜉(𝐼𝐼) = 𝐼𝐼 − 𝑆𝑆𝐼𝐼𝜂𝜂−1 (21)

válida apenas para I > 0.3

Vale ressaltar as adaptações ao modelo inicial de Schotanus et al. (2009) proposto pela Equação (19). Uma delas é o uso de preços normalizados em 1, isto é, modela-se que a aquisição é realizada sempre a um mesmo preço e que este é uma unidade de valor. Com isso, o investimento é representa-do integralmente por quantas unidades de valor são somadas ao estoque de capital produtivo, isto é, I = N. Outra adaptação usada na Equação (21) é a ausência de um preço mínimo para descontos. Neste caso há descontos para qualquer valor de compra.

Na forma proposta da Equação (21), o modelo teria pouca utilidade em estudos de descontos isoladamente. Contudo, o objetivo das simplificações realizadas é introduzir o estudo de descontos nas pesquisas de custos de ajuste de investimentos. Portanto basta um coeficiente S significativo o suficiente para evidenciar a presença dos descontos em curvas empíricas de custos de investimentos.

3.6. Aproximação quantitativa

Para aproximar uma relação dos custos de investimento com dados empí-ricos, coletados para ilustrar a teoria tratada, usam-se regressões lineares, solucionadas por mínimos quadrados. Especificamente são tabulados os valores equivalentes na Equação (14) de acordo com os dados de duas empresas brasileiras selecionadas a seguir. Com isso, os custos de investi-mento, no lado esquerdo da citada equação, são calculados de forma prática podendo-se dar forma à sua curva. Modelando o lado esquerdo da Equação (14) como especificado pelas Equações (17) e (21), tem-se

[𝐶𝐶(𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼∗)] = 𝛾𝛾2

𝐼𝐼2

𝐾𝐾 + 𝐹𝐹 − 𝑆𝑆𝐼𝐼𝜂𝜂−1 (22)

3 Um modelo análogo poderia incluir investimentos negativos.



que substituída na Equação (14) resulta em:

𝛾𝛾2

𝐼𝐼2

𝐾𝐾 + 𝐹𝐹 − 𝑆𝑆𝐼𝐼𝜂𝜂−1 = 𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)

+(1 − 𝑟𝑟)[𝑞𝑞(𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡 − 𝛿𝛿𝐾𝐾𝑡𝑡) + 𝑍𝑍[𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)]]

(23)

O lado direito da Equação (23) é aproximado por proxies, a menos da com-ponente aleatória 𝑍𝑍[𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2)] dada pela Equação (12), que representa o erro nas estimativas. Logo,

𝛾𝛾2𝐼𝐼2𝐾𝐾 + 𝐹𝐹 − 𝑆𝑆

𝐼𝐼𝜂𝜂−1 = Custo total de ajuste de investimento

Portanto, para estimar o custo de investimento como variável dependente, bastam as seguintes variáveis independentes da Equação (23): lucro ope-racional, valor da firma, capital de produção, q de Tobin, investimentos e taxas de juros e depreciação.

De posse dos custos de investimentos, bastam regressões lineares para adaptá-los em funções bem definidas dadas pelas componentes da Equação (22). Os modelos econométricos de regressão linear selecionados são es-tritamente equacionados de acordo com as três componentes de custos propostos anteriormente, isto é, custos de ajuste propriamente ditos, cus-tos fixos e descontos por quantidade. A variável dependente é portanto o valor dos custos totais de investimento. Sendo assim, as regressões lineares adaptam os coeficientes γ, S e o intercepto F (custo fixo) da Equação (22). O modelo para os custos de ajustes de investimentos tem então a forma geral proposta por:

𝛾𝛾2𝐼𝐼2𝐾𝐾 − 𝑆𝑆

𝐼𝐼𝜂𝜂−1 + 𝐹𝐹

Finalmente, com as funções de custos de investimentos aproximadas por regressões lineares, passa-se a analisar o retorno do investimento na forma especial da Equação (15). Para fazê-lo apenas em relação ao q de Tobin, admite-se que as empresas sempre selecionam o investimento ótimo 𝐼𝐼∗ .



