O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ - SEED PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA - UEPG

SUELI APARECIDA MICHELI

ARTICULANDO CONTEÚDOS E METODOLOGIAS NA

RECUPERAÇÃO DE ALUNOS COM DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

PONTA GROSSA

2010

SUELI APARECIDA MICHELI

Articulando conteúdos e metodologias na recuperação de

alunos com dificuldades de aprendizagem em matemática no ensino médio.

Unidade didática desenvolvida como Avaliação parcial no Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE

Orientador: Prof. Dr. José Tadeu Teles Lunardi

PONTA GROSSA

2010

Unidade didática: Articulando conteúdos e metodologias na recuperação de

alunos com dificuldades de aprendizagem em matemática no ensino médio.

Conteúdos básicos: Medidas de grandezas, trigonometria, números reais, matrizes,

função trigonométrica, geometrias: espacial e plana.

Conteúdos estruturantes: Grandezas e medidas, números e álgebra, funções e

geometrias.

Conteúdos específicos: Relações trigonométricas no triângulo retângulo,

operações com matrizes, conceito de dimensão em geometria e tópicos

interdisciplnares envolvendo esses conceitos matemáticos com física, geografia e

biologia, culminando na construção de um projetor de imagens em 3D.

Desde as primeiras séries ou até mesmo no iniciar a vida escolar, as

instituições já fazem o diagnóstico das dificuldades de aprendizagem. Mas

infelizmente, como atribui Morais (2006), os diagnósticos são feitos, os problemas as

dificuldades são apuradas, as providências é que muitas vezes não são

consideradas e efetivadas, assim como também as medidas necessárias para

solucionar o que certamente poderia evitar a evasão, repetência, indisciplinas,

angústias dos alunos e das famílias, e outras consequencias na caminhada

educacional dos mesmos.

Os problemas encontrados na sala de aula têm as mais variadas causas,

estatísticas brasileiras e internacionais comprovam altas porcentagens de alunos

com dificuldades de aprendizagem, nas instituições escolares podemos verificar

estes índices nas avaliações aplicadas nos bancos escolares como:

Vestibulares, Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), Programa Internacional de

Avaliação de Alunos (PISA)-INEP, entre outras do MEC, Índice de Desenvolvimento

Educacional Brasileiro (IDEB). Segundo pesquisa internet, (DIFICULDADES DE

APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA, 2010) a avaliação é uma ferramenta para

superar as dificuldades matemáticas ”A avaliação não deve apenas ser feita sobre

os alunos, mas também ser feita para o aluno, de forma a orientar e aumentar a sua

aprendizagem.” Ponte (2010) reforça esse tema enfatizando que devemos sempre

Investigar a nossa própria prática docente como “Uma estratégia de formação e de

construção do conhecimento profissional.”

Repensando nossa prática docente, tendo claro o que queremos ensinar ainda

Polya (1978) atribui “Aprendizagem começa com ação e percepção, desenvolve-se

com palavras e conceitos e deveria terminar com hábitos mentais desejáveis.”

Desenvolver conceitos, levar o aluno a ser construtor e autor de suas

construções e conceitos, são objetivos da nossa proposta de implementação na

escola, através de atividades e situações problemas acompanhando os conteúdos

trabalhados em sala de aula, enunciados com linguagem matemática do cotidiano

do aluno. Polya (1978) “A linguagem é, a princípio, a expressão de um pensamento:

não se pode utilizar uma nova linguagem com o aluno sem que esta faça sentido

para ele.” Acompanhando o desenvolvimento e necessidades de apoio aos alunos

com dificuldades de aprendizagem, faremos algumas atividades com aplicação da

tendência etnomatemática e contextualização, como na proposta de Implementação,

objetivaram trabalhar com a problemática do Projeto de intervenção Pedagógica na

Escola, que são as dificuldades de aprendizagem do aluno.

Conversando com o aluno, pesquisando e elaborando um levantamento sobre

a realidade sócio-econômico-cultural, bem como de seu ambiente profissional, ou de

seus pais e responsáveis, com as seguintes questões norteadoras:

Questionário

1) Qual é a profissão:

a) de seu pai?

b) de sua mãe?

c) que você gostaria de ter no futuro?

