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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
ROSELI TEREZINHA NOBILE PORTEZAN
CADERNO PEDAGÓGICO: A importância da Razão e
da Proporção no cotidiano matemático do educando
da Educação de Jovens e Adultos.
Londrina
2010
ROSELI TEREZINHA NOBILE PORTEZAN
CADERNO PEDAGÓGICO: A importância da Razão e da
Proporção no cotidiano matemático do educando da
Educação de Jovens e Adultos.
CADERNO PEDAGÓGICO apresentado ao
Programa e Desenvolvimento Educacional
PDE – SEED/PR sob orientação do Prof.
MSc. Antonio Carlos Mastine.
Londrina
2010
CADERNO PEDAGÓGICO – Razão e Proporção na Educação de
Jovens e Adultos - EJA
TÍTULO: A importância da Razão e da Proporção no cotidiano matemático
do educando da Educação de Jovens e Adultos.
PROBLEMATIZAÇÃO DO TEMA: A temática Razão e Proporção podem
auxiliar nas questões práticas diárias dos alunos que fazem parte da
Educação de Jovens e Adultos?
DEFINIÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO: Turma do Ensino Fundamental II de
Educação de Jovens e Adultos – EJA.
IDENTIFICAÇÃO
PROFESSOR PDE: Roseli Terezinha Nobile Portezan
ÁREA PDE: Matemática
NRE: Londrina
PROFESSOR ORIENTADOR IES: Prof Ms. Antonio Carlos Mastine
IES: UEL – Universidade Estadual de Londrina.
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: CEEBJA - Centro Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos de Londrina.
PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Educandos do Ensino Fundamental II de EJA.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO...........................................................................................05
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 06
2 AS TAREFAS................................................................................................09
3 OS EDUCANDOS .........................................................................................09
4 O PROFESSOR ...........................................................................................09
5 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO ....................................................10
6 AVALIAÇÃO .................................................................................................11
7 QUESTÕES ..................................................................................................13
8 REFERÊNCIAS .......................................................................................... .30
9 BIBLIOGRAFIA ...................................................................... ....................31
5
“Os sentidos se deleitam com coisas devidamente
proporcionadas” (São Tomás de Aquino séc. XIII).
APRESENTAÇÃO
Este Caderno Pedagógico foi produzido como atividade do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria da Educação do Estado do
Paraná. É composto por atividades alternativas que relacionam o conteúdo de
Razão e Proporção com o cotidiano. Será desenvolvida com educandos do Ensino
Fundamental II da Educação de Jovens e Adultos – EJA, e a metodologia utilizada
para desenvolver o trabalho é a investigação matemática. No desenvolvimento do
trabalho serão utilizadas atividades práticas e materiais diversos em sala de aula,
a fim de que a aprendizagem seja significativa.
As aulas serão conduzidas de forma que o educando seja estimulado a
pensar e construir o próprio conhecimento. Neste sentido, a investigação
matemática é um caminho relevante, os educandos serão levados a situações em
que, partindo da própria vivência, serão desafiados a elaborar proposições e
hipóteses, desenvolver estratégias para buscar resultados, refletir, discutir novas
descobertas e verificar soluções.
Para atingir o objetivo proposto, o trabalho será desenvolvido por meio de
atividades que proporcionem aos educando da EJA, momentos de observação,
reflexão e aplicação dos conceitos de Razão e Proporção, tendo como foco a
demonstração da utilidade deste conteúdo matemático.
Palavras-chave: Investigação Matemática, Razão, Proporção e EJA.
6
1 INTRODUÇÃO
A matemática está presente em todas as épocas da evolução humana. Ela
foi sendo desenvolvida ao longo dos tempos devido à necessidade de
sobrevivência e evolução do homem. Assim à medida que o homem foi evoluindo
ela também foi, e ainda continua se transformando devido ao desenvolvimento e
às necessidades sociais da humanidade, assim sendo o conhecimento
matemático deve ajudar o educando no desenvolvimento de sua autonomia
política e intelectual para que este consiga interpretar as informações disponíveis
na sociedade.
De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação de
Jovens e Adultos (EJA), a educação, como uma chave indispensável para a
“sociedade do conhecimento”, vai se impondo cada vez mais nestes tempos de
grandes mudanças e inovações nos processos produtivos. Ela possibilita ao
indivíduo jovem e adulto retomar seu potencial, desenvolver suas habilidades,
confirmar competências adquiridas na educação extra-escolar e na própria vida;
oportunizar um nível técnico e profissional mais qualificado.
Nesta linha, a educação de jovens e adultos representa uma promessa de
efetivar um caminho de desenvolvimento de todas as pessoas, de todas as
idades. Nela, adolescentes, jovens, adultos e idosos poderão atualizar
conhecimentos, mostrar habilidades, trocar experiências e terem acesso a novas
regiões do trabalho e da cultura.
A educação de adultos exige uma inclusão que tome por base o reconhecimento do jovem adulto como sujeito. Coloca-nos o desafio de pautar o processo educativo pela compreensão e pelo respeito do diferente e da diversidade: ter o direito a ser igual quando a diferença nos inferioriza e o de ser diferente quando a igualdade nos descaracteriza. Ao pensar no desafio de construirmos princípios que regem a educação de adultos, há de buscar-se uma educação qualitativamente diferente, que tem como perspectiva uma sociedade tolerante e igualitária, que a reconhece ao longo da vida como direito inalienável de todos (SANTOS, 2004).
Desta forma, é fundamental uma prática em sala de aula que faça com que o
educando compreenda naturalmente a necessidade dessa disciplina no cotidiano
escolar.
7
Segundo FRAGA, "O discurso matemático desligado da vida cotidiana do
aluno, não o estimula para explorar e conhecer a Matemática como um bem cultural
criativo, real e prático" (1988, p.43).
Além disso, o professor precisa fazer com que os educandos reconheçam e
utilizem cada conceito matemático em uma grande variedade de contextos.
Neste sentido, a Unidade Didática terá como eixo norteador metodológico a
Investigação Matemática, pois é uma das tendências da Educação Matemática que
está explicitada nas Diretrizes Curriculares Estaduais do Estado do Paraná. Esta é
uma estratégia na qual se lança uma situação ao educando que vai buscar meios
para resolvê-la. O educando, nessa perspectiva, estará colocado na posição de
investigador e sujeito do próprio conhecimento.
Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso (PONTE, BROCARDO & OLIVEIRA 2006, p. 09).
Investigar significa procurar conhecer o que não se sabe, que é o objetivo
maior de toda ação pedagógica.
O conteúdo de Razão e Proporção constitui um tema essencial na formação
do educando, pois há razão e proporção em muitas áreas da atividade humana: na
receita de bolo, na construção civil, na arte, na música, na odontologia estética, na
arquitetura, em estudos técnicos da área financeira, como o PIB per capita, por
exemplo. Na sociedade contemporânea, o conceito de razão surge nos jornais e nas
revistas para comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade
(densidade demográfica), ou o fluxo de carros em um pedágio, entre outras. A
proporção surge no momento em que se faz necessária a discussão acerca de
comparações entre duas razões, como por exemplo, a regra de três aplicada na
Matemática Financeira, na prescrição de medicamentos, nas construções, na
medicina estética e nas mais diferentes áreas relacionadas à vida humana.
A compreensão de Razão e Proporção é a base para o trabalho com
grandezas direta e inversamente proporcionais e sendo também uma condição
necessária para o desenvolvimento do pensamento proporcional. Para Spinillo
8
(1993), o pensamento proporcional refere-se, basicamente, à habilidade de analisar
situações, estabelecer relações e derivar valores.
Segundo Misailidou e Williams (2004, p. 1 da versão online), “aprender a
raciocinar proporcionalmente é essencial para o desenvolvimento matemático do
aluno”.
9
2. AS TAREFAS
As tarefas serão desenvolvidas no segundo semestre do período letivo de
2010, utilizando um quinto da carga horária semanal (3 h/s).
As atividades devem ser desafiadoras e provocativas e também deverá
estimular o educando à reflexão, a desenvolver estratégias para buscar resultados, a
justificar e provar as suas afirmações e devem ser trabalhadas de forma que
estimule a formalização do pensamento proporcional.
3. OS EDUCANDOS
Os educandos deverão trabalhar em duplas ou em grupo (pelo menos na
maior parte do tempo) para que possam interagir com seus colegas e discutir
estratégias, processos e resultados, auxiliando na construção do conhecimento.
Nas aulas, os educandos devem respeitar as opiniões dos colegas e
promover a colaboração entre eles, pois cada educando tem uma forma diferente de
pensamento.
Durante as aulas, os educandos devem registrar todo o desenvolvimento das
tarefas mesmo que seja de forma desordenada, pois ao final de cada atividade
deverão entregar argumentações e conclusões obtidas pelo grupo, por escrito em
seus registros de forma mais elaborada.
4. O PROFESSOR
O papel do professor, no desenvolvimento das tarefas, é fundamental, pois terá que:
Ø Ter os objetivos definidos para conduzir o trabalho, mesmo sem saber com
antecedência qual será a reação dos educandos na realização das tarefas.
Ø Criar um ambiente propicio para à aprendizagem.
10
Ø Envolver todos os educandos na realização das tarefas para que possam
desenvolver argumentações e expressar-se matematicamente.
Ø Verificar se todos os educandos estão participando na realização da tarefa.
Ø Estar sempre atento aos diálogos e às discussões para não desviar do
objetivo principal da tarefa.
Ø Estimular o diálogo e as discussões entre os educandos para que o trabalho
seja produtivo.
Ø Estimular o aluno a expressar-se matematicamente perante os seus
colegas e a turma.
Ø Manter diálogo com os educandos durante a realização das tarefas para que
estes façam questionamentos e levantem hipóteses, conjecturas e justificações,
encorajando-os na apresentação de suas ideias e consequentemente no
desenvolvimento da construção do conhecimento matemático.
Ø No desenvolvimento das atividades, proporcionar ao educando a
oportunidade de usar habilidades de ler, ouvir, observar, questionar, e avaliar suas
próprias conclusões. É importante que durante a realização das atividades o
professor ande pela sala de aula, converse com os educandos para estimular o seu
interesse pela atividade, oportunizando aos educandos, que com suas experiências,
descubram as próprias maneiras de resolvê-las. O professor poderá intervir na
construção do conhecimento matemático para mostrar a eles que existem outros
caminhos interessantes que possibilitam chegar a um mesmo resultado.
5. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
O objetivo dessa Unidade Didática é proporcionar aos alunos da Educação de
Jovens e Adultos do Ensino Fundamental II do CEEBJA – Centro de Educação
Básica para Jovens e Adultos – Londrina, Paraná, a produção de conhecimento por
meio da Investigação Matemática.
Os educandos que frequentam esta modalidade de ensino já possuem um
conhecimento empírico da matemática e o que se pretende com este material é
proporcionar a estes, a partir de suas experiências, uma nova maneira de ensino-
11
aprendizagem de forma significativa, para que possam ir refinando e consolidando o
seu pensamento matemático. Para isso, os educandos serão suscitados a refletir,
argumentar, fazer conjecturas, trabalhar coletivamente, buscar soluções para as
atividades propostas, utilizar conceitos e procedimentos matemáticos.
Para desenvolver o raciocínio proporcional e facilitar aprendizagem do
conteúdo de Razão e Proporção, foram escolhidas atividades de pensamento
proporcional, de escala, densidade demográfica, porcentagem, proporções do corpo
humano, textos de revistas e jornais, que exigem leitura, interpretação de
informações, linguagem matemática, percepção, argumentação, em diferentes áreas
onde se aplica esse conceito para que o educando formule sua própria opinião, pois
essa prática lhe permitirá expressar criticamente suas ideias de forma consistente,
utilizando ferramentas matemáticas para uma inserção crítica e autônoma.
A realização das tarefas será dividida em dois momentos:
Primeiro momento: Será apresentada a eles a tarefa para a realização, onde
ocorrerá momento de discussão, de produção e de registro escrito.
Segundo momento: Será um momento de socialização, onde serão
discutidos e analisados os resultados.
Na discussão dos resultados obtidos, é fundamental que o professor
proporcione ao educando momentos de reflexão sobre o trabalho desenvolvido,
análise das conclusões obtidas e dos resultados encontrados e intervir o menos
possível para promover a autonomia dos educandos.
6. AVALIAÇÃO
Na Investigação Matemática é necessário que se avalie o processo
ensino/aprendizagem. E esta avaliação permitirá ao professor saber se os
educandos estão progredindo, perceber se existem aspectos a serem melhorados e
informar ao educando o seu desempenho.
Para avaliar o educando o professor conta com vários instrumentos de
avaliação de natureza oral e escrita, tais como:
Ø Relatórios escritos: é uma produção escrita realizada por um educando
ou um grupo de educando. Nestes relatórios temos dois pontos relevantes a
12
considerar. As indicações que o professor deve dar aos educandos e a forma como
se podem avaliar esses relatórios.
Ø A observação: é uma observação informal dos educandos durante a
realização da tarefa e na fase de apresentação das suas conclusões. A partir dessa
observação o professor poderá obter muitas informações sobre as atitudes dos
educandos. O modo como eles mobilizam os conhecimentos matemáticos formais e
informais, seu entendimento do que é investigação, seu papel na respectiva
realização, sua capacidade em levá-la a bom termo.
O educando deve saber que todo trabalho de investigação matemática a ser
realizado vai ser avaliado, pois isso possibilitará a ele conhecer seus pontos fortes
ou fracos permitindo assim que melhore o seu desempenho quando necessário. E a
avaliação permite ao professor perceber aspectos que precisam ser melhorados e
quando necessário intervir e mudar os tipos de avaliação.
A avaliação das atividades propostas no caderno pedagógico será feita da
seguinte maneira:
Primeiro momento: será aplicada, aos educandos, uma lista de atividades
sobre o pensamento proporcional, para que o educando resolva-a com a matemática
que ele conhece, sempre justificando suas respostas.
Segundo momento: serão trabalhadas todas as atividades propostas nesta
unidade envolvendo a investigação matemática e a formalização dos conteúdos
propostos: Razão e Proporção.
No terceiro momento: será retomada e aplicada novamente a lista de
atividades sobre o pensamento proporcional, para que se faça uma comparação
entre os resultados da primeira resolução com a segunda. O objetivo dessa segunda
aplicação é analisar se o educando, depois de ter trabalhado os conteúdos
matemáticos e os formalizados, consegue aplicar na resolução das atividades a
matemática sistematizada pela escola.
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7. Questões
1ª ATIVIDADE: Significados da palavra razão e proporção
OBJETIVOS:
Ø Expressar-se de forma oral e escrita e valorizar a necessidade da
linguagem.
Ø Identificar as várias vertentes da palavra razão e proporção.
Ø Relacionar a palavra razão em situações matemáticas.
MATERIAL: Livros, computador, dicionário.
DESENVOLVIMENTO:
Será solicitado para os educandos que pesquisem sobre os significados da
palavra razão e proporção nas diversas áreas do conhecimento.
Os educandos farão entrevistas com o professor de filosofia sobre o
significado da palavra razão.
Os educandos apresentarão suas descobertas por meio de relatório escrito e
faremos uma discussão com toda a classe para chegarmos a uma conclusão sobre
o significado da palavra razão em matemática.
2ª ATIVIDADE: Viagem a negócio1
OBJETIVOS DAS ATIVIDADES 2, 3, 4 e 5:
Ø Reconhecer e usar raciocínio proporcional em diversas situações
problema.
Ø Compreender o significado da proporcionalidade e utilizar as suas
diferentes representações.
Ø Promover a construção de conhecimentos de forma participativa,
possibilitando e estimulando a comunicação entre os alunos.
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A empresa de José planeja enviar 18 representantes de vendas a uma
conferência na próxima semana, e ele tem que reservar alguns carros de aluguel
para essa viagem. Sabendo-se que 9 pessoas viajam confortavelmente em 2
carros, quantos carros de aluguel devem ser reservados?
3ª ATIVIDADE: Vendas de Flores2
Uma floricultura vende ramalhetes de flores feitos com rosas amarelas e
rosas brancas, colocando, em todos os ramalhetes, três rosas brancas para cada
seis rosas amarelas. Se a floricultura fizesse um ramalhete com seis rosas brancas,
quantas rosas amarelas teriam que colocar no ramalhete para manter a relação de
três rosas brancas para cada seis rosas amarelas? Mostre como você obtém a
resposta, utilizando palavras, esquemas e cálculos.
4ª ATIVIDADE: Qual chá é mais doce?
Observe a imagem ao lado. Qual chá é o
mais doce, da jarra A ou da jarra B?
Justifica a sua resposta.
5ª ATIVIDADE:
Indique em cada frase se é verdadeira ou falsa e explique o raciocínio que
utilizou para responder cada frase:
a) Se uma caixa de cereal custa R$ 4,80, duas caixas de cereal igual a
primeira custam R$ 9,60.
__________________________________________________________ 1,2Atividade inspirada na Dissertação (Mestrado em Educação – Especialidade de Didáctica da Matemática).
Faculdade de Ciência. Universidade de Lisboa. Disponível em:
<http://ia.fc.ul.pt/textos/Sara%20Costa%20(Tese%20mestrado%2007).pdf>. Acesso em: 10 fev. 2010.
A B
1l de chá 10 g de açucar
3l de chá 30 g de açucar
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b) Se uma costureira faz um modelo de vestido em 4 horas, pode fazer 3
modelos iguais em 12 horas.
c) Se Paulo pinta uma parede em 2 dias, Paulo, Pedro e um terceiro colega
pintam juntos em 6 dias.
d) O supermercado Leal fez o anúncio da seguinte promoção:
Caixa com 12 ovos R$1,99 Caixa com 36 ovos R$ 5,95
Comparando as duas caixas você concorda que houve promoção?
DESENVOLVIMENTO:
Primeiro momento: individualmente os alunos irão registrar suas respostas,
utilizando palavras, esquemas e cálculos.
Segundo momento: discussão e comentários devem ser promovidos pelo
professor com todos os educandos. O professor, depois de formalizar o conteúdo,
lança a seguinte questão: O conteúdo matemático formalizado é mais difícil ou mais
fácil para resolver as questões?
6ª ATIVIDADE: Compras no Sacolão3
OBJETIVOS:
Ø Realizar operações com números racionais.
Ø Desenvolver a capacidade de investigação na busca de resultado.
Ø Aplicar os conceitos que envolvem duas grandezas variáveis
_________________________________________________
3 Atividade retirada do livro Matemática Fazendo a Diferença, Bonjorno & Ayrton; Autor(es): José Roberto Bonjorno. Regina Azenha Bonjorno,Ayrton Olivares. Ed FTD-2006- 70ano-6asérie.
16
Em um sacolão, há o seguinte cartaz:
a) Verifique se o preço a pagar é diretamente proporcional ao peso ( kg).
Justifique sua resposta.
b) O comerciante, ao fixar esses preços, está dando desconto para quem
compra mais? Justifique sua resposta?
7ª ATIVIDADE: O BRASILEIRO E A COMIDA
OBJETIVOS:
Ø Identificar conhecimentos matemáticos por meio de notícias para
resolver problemas.
Ø Estabelecer relação entre temas da atualidade com temas matemáticos
de aspectos quantitativos e qualitativos, utilizando para isso o
conhecimento matemático tais como: aritmético, estatístico, algébrico e
estabelecer relações entre eles.
Ø Interagir com seus colegas, de forma cooperativa, para buscar
soluções dos problemas propostos respeitando o modo de pensar de
cada integrante do grupo.
Ø Reconhecer o significado do símbolo %.
Ø Reconhecer e interpretar gráficos com leitura de porcentagem.
Ø Resolver situação-problema envolvendo razão centesimal e
porcentagem.
PESQUISA: O BRASILEIRO E A COMIDA
Para cada questão abaixo, marque com um x somente uma das alternativas.
TOMATE
1kg ___________R$ 1,95 3kg ___________R$ 4,85 5kg____________R$ 9,00
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1) Com que frequência você lê rótulos de alimentos:
( ) sempre
( ) às vezes
( ) raramente
( ) nunca
2) Que informações mais procura nos rótulos:
( ) Calorias
( ) Gorduras
( ) Colesterol
( ) Açúcar
3) Com relação ao seu peso, você tem percepção sobre o próprio peso:
( ) acima do peso normal
( ) peso ideal
( ) abaixo do peso normal
4) Quem está acima do peso normal pretende fazer:
( ) dieta
( ) atividade física
( ) usar remédio para emagrecer
( ) procurar médico
( ) nada
5) Você conhece bem os seguintes termos:
( ) selo de qualidade
( ) orgânicos
( ) enriquecidos
( ) funcionais
( ) sustentável
( ) transgênico
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Veja a pesquisa sobre os hábitos de consumo dos brasileiros.
Fonte: FOLHA DE SÃO PAULO, maio - 2010 * C5 FOLHA SAÚDE.
De acordo com a pesquisa feita em sala de aula e a pesquisa feita pela folha
de São Paulo, responda os seguintes questões:
a) Complete a tabela de acordo com a pesquisa feita em sala de aula e a
notícia daFolha de São Paulo:
1) Com que frequência
você lê rótulos de
alimentos
sempre
às vezes raramente nunca
Porcentual Folha
Porcentual sala de aula
2) Que informações
mais procura nos
rótulos
calorias
Gorduras Colesterol Açúcar
Porcentual Folha
Porcentual sala de aula
3) Com relação ao seu
peso, você tem
percepção sobre o
próprio peso:
acima do peso
peso ideal abaixo do
peso
Porcentual Folha
Porcentual sala de aula
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4) Quem está acima do
peso pretende fazer:
dieta
atividade
física
usar remédio
para
emagrecer
procurar
médico
nada
Porcentual Folha
Porcentual sala de aula
5) Quantos de vocês
conhecem bem os
seguintes termos:
selo de
qualidade
orgânicos enriquecidos funcionais Sustentável transgênico
Porcentual Folha
Porcentual sala de aula
b) Comparando o porcentual de cada questão respondida na sala de aula com a
pesquisa Folha de São Paulo, o que podemos observar?
c) Analisando os dados da pesquisa com os da sala de aula, existe uma relação de
proporcionalidade? Justifique.
8ª ATIVIDADE: PORCENTAGEM - Frases que aparecem sempre nos meios de comunicação. Em todo meio de comunicação sempre nos deparamos com informações como
estas:
“5% das vagas são reservadas para portadores de necessidades especias”.
( Fonte: Folha de Londrina,19 de outubro/2009- caderno2) “Expectativa do comércio é crescer 10%. Londrina já registra elevação de
7%”.
( Fonte: Folha de Londrina,24 de abril/2010) “De acordo com o ministério da saúde, já foram vacinados 63 milhões de
pessoas que integram os grupos prioritários definidos pela pasta, o que
representa mais de 70% do total”.
( Fonte: Folha de Londrina, 25 de maio/2010 – folha Geral) Mas você sabe o que significa porcentagem?
Pesquise o significado da palavra porcentagem e sua origem.
DESENVOLVIMENTO:
20
Depois da pesquisa realizada com todos os educandos em sala de aula, será
feito um questionamento sobre as respostas dadas, para que eles discutam e
relatem o que conhecem a respeito dos assuntos mencionados na atividade. Em
seguida, será apresentada para eles a pesquisa feita pela Folha de São Paulo, para
que analisem e confrontem com a pesquisa realizada por eles.
Na atividade de porcentagem serão apresentadas frases que aparecem
regularmente em jornais, revistas e noticiário para que o educando estabeleça uma
relação entre a linguagem escrita e a linguagem matemática para integrar a
matemática do cotidiano com a matemática da escola.
9ª ATIVIDADE: Densidade Demográfica das cidades mais populosas do Estado
do Paraná.
OBJETIVOS:
Ø Aplicar o conceito de proporcionalidade e de razão para resolver
problemas.
Ø Ler e representar uma razão.
Ø Interpretar dados de uma tabela.
MATERIAiS: Dicionário e Calculadora.
O Estado do Paraná localiza-se na região sul do Brasil, possui 399
municípios, uma população estimada de 10 686 247 habitantes, com uma área de
199 314,850 km², segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE/2009).
A tabela abaixo mostra alguns municípios do estado do Paraná, sua
população e sua área.
Tabela 1: População e área dos municípios mais populosos do estado do Paraná em 2009.
Municípios População(habitantes) Área (km²) Densidade Demográfica
Curitiba 1 851 215 434,967 ............................. Londrina 510 707 1 650,809 ............................. Maringá 335 511 487,900 .............................
Foz do Iguaçú 325 137 617,701 ............................. Ponta Grossa 314 681 2 063,697 .............................
Fonte: IBGE, população dos municípios 2009.
21
a) De acordo com a tabela, a população de cada cidade mantém uma
propocionalidade em relação a sua área? Explique.
b) A população da cidade de Londrina é quantas vezes maior que a
população da cidade de Curitiba?
c) Em relação a área, a cidade de Londrina é quantas vezes maior que a
cidade de Curitiba?
d) O que significa densidade demográfica? E como calculamos?
e) Calcule a densidade demográfica de cada cidade e complete a tabela.
f) Comparando os valores da densidade demográfica, em que cidade você
gostaria de morar? Por quê?
g) Qual é a densidade demográfica do estado do Paraná?
DESENVOLVIMENTO:
A atividade será realizada em duplas, para que o educando possa discutir e
interagir com o colega analisando os procedimentos e as respostas obtidas.
Depois que todas as duplas chegarem a uma conclusão, faremos a
comparação dos resultados e alguns questionamentos sobre proporcionalidade.
10ª ATIVIDADE 1.1: PIB per capita do estado do Paraná
OBJETIVOS:
Ø Interpretar e resolver problemas em diversos contextos aplicando os
conhecimentos matemáticos.
Ø Aplicar o conceito de razão.
Você Já deve ter lido ou ouvido notícias como estas:
“Todos os PIBs de todos pos países somam US$ 60 trilhões por ano”.
( Fonte: Folha de São Paulo,01 de março/2010- A3)
Revisão no PIB favorece obtenção de "grau de investimento", diz Mantega
22
“Com mudança, relação dívida/PIB ficou menor e carga tributária também. Ao
mesmo tempo, porém, nível de investimentos não chegará a 25% do PIB em
2010”.
(Disponível em<: http://g1.globo.com/Noticias/Economia_Negocios/0,,MUL12896-9356,00.htm>
acesso em 26 maio/2010)
“O crescimento do PIB per capita atingiu 2,3% (R$ 12.436 por habitante). O setor
que apresentou o melhor resultado em 2006 foi a agropecuária”.
. (Disponível em<: http://g1.globo.com/Noticias/Economia_Negocios/0,,MUL15124-9356,00.html>
acesso em 26 maio/2010).
MATERIAIS : Computador, calculadora.
De acordo com PIB (Produto Interno Bruto), o Paraná é o quinto estado mais
rico do Brasil, com um PIB de R$161 582 000,00 e uma população de 10 686 247
habitantes. O PIB paranaense provém de três setores: 45% do terciário, 40% vem
da indústria e 15% vem da agricultura.
Faça uma pesquisa no site:
http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/perguntas_respostas/pib/produto-interno-
bruto-pib.shtml#8 para responder as seguintes questões:
1) Qual é o significado da sigla PIB?
2) Como é feita esta medição?
3) No Brasil, qual é o órgão responsável para fazer esta medição?
4) Por que o IBGE é o responsável por esta medição?
5) Em que ano começou a medição do PIB no Brasil?
6) O método utilizado para a medição do PIB sempre foi o mesmo?
7) Como é calculado o PIB per capita?
8) Calcule o PIB per capita do estado do Paraná.
10ª ATIVIDADE 1.2: PIB per capita dos municípios que fazem limite com o
município de Londrina - Paraná.
23
O município de Londrina localiza- se no norte e interior do estado do Paraná,
e faz limite com as cidades de Marilândia do Sul, Apucarana, Arapongas, Assaí,
Cambé, Ibiporã, São Jerônimo da Serra, Sertanópolis e Tamarana.
O índice econômico de Londrina, segundo o IBGE, está em quarto lugar na
comparação as demais cidades paranaense e é a terceira cidade mais populosa da
região Sul do Brasil.
A tabela abaixo mostra alguns municípios que fazem limite com Londrina, sua
população e seu Produto Interno Bruto.
Tabela 2- População e PIB dos municípios que fazem limite com Londrina.
Cidade População(habitantes) PIB PIB per capita Londrina 510 707 R$ 7 992 507,00 .............................
Apucarana 121 290 R$ 1 251 419,00 ............................. Arapongas 103 025 R$ 1 261 078,00 .............................
Cambé 97 329 R$ 1 016 815,00 ............................. Ibiporã 47 514 R$ 367 375,00 .............................
Sertanópolis 16 103 R$ 220 039,00 .............................
Fonte: IBGE, Produto Interno Bruto dos Municípios 2007.
1) De acordo com a tabela, a população de todas as cidades mantêm uma
propocionalidade em relação PIB? Explique.
2) Em relação a população, quantas vezes Londrina é maior que
Sertanópolis?
3) Comparando o PIB per capita de Arapongas e Apucarana, qual é o maior?
Justifique sua resposta.
4) Calcule o PIB per capita de cada cidade e complete a tabela.
DESENVOLVIMENTO:
Primeiro momento: será apresentado aos educandos notícias com frases
onde aparecem o termo PIB.
Segundo momento: será realizada uma pesquisa no site indicado, para que
os educandos descubram o que significa PIB e PIB per capita, depois será feita uma
discussão sobre as respostas encontradas.
Terceiro momento: os educandos resolverão problemas sobre PIB per
capita que envolvem o conceito de razão.
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11ª ATIVIDADE: Localizando-se dentro de Londrina e calculando distâncias
usando escala.
OBJETIVOS:
Ø Estimular e incentivar o trabalho em grupo;
Ø Analisar e representar a razão entre medidas da mesma unidade e de
unidades diferentes.
Ø Relacionar razão entre grandezas.
MATERIAL: Lista telefônica EDITEL AQUI, mapa, régua, calculadora.
Na lista telefônica AQUI encontramos informações e o Localize que é o mapa
da cidade de Londrina onde localizamos ruas, bairros divididos por setores e a
escala.
A atividade consiste primeiramente em que o educando aprenda a manusear
a lista AQUI localizando seu bairro, rua onde mora, local de trabalho, local de sua
escola e como encontrar informações úteis para seu dia a dia.
Em um segundo momento o educando vai verificar qual é a escala dada no
mapa e qual é a sua finalidade .
No terceiro momento o educando vai aplicar o conceito de razão e de
proporção para encontrar a escala da distância entre duas regiões distintas de
Londrina, pode ser do bairro onde mora até ao trabalho, ou do trabalho até a escola,
do seu bairro até a escola.
12ª Atividade 1.1: DIVINA PROPORÇÃO: Razão áurea e o número Fi
Materiais: DVD, televisão, régua, fita métrica, calculadora, lápis.
Assistir parte do filme do Código da Vinci onde fala do homem Vitruviano.
Quem fez a obra divina Proporção?
O que retrata essa obra?
Qual é a importância dessa obra para a época e até os dias de hoje?
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Leonardo da Vinci nasceu na Itália em 1452, nas proximidades de Florença
em um vilarejo de Vinci. Foi um grande artista, inventor, arquiteto e também
projetou equipamentos de engenharia militar, canhões, metralhadoras, carros de
combate, pontes móveis e barcos, bem como estudos sobre a melhor maneira de
abordagem de um barco grande por um pequeno, o esquema de um submarino e
bombardas, realizou estudos hidráulicos, destinado à limpeza e dragagem de
canais, máquinas de fiar, tornos e além de tudo isso era grande organizador de
festa, projetando inclusive seus cenários e figurinos.
A partir do voo dos pássaros, Leonardo determinou os princípios da
construção de um aparelho mais pesado do que o ar, capaz de voar com a ajuda da
força do vento. Entre seus desenhos incluem-se esboços de um aparelho bastante
parecido com o helicóptero moderno e o esquema de um paraquedas.
Dedicou-se também ao estudo da anatomia, física, botânica, geologia e
matemática. Autor de obras-primas reconhecidas mundialmente dentre elas a
"Última ceia" (1495-1497), e a “Monalisa” ( 1503-1507).
Leonardo da Vinci foi quem primeiro mencionou e demonstrou que as
medidas do corpo humano, apresentam entre si razões matemáticas cujo resultado
mais se aproxima do número de ouro. Na sua obra, o Homem Vitruviano, ela relatou
detalhadamente essas medidas.
O Homem Vitruviano foi a obra que Da Vinci criou para melhor explicar os
conhecimentos do livro De architetura, do arquiteto Marcus Vitrúvius Pollio
(70-25 a C), que foi quem primeiro mencionou as razões áureas no corpo humano.
Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de Architetura,
um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, ele descreve as proporções do
corpo humano:
· Um palmo é a largura de quatro dedos;
· Um pé é a largura de quatro palmos;
· Um antebraço ou cúbito é a largura de seis palmos;
· A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos);
· Um passo é quatro antebraços;
· A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele;
· A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da
altura de um homem;
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· A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da
altura de um homem;
· A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo
da altura de um homem;
· A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura
de um homem;
· A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem;
· A distância do cotovelo para o fim da mão é um quarto da altura de um
homem;
· A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um
homem;
· O comprimento da mão é um décimo da altura de um homem;
· A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da
face;
· A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço
da longitude da face;
· A altura da orelha é um terço da longitude da face.
Vitrúvio tentou encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de
um quadrado e um círculo, mas suas tentativas ficaram imperfeitas. Foi Leonardo
da Vinci que conseguiu demonstrar esse encaixe com perfeição dentro dos padrões
matemáticos esperados.
O Homem Vitruviano representa perfeitamente essas relaçõs matemática.
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12a Atividade 1.2:
Observe a obra de Leonardo da Vinci “O Homem Vitruviano” e responda as
questões abaixo:
Disponível em < http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg >
Acesso 19 de abr.2010.
a) O que vemos na figura retratada por Leonardo da Vinci?
b) Em quantas posições o corpo humano foi desenhado na figura?
c) Que figuras geométricas aparecem no desenho? Como o corpo
humano se posiciona em cada uma dessas figuras geométricas?
12a Atividade 1.3: Proporções humanas
Nos diversos grupos de educandos, descubrir se as medidas do corpo do
alguns de colegas, estão relacionadas com a Divina Propoção.
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Tabela – Número de Ouro
cm Divisão entre as medidas
cm
Sua altura total (sem os sapatos)
Medida da altura do umbigo até ao chão.
O tamanho do dedo médio
Medida da ponta desse dedo até a dobra central ( falange).
A medida do ombro à ponta do dedo médio
Medida do cotovelo até a ponta desse dedo.
A medida do seu quadril ao chão
Medida do seu joelho até o chão.
A medida do cotovelo até a ponta do dedo médio
Medida do seu pé.
Largura da boca
Largura do nariz.
Altura de seu rosto, desde a ponta do queixo até a raiz dos cabelos.
E a altura que vai do arco supracilar (sobre as sobrancelhas) até a ponta do queixo.
DESENVOLVIMENTO:
Primeiro momento: A turma será organizada em grupos de três educando.
Cada grupo vai eleger um representante que servirá de modelo para que os outros
tirem suas medidas conforme a tabela. Essas medidas (valores) serão registradas
na tabela.
Segundo momento: Cada grupo apresentará o resultado das medições e
irão relatar suas conclusões sobre as afirmações de Vitrúvio onde ele descreve as
proporções do corpo humano.
Terceiro momento: Encontrar o quociente entre as medidas da tabela e
verificar se há alguma regularidade. Qual valor foi encontrado?
Discutir com a turma sobre os resultados encontrados pelos diferentes
grupos.
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Por que número de ouro, ou número áureo?
O número 1,6180 ou 0,6180 encontrado na divina proporção é chamado de
número de ouro ou número áureo. Esse número aparece nas pinturas
renascentistas, como nas do mestre Giotto, nas de Leonardo da Vinci e também
está envolvido com a natureza no crescimento de plantas, conchas Nautilus e até de
seres humanos. Por exemplo no tamanho das falanges, (ossos dos dedos).
Justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status
de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores.
O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o
torna fascinante.
E a proporção entre suas medidas aproxima-se do número de ouro?
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REFERÊNCIAS:
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, A. Matemática Fazendo a Diferença.
São Paulo: FTD, 2006- 70ano-6asérie.
COSTA, S. C. H. C. da. O raciocínio proporcional dos alunos do 2º ciclo do ensino básico. 2007. Dissertação (Mestrado em Educação – Especialidade de Didáctica da Matemática). Faculdade de Ciência. Universidade de Lisboa. Disponível em: <http://ia.fc.ul.pt/textos/Sara%20Costa%20(Tese%20mestrado%2007).pdf>. Acesso em: 10 fev. 2010.
FRAGA, M.L. A Matemática na Escola primária: uma observação do cotidiano. São Paulo: EPU, 1988.
MARQUES, M.J.F. Caderno de Atividades- Aprendizagem da Álgebra: Desenvolvimento do Raciocínio Algébrico Utilizando o Erro como Estratégia de Ensino. Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR / 2008. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/627-2.pdf?PHPSESSID=2009061008374783> Acesso em: Mai. 2010. PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
SANTOS, Boaventura de Sousa. Para uma sociologia das ausências e uma sociologia das emergências. In: SANTOS, Boaventura de Sousa (org.). Conhecimento prudente para uma vida decente: um discurso sobre as ciências. Revisitado. São Paulo: Cortez, 2004.
SPINILLO, A. G. Proporções nas séries iniciais do primeiro grau. In: SCHILLIEMAN, A. D. et al. (org.). Estudos em psicologia da educação matemática. Recife: Ed. Universitária da UFPE, 1993.
Dados da tabela 1 disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Curitiba
http://pt.wikipedia.org/wiki/Londrina
http://pt.wikipedia.org/wiki/Maring%C3%A1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Foz_do_Igua%C3%A7u
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paran%C3%A1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponta_Grossa> Acesso em: 19 abr. 2010.
Dados da tabela 2 disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Cambé%C3%A9
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ibiporã
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Sertanópolis
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arapongas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Apucarana> Acesso em: 2 maio 2010.
Figura dos ovos disponível em:
<http://www.aviculturaindustrial.com.br/files/2008_cestadeovo.jpg
www.observatorioagricola.pt/.../ovo5.jpg> Acesso em: 2 maio 2010.
Disponível em: < http://www.alb.com.br/anais15/Sem04/claudianeves.htm> Acesso em: 25
maio 2010.
Disponível em: <http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/perguntas_respostas/pib/produto-
interno-bruto-pib.shtml#8 > Acesso em: 2 maio 2010.
Disponível em: <http://matematicamania.wordpress.com/category/razao-e-proporcao/ > Acesso em: 4 maio 2010.
Disponível em < http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg >
acesso 19 abr. 2010.
BIBLIOGRAFIA
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LIVIO, M.; RAZÃO ÁUREA A história de FI, um número surpreendente. Rio de Janeiro. São Paulo. Ed. Record. 2008.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Paraná: SEED/DEPG, 2008.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares Estaduais da Educação de Jovens e Adultos. Curitiba: 2006, p.29.