Neste procedimento são fixados também os respectivos capitais produtivos K em uma média do período dos dados coletados. A Equação (15) pode então ser combinada à Equação (22) para se obter a forma prática:

𝜓𝜓(𝑞𝑞, 𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾) = 𝑞𝑞(1 − 𝑟𝑟)(𝐾𝐾𝑡𝑡+1 − 𝐾𝐾𝑡𝑡) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼∗) [𝛾𝛾2

𝐼𝐼2

𝐾𝐾 + 𝐹𝐹 − 𝑆𝑆𝐼𝐼𝜂𝜂−1] (24)

A quantificação do q de Tobin nas Equações (23) e (24) é realizada admi-tindo-se homogeneidade linear para I e K nas funções de lucro operacional e de custos de investimentos. Com essa assunção, q pode ser medido pela Equação (11). Observa-se que o modelo de lucro operacional na Equação (1) atende às condições de homogeneidade linear em K. Da mesma forma, todas as componentes dos custos de investimentos usadas neste trabalho são modeladas de forma linear e homogênea em I e em K.

3.7. Dados

Para ilustrar a aplicação da teoria de custos de ajuste de investimentos como desenvolvida neste trabalho, são selecionados dados de balanço pa-trimonial de empresas brasileiras de capital aberto, inscritas na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA). As empresas escolhidas fazem parte do índice BOVESPA e possuem a relação de balanços patrimoniais amplamen-te divulgada. A periodicidade dos balanços patrimoniais das empresas é trimestral e os dados são tomados como amostras para o cálculo dos custos totais de investimentos. O recorte temporal dos dados é o período de 2006 a 2016. Os dados usados nesse trabalho foram compilados por meio da base de dados Economática, acessada no dia 10/5/2017.

São selecionadas duas empresas da BOVESPA, de segmentos distintos, BRASKEN e RAIADROGASIL. A Tabela 1 traz as proxies empíricas usa-das nos estudos do modelo funcional desenvolvido, encontradas em balan-ços patrimoniais e demonstrativos de resultados. Tais proxies são utilizadas na forma proposta por Aldrighi e Bisinha (2010), que realizam um estudo empírico usando dados de empresas listadas na BOVESPA com restrições financeiras. Conforme feito por aqueles autores, o valor da firma é tomado como o Enterprise value, uma medida que considera valor das ações, dívi-das e participações dos acionistas minoritários:



Enterprise value = Valor de mercado das ações+

+ Dívida total líquida + Participação dos acionistas minoritários

O lucro operacional é calculado como a receita líquida de vendas e/ou serviços subtraída do custo de bens e/ou serviços vendidos. Este valor é anterior a tributações, pois se trata do resultado financeiro das vendas ou serviços prestados pela empresa. Também conforme Aldrighi e Bisinha (2010), o capital produtivo da empresa é aproximado apenas pelos seus ati-vos imobilizados, isto é, bens necessários para manutenção das atividades produtivas da empresa, a exemplo de maquinário e edificações. O investi-mento nestes bens, como prelecionam os referidos autores, é aproximado pela Capex (capital expenditure) diferida a cada período. Por fim, Aldrighi e Bisinha (2010) aplicam a razão entre Enterprise value e o ativo total para aproximar o q de Tobin. Esta aproximação também é usada no presente estudo, conforme Tabela 1. Ressalta-se que a imprecisão das proxies se-lecionadas pode exacerbar os efeitos aleatórios dos erros das regressões, representados no modelo funcional pela Equação (12).

Finalmente, tomam-se por constantes as taxas r e δ. É usada a taxa Selic de 2006, calculada para um trimestre em r = 4,06%. Por sua vez, a taxa de depreciação δ varia com o maquinário que compõe o capital produtivo K e este texto limita-se a usar uma taxa genericamente definida para as empre-sas analisadas. Nota-se, pelos desenvolvimentos metodológicos anteriores, que a constante δ não altera a forma geral da curva de custos de ajuste de investimento. Portanto, não há perda de generalidade de resultados usando δ constante e igual para todas as empresas. Com isso fixa-se δ = 1,68% como taxa de depreciação trimestral, seguindo as simulações registradas por Cooper e Haltiwanger (2006).

Tabela 1 - Proxies empíricas usadas no modelo teórico-funcional

Nome Valor no modelo Proxie usada

Valor da empresa 𝑉𝑉(𝐾𝐾, є1, є2) Enterprise value

Lucro operacional 𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) Resultado bruto

Estoque de capital produtivo K Ativo Imobilizado

Investimento I Capex

Preço sombra q𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝐸𝐸

Ativo total



4. Análise empírica

Seguem resultados empíricos que ilustram curvas de custo de investimento e regimes de investimentos em função do q de Tobin. Para tanto, admite-se que as empresas sempre escolhem o investimento ótimo da maximização na Equação (13) e, com isso, calculam-se os custos de investimento de acordo com a Equação (23) e os dados da Tabela 1. Conforme explicitado anteriormente, tratam-se os dados como amostras das variáveis indepen-dentes para o cálculo dos custos totais de ajustes de investimentos de for-ma instantânea no tempo. Para este fim, supõe-se que as curvas de custos de investimentos não variam com o tempo.

As equações dos custos totais de ajuste de investimentos são adaptadas a partir das variáveis independentes no lado direito da Equação (23), atra-vés de regressões lineares. São testadas duas formas empíricas para as curvas de ajuste de investimentos. A primeira forma é a quadrática, mais comum na literatura e explicitada na Equação (17). A segunda forma, proposta pelo presente texto, é a forma que admite uma componente de descontos por quantidade e custos fixos, dada na Equação (22). Os resul-tados sugerem, para as empresas selecionadas, que o uso de componentes de descontos aumenta a precisão das regressões com os dados empíricos apresentados. As regressões são avaliadas de acordo com as estatísticas R2

e F (não confundir com os custos fixos F) e com a significância dos coefi-cientes estimados.



Tabela 2 - Custos de investimentos estimados por regressão linear na forma quadrática da Equação (18)

BRASKEN

Coeficientes

Estimativa Erro padrão valor t valor-p

I2/K 0,5833 0,6125 0,952 0,347

Estatísticas

R2 0,02217 R2 ajustado -0,002275

F 0,9069 valor-p 0,3466

RAIADROGASIL

Coeficientes


I2/K 1,120e-02 4,029e-03 2,781 0,00928

Custo fixo F 1,012e+10 1,432e+10 0,707 0,48510

Estatísticas

R2 0,2049 R2 ajustado 0,1784

F 7,733 valor-p 0,009276

4.1. curvas de custos de investimentos

A primeira regressão l inear para as empresas BR ASKEN e RAIADROGASIL busca adaptar o coeficiente γ/2 das Equações (17) e (18). Os resultados são dados na Tabela 2. Apesar de esta ser a forma mais comumente assumida pela literatura, como estudado anteriormente, chama a atenção a pobre adaptação da curva ao caso da empresa BRASKEN. De fato, para a citada empresa, a curva não apresenta adaptação alguma aos dados, conforme aponta a estatística R2. Por sua vez, a regressão quadrá-tica aplicada à empresa RAIADROGASIL adapta-se melhor às variáveis, conforme esperado pela literatura. Para ilustrar o caso tratado por Abel e Eberly (1994), optou-se por incluir no caso RAIADROGASIL os custos fixos F, apesar de sua baixa significância, como observado pelo valor-p da regressão. A inclusão dos custos fixos F neste caso não afeta a precisão da regressão, mas mantém a consistência com o caso teórico de Abel e Eberly (1994).