2) Se você já trabalha, qual é a sua ocupação?

3) Marque com um "X" a renda total de sua família:

( ) até um s. m. (salário mínimo)

( ) de 1 a 3 s.m.

( ) de 3 a 6 s.m.

( ) mais do que 6 s.m.

4) Quantas pessoas compõem sua família, e moram na sua casa, incluindo

você?

5) Qual o nível de instrução de:

a) sua mãe?

b) seu pai?

6) Como você ocupa o tempo em que não está na escola, ou trabalhando?

7) Qual é sua atividade de lazer preferida? (leitura, esportes, cinema, televisão,

passear, etc.)

8) Se você gosta de ler, qual é seu tipo de leitura preferida?

9) Se você pratica esportes, qual é seu esporte preferido?

10) Você tem alguma dúvida ou curiosidade que sempre quis saber a resposta,

mas nunca teve uma resposta ou explicação satisfatória? Em caso afirmativo,

formule aqui essa pergunta ou curiosidade.

Ainda para diagnosticar e melhor poder auxiliar os alunos em suas dificuldades

de aprendizagem será aplicado um teste, conforme modelo abaixo:

Teste para diagnosticar as dificuldades de aprendizagem dos

alunos da 1ª série do Ens. Médio Colégio:

Nome:

1) Observe os números, responda às questões e justifique suas respostas.

(Projeto Araribá “Matemática”, 2006, 7ª série ,p.23)

-27 3/5 √16 1,353535... √7 π.

a) Qual desses números é natural?

b) Quais são inteiros?

c) Que números são irracionais?

d) Que números são racionais?

e) Que números são reais e não racionais?

2) Responda verdadeiro (v) ou falso (f), as afirmativas e justifique suas

respostas.(op. cit.)

a)Todo número irracional é também um número real.

b)Todo número racional é também um número real.

3) Leia, analise e responda o que se pede: (op. cit.,p.158)

Carolina vende salgados e doces para festas. O cento de salgados custa R$

35,00 e o cento de doces custa R$ 38,00. Se você considerar que Carolina recebeu

uma encomenda de x centenas de salgados e y centenas de doces, qual é a

expressão que representa:

a) o total arrecadado com essa encomenda?

b) o total arrecadado se houve 3 encomendas como essa?

4) Leia, em seguida, pode desenhar para determinar. (op. cit.)

Um jardim de uma casa que tem um formato retangular, com medidas 2x m de

comprimento e xm de largura (m é a abreviação da unidade de medida de

comprimento usada, ”metro”). Ele será coberto com uma grama especial que custa

R$ 5,00 o metro quadrado. Também será construído um pequeno muro de 1 metro

de altura em torno dele, deixando uma passagem de 1m. O custo do metro

quadrado do muro é de R$ 7,00.

Determine.

a)O custo da obra, como função de x.

b)O custo da obra sabendo que x = 6m

5) Encontre a solução do problema. (op. cit.p.164)

Vitor decidiu levar seus filhos ao cinema. Chegando lá encontra duas opções

para estacionar seu carro. Veja os valores que anunciavam as placas de cada

estacionamento:

Estacionamento A Estacionamento B

1ª hora: R$ 3,00 1ª hora: R$ 4,00

Hora adicional: R$ 1,20 Hora adicional; R$ 0,80

a) Quais os custos de x horas em cada estacionamento?

b) Qual a opção será mais vantajosa para Vitor guardar o carro por um período

de 6 horas? E por quê?

6) Dados os conjuntos A={-1,0,1}; B={0,2} e C={1,2}, determine o produto

cartesiano:

a) AxB

b) BxA

c) AxC

d) CxA

e) BxC

f) CxB

g) A²

h) B²

i) AxB é igual a BxA? Sim ou não. Justifique sua resposta.

j) AxC é igual a CxA? Sim ou não. Justifique sua resposta.

k) BxC é igual a CxB? Sim ou não. Justifique sua resposta.

7) Usando seus conhecimentos de trigonometria, como você poderia medir a

altura da torre da Igreja Matriz de Castro, sem subir na torre?

