MATEMÁTICA - gopem.com.br · valor da característica com uma barra sobre ele para indicar que é um valor negativo e a mantissa sem barra com seu valor positivo c–,m = – c +

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

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Função Logarítmica

LogaritmoNo fim do século XVI, o desenvolvimento da

Astronomia e da navegação exigia longos cálculos aritméticos. No início do século XVII, o suíço Jost Bür-gi e o escocês John Napier publicaram as primeiras tábuas de logaritmos.

A utilidade original dos logaritmos consistiu em facilitar os cálculos aritméticos, pois as tábuas de logaritmos permitiam que multiplicações fossem transformadas em adições.

Com o advento dos modernos computadores e calculadoras, os logaritmos não são mais importantes como ferramentas de cálculo, entretanto o desenvol-vimento da Matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis matemáticas e fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos são estrei-tamente relacionados aos logaritmos.

DefiniçãoSejam a e b números reais positivos e a 1,

define-se logaritmo de b na base a como o expoente x que satisfaz ax = b.

logab=x ax=b,

onde b é chamado logaritmando, a é a base e x é o logaritmo.

O logaritmando também é chamado antiloga-ritmo e indicado por: b=antiloga x x=loga b ax

= b.

Assim, antilog2 3=23=8.

Convenciona-se que a omissão da base, es-crevendo-se apenas log b, indica que trata-se dos logaritmos decimais cuja base é a = 10.

Exemplos: `

log2 8 = 3, pois 23 = 8

log3 181 = –4, pois 3–4 = 1

81

log 25 = – 2, pois 15

–2

= 25

log497 = 12

, pois 49 = 7

Condição de existênciaO logaritmo de b na base a somente é definido

quando:

a > 0 e a 1

b > 0

Exemplo: `

Para que valores de x está definido log(x+1)(3–x)

logaritmando: 3 −x > 0 x < 3

base: x +1 > 0 x > −1

x +1 1 x 0

O logaritmo está definido para x ]−1, 3[ − 0 .

Consequências imediatasSejam a, b, c R+* e a 1 e k ∈ R, então:

I. loga 1 = 0

II. loga a = 1

III. loga ak = k

IV. aloga b = b

V. logab=logac b=c


2 EM

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Exemplos: `

log2 1=0

log 7 =1

log33 =– 52log227=27

PropriedadesSejam a, b, c R+* e a 1 e , R e n N, n 2,

então:

logI. a(b.c)=loga b+logac

logII. a bc =logab – logac

logIII. a(b )= . logab

logIV. b= 1 . logab

logV. (b )= . logab

Exemplos: `

log10 2 + log10 5 = log1010 = 1

log2 12 – log2 3 = log2 123

= log2 4 = 2

log7 32 = log7 (25) = 5.log7 2

log27 2 = log(33) 2 = 13

. log3 2

log8132 = log(34) (25) = 5

4 log3 2

Consequências imediatas

logI. a 1b = – loga b

logII. b = – loga b

logIII. a

nb = 1

n . loga b

log IV. b = n . loga b

A expressão – logab é comumente chamada cologaritmo de b na base a, o que significa que o cologaritmo é o oposto do logaritmo.

co b bb

ba a a

a

log log log log= − =

=

11

Mudança de baseSejam a, b, c R+* e a, c 1, temos:

logab= logcblogca

Exemplo: `

log148 = log28

log214=

3

log22+log27= 3

1+log27

Consequências

Ia

IIb

.log

.

logab=

log a.log b=log b

III. log b.log c.logc a c

a b

1

cc y ad.....log z=log z

Exemplos: `

loga b = 25

logb a = 52

log2 7 . log7 4 = log2 4 = 2

Função logarítmicaSeja a ∈ R*+, a ≠ 1, a função logarítmica de base

a é a função de R*+ em R, definida por: f(x) = logax

O domínio da função logarítmica é R*+ e a ima-gem é R.

Exemplos: `

f(x) = log10x e f(100) = log10100 = 2

PropriedadesComo f(1) = log1) a1 = 0, o par ordenado (1, 0) pertence ao gráfico da função exponencial.

Quando 0 < a < 1, a função f(x)=log2) ax é decrescente. Mas, quando a > 1, a função f(x)=logax é crescente.

0 < a < 1: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

a > 1: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Como consequência, para bases maiores que 1, os números positivos menores que 1 têm logaritmos negativos e os números maiores que 1 têm logaritmos positivos. Já para bases entre 0 e 1, os números positivos menores que 1 têm logaritmo positivo e os números maiores que 1 têm logaritmos negativos.


3EM

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Exemplos: `

log52 > 0, log50,5 < 0, log0,52 < 0 e log0,50,25 > 0

Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações logarítmicas.

A função f(x)=log3) a x, com 0 < a ≠ 1 é inje-tora.

f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2

Essa propriedade respalda a solução das equações logarítmicas.

GráficoO gráfico da função logarítmica f(x)=loga x, com

0 < a ≠ 1, tem as seguintes características:

está todo à direita do eixo Oy;

corta o eixo Ox no ponto de abscissa 1;

é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.

o eixo Oy é assíntota do gráfico.

Os gráficos da função logarítmica estão exem-plificados a seguir:

1.º caso: a > 1

2º caso: 0 < a < 1

A função logarítmica de base a e a função ex-ponencial de mesma base a são inversas uma da outra.

f(x) = y = logax f–1(y) = ay = x

Nos gráficos podemos notar que a função ex-ponencial e a função logarítmica são simétricas em relação à reta y = x ( 1,3).

Logaritmos decimaisOs logaritmos decimais, também conhecidos

como logaritmos de Briggs, são aqueles de base a = 10. Nesse caso,

log b = x ⇔ 10x = b

Isso permite concluir que log b somente tem como resultado um número inteiro se b for uma po-tência de 10.

Qualquer que seja o número positivo b, ele se encontra entre duas potências inteiras e consecuti-vas de 10, portanto log b deve estar situado entre os logaritmos decimais dessas potências.

10c ≤ b < 10c +1 ⇒ log 10c ≤ log b < log 10c +1

⇒ c ≤ log b < c +1

Isso indica que b é igual à soma de um número inteiro c com uma parcela m não-negativa e menor que 1.

log b = c +monde c → característica de log b m → mantissa de log b ( 0 ≤ m < 1)

A característica é o maior número inteiro que não supera o logaritmo.