As regressões lineares da Tabela 3 consideram a forma proposta na Equação (23) com η = 1.008, usando investimentos positivos. Nota-se uma maior qualidade nas regressões para ambas as empresas, quando com-paradas aos casos da Tabela 2. As comparações são feitas pelas estatísticas R2 e F, bem como pelas as significâncias dos coeficientes nas respectivas tabelas. Portanto, fica demonstrada a maior capacidade de adaptação das curvas de custos totais de ajustes de investimentos aos casos em estudo com o uso de uma componente de descontos por quantidade.

Tabela 3 - Custos de investimentos estimados por regressão linear considerando descontos por quantidade, forma da Equação (23)

BRASKEN

Coeficientes


I 2/K 1,932e+00 2,816e-01 6,859 5,40e-07

I−0.008 -1,903e+13 2,814e+12 -6.762 6,75e-07

Custo fixo F 1,650e+13 2,418e+12 6,824 5,86e-07

R2 0,8986 R2 ajustado 0,8898

F 101,9 valor-p 3,71e-12

RAIADROGASIL

Coeficientes


I 2/K 7,452e-03 2,984e-03 2,497 0,02090

I−0.008 -3,687e+12 1,076e+12 -3,428 0,00253

Custo fixo F 3,104e+12 8,965e+11 3,462 0,00233

Estatísticas

R2 0,6615 R2 ajustado 0,6292

F 20,52 valor-p 1,15e-05



4.2. Retorno do investimento de acordo com o q de Tobin

Conforme detalhado anteriormente, a medida 𝜓𝜓(𝑞𝑞, 𝐼𝐼∗, 𝐾𝐾) dada na Equação (24) permite analisar o retorno do investimento a partir do benefício marginal do mesmo. Tal benefício, medido pelo q de Tobin, é buscado igualando-o ao custo marginal do investimento. Portanto a empresa busca um investimento ótimo 𝐼𝐼∗ sob a condição da Equação (16). Esta equação permite isolar a variável I e obter a expressão da Equação (24) em função apenas de q e K.

Ilustra-se o procedimento descrito acima com os resultados das regressões lineares da empresa RAIADROGASIL. No primeiro caso, de regressão quadrática da Tabela 2, os custos do investimento são aproximados por 1,120 · 10−2I2/K + 1,012 · 10.10 Derivando esta expressão com relação a I e igualando o resultado a q conforme a Equação (16) tem-se q = 2,24 · 10−2I/K. Isolando I e substituindo na Equação (24) chega-se a uma expres-são em função de q e K:

𝜓𝜓(𝑞𝑞, 𝐾𝐾) = [ (1 − 𝑟𝑟)𝐾𝐾2,24 ∙ 10−2 − 22,32143𝐾𝐾] 𝑞𝑞2 + 1,012 ∙ 1010

que tem raízes em q = 1,075194 e q = −1,075194. Conforme descrito anteriormente, o capital produtivo K nesta curva é fixado como a média dos ativos imobilizados durante todo o período estudado.

(a) Custos quadráticos (b) Custos com descontos

Figura 1 - Medidas de retorno do investimento ψ(q). Os cálculos são realizados através das Equações (24) e (16), usando as regressões lineares para aproximar os custos dos investimentos



A Figura 1a ilustra a curva ψ(q) calculada no parágrafo anterior. Trata-se de uma curva empírica que ilustra a forma apenas teórica proposta por Abel e Eberly (1994). Neste caso, a curva foi construída admitindo-se a forma dos custos de ajuste de investimento quadrática, como na Equação (17) e com a presença de custos fixos. Nesta figura são explícitas as raízes de ψ(q) e o valor quando q = 0, isto é, o custo fixo de aproximadamen-te 1,012·1010. Sendo assim, para um capital de produção fixo na média dos valores no período de 2006 a 2016, o q de Tobin deve ser superior a 1,075194 para um retorno positivo do investimento 𝐼𝐼∗ escolhido pela em-presa RAIADROGASIL, nas condições propostas neste estudo.