Descreva:

8) Use o transferidor, régua para desenhar um triângulo retângulo que tenha

um ângulo de 50º. Meça os lados e calcule a tg 50º, sen50º, cos50º, com

aproximação de duas casas decimais

9) Como poderemos medir a largura do Rio Iapó de Castro, fixando um ponto

arbitrariamente na sua margem e sem atravessar por ele?

Descreva:

10) Uma pessoa usa um teodolito para medir o ângulo de elevação até o topo

de um prédio. Se essa pessoa está a 60m do prédio, qual é a altura desse prédio,

sabendo que o ângulo mede 20º e o teodolito tem 1m de altura?

Descreva os seus cálculos

11) Leia e responda.(Coleção a Conquista da’ Matemática’ 6ª série, 2002,

p.136)

Roberto e Augusto jogam no mesmo time de futebol de Areia. No último

campeonato, os dois juntos marcaram 52 gols. Roberto marcou 10 gols a mais que

Augusto. Quanto gol Roberto marcou nesse campeonato?

a) Indique por x o número de gols que Augusto marcou.

b) Represente a expressão do número de gols que Roberto marcou.

c) Escreva a equação que represente o número de gols marcados pelos dois

juntos.

d) Resolva a equação.

Responda.

e) Quanto gol marcou Roberto?

f) Quanto gol marcou Augusto?

12) Um reservatório, quando totalmente cheio, pode conter y litros de água. Se

retirarmos 50 litros de água, a quantidade que resta é menor que ¾ da capacidade

total desse reservatório. Qual a sentença matemática que expressa esse fato?

(Coleção a Conquista da” Matemática” 6ª série, 2002,p.165)

Pode representar esta situação também através de um desenho.

13) Resolva a seguinte situação problema. (Projeto Araribá “Matemática”, 8ª

série 2006. p.51)

Um senhor vai construir um galinheiro de formato retangular, cuja área será de

32 m².

Faça o esboço da situação problema

a) Quantos metros de tela ele irá utilizar para cercar o galinheiro, se um dos

lados do galinheiro terá 4m a mais que o outro?

b) Escreva a equação que representa a incógnita x.

Resolva:

c) Se a altura da tela será de 2m, e o preço por m² custa R$ 12,00, qual o custo

da construção do galinheiro?

Descreva seus cálculos

Continuando e conversando:

Vocês utilizam matemática em suas atividades profissionais? Quais? Como?

Converse com seus pais ou responsáveis se eles utilizam e como utilizam

matemática em seu cotidiano ou em suas profissões.

Após as respostas dos alunos, aproveitaremos o momento e trabalharemos

também as respostas apresentadas pelos alunos no teste, enfatizando os conteúdos

básicos necessários para a compreensão e aplicações dos mesmos, por exemplo:

Conjuntos. Segundo Toledo (1997) trabalhar com conjuntos pode ser

concretizado. Pois desde a antiguidade os povos primitivos utilizavam conjuntos

para enumerar seus pertences. Conjuntos nas Diretrizes Curriculares da Educação

Básica (2008) também é a base para chegarmos ao conteúdo de funções, o campo

para aplicações de funções é de infinitas concretizações. Trabalhando com funções

e direcionando para a interrelação com outras disciplinas, conteúdos e áreas.

Sugerimos como leitura a “História da Matemática” encontrada nos próprios

livros didáticos da 1ª série utilizados no colégio (Giovanni & Bonjorno ”Matemática

Completa”), e também levar os alunos para pesquisar na biblioteca do colégio,

levando consigo um roteiro de pesquisa:

a) Como surgiram os números naturais? E porque denominamos números

naturais?

b) Escreva um conceito para número natural e um para numeral.

c) Encontre a diferença entre conceitos de número e numeral;

d) Será que os números sempre foram escritos da forma em que são escritos

hoje?

e) Quantos são os números naturais?

Segundo Bongiovanni; Vissoto; Laureano (1993, p.15) ”Os matemáticos

expressam essa idéia dizendo que a sucessão dos números naturais é infinita.”

O homem na antiguidade teve a necessidade de ampliar o conjunto dos

números naturais, assim criou-se o conjunto dos números inteiros e outros. Muitas

aplicações no dia-a–dia são encontradas também através dos números inteiros,

percebendo as dificuldades dos alunos em sala de aula é que planejamos algumas

atividades e aplicações para que a matemática seja significativa e desperte o

interresse pelo estudo da matemática, trabalhar junto com a Profa. da disciplina de

geografia.

Fusos horários

Atividades

1) Pesquisar que horas são em Brasília, quando em Londres é 0 horas;

2) E em Tóquio?

3) No Brasil existe diferenças de fusos horários?

Com o mapa Mundi visualizar e compreender as diferenças de fusos horários

entre os países, correspondentes as localizações e distâncias, utilizando números

inteiros, o meridiano de Greenwich por convenção é a base para cálculos

internacionais de horários.

Levar os alunos no laboratório de informática para acessarem o site

(http://earth.gogle.com/download-earth-html)

Na sequência vamos recapitular os conjuntos numéricos que já conhecemos?

Atividades

1) Represente através de conjuntos escrevendo elementos dos:

a) Números naturais;

b) Números inteiros;

c) Números racionais;

d) Números irracionais;

e) Números reais.

2) Represente através de um reta real numerada, medida com distâncias de 1

centímetro entre alguns numerais em relação aos conjuntos acima .

Muitas são as aplicações matemáticas, utilizando conjuntos numéricos,

equações e outros conteúdos matemáticos no dia-a-dia, por exemplo, em uma

situação problema como:

Entre os anos de 1993 e 1999, aproximadamente 16.900km 2 da floresta

Amazônica foram devastados por ano.

Você sabia que a área desmatada em um ano corresponde a um pouco mais

que a metade da área do Estado de Alagoas (BARROSO, 2006, p.44).

A superfície da floresta da Amazônia desmatada em um ano corresponde a um

quadrado de que medida de lado?

Questões de reflexão e interpretação

• Questionar o aluno sobre a situação problema;

• Questionar como o aluno resolveria esta situação;

• Sugerir pesquisas sobre a situação problema, hoje?

• Visualizar as regiões e ou Estados no mapa político brasileiro.

Considerando que a área é quadrada, podemos representar por uma figura

geométrica Quadrada, se atribuirmos aos seus lados uma letra x:

Construir um quadrado de lado x medidas

A área desse quadrado é o quadrado da medida do lado, ou seja: x2.

Como a área desmatada é igual a 16900 km2, podemos montar a seguinte

equação:

l . l = x2 substituindo temos:

x2 = 16900

Área do quadrado = Área desmatada

Para resolver esta equação devemos procurar por todos os possíveis valores

da variável x, ou seja, da letra com valor desconhecido (incógnita) para que a

equação se torne uma igualdade numérica verdadeira. Por exemplo, quais números

que elevado ao quadrado dê como resultado 16900.

Utilizando seus conhecimentos sobre a raiz quadrada, você pode chegar a

conclusão de que a2 = a, a = √a , onde a é maior ou igual a zero, é sempre não

negativo, aproveitar o momento para relembrar e construir o conceito do conteúdo

da raiz quadrada. A revista Nova Escola, março 2010, traz algumas informações e

sugestões para encontrar a raiz quadrada.

Elevando os dois membros da equação ao quadrado, mantemos a igualdade.

Extraindo a raiz quadrada, e porque podemos fazer isso?

X2 = 16900

1º membro = 2º membro x = ±130

Então ou x = +130 e x = - 130

(X²)1/2 = 169001/2

“pois” (+130)2 = 16900

X = 169001/2

X = ± √16900

e (-130)2 = 16900

Analisando a resposta, o valor (incógnita) da variável x, como essa equação

foi gerada a partir de uma situação problema e que, nesse problema, se representa

a medida do lado de um quadrado, portanto esse número não pode ser negativo,

apesar de obtermos duas soluções para x, o problema apresentado tem uma única

solução: a área desmatada em um ano correspondente a um quadrado de lado igual

a 130 metros.

Relembrar que √a, onde a ≥ 0 é sempre não negativo, também | x | = √x2, o

Conceito de Módulo de um número real ou valor absoluto, I x I = x (módulo de x é igual a x). Por exemplo: | 2 | = 2, |- 3| = 3, | 0 | = 0.

“O módulo de um número real nunca é negativo”, geometricamente, o

módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta

real, o número x ao ponto O de origem, independente de suas posições relativas.

Trabalhar com experiências concretas torna a matemática significativa, uma

simples concretização enriquece o conhecimento e facilita a aprendizagem, como

uma atividade de construção do metro linear. Atividade

1) Utilizando papel sulfite branco ou colorido, medir com a régua tiras de 10

cm de comprimento e 2 cm de largura, deixando 1cm em cada lado para colar, cortar

10 tiras retangulares e colar uma na outra formando o metro linear, com este

instrumento de medidas, medir sua carteira, seu caderno, e outros objetos ao seu

redor na sala de aula.

2) Comparar o metro construído com o metro de uma trena ou metro

articulado.

3) Com o metro construído encontrar os múltiplos e submúltiplos do metro.

4) Questionar quais instrumentos de medidas o aluno conhece ou tem em

casa?

5) Com o metro construído medir objetos circulares, depois medir o diâmetro

do mesmo objeto, podendo fazer uso da calculadora, dividindo o valor do

comprimento da circunferência pelo diâmetro (maior corda da circunferência), que

valor encontrou? Podemos encontrar um valor aproximado ao valor do número PI,

mostrar para os alunos que o número PI no nível de conhecimento e série que eles

estão no momento não é possível provar que PI é um número irracional, por ser

abstrato, são apenas informações e aproximações e é representado pela letra grega

π.

6) Sugestão, pesquisa sobre o número PI.

7) A qual conjunto pertence o nº PI?

8) No dia-a-dia onde utilizamos o nº PI?

9) Em quais profissões é muito utilizado o nº PI?

10) Conceitue com tuas palavras o nº PI.

11) Vamos escrever uma situação problema que para sua resolução seja

necessário utilizar o nº PI.

Explorando conjuntos numéricos muitas atividades pode-se trabalhar, como por

exemplo “funções”, vamos recapitular alguns conteúdos básicos necessários para a

compreensão de funções através de conjuntos numéricos: Seja os conjuntos

numéricos A e B quaisquer:

A = {1,2,3} e B = {4,5,6}

Atividades 1) Escreva o produto cartesiano AxB;

2) Conceitue a formação deste produto.

3) Escreva um subconjunto de AxB.

4) Represente o subconjunto de AxB através de diagrama de VENN. Mas o que

é diagrama de VENN?

5) Represente por um gráfico cartesiano o mesmo subconjunto de AxB.

6) Escreva de forma simbólica o conceito de AxB

Relação Conceito: “Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação R de A em B a

qualquer subconjunto não vazio de pares ordenados do produto cartesiano A x B.”

Atividades 1. Dados A = { -2, -1, 0, 1} e B = { -1, 0, 2, 3, 4, } , escreva os elementos das

relações de A em B conforme determinado em:

a) Rְ = {(x,y) Є A X B l y = x + 1};

b) R 2 = {(x,y) Є A X B l y = x² }

2.Escreva um conjunto A e um B com 5 elementos numéricos quaisquer cada

um.

a) escreva o produto cartesiano A x B;

b) represente graficamente estes conjuntos por meio de flechas;

c) represente os mesmos conjuntos através de um plano cartesiano.

Funções

Escreva dois conjuntos numéricos quaisquer, A e B com três elementos cada.

Escreva o produto cartesiano de A e B, formando pares ordenados AxB, onde o

primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao

conjunto B.

Escreva por meio de um diagrama de VENN os conjuntos A e B e os relacione

através de flechas.

Esta relação é uma função? Sim ou não? Justifique sua resposta.

Em nosso dia-a-dia onde podemos encontrar funções?

Objetivo:- Entender o conceito de função.

Questionamento?

O que vocês entendem por função?

• Pedir aos alunos exemplos de funções do cotidiano.

• Professor dar exemplos de funções do cotidiano.

“A relação pais e filhos” dos alunos na sala de aula, cada aluno tem apenas um

pai. Escrever esta relação por meio de diagrama de VENN.

Razões trigonométricas no triângulo Retângulo

Situação- Problema

Queremos saber a medida da largura (l) de um rio, sem atravessar-lo?

Com os conhecimentos básicos que vocês adquiriram na 8ª série do Ens.

Fundamental, como poderíamos resolver esta situação problema? As noções de trigonometria nos ajudariam a solucionar esta questão, ramo da

matemática com utilíssima aplicação no estudo da física, no campo da navegação,

no campo da engenharia, segundo Dante (2008, p.187):

Existem vestígios de um estudo rudimentar de Trigonometria entre os

babilônicos, que a usavam para resolver problemas práticos de

navegação, de agrimensura e de astronomia. Hoje, sabemos que a

astronomia foi à grande impulsionadora do desenvolvimento da

Trigonometria, principalmente entre os gregos e os egípcios. Aliás,

foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da

Trigonometria.

Para compreender estas noções vamos relembrar e construir juntos uma figura.

Desenhar dois segmentos de reta uni-los por um ponto que denominamos

vértice (B) formando um ângulo agudo (mas o que é um ângulo agudo?), sobre um

dos lados da figura, tomamos arbitrariamente pontos A, A’, A’’, com distâncias entre

si arbitrarias, por estes pontos traçamos perpendiculares a este lado do ângulo

determinando no outro lado da figura os pontos C, C’, C’’, como poderemos

visualizar na figura. ( desenhar)

Desta forma obtemos triângulos retângulos semelhantes, BAC ~

BA’C’~BA’’C’’...

“O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria,

ele é o objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e

definições de acordo com o tamanho de seus lados e medidas dos ângulos

internos”, (Brasil Escola, 2010)

Chamamos de triângulo retângulo o triângulo que tem um ângulo igual à

90º(ângulo reto).

Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo reto são

chamados de “catetos” e o em frente ao ângulo reto é a “Hipotenusa”.

(Fazer a figura para representar o triângulo retângulo).

Estabelecendo as razões nos triângulos retângulos semelhantes (fazer a

figura), conforme definições abaixo.

1) AC/BC = A’C’/BC’ = A’’C’’/BC’’= ... = K’

Este valor constante k’ é denominado seno do ângulo agudo ABC.

Indica-se: sen B =AC/BC

2) BA/BC = BA’/BC’= BA’’/BC’’= ... = K’’

Este valor constante k’’ é denominado co-seno do ângulo agudo ABC.

Indica-se: cos B = BA/BC

3) AC/BA = A’C’/BA’ = A’’C’’/BA’’=... = K’’’

Este valor constante K’’’ é denominado tangente do ângulo ABC.

Indica-se: tg B = AC/BA

Observação

Os valores k’, K’’, K’’’, variam de acordo com o ângulo ABC e não dependem

dos pontos A, A’, A’’,... .

Agora com os conhecimentos já relembrados poderemos resolver a situação-

problema inicial, para encontrarmos a largura do rio. Vamos construir um

instrumento rudimentar o Teodolito, para encontrarmos a largura do Rio Iapó de

Castro, conforme enunciado do teste.

Se os alunos não conhecem alguns instrumentos de medidas necessários, farei

a exposição dos mesmos, para que possam visualizar e manusear.

Provérbio chinês “Se ouço esqueço, se vejo lembro, se faço compreendo”.

O grupo deverá construir o Teodolito, mas o que é Teodolito?

Explicar como construir o Teodolito de forma rudimentar. Construir um cavalete

de madeira, verificar sua altura se está no mesmo nível utilizando os instrumentos

(nível ou prumo), pregar uma ripa de madeira ao lado de forma que possa ser

movimentada.

Pedir aos alunos que façam a leitura do seu livro didático de matemática

buscando conceitos da trigonometria e suas relações com as outras áreas de

conhecimento.

Sugestões de Leitura:

(Bongionamni; Vissoto; Laureano, 1990, p.215) O que é Trigonometria do

Triângulo Retângulo? Um pouco de história no livro de Castrucci (1985). Trigometria

(tri = três; gones = ângulos; metron = medir : radicais gregos) . Daí o significado

medida do triângulo. Assim, trigonometria significa também medição de triângulos.

Foi pela necessidade de relacionar distâncias com ângulos que levou

astrônomos e topógrafos de diversos povos, como os babilônios, gregos, Árