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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLAPRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
UNIDADE DIDÁTICA
Estudo de Funções com a Calculadora Científica
Autor: João Carlos [email protected]
Curitiba – PrAno 2010
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLAPRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
UNIDADE DIDÁTICA
TÍTULO: Estudo de Funções com a Calculadora CientíficaAUTOR: João Carlos AraujoNRE: CuritibaIES: UFPR (Universidade Federal do Paraná)MUNICÍPIO DE REALIZAÇÃO: CuritibaNRE DE ATUAÇÃO: CuritibaPROFESSOR ORIENTADOR: Carlos Henrique dos Santos(PhD)ESCOLA: Colégio Estadual Prof. João LoyolaDISCIPLINA: Matemática (Ensino Médio)DISCIPLINA DE RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR: Arte e FísicaCONTEÚDO ESTRUTURANTE: FunçõesCONTEÚDOS ESPECÍFICOS: Função LogarítmicaCONTEÚDO BÁSICO: LogaritmosTIPO DE ATIVIDADE: Atividades Experimentais ou prática escolar com tecnologia(calculadora)PERÍODO DOS EXPERIMENTOS: 2º. Semestre de 2010
Amparo legal
• O artigo 13, II e IV da LDB cita o Plano de Trabalho que deve ser feito pelo professor, isso justifica o termo Plano de Trabalho Docente.• Em Edital de concurso para o magistério aparece como descrição das atividades genéricas dos professores de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental e séries do Ensino Médio da Rede Estadual do Paraná.
"Definidos por conteúdos estruturantes, ou seja, saberes – conhecimentos de grande amplitude, conceitos ou práticas – que identificam e organizam os diferentes campos de estudo das disciplinas escolares, sendo fundamentais para a compreensão do objeto de estudo das áreas do conhecimento" (ARCO-VERDE, 2005)
Justificativa / Fundamentação
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica-Matemática em sua
página 14 vaticina:
Assumir um currículo disciplinar significa dar ênfase à escola como lugar de socialização do conhecimento, pois essa função da instituição escolar é especialmente importante para os estudantes das classes menos favorecidas, que têm nela uma oportunidade, algumas vezes a única, de acesso ao mundo letrado, do conhecimento científico, da reflexão filosófica e do contato com a arte. [1]
A coletivização da aritmética ou a invenção dos logaritmos é algo que,
definitivamente, não poderíamos subtrair do currículo básico da escola
fundamental. Se tal fato viesse a ocorrer, de modo obscurantista, teríamos
enormes dificuldades em explicar um magnífico ponto de inflexão histórica, a
fundação das democracias protestantes.
De outro modo mais ameno, de que forma passamos dos cálculos rudimentares da matemática Alexandrina (Arquimediana) ou dos professores ”árabes” da civilização ocidental para a criação de algoritmos mais compactos e menos laboriosos!? As tarefas provocadas pela expansão comercial e pelos melhoramentos técnicos da arte de navegar – ocorrências do século XV – fizeram exigências enormes à matemática. [2]
Seria muita falta de elegância omitir o contexto histórico e ainda:
Os conteúdos disciplinares devem ser tratados, na escola, de modo contextualizado, estabelecendo-se, entre eles, relações interdisciplinares e colocando sob suspeita tanto a rigidez com que tradicionalmente se apresentam quanto ao estatuto de verdade atemporal dado a eles.[1]
Os engenheiros e os aritméticos eram particularmente procurados nos novos estados comerciais, especialmente na França, na Inglaterra e na Holanda. A Astronomia florescia em toda a Europa. Embora depois da descoberta do caminho marítimo para a Índia, as cidades italianas já não estivessem na principal rota de ligação com o Oriente, ainda permaneceram centros importantes... Vários matemáticos do século XVI tinham se confrontado com a possibilidade de coordenar progressões aritméticas e geométricas, principalmente no que diz respeito a facilitar o trabalho com as complicadas tabelas trigonométricas, muito usada para os cálculos de navegação. Uma importante contribuição para esse objetivo foi empreendida por um proprietário de terras escocês, John Napier ( ou Neper), que em 1614 publicou Mirifici logarithmorum canonis descriptio. A sua idéia principal foi construir duas sucessões de números de tal modo relacionadas que quando uma crescesse em progressão aritmética, a outra decrescesse em progressão geométrica. Como o produto de dois números na segunda sucessão tem uma relação simples com a soma dos números correspondentes na primeira, a multiplicação podia ser reduzida a uma simples adição. Com esse sistema, Napier poderia facilitar consideravelmente o cálculo com senos.[3]
Admitida a premissa histórica dos logaritmos, passamos agora a indagar
se, hoje, os logaritmos são importantes ou onde eles habitam submersos.
Seria possível omitir dos físicos, matemáticos e engenheiros a noção de
logaritmos?
Acessando o “Wikipédia” e buscando os termos “Escala Logarítmica”
teremos uma gama bastante ampla de sua utilidade. Veja alguns exemplos:
• Escala de Richter e escala de magnitude de momento (MMS) para a
intensidade de terremotos e movimento na Terra.
• Bel, decibel e Neper para potência acústica (loudness) e potência
elétrica.
• Cent , semiton , tom, e oitava para o intervalo relativo de notas na
música.
• Logit para chance em Estatística.
• Escala de Palermo.
• Contagem do número f para os valores de exposição fotográfica.
• Entropia em termodinâmica.
• Informação em Teoria da informação.
Algumas escalas logarítmicas foram concebidas de maneira que grandes
valores (ou razões) de uma grandeza correspondam a pequenos valores de
medida logarítmica. Exemplos de tais escalas são:
• pH para acidez.
• Escala de magnitude estelar para a luminosidade de estrelas.
• Escala de Krumbein para o tamanho dos grãos em Geologia.
• Escala de Kardashev para o avanço tecnológico na Física.
• Absorbância da luz.
Neste ponto, acredito que não seria uma má idéia alvitrar os amados e
distintos alunos para uma rápida e simples pesquisa no “Wikipédia” a fim de
esclarecer a que se refere cada grandeza acima referida. Ou, pelo menos,
algumas delas.
Sabemos nós (alguns é claro!) e com certeza a geração que nos
antecedeu que os cálculos que exigiam logaritmos, em particular, a matemática
financeira eram temidos por nos exigir árduas pesquisas e manipulações nas
“famigeradas” tábuas de logaritmos. Em algumas ocasiões era absolutamente
imprudente utilizar os termos característica e mantissa, sob pena de ser
facilmente hostilizado.
As réguas de cálculo dos engenheiros nos ajudavam a calcular com
mais rapidez, entretanto, não davam a precisão que as tabelas forneciam e é
obvio que se eu trabalhasse num banco, os acionistas deste mesmo banco,
não me recomendariam o uso de tais réguas no momento de calcular as
prestações decorrentes da cessão de um empréstimo a um cliente qualquer.
As calculadoras científicas entram como um bólido na atmosfera de
cálculos com logaritmos. Elas carbonizaram as úteis e indesejáveis tabelas
logarítmicas. As calculadoras, de modo fulminante, tornam tais tabelas
completamente obsoletas. De que modo eu posso constatar isso? É simples. É
suficiente que se vá a uma biblioteca ou “sebo” e pesquise um livro qualquer de
matemática financeira com aproximadamente 30 anos e outros mais recentes,
atuais. Observaremos que, fundamentalmente, a diferença estará na ausência
das tábuas de logaritmos.
Desnecessário concluir que a ausência das tábuas de logaritmos no
apêndice dos livros bem como os cálculos de característica e mantissa foram,
vantajosamente, substituídas por operações com calculadoras científicas.
Ainda, três motivos nos levam a escolher o tema “logaritmo” ou funções
logarítmicas:
(i) O tempo de execução da aplicação na escola (2º semestre) não nos
permite escolher a função afim (funções de 1º grau) pelo fato de que,
ou isso é um conteúdo programado para o 1º semestre do ensino
médio ou de modo mais moderno isso é oferecido na última etapa do
ensino fundamental.
(ii) Por motivos óbvios, já explicitados na justificativa deste trabalho, nos
parece insofismável as vantagens do uso da calculadora científica
para este tema.
(iii) Este tema nos coloca em convergência com a programação normal
das atividades escolares.
Objetivos
- ensinar funções (logarítmicas, em particular) com uso de calculadora
científica.
- reconhecer a calculadora como um bem cultural;
- oferecer alternativa ao uso de computadores nas aulas de matemática;
- suscitar os alunos a uma participação efetiva na construção de seu
conhecimento;
- orientar os alunos a serem sujeitos de sua própria aprendizagem.
Encaminhamentos metodológicos e recursos didáticos
Parece-nos imperativo que solicitemos aos alunos que compareçam às
aulas munidos de uma calculadora científica. Neste momento alguns alunos
indagarão (inocentemente) o que é uma calculadora científica. Podemos
dissipar esta dúvida de várias maneiras. Ofereço algumas sugestões:
(i) Levar uma calculadora e deixá-los manuseá-las por algum tempo.
(ii) Informar-lhes que uma calculadora científica distingue-se das
outras “normais” por apresentarem as teclas de seno, co-seno e
tangente, além de teclas de funções estatísticas.
(iii) Oferecer, mostrar o seguinte desenho de um padrão de
calculadoras científicas:
Ilustração do autor
Aspecto Aritmético dos logaritmos
Durante séculos a sociedade, para realizar cálculos, utilizou uma
ferramenta tecnológica a qual chamamos de tábua de logaritmos. Durante
aproximadamente 350 anos ela foi necessária e indispensável, do inicio do
século XVII até meados dos anos 70 do século passado. Esta ferramenta só se
tornou obsoleta devido à popularização das calculadoras científicas eletrônicas.
Os engenheiros utilizavam muito, como instrumento de trabalho, a “Régua de
Cálculo”, entretanto, estas eram confeccionadas baseando-se nas tábuas de
logaritmos.
O aspecto aritmético é a razão primeira da existência dos
logaritmos. Os logaritmos nos permitirão transformar multiplicação em adição e
quocientes em subtrações. A vantagem óbvia reside no fato de que adição e
subtração são operações mais fáceis à maioria dos seres humanos. De outro
modo poderíamos afirmar que nos poupará trabalho e tempo.
Vamos a um pequeno esboço de uma tábua de logaritmos:
1 2 3 4 5 6 712 22 32 42 52 62 72
2 4 8 16 32 64 128
Imitando Napier (inventor dos logaritmos), chamemos os números
da série superior, isto é, da série aritmética, de logaritmos. Os números da
série inferior, isto é, da série geométrica, de antilogaritmos.
Observe que se queremos multiplicar dois números quaisquer da
série inferior, somamos os números correspondentes da série superior e em
seguida procuramos o número correspondente a esta soma na série inferior.
Numericamente...
324 ×1282222 75252 ===× +
yxyx aaa +=×
Espero que tenha observado que, de fato, como havíamos
mencionado, o produto foi feito através de uma adição. Tenho esperanças,
também, que a simplicidade do exemplo não tenha causado escárnio sobre o
tema e a tabela de logaritmos apresentada. Se tal fato ocorreu, imploro que
entre em comunhão com os seres humanos do século XVII que eram
desprovidos de calculadoras e computadores e precisavam, por exemplo, fazer
cálculos de astronomia (distâncias [números] enormes) a fim de estabelecer
rotas marítimas.
O sinal log posto à frente de um número, significa: - “Procure-se
na tábua a potência a que se tem de elevar a para obter este número“.
pmap am log=⇔=
Exercitemo-nos com esta “nova” linguagem:
64log664
log52
8log28
62
52
x
x
xxx
x
=⇔=
=⇔=
=⇔=
Dado:
pm alog= , convencionamos que:
===
aritmandopbasea
aritmom
log
log
Você deve ter observado que nossa base, até aqui, foi sempre 2. Essa
base não precisa sempre ser essa! Poderemos, de acordo com nossa
necessidade e conveniência, trabalharmos com outra base. Pelo simples fato
de que a civilização ocidental adotou um sistema numérico de base 10(sistema
decimal) ser-nos-á muito conveniente que uma tábua de logaritmos seja
confeccionada com base 10. Por isso, Briggs, em colaboração com Napier,
calculou o logaritmo de todos os números (inteiros) de 1 a 1000 na base 10
com uma precisão de 14 casas decimais.
A calculadora científica utiliza duas bases:
Ao pressionar a tecla “log” você estará
utilizando a base 10. Isto é, o mesmo
modo que as antigas tábuas de
logaritmos encontrados nos livros.Ao pressionar a tecla “LN” você estará
utilizando a base “e”. Onde
...718281828,2≅e
É natural que indaguemos “d’onde” surgiu esse tal “e”!? A completa
explicação só será possível com um estudo mais aprofundado de “Séries
Numéricas”. Entretanto, nos é suficiente saber que seu emprego deve-se ao
fato de exigências extremas de precisão. Assim ele é preferido para cálculos
científicos e, principalmente, na matemática financeira. Afinal, os bancos
(representação magna do capitalismo) não poderiam prescindir do rigor na
cobrança dos “juros”... Certifique-se disto observando que uma calculadora
financeira só apresenta a tecla “LN” para cálculo de logaritmo, outra base não
lhes interessa!
Vamos fazer um pequeno ensaio para observar como surge esse
número irracional “e” (número de Euler [pronuncia-se óilar]), assim chamado
em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler.
Vamos utilizar a calculadora para preencher a tabela que será fornecida
logo a seguir. A tabela tem uma função x
xxf
+= 11)( , onde a variável
contém alguma exigência: (i) ℜ∈x e (ii) 0>x . Os valores de x poderá ser tão
grande quanto você quiser. Observe os resultados à medida que você faz o
número x crescer... Vamos à tabela!
xx
xxf
+= 11)(
10100100010000010000000
910
Vejamos a seqüência de teclas para 100=x
2,704813829
Você observou que o resultado não ultrapassa 2,72... !!!
Você pode obter o valor de “e” com a seguinte seqüência de teclas:
Seu visor deverá apresentar:
2,718281828...
Com isso esperamos ter dissipado algo do obscurantismo sobre “e” !!!
Convenções de notação para logaritmos
Quando se escreve deste modo Leia isto
2log 2log10Quando a base é 10 não é
necessário escrevê-la.
3ln 3logeQuando a base é “e”
escrevemos “ln”.
Qualquer outra base que não sejam estas será imperativo que as
indiquemos!!!
Calculemos os logaritmos requisitados na tabela dada a seguir:
2log)a 0,30102999566398...20log)b 1,301029995664...200log)c 2,301029995664...20000log)d 4,301029995664...
2,0log)e - 0,69897000433602...02,0log)f - 1,698970004336...002,0log)g - 2,698970004336...
Acompanhe o exemplo para calcular o 20log :
Em seu visor deverá ser mostrado... 1,301029995664...
Analisando os seus resultados, qual evidência pode ser observada?..............................................................................................................................................................................................................................................................
A parte inteira dos resultados é chamada de “característica” enquanto
que a parte decimal (após a vírgula) é a “mantissa”.
Utilizando sua calculadora, determine, se possível:
3log) −a5log) 8b
Acompanhe a seqüência de teclas para o calculo de 3log − :
Em algum lugar do visor de sua
calculadora apareceu o caractere Ε (erro)
Mesmo tentando outros números negativos obtivemos a mesma
resposta da calculadora... então ela está nos afirmando que “não existe
logaritmo de números negativos “ !!!
Quando tivermos uma exposição algébrico-formal da idéia de logaritmos
teremos a evidência deste fato.
Quanto ao cálculo de 5log8 teremos que nos render ao fato de que
nossa calculadora não está devidamente preparada para realizar este cálculo
de modo direto, apesar de isto ser perfeitamente possível. Nossa calculadora
só efetuará cálculos em duas bases (Quais são?) e dentre estas não está a
base requerida que é a base oito (8). Após a apresentação formal das
propriedades de logaritmos você terá plenas condições de utilizar a calculadora
para calcular seus logaritmos em qualquer base que necessite.
Quando temos uma equação e a variável é um expoente isso é chamado
e conhecido como “Equação Exponencial”. Simples! Proponho um
exemplo disso e sua conseqüente solução a qual será obtida com o uso de
logaritmos.
Vamos admitir que se tenha a necessidade de resolvermos algo como...
710 =x
Lembremo-nos da idéia de logaritmo. Passamo-la para a linguagem de
logaritmo, de forma que...
7log710 10=⇔= xx
Ou ainda, de modo convencional...
7log=x
Pois, quando a base é 10 não necessitamos escrevê-la!
Vamos à calculadora...
0,84509804001426...
Deste modo, você poderá apresentar a solução com uma precisão até o limite
de sua calculadora. Ou seja, se sua calculadora trabalha com “n” dígitos, então
você poderá, neste caso, apresentar precisão de (n-1) dígitos. Procure
descobrir com quantos dígitos sua calculadora trabalha...
Vamos nos exercitar com a busca de solução de algumas equações
exponenciais. Anime-se a resolver o que se pede na tabela a seguir:
910) =xaxb 105) =
3 5210) =xcxd 103) 7 4 =
0110) =+xe32) =xf
Vamos solucionar o item d a título de exemplo, visto que os itens a e b já
foram abordados anteriormente:
7 47 4 3log103 =⇔= xx
Veja a seqüência de teclas a serem premidas:
0,27264...
Os itens “e” e “f” nos alertará para o fato de que termos uma calculadora
em mãos e um conhecimento superficial de uma técnica matemática não é
suficiente para solucionar um problema. É preciso dominar teoricamente a
ferramenta matemática. O domínio lógico-formal de uma idéia (ou técnica) de
um assunto em matemática é imprescindível. E, isso, e tão somente isso, é que
nos possibilita usar a calculadora bem como maximizar a sua utilidade. Os
livros, o professor e sua disposição mental não são dispensáveis!
. Aspecto Algébrico-funcional dos logaritmos
Muito se poderia escrever sobre o aspecto algébrico dos logaritmos. Sua
interessante relação com os números complexos é uma delas. Porém, a
disposição didática e os objetivos deste trabalho não recomendam. Entretanto,
isto é possível agora, caso queiramos!
Interessa-nos, neste momento particular, a praticidade e sua utilidade
como ferramenta para resolvermos equações exponenciais mais realistas e
observamos algumas propriedades de uma função logarítmica.
Os livros didáticos fazem questão de separar equações exponenciais e
logaritmos e nos dão a falsa impressão de que é extremamente útil sabermos
resolver equações exponenciais sem os logaritmos.
Espero que esta modesta introdução os anime para a próxima etapa de
nossa jornada escolar que é o estudo algébrico formal de logaritmos, equações
exponenciais, funções exponenciais e funções logarítmicas...
Antes, para relaxar, gostaria de recomendar que assistamos a um
pequeno vídeo que nos mostra a magnificência da Música de Bach, este que
foi a fonte de inspiração de um dos nossos estupendos músicos nacionais,
Heitor Villa-Lobos. Ouvir Bach é ouvir logaritmos!
Obtemos o vídeo em http://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c.
Ainda, ouçamos Bach em...
http://www.youtube.com/watch?v=E2j-frfK-yg&feature=fvst
(última verificação do(s) link(s) em 25 de abril de 2010)
Avaliação
A tarefa proposta logo em seguida tem o propósito de diagnosticar
possíveis falhas de discurso das idéias e conceitos apresentada a fim de que
uma segunda abordagem ou retomada torne a dialética mais convincente ou
esclarecedora. Para tanto, realize o que se pede abaixo:
1) Com um discurso pequeno e conciso, o que você diria a uma pessoa que lhe
perguntasse o que é Logaritmo?
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
2) Solucione o que se pede abaixo e, caso não consiga, escreva pelo menos
uma razão (que lhe pareça aprazível ☺) a qual explique o motivo que o(a)
levou à impossibilidade de resolver.
( )
=
=
==
=⇒
=
=⇒=−
=⇒=
=⇒=
−
eh
g
fe
xd
xcxb
xa
x
x
x
x
ln)41log)
2ln)10log)
______________________52100)
_____________________________101)_____________________________113)
_____________________________5310)
3
3
1
Referências
[1] DIRETRIZES CURRICULARES DA EDUCAÇÃO BÁSICA – Secretaria de
Estado da Educação do Paraná. Curitiba:SEED, 2008
[2] HOGBEN, LANCELOT. Maravilhas da Matemática, tradução: Paulo
Moreira da Silva, Roberto Bins e Henrique Carlos Pfeifer. Porto Alegre: Editora
Globo, 1970.
[3] STRUIK, DIRK J. História Concisa das Matemáticas, tradução: João
Cosme Santos Guerreiro. 3ª Edição,Lisboa: Editora Gradiva: 1987