A função ψ(q) pode também ser derivada para o caso da curva de cus-to de ajuste de investimentos incluindo descontos por quantidade. Como exemplo, procede-se ao cálculo para a empresa RAIADROGASIL, com os dados da Tabela 3. O procedimento é o mesmo acima descrito para o caso quadrático e resulta na curva da Figura 1b. Observa-se uma curva empírica bastante diferente da prevista por Abel e Eberly (1994). No caso de investimentos positivos da Figura 1b, o comportamento assintótico da curva ψ(q) sugere que a taxa de aumento do retorno do investimento é gradativamente menor conforme aumenta o q de Tobin.

5. Conclusões e recomendações

Os custos de ajustes de investimento são parte integrante de estudos de valor da firma e investimentos em capital produtivo. Trata-se de custos incorridos em qualquer decisão de investimento e, portanto, devem ser computados para a valoração máxima da firma. Com isso, conhecer como variam e suas dependências torna-se fundamental.

A literatura de investimentos assume funções convexas e quadráticas para os custos de investimento. Além disso, assume-se que tais funções variem com os investimentos propriamente. Dessa forma, estudos e pesquisas podem desenvolver resultados analíticos com base em formas e funções de tratamento matemático geral. Contudo, os custos de investimento podem assumir dependências e formas diversas das comumente assumidas.



Esta pesquisa demonstrou como funções de custos de investimento assu-midas em textos anteriores adaptam-se a exemplos empíricos de empresas brasileiras. A aproximação quadrática de pesquisas anteriores não apresenta a precisão de outras formas aqui propostas. Importa registrar que a pesqui-sa aqui apresentada não especifica uma forma geral da componente de cus-tos de ajuste na Equação (14) capaz de representar genericamente qualquer empresa. Os casos apresentados são aproximações possíveis, ilustradas com dados empíricos. Estudos futuros podem explorar uma forma geral desta componente, relacionando-a inclusive aos setores de atuação das empresas.

Investimentos reais estão sujeitos a negociações e preços diferenciados de fornecedores. Uma produtiva área de pesquisa em finanças de inves-timentos é a de descontos por quantidade. Este trabalho advoga que este assunto deve ser integrado às pesquisas de custos de investimento. Mesmo de forma simplificada, os descontos por quantidade foram evidenciados como parte integrante em custos de ajustes de investimento neste traba-lho. Uma pesquisa mais profunda deve tomar modelos mais completos de descontos, considerando descontinuidades e incluindo os casos em que há desinvestimentos.

Não obstante algumas regressões lineares deste texto apresentarem alta precisão com relação aos valores reais obtidos das empresas, os custos de investimento encontram-se fortemente sujeitos a aleatoriedades. Os erros das regressões lineares não devem ser desprezados e por isso a função custo de ajuste de investimento deve ser sempre grafada em função de um processo estocástico. Cabe notar que os erros das equações podem ser maiores conforme imprecisões nas informações obtidas nos balanços patrimoniais e resultados das firmas.

Esta pesquisa deu forma prática às conclusões sobre retorno do investimen-to em função do q de Tobin, da forma estudada por Abel e Eberly (1994). Aqueles autores analisaram uma situação convexa teórica de regimes de investimento em função do “preço sombra”. Por sua vez, a pesquisa aqui realizada deu forma empírica às conclusões de Abel e Eberly (1994), con-firmando seus resultados. Contudo tais resultados foram ainda estendidos a um outro exemplo, com forma diversa do trabalho original de Abel e Eberly (1994).

Registra-se aqui a limitação deste trabalho em assumir linearidade e ho-mogeneidade para as funções de lucro operacional e custos de ajustes de investimentos. Conforme justificado no desenvolvimento do trabalho, essas



assunções possibilitam estimar o q de Tobin para as empresas estudadas, mas constituem restrições importantes. Portanto, outras formas de custos de investimento podem ser estudadas se descartada a limitação às funções linearmente homogêneas. Além disso, as curvas de ajustes de investimen-to são estudadas como invariáveis no tempo. Uma análise empírica mais abrangente pode examinar como tais curvas variam com o tempo, reali-zando um estudo longitudinal com dados em painel.

Por fim, um estudo mais geral de formas de custos de investimentos pode ser conduzido com dados empíricos de mais empresas. Além disso, sem as limitações citadas no parágrafo anterior, muitas adaptações analíticas poderiam ser empiricamente testadas em dados reais. Naturalmente seria necessário outro modelo para a estimativa dos valores q. Recomenda-se assim um estudo de medidas dos “preços sombra” sem fortes assunções sobre suas formas e funções mais gerais que as aqui tratadas para custos de ajuste de investimentos.

Apêndice

A Equação (7) pode ser reescrita como a soma de duas integrais, uma de t a um tempo τ qualquer e outra de τ ao infinito:

𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡) = max𝐼𝐼𝑡𝑡

∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏

𝑡𝑡

+ ∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑∞

𝜏𝜏

A segunda integral acima é o valor da firma no tempo τ, portanto

𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡) = max𝐼𝐼𝑡𝑡

∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝜏𝜏

𝑡𝑡− 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐸𝐸𝑡𝑡[𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝜏𝜏−𝑡𝑡)]



Subtraindo ambos os lados da equação pela constante 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒0 e observando que 𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝜏𝜏−𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡 , bem como 𝑒𝑒0 = 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟 , tem-se:

0 = max𝐼𝐼𝑡𝑡

∫ 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏

𝑡𝑡+ 𝐸𝐸𝑡𝑡 [𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡]

Colocando 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 em evidência e dividindo-se todos os termos por τ, tem-se

0𝜏𝜏 = max

𝐼𝐼𝑡𝑡∫ (1

𝜏𝜏) 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏

𝑡𝑡

+ (𝐸𝐸𝑡𝑡 {[𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏 − 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡]𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡}𝜏𝜏 )

Uma vez que τ é arbitrário, pode-se fazê-lo suficientemente próximo a t para expressar a equação em limites:

0 = max𝐼𝐼𝑡𝑡

lim𝜏𝜏→𝑡𝑡

∫ (1𝜏𝜏) 𝐸𝐸𝑡𝑡{𝛱𝛱(𝐾𝐾𝑠𝑠, є1,𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼𝑠𝑠)[𝐶𝐶(𝐼𝐼𝑠𝑠, 𝐾𝐾𝑠𝑠, є2,𝑠𝑠) + 𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼𝑠𝑠)]}𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑠𝑠−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜏𝜏

𝑡𝑡

+ lim𝜏𝜏→𝑡𝑡

((𝐸𝐸𝑡𝑡 {[𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏 − 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡]𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡}𝜏𝜏 ))

O primeiro limite pode ser imediatamente resolvido. Para simplificar o se-gundo limite, definem-se 𝑋𝑋𝜏𝜏 = 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏, 𝑋𝑋𝑡𝑡 = 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡 e 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋𝜏𝜏 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 . Portanto

0 = max𝐼𝐼

{𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼)[𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼)] + lim𝜏𝜏→𝑡𝑡

(𝐸𝐸𝑡𝑡[(𝑋𝑋)]𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡

𝜏𝜏 )} (25)

O segundo limite acima pode ser resolvido observando-se que

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑑𝑑𝜏𝜏 − 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 [𝑉𝑉(𝐾𝐾𝜏𝜏, є1,𝜏𝜏, є2,𝜏𝜏)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝜏𝜏 − 𝑉𝑉(𝐾𝐾𝑡𝑡, є1,𝑡𝑡, є2,𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡]



e que:

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 [(𝑉𝑉𝜏𝜏 − 𝑉𝑉𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑡𝑡]

quando τ → t. Aplicando a regra da cadeia à equação acima resulta em

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟 − (𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟 (26)

Finalmente observa-se que, no limite, 𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑋𝑋) = 𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑑𝑑𝑋𝑋) e aplicando a Equação (26) à Equação (25) resulta em

0 = max𝐼𝐼

{𝛱𝛱(𝐾𝐾, є1) − 𝑖𝑖(𝐼𝐼)[𝐶𝐶(𝐼𝐼, 𝐾𝐾, є2) + 𝐹𝐹 − 𝜉𝜉(𝐼𝐼)] + 𝐸𝐸(𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑑𝑑(𝐾𝐾, є1, є2)}

Como −𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐾𝐾, є1, є2) independe de I na operação de maximização, tal termo pode passar ao lado esquerdo desta equação, resultando na forma de Bellman, usada na Equação (8) do texto.4

4 O texto principal faz uso do valor presente da firma, sendo descontada portanto a esperança do valor futuro incremental E(dV)/dt pela taxa r.



Referências

Abel, A. B., e J. C. Eberly. 1994. “A Unified Model Of Investment Under Uncertainty.” The American Economic Review: 1369–1384.Aldrighi, D. M., e R. Bisinha. 2010. “Restrição Financeira Em Empresas Com Ações Negociadas Na Bovespa.” Revista Brasileira de Economia 64 (1): 25–47.Barnett, S. A., e P. Sakellaris. 1998. “Nonlinear Response Of Firm Investment To Q::Testing A Model Of Convex And Non-Convex Adjustment Costs.” Journal of Monetary Economics 42 (2): 261–288.Bolton, P., H. Chen e N. Wang. 2011. “A Unified Theory Of Tobin’s Q, Corporate Investment, Financing, And Risk Management.” The Journal of Finance 66 (5): 1545–1578.Cooper, R. W., e J. C. Haltiwanger. 2006. “On The Nature Of Capital Adjustment Costs.” The Review of Eco-nomic Studies 73 (3): 611–633.Gould, J. P. 1968. “Adjustment Costs In The Theory Of Investment Of The Firm.” The Review of Economic Studies 35 (1): 47–55.Groth, C., e H. Khan. 2010. “Investment Adjustment Costs: An Empirical Assessment”. Journal of Money, Credit and Banking 42 (8): 1469–1494.Hamermesh, D. S., e G. A. Pfann. 1996. “Adjustment Costs In Factor Demand.” Journal of Economic Literature 34 (3): 1264–1292.Hwang, H., D. H. Moon e S. W. Shinn. 1990. “An EOQ Model With Quantity Discounts For Both Purchasing Price And Freight Cost.” Computers & Operations Research 17 (1): 73–78.Li, S. X., e Z. Huang. 1995. “Managing Buyer-Seller System Cooperation With Quantity Discount Considera-tions.” Computers & Operations Research 22 (9): 947–958.Lundgren, T., e M. Sjöström. 2001. “A Flexible Specification Of Adjustment Costs In Dynamic Factor Demand Models.” Economics Letters 72 (2): 145–150.McDonald, R., e D. Siegel. 1986. “The Value Of Waiting To Invest.” The Quarterly Journal of Economics 101 (4): 707.Munson, C. L., e M. J. Rosenblatt. 2009. “Theories And Realities Of Quantity Discounts: An Exploratory Study.” Production and Operations Management 7 (4): 352–369.Pindyck, R. S. 1988. “Irreversible Investment, Capacity Choice, And The Value Of The Firm.” The American Economic Review 78 (5): 969–985.Rothschild, M. 1971. “On The Cost Of Adjustment.” The Quarterly Journal of Economics 85 (4): 605–622.Schotanus, F., J. Telgen e L. Deboer. 2009. “Unraveling Quantity Discounts.” Omega 37 (3): 510–521.Tobin, J. 1969. “A General Equilibrium Approach To Monetary Theory.” Journal of Money, Credit and Banking 1 (1): 15.

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Custos de ajustes de investimento incluindo custos fixos e ... · de ajuste de investimento, Lundgren e Sjöström (2001) propõem uma es- pecificação flexível o suficiente para