A mantissa é sempre um número não-negativo e menor que 1. Se dois números só diferem pela po-sição da vírgula, seus logaritmos decimais possuem a mesma mantissa.


4 EM

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Exemplos: `

log 450 1) ≅ 2+ 0,6532 = 2,6532

100 < 450 < 1000 ⇒ c = 2

tábua de logaritmos ⇒ m = 0,6532

log 3 2) ≅ 0 +0,4771 = 0,4771

100 < 3 < 10 ⇒ c = 0


log 0,2 = 3) −1 + 0,3010 = – 0,699

10−1 < 0,2 < 100 ⇒ c = −1


No último exemplo é importante observar que, quando o logaritmo é negativo, a parte decimal não é sua mantissa, visto que esse é um número entre 0 e 1. Nesse caso, temos:

c = parte inteira −1

m = 1 − parte decimal

Assim, sabendo que log 0,2 = − 0,699, obtemos c = 0 −1 = −1 e m = 1 − 0,699 = 0,301.

Logaritmo preparado

Para evitar o problema citado acima, uma nota-ção especial é utilizada para os logaritmos negativos, chamado logaritmo preparado. Essa notação consiste em, em vez de escrever o valor negativo, escrever o valor da característica com uma barra sobre ele para indicar que é um valor negativo e a mantissa sem barra com seu valor positivo

c–,m = – c + 0,m

Assim, log 0,2 = − 0,699 = 1,301.

Quantidade de algarismosSe b > 1, a característica de log b é obtida

subtraindo-se uma unidade do número de algarismo que b apresenta antes da vírgula.

Se 0 < b < 1, a característica de log b é igual ao oposto do número de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não-nulo (incluindo o zero da parte inteira).

Como consequência, conhecendo a caracte-rística do logaritmo de um número, podemos saber quantos algarismos ele possui.

b > 1 ⇒ n.º de algs. parte inteira = c +1

0 < b < 1 ⇒ n.º de zeros antes do 1.º alg. não--nulo = − c

Exemplos: `

log b 1) ≅ 2,1367 ⇒ b possui 3 algarismos

Nesse caso, foi usado b = 137.

log b 2) ≅ –2,9030 = 3–,097

⇒ n.º de zeros antes do 1.º alg. não-nulo = 3

Nesse caso, foi usado b = 0,00125.

Logaritmo naturalOs logaritmos naturais são os que têm como

base o número irracional e ≅ 2,7182.

ln b = log e b

Da definição temos que ln e = 1.

O número e também pode ser definido como:

e = lim 1 + 1n

n

n

Equações logarítmicasSerão apresentados os dois principais casos de

equações logarítmicas.

1.º caso – equações com logaritmo em um dos membros: podem ser resolvidas utilizando a definição de logaritmo.

0<a 1e b R: loga f(x)=b f(x) = ab

É importante observar que caso a dependa de x, deve-se garantir a condição de existência para a base.

2.º caso – equações com logaritmo de mesma base em ambos os membros: podem ser resolvidos utilizando a injetividade de função logarítmica.

0<a 1: loga f(x)=loga g(x) f(x)=g(x)>0

Nesse caso, deve-se garantir a condição de existência dos logaritmandos e da base quando esta depender de x.

Exemplos: `

log1) 4(x2 – 4x+3)= 1

2 x2 – 4x+3=4

1/2

x2 – 4x+1=0 x=2+ 3 ou x=2 – 3S= 2+ 3 , 2 – 3

log2) 2 (5x2 – 14x+1)= log2 (4x2 – 4x – 20)

5x2 – 14x+1=4x2– 4x – 20

x2 – 10x + 21=0 x=3 ou x=7


5EM

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C.E.: 5.32 – 14 . 3+1=4 >0 e 5 . 72 – 14 . 7+1= 148 > 0

S= 3,7

log3) log3(log4x) =0 log3(log4x)= 12

0

=1

log4 x=31=3 x=43=64

S= 64

log4) (x+5)(3x2–5x–8)=log(x+5)(2x2–3x)

3x2–5x – 8=2x2–3x x2– 2x – 8=0

x = –2 ou x=4

C.E.: 2.(–2)2 –3. (–2)=14>0 e 2.42 –3.4=20>0

0<–2+5=3 1 e 0 < 4+5 1

S= –2,4

(log5) 2x)2 – log2 x – 2=0

y=log2 x y2 – y – 2=0 y =–1 ou y=2

log2 x=–1 x=2–1= 12

log2x=2 x=22=4

S= 12

,4 }

Inequações logarítmicasSerão apresentados dois casos principais de

inequações logarítmicas.

1.º caso – inequações com logaritmo em um dos membros: podem ser resolvidas considerando que k=loga a

k, e os casos em que a função é crescente ou decrescente.

f(x)>ak se a>1

0<f(x)<ak se 0<a<1logaf(x)>k

0<f(x)<ak se a>1

f(x)>ak se 0<a<1logaf(x)<k

2.º caso – inequações com logaritmo de mesma base em ambos os membros: podem ser resolvidas considerando os casos em que a função logarítmica é crescente ou decrescente.

logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0 se a>1

0<f(x)<g(x) se 0<a<1Exemplos: `

log1) 2(x2+x–2) 2

x2+x–2 22 x2+x – 6 0 – 3 x 2

x2+x–2 > 0 x <–2 ou x >1

S = [–3, –2[ ]1,2]

log2) 0,5(x2+4x–5) <– 4

x2+4x–5 > 0,5–4 x2+4x–21 > 0 x < –7 ou x > 3

S=(– , –7[ ]3,+ )

log3) 0,3 (4x–3) < log0,3 5 4x–3 > 5 x > 2

S = ]2,+ )

log(x4) 2–x–2) > log(x–4)

x2–x–2 > x– 4 x2 –2x+2 > 0 < 0

x– 4 > 0 x > 4

x2– x – 2 > 0 x <–1 ou x > 2

S =] 4,+ )

(UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um 1. determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:

f(x) = log (x4)

Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:

3a)

4b)

300c)

400d)

Solução: ` C

f (5) = log (54) = log 5 (54) = 4 . 34

. log 5 5 = 3

Como f informa o número de centenas, então há 3.100 = 300 indivíduos.

(UFF) São dados os números reais positivos a, b e x tais 2. que a ≠ 1 e b ≠ 1. Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4. Calcule loga.b a x .

Solução: `

loga x = 2 x = a2

logb x = 4 x = b4

Então b4 = a2 e como a, b > 0, temos a = b2 e b = a1/2

loga.b a x = log a.a1/2 a a2 = log

a3/2 a

2 = 2 . 2

3. log aa

= 43


6 EM

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(UNUSANTOS) Um aluno quer resolver a equação 33. x = 7 utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o aluno deverá calcular:

log 7log 3a)

b) log 3log 7

log 7 . log 3c)

log7 + log 3d)

Solução: ` A

3X =7 log3x = log7 x . log3 = log7 x = log 7log 3

(UERJ) Seja4. β a altura de um som em decibéis. Essa altura β está relacionada com a intensidade do som I, pela expressão abaixo, na qual a intensidade padrão I0

é igual a 10−12 W/m2.

=10 . log ll0

Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som.

fonte de som I (W/m2)

turbina 1,0 ⋅ 102

amplificador de som 1,0

triturador de lixo 1,0 ⋅ 10−4

TV 3,2 ⋅ 10−5

Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de:

1a)

2b)

3c)

Solução: ` B

turbina = 10.log 1,0 . 102

10–12 = 10 . log (1014) = 140

está na faixa de risco

amplificador de som: = 10 . log

1,010–12 = 10.log (1012) = 120 está na faixa de risco.

triturador de lixo: = 10 . log 1,0.10–4

10–12 = 10 . log(108)

= 80 não está na faixa de risco.

TV: 10 log 3,2 .10–5

10–12 = 10 log (3,2 . 107) < 10. log

(108) = 80 < 80 não está na faixa de risco.

(Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção 5. de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) = log10 (100 + x) + k, com k constante real.

Sabendo que não havendo produção não há lucro, a) determine k.

Determine o número de peças que são necessárias b) para que o lucro seja igual a mil reais.

Solução: `

L (0) = loga) 10(100 + 0) + k = 0 k = – log10100 = – 2

L (x) = logb) 10(100 + x) – 2

lucro mil reais:⇒ L(x) = 1

L (x) = log10(100 + x) – 2 = 1 ⇒ log10(100 + x) = 3

⇒ 100 + x = 103 x = 900

a) k = – 2 b) 900 peças.

(UFRN) Considere log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771. 6. Então, a quantidade de algarismos do número 315 . 212

. 623 é igual a:

25a)

26b)

27c)

28d)

29e)

Solução: ` E

n.º de algarismos = característica do log decimal + 1

log10 315 . 212 . 623 = 15 log 3 + 12 log 2 + 23 log 2 +

23 log 3

log10 315 . 212 . 623 = 35 log 2 + 38 log 3

log10 315 . 212 . 623 = 35⋅0,3010 + 38⋅0,4771 = 28,6648

n.º de algarismos = 28 + 1 = 29

(Fatec) Na calculadora obtiveram-se os resultados se-7. guintes: log 6 = 0,778 e ln 6 = 1,791. Com estes dados, sem ajuda da calculadora, é verdade que log e, com aproximação de três casas decimais, é: (Notação: log6 = log106 e In6 = loge 6)

0,434a)

0,778b)

0,791c)

1,778d)


7EM

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logx(2x) . log2 x = 3 – log2 x

(logx2 + logxx) . log2 x = 3 – 12

log2 x

logx2 . log2x + log2 x = 3 – 12

log2 x

1+ log2 x = 3 – 12

log2 x

log2 x = 43

x = 2 = 23

2

(ITA) O conjunto dos números reais que verificam a 10. inequação 3 . log x + log (2x + 3)3 3 . log 2 é dado por:

a) x R: x > 0

b) x R: 1 x 3

c) x R: 0 < x 1/2

d) x R: 1/2 x <1

n.d.a.e)

Solução: ` C

3.log x + log (2 x+3)3 3.log 2 3 log x + 3 log (2 x+3)

3log 2 log x + log (2 x+3) log 2 log [x.(2 x+3)] log 2

x (2x+3) 2 2 x 2 + 3 x –2 0 – 2 x 12

Condição de existência dos logaritmandos:

X

x x x

S x R x

>

+ > ⇔ > ⇒ >

= ∈ ≤ ≤

0

2 3 032

0

012

|

(UFRJ) Sendo x e y números reais e y 1. ≠ 0, expresse o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log23.

(FGV) Consideremos os seguintes dados: log 2 = 0,3 e 2. log 3 = 0,48. Nessas condições, o valor de log 15 é:

0,78a)

0,88b)

0,98c)

1,08d)

1,18e)

(UFRJ) Considere 3. a xx

= −

log

1 e b x

x= + −

log

11 ,

com x > 1. Determine log x xx x

2 1 12− + −

em função

Solução: ` A

log10e =log6elog610 =

loge61

1log6

=log6In6

⇒ log e ≅ 0,778 ≅ 0,4341,791

(UERJ) Um pesquisador, interessado em estudar uma 8. determinada espécie de cobras, verificou que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gra-mas, eram proporcionais ao cubo de seus comprimen-tos L, em metros, ou seja, M = a . L3, em que a é uma constante positiva. Observe os gráficos abaixo:

Aquele que melhor representa log M em função de log L é o indicado pelo número:

Ia)

IIb)

IIIc)

IVd)

Solução: ` C

M = a . L3 ⇒ logM = log(a . L3)

⇒ log M = log a + 3 ⋅ log L

Como log a é constante, o gráfico de log M em função de log L é uma reta crescente, que aparece no gráfico III.

(UFCE) O número real x, positivo e diferente de 1, que 9.

satisfaz à equação logx(2x) . log2 x=3 – log2 x é igual a:

23

a) b) 2 c) 23

2 d) 4 e) 23

4

Solução: ` C


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de a e b.

(PUC-Rio) Os valores de x tais que o logaritmo de 2x4. 2 + 1 na base 10 é igual a 1 são:

1 e – 1 a)

1

2b) e −

1

2

3 e – 3c)

3

2d) e −

3

2

1 e – 2e)

(UFF) O valor da expressão:5.

log log log3 2 4 3 10 9⋅ ⋅ ⋅a) é:

0 b)

logc) 3 4

logd) 10 2

1e)

logf) 4 3

(UFF) Dada a igualdade y = log6. x ( x2 – 4 ), determine

os valores reais que x pode assumir para que y seja um número real.

(UFF) Considere p = log7. 3 2, q = log3

4 e r = log 13

2É correto afirmar que:

p < q < r a)

r < q < pb)

q < r < pc)

p < r < qd)

r < p < qe)

(UFF) Considere 8. logb ax

1= , sendo a > 0, a ≠ 1, b > 0

e b ≠ 1. Calcule o valor de loga b2 .

(UFF) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a 9. equação log ( , ) log ( , ) log ( , )10 10

2100 1 0 1 0 1 15+ + + = − n .

(UFU) Considere a, b e q números reais positivos, 10. tais que loga b = 4 e loga q = 2. Sabendo-se que c é o produto de quatro termos consecutivos de uma PG, cujo primeiro termo é a e a razão é q, encontre o valor de logc b.

(UFMG) Se 11. n = 8 2 log2 15 - log2 45

Então o valor de n é:

5a) 2

8b) 3

2c) 5

5d) 3

(UFRGS) A soma 212. log log log log23

34

45

1920

+ + + + é igual a:

–log 20 a)

–1b)

log 2c)

1 d)

2e)

(UERJ) A função 13. P t P kt( ) = 0 10. representa o crescimento da população de uma determinada espécie animal em função do tempo t, expresso em anos, em que P0 é a população inicial e k é uma constante real.

P (t)

t (anos)P0

2P0

30

Demonstre que k = 0,01, considerando log 2 = 0,30.a)

Para k = 0,01, calcule o valor da razão b) PP( )( )100

0.

(UFRN) Na figura abaixo, estão esboçados os gráficos 14. das funções y x= log3 e y = x. O gráfico da função que está representado em negrito é simétrico ao gráfico da função log3 x em relação à reta y = x. A função que corresponde ao gráfico em negrito é:

3

y

1

0 1 3

y = ?

y =x

x

x3y = log

yx=3

a)

y = 3xb)

y=xc) 3

y = 3d) x


9EM

_V_M

AT

_007

(UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções 15. f e g, definidas no intervalo ]0, 4] por:

f xx

x( ) ln= −2

g xx

x( ) (ln )= −2

2e

onde ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e ≅ 2,7).

4Q

M

N

P

y

Sejam M, N os pontos de interseção dos dois gráficos e P, Q suas respectivas projeções sobre o eixo x. Determine a área do trapézio MNQP.

(UFF) Determine o domínio da função de variável real f 16. definida por f(x) = log10(8 − x2 − 2x).

(UFF) Considere a função real de variável real f definida 17.

por f(x) = log x 1x 2

2 −−

. Determine o domínio de f.

(UFF) A energia potencial elástica (E) e a variação no 18. comprimento (∆ ) de uma determinada mola estão associadas conforme a tabela:

y = log E x = log ∆

4 1

6 2

Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida pela equação y = nx + log (K/2), sendo K a constante elástica da mola e n uma constante.

Determine os valores das constantes K e n.a)

Determine o valor de E para b) ∆ = 3.

(UFF) Seja f a função real de variável real definida por 19.

f xx

( ) log= 1

Determine o domínio de f.a)

Defina a inversa de f.b)

(UFF) Seja f: R20. → R uma função positiva e g: R → R a função definida por g x f x( ) log ( )= 10

O gráfico de g é a reta da figura.a)

Determine a equação da reta da figura.b)

Calcule c) f92

.

Encontre uma expressão para f(x).d)

9.21. (UFJF) A figura abaixo é um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f x xb( ) log= com alguns pontos destacados.

y

1

C

B

A2

Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é a) incorreto afirmar que:

a base b é igual a 3.b)

a abscissa de C é igual a 1.c)

f(x) < 0 para todo x d) ∈ (0, 1).

a abscissa de B é igual a 2.e)

f(x) é crescente.f)

(UFJF) Em um tanque se encontra uma salmoura (so-22. lução de sal em água), que se mantém homogênea mediante a ação permanente de um misturador. A partir de um certo instante, o tanque passa a receber um fluxo constante de água, ao mesmo tempo que uma torneira começa a escoar a salmoura em quantidade igual, em cada instante, ao volume de água que entrou no tanque. A função que exprime a quantidade f(t) de sal existente no tanque no instante t é uma função exponencial da forma f t a bt( ) = ⋅ , onde a e b são constantes e t é me-dido em horas, a partir do instante em que a salmoura começou a escoar.


10 EM

_V_M

AT

_007

Sabendo-se que, no instante inicial, a quantidade a) de sal no tanque era 48kg e que, após 1h, a quan-tidade de sal reduziu-se a 24kg, encontre as cons-tantes a e b e determine f(t).

Usando a tabela abaixo e as propriedades de lo-b) garitmos, determine quanto tempo será necessário para que a quantidade de sal se reduza a 18kg.

2 3 5 7

log2 x 1,00 1,58 2,32 2,81

log3 x 0,63 1,00 1,46 1,77

log5 x 0,43 0,68 1,00 1,21

No sistema de eixos, faça o gráfico da função f(t) c) para t ≥ 0, destacando as imagens das abscissas representadas. Responda, justificando sua respos-ta, se em algum instante a quantidade de sal no tanque será nula.

(UFJF) A intensidade I de um som é medida em watt/23. cm2. O nível N de ruído desse som é medido em de-

cibéis (db), sendo que NII

=

100

log , onde I01210= −

watt/cm2 é a intensidade mínima percebida pelo ouvido humano.

Sabendo que a intensidade máxima de um som a) suportada pelo ouvido humano é de 100watt/cm2, determine o nível de ruído máximo dentre os sons audíveis pelo ser humano.

Encontre uma expressão para a intensidade I em b) função do nível de ruído N.

Determine quantas vezes a intensidade de um som c) com nível de ruído N1 = 80db é maior que a intensi-dade de outro som com nível de ruído N2 = 60db.

(UFMG) Um engenheiro estava estudando uma grande-24. za v em função de outra grandeza u. Ao tentar traçar o gráfico de v em função de u, ele observou que os valores de v tinham uma grande variação e que seria conveniente substituir v por seu logaritmo decimal w = log v. Ele fez, então, este gráfico de w em função de u:

Assinale, entre as seguintes alternativas, a única em que se relacionam corretamente os valores da grandeza v correspondentes aos valores 10, 20 e 30 da grandeza u.

u v

10 0,1

20 10

30 10.000

u v

10 0,01

20 1

30 10.000

u v

10 -2

20 1

30 5

u v

10 0,01

20 10

30 100 000

A) B)

D)C)

(UFSCar) A altura média do tronco de certa espécie de 25. árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo ma-temático: h t t( ) , log ( )= + +15 13 , com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) trans-corrido do momento da plantação até o corte foi de:

9a)

8b)

5c)

4d)

2e)

(Fuvest) Seja 26. f x x x( ) log ( ) log ( )= + − −3 33 4 2 1 . Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:

x < 73

a)

12

< xb)

12

73

< <xc)

− <43

xd)

− < <43

12

xe)

(Fuvest) Pressionando a tecla Log de uma calculadora, 27. aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla Log pre-cisa ser pressionada para que apareça a mensagem de erro?

2a)

4b)

6c)

8d)

10e) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

11EM

_V_M

AT

_007

(UERJ) Jorge quer vender seu carro por R$40.000,00. 28. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$5.000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros com-postos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

(UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é 29. representado por log x. Então, a soma das raízes de log log2 3 0x x− = é igual a:

1a)

101b)

1 000c)

1 001d)

(Fatec) A soma dos valores reais de x que satisfazem a 30. equação 3 8

22⋅ =log logx x é:

0a)

1b)

3c)

7d)

9e)

(Fatec) No início de uma temporada de calor, já havia 31. em certo lago uma formação de algas. Observações anteriores indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas algas cresce 5% a cada dia, em relação à área do dia anterior. Nessas condições, se, em certo dia denominado dia zero, as algas ocupam 1000m2, aproximadamente em quantos dias elas cobririam toda a superfície de 16 000m2 do lago? (Use em seus cálculos: log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30)

20a)

60b)

80c)

100d)

120e)

(FGV) O conjunto solução da seguinte equação 32.

x x x⋅ ( ) +

+ ( ) =log log log2 2 2773

21 0 , sendo log ( )2 N , o lo-

garitmo do número N na base 2 é:

∅a)

{0}b)

{1}c)

{0, –2}d)

{0, 2}e)

(FGV) No ano 2002, estima-se que o PIB (Produto 33. Interno Bruto) de um país seja 400 bilhões de dólares. Daqui a t anos, estima-se que o PIB seja 400 105( , )t bilhões de dólares.

Em quantos bilhões de dólares crescerá o PIB entre a) 2009 e 2010?

Para que valores de t, o PIB superará a marca dos b) 800 bilhões de dólares?

(Obs.: Não é necessário fazer as contas; deixar os resultados indicados)

(UFF) Determine o conjunto-solução, em R, de cada 34. equação dada a seguir:

log xI. 2 = 2⋅log x

x x2 = −II.

x x2 = −III.

xx2 1

1 1+( ) =+

IV.

(UFJF) O conjunto de todos os números reais x para os 35.

quais logxx1

02−< é:

{x ∈ R ∈ x > 0 e x a) ≠ 1}

{x ∈ R ∈ 0 < x < 1}b)

{x ∈ R ∈ x > 1}c)

{x ∈ R ∈ x > 0}d)

{x ∈ R ∈ x < –1 ou x > 1}e)

(UFJF) Sabe-se que, se depositarmos R$1.000,00 36. em uma caderneta de poupança, ao final de n meses, teremos a quantia C, dada por C = 1.000 . (1,02)n. Daí podemos concluir que:

nC

=log

log . ( , ),

,

102

102 1 000 102a)

n

C

=−

1 0001

0 02.

,b)

n

C

=−

log .,,102

1 0001

0 02c)

nC

= log.,102 1 000

d)

nC

=1 000 102. ( , )

e)

(UFJF) O conjunto verdade da equação37.

log log( ) logx x+ + − =1 6 0 é:


12 EM

_V_M

AT

_007

{3}a)

{2, –3}b)

{–2, 3}c)

{2, 3}d)

{2}e)

(UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos núme-38. ros associados à(s) proposição(ões) corretas(s).

(01) O conjunto solução da inequação log (x2 − 9) ≥ log (3 − x) é S = (−∞, −4]∈ [3, +∞).

(02) Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

(04) A equação x x2 2= não possui solução inteira.

(08) Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescente e g crescente.

(16) log 360 = 3 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log 3 + log 5.

(32) Se log N = − 3,412 então log N = − 6,824.

Soma ( )

(UFSCar) Sendo m e n números reais positivos, o siste-39.

ma linear (log ) (log )2 4 1

2

m x n y

x y

+ =+ =

nas variáveis x e y será

possível e determinado se e somente se:

m a) ≠ 2n

m n≠b)

m n ≠ 1c)

n = 2md)

m = 2ne)

(Unirio) Sabe-se que 40. 135

2 3+ + + + =log log logx x x .

Calcule o valor de x3 sabendo que log x < 1.

(Unirio) Se a = x41. 2 – 5x + 5 e b = x2 – 9x + 20, determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação loga b1= .

(Unesp) Seja V42. 0 o volume inicial de um líquido volátil, o qual diminui à taxa de 20% por hora.

Encontre a equação do volume V do líquido em fun-a) ção do tempo.

Determine o valor aproximado do tempo em que o b) volume se reduz à metade (dado: log102 = 0,301).

(UFRN) Os habitantes de um certo país são apreciado-1. res dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o “Banco ZIG” oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T = log8 225, enquanto o “Banco ZAG” trabalha com a taxa (mensal) S = log2 15. Com base nessas informações,

estabeleça uma relação entre T e S;a)

responda em qual dos bancos um cidadão desse b) país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique.

(UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles 2. F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos − conhecida hoje em dia por escala Richter −, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse mo-vimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log10 E = 1,44 + 1,5 M

Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente:

10 vezes maior que a energia liberada no terremoto a) dos EUA.

15 vezes maior que a energia liberada no terremoto b) dos EUA.

21 vezes maior que a energia liberada no terremoto c) dos EUA.

31 vezes maior que a energia liberada no terremoto d) dos EUA.

(UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) 3. proposição(ões) verdadeira(s).

(01) O valor do log ,0 25 32 é igual a −52

.

(02) Se a, b e c são números reais positivos e xa

b c=

3

2 ,

então log log log logx a b c= − −3 212

.

(04) Se a, b e c são números reais positivos com a e c

diferentes de um, então tem-se loglogloga

c

c

bba

= .

(08) O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56

é x = 3.

(16) 23

23

2 3 17

>

− −, ,

Soma ( )


13EM

_V_M

AT

_007

(UFCE) Considere a função real de variável real, definida 4. por f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a:

4/5a)

8/5b)

12/5c)

16/5d)

4e)

(UFCE) Sejam 5. loga m p= e loga n q= . Se p + q = loga x e p − q = loga y , o valor de m2 é:

xya)

xb) 2

yc) 2

x − yd)

x/ye)

(UFCE) O valor da soma6.

log log log log10 10 10 10

12

23

34

99100

+ + + + é :

0a)

–1b)

–2c)

2d)

3e)

(UFPR) O nível sonoro de um som de intensidade I, 7. medido em decibéis, é calculado pela fórmula 10 × logIIo

, onde log representa logaritmo na base 10, e I0 é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar:

Se um som tem intensidade I )( 0, então o seu nível so-noro é igual a zero.

Um som de 1 decibel tem intensidade igual a 10 × )(I0.

Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a )(1 0000 × I0.

Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então )(outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis.

Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 de- )(cibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I1, I2, e I3, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica.

(UFRN) Suponha que, numa colônia de fungos, a massa 8. biológica de sua população, no instante t (horas), deno-tada por m(t), seja dada pela expressão

m tt

( ) =2

1011 gramas [Considere que log10(2) ≅ 0,3].

De acordo com o ritmo de crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de fungos, em 50 horas, é da ordem de

100g.a)

10g.b)

10 000g.c)

1 000g.d)

(UFPR) Um grupo de estudantes resolveu repetir a 9. medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efe-tuaram várias medições da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função

P(h)=P . e0a.h

sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos, P0 = 760mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e um número que depende principalmente da temperatura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse experimento, α = − 0 00012, e que os estudantes usaram os valores aproximados ln(760) = 6,63 e ln(530) = 6,27, qual foi a altura que encontraram para o Pico da Neblina?

(UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos 10. decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto a⋅b⋅c.

(UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela 11. expressão pH = − log [H+], em que [H+] indica a con-centração, em mol/l, de íons de Hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.

Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio era [H+] = 5,4 ⋅ 10−8 mol/l.

Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi

7,26a)

7,32b)

7,58c)

7,74d)


14 EM

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(Unicamp) Calcule o valor da expressão12. log logn nnn n( ) ,

onde n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo você verá que esse valor é um número que não depende de n.

(UFF) No dia 6 de junho de 2000, um terremoto 13. atingiu a cidade de Ankara, na Turquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala Richter.

Considere que m1 e m2 medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r1 e r2, respectivamente.

Sabe-se que estes valores estão relacionados pela fórmula:

r1 – r2 = log10 (mm

1

2)

Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto da Turquia e r2 o registro do terremoto do Japão, pode-se afirmar que m

m1

2

é igual a:

10–a) 1

10b) 0,1

(0,1)c) 10

100,1

d)

10,1

e)

(ITA) Sobre a expressão 14. Mx x

= +1 1

2 5log log, onde

2 < x < 3, qual das afirmações abaixo está correta?

1 a) ≤ M ≤ 2

2 < M < 4b)

4 c) ≤ M ≤ 5

5 < M < 7d)

7 e) ≤ M ≤ 10

(UFSCar) Em notação científica, um número é escrito 15. na forma p q⋅10 , sendo p um número real tal que 1 ≤ p < 10 e q um número inteiro. Considerando log 2 = 0,3, o número 2 255 , escrito em notação científica, terá

p igual a:

10a)

3b)

2c)

1,2d)

1,1e)

(UFF) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 16. 2, 4. ed., a intensidade relativa IR de uma onda sonora, medida em decibel (dB), é definida por

IIIR =

10 100

log

sendo I a intensidade sonora medida em watt/m2 e I0

a intensidade sonora de referência (correspondente ao limiar da audição humana) também medida em watt/m2. Apresentam-se a seguir os valores em dB das intensidades relativas (IR) das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares.

Situação particular IR (dB)

Limiar da audição humana 0

Sussurro médio 20

Conversa normal 65

Limiar da dor 120

Na unidade watt/m2, pode-se afirmar que:

a intensidade sonora do sussurro médio é menor a) que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da au-dição humana.

a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a b) intensidade sonora do limiar da audição humana.

a intensidade sonora do limiar da dor é 10c) 10 vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.

a intensidade sonora do limiar da dor é, aproxima-d) damente, o dobro da intensidade sonora de uma conversa normal.

a intensidade sonora de uma conversa normal é e) menor que 104 vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.

(UnB) Considere o processo de mistura de 2mols de 17. gás oxigênio (O2), 2mols de gás hélio (He) e 3mols de gás argônio (Ar). A expressão que permite calcular a variação de energia ∆E – a diferença entre a energia final e a inicial – nesse processo de mistura é dada por

∆E n R T x xi ii

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=∑( ln )

1

3


15EM

_V_M

AT

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em que: n é o número total de mol dos gases presentes na mistura; R é a constante (positiva) universal dos gases; T é a temperatura do sistema em kelvin; x1 é a razão entre o número de mols de O2 e n; x2 é a razão entre o número de mols de He e n e x3 é a razão entre o número de mols de Ar e n.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

Nesse processo de mistura, a) ∆E R T= ⋅ ⋅ ⋅ −(ln( ) ln )2 3 74 3 7 .

Misturando-se o dobro do número de mols de cada b) um dos gases, a variação de energia ∆E também dobra.

Mudando-se as proporções de mols dos três ga-c) ses na mistura, a variação de energia ∆E pode ser positiva.

Para temperaturas T muito baixas, a variação de d) energia ∆E pode ser positiva.

(Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de só-18. dio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma cer-ta quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:

Q tt

k

( ) log=+

10

101

com k uma constante positiva e t em horas.

Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no a) recipiente, determine a constante k.

Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?b)

(Unesp) Um determinado lago foi tomado por uma ve-19. getação. Em 1990, a área coberta pela planta era de 160 m2, e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Determine:

a área, em ma) 2, coberta pela vegetação n anos mais tarde.

usando log10 16 = 1,2 quantos anos se passaram b) até que uma área de 2.560 m2 fosse coberta.

(Unesp) Considere as funções 20. f xx

( ) =2

e g x x( ) log= 2 , para x > 0.

Represente, num mesmo sistema de coordenadas a) retangulares, os gráficos das duas funções, colo-cando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.

Baseado na representação gráfica, dê o conjunto b)

solução da inequação xx

2 2< log , e justifique por que π π2 2< log .

(Unesp) Numa plantação de certa espécie de árvore, as 21. medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

altura: H t t( ) ( , ) log ( )= + ⋅ +1 0 8 12

diâmetro do tronco: D tt

( ) ( , )= ⋅0 1 27 com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

Determine as medidas aproximadas da altura, em a) metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâme-b) tro aproximado do tronco dessa árvore, em centí-metros.

(UFRGS) Na figura abaixo, a reta r é o gráfico da função 22. real de variável real definida por y b ax= ⋅log( ) , onde a e b são números reais positivos.

y r

x

1

1-1

-1

O valor de ab

é:

0,1a)

1b)

10c)

10d) 2

10e) 3

(Fuvest) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função 23. y = log a x com a > 1 (figura abaixo). Suponha que B = (x, 0), C = (x +1, 0) e A = (x –1, 0). Então, o valor de x para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é:

y

A B C

ED

1 52

+a)

15

2+b)


16 EM

_V_M

AT

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12

5+c)

1 5+d)

12

2 5+e)

(FGV) As funções: 24. f x x( ) = −3 3 e g x x( ) log ( )= +3 1 , sendo log ( )a b o logaritmo de b na base a.

Esboce a representação gráfica das funções f(x) e a) g(x) num mesmo sistema cartesiano de eixos.

Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das b) funções f(x) e g(x), respectivamente.

Determine as coordenadas dos pontos P e R, in-c) terseções das funções f(x)e g(x), respectivamente, com o eixo Ox e as coordenadas dos pontos Q e S, interseções das funções f(x) e g(x), respectivamen-te, com o eixo Oy.

Determine graficamente o número de soluções da d) equação f(x) = g(x).

(Unicamp) O logaritmo decimal de 2, log25. 10 2, é 0,301... Esta notação (os pontinhos depois do 1) significa que log10 2 está dado com precisão até a terceira casa de-cimal e que os algarismos subsequentes são supostos desconhecidos.

Usando teoria dos logaritmos, calcule quantos al-a) garismos tem o número 820 (na representação de-cimal).

Se quisermos usar o método da parte anterior para b)

calcular quantos algarismos tem o número 8104

, a precisão com que é dado log 10 2 é suficiente? Jus-tifique sua resposta.

(Unicamp) As populações de duas cidades, A e B, 26. são dadas em milhares de habitantes pelas funções A t t( ) log ( )= +8

61 e B t t( ) log ( )= +2 4 4 , onde a variável t re-presenta o tempo em anos.

Qual é a população de cada uma das cidades nos a) instantes t = 1 e t = 7?

Após certo instante t, a população de uma das ci-b) dades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cida-de cuja população é maior a partir desse instante.

(Unicamp) A função 27. L x a ebx( ) = ⋅ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.

Calcule os valores numéricos das constantes a e a) b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

Considerando que um objeto recebe 15 luxes, cal-b) cule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

(UFSCar) Sob certas condições, a diferença entre 29. a magnitude aparente de uma estrela (m) e sua magnitude absoluta (M) pode ser calculada pela fórmula m M d− = ⋅ − +5 1( log ) , onde d é a distância entre a estrela e a Terra, na unidade de medida parsec (pc).

Calcule a magnitude absoluta de uma estrela a) quando d = 200pc e m = 8,5. Adote nos cálcu-los log 5 = 0,7.

Construa no plano cartesiano o gráfico da região b) dos pares ordenados (M, m), tais que d ≥ 100 pc. Admita para a construção, m ≥ 0 e M ≥ 0.

(OBM)30. As representações decimais dos números 2 1999

e 5 1999 são escritas lado a lado.

O número de algarismos escritos é igual a:

1 999a)

2 000b)

2 001c)

3 998d)

3 999e)

(UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que 31.

satisfazem a equação 2 1111010 10log logx x= + +

é

{–1, 11}a)

{5, 6}b)

{10}c)

{11}d)

(UFCE) Encontre os números reais x e y que satisfazem 32. simultaneamente as igualdades log2 x + log4 y = 2 e log4 x + log2 y = 1.

(Unesp) Considere as funções 33. f x x( ) log ( )= 329 e

g xx

( ) log=

3

1 , definidas para todo x > 0.

Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = −3.a)

Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 3 +logb) 3x.

(UFF) Determine o valor de x na equação34.

log x + log xa) 2 + log x3 + ... + log x18 = 342.

(ITA) Considere u = x.ln(3), v = x.ln(2) e e28. u.ev = 36. Nessas condições, calcule x:


17EM

_V_M

AT

_007

(FGV) É consenso, no mercado de veículos usados, 35. que o preço de revenda de um automóvel importado decresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função V K x

t= ⋅ . Se 18 mil dólares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dólares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares?

É dado que log ,15 3 0 4= .

5 anos.a)

7 anos.b)

6 anos.c)

8 anos.d)

3 anos.e)

(Fuvest) Se x é um número real, x > 2 e 36. log ( ) log2 42 1x x− − =, então o valor de x é:

4 −2a) 3

4 − b) 3

2 + 2c) 3

4 + 2d) 3

2 + 4e) 3

(UFRJ) Segundo algumas estimativas, o volume de 37. água facilmente disponível para o consumo, em todo o planeta, é de 14 mil km3 por ano. Consideremos como razoável um consumo de 500m3 por ano por habitante. Sabendo que a população da Terra é de cerca de 6 bilhões de pessoas e que cresce à taxa de 1,6% ao ano, gostaríamos de ter uma estimativa de em quanto tempo chegaremos, mantidos estes dados, ao limite dos recursos disponíveis.

Expresse, utilizando os dados acima e as funções usuais em máquina de calcular (ou seja: as quatro operações elementares, x , log x, ln x, ex, 10x, sen x, cos x e tg x), o número x de anos em que ainda teremos água facilmente disponível.

Sejam a, b números reais. Se a > 0, a 38. ≠ 1 e log log ( )a ab10 10> ,

então:

b < 0a)

b > 1 e a > 1b)

b < 1 e a < 1c)

b < 1 e a > 1 ou b > 1 e a < 1d)

b > 0e)

(PUC-SP) Se39.

log (log log ) log (log log ) log (log log )2 3 4 3 4 2 4 2 3 0x y z= = = ,

então x + y + z é:

50a)

58b)

89c)

111d)

1 296e)

(Mackenzie) O conjunto solução da inequação 40. log [log ]1

313

0x ≥ é:

{x ∈ R ∈ x a) ≥ 1/3}

{x ∈ R ∈ x > 0}b)

{x ∈ R ∈ 0 < x c) ≤ 1/3}

{x ∈ R ∈ 1/3 d) ≤ x < 1}

∅e)

(ITA) Os valores de x que verificam a desigualdade: 41. 1 1

11

log loge xx e+

-> são:

x > 1a)

x > eb)

0 < x < ec)

1 < x < ed)

n.d.a.e)

(ITA) Denotemos por log x e log42. a x os logaritmos de x nas bases 10 e a, respectivamente. As raízes reais da

equação: 2 1 101

2 1

2

⋅ + =

−log

log( )x x são:

10 e a) 10

10 e b) 1

101

10c) e 10

110

d) e 1

10n.d.a.e)

(ITA) O conjunto verdade da desigualdade43.

log 2 ( log 1/ 4 (x2 – 2x + 1)) < 0 é:

(0,1/2) a) ∪ (3/2,2)∈

(-2,0) b) ∪ (3/2,2)

(1/2,3/2)c)

d) (-d) ∞,1/2) ∪ (3/2,∞)

∅e)


18 EM

_V_M

AT

_007

(ITA)44. Dado um número real a com a > 1, seja S o con-junto solução da inequação

log log log ( )1

7

1

11

aa

x

aax

≤ −

−

.

Então S é o intervalo:

[4 , +a) ∞[

[4 , 7[b)

]1 , 5]c)

]1 , 4]d)

[1 , 4[e)

(UFSCar) Um paciente de um hospital está rece-45. bendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equa-ção log4x = log23, e que cada gota tem volume de 0,3 mL, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de:

800mL a)

750mLb)

724mLc)

500mLd)

324mLe)

(ITA)46. Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geo- métrica de razão a, com a > 0 e a ≠ 1. Se a soma de seus termos é igual a 13a + 12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que:

1 1 1 1 1 52log log log log loga b c d ex x x x x

+ + + + = , então x é

igual a:

3a) 3

2b) 3

(5/2)c) 2

(5/2)d) 3/2

(2/5)e) 2


19EM

_V_M

AT

_007

log log2

3 2 3yx x

y= ⋅1.

E2.

a + b3.

D 4.

B5.

x > 26.

E7.

−2

x8.

59.

1/410.

D11.

B12.

13.

Demonstração.a)

10b)

D14.

( )e −14

2

15.

]16. −4, 2[

Dom f = ( 17. −1, 1) ∪ (2, + ∞)

a) n = 2 e K = 200 b) 90018.

a) D(f) = R19. +* b) f−1(x) = 10−2x

a) 20. y x= +29

1 b) 100 c) f xx

( ) =+

1029

1

D21.

22.

a = 48, b = 1/2 e a) f t t( ) = ⋅ −48 2

1,42 h b) ≅ 1h25min

Não, pois a função exponencial não se anula.c)


20 EM

_V_M

AT

_007

23.

a)140 dba)

b) IN

=−

101012

100c)

D24.

B25.

C26.

B27.

10 anos.28.

D29.

E30.

B31.

D32.

33.

20 1057⋅ ,a)

t > log ,105 2b) anos (t ∈ Z)

34.

RI. +*

RII. −

RIII. +

{IV. −1, 0}

A35.

D36.

E37.

E, E, E, C, E 38. ⇒ soma = 16

B39.

0,0140.

541.

42.

V V t= ⋅0 0 8,a)

3h6minb)

1.

a) T = a) 23

⋅ S

ZIG, pois T = (2/3)S < Sb)

D2.

V, V, V, V, V 3. ⇒ soma = 31

D4.

A5.

C6.

V, F, V, F, V7.

C8.

h = 3 000 metros.9.

1 000 00010.

A11.

−12. 2

B13.

B14.

A15.

C16.

1) C 2) C 3) E 4) E17.

a) k = 1 b) 9 horas18.

19.

A n n( ) ( , )= ⋅160 16a)

6 anosb)

20.

Gráficoa)

]2, 4[b)

21.

Altura 1m e diâmetro 10cm.a)

20cmb)

E22.

A23.

24.

Gráfico. a)

(r) y = 3, (s) x = -1b)

P(1;0), R(0;0), Q(0;-2), s(0;0)c)

Duasd) .

25.

19a)

Não, pois a característica é obtida por 30.000 b) ⋅ log

10 2


21EM

_V_M

AT

_007

26.

t = 1: (A) 2 000 (B) 3 000; t = 7: (A) 6 000e (B) a) 5 000

Após 3 anos a população de A é sempre maior.b)

27.

a = 120 e b a) ≅ −0,693

3 metros.b)

x = 228.

29.

2a)

Gráficob)

Vamos utilizar log 2 = 0,3010 e log 5 = 1 – log 2 = 30. 0,6990

nº alg. 21999 = [log 21999 ] +1 = [1 999 ⋅ log 2] + 1 = 602

nº alg. 51999 = [log 51999 ] + 1 = [1 999 ⋅ log 5] + 1 = 1398

total de alg. = 602 + 1398 = 2 000

D31.

x = 4; x = 132.

33.

Sf {a) 33

+- } e Sg = {27}

Demonstração.b)

10034.

C35.

D36.

x = −log loglog ,14 3

101637.

D38.

C39.

D40.

D41.

C42.

A43.

D44.

E45.

A46.


22 EM

_V_M

AT

_007


23EM

_V_M

AT

_007


24 EM

_V_M

AT

_007


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MATEMÁTICA - gopem.com.br · valor da característica com uma barra sobre ele para indicar que é um valor negativo e a mantissa sem barra com seu valor positivo c–,m = – c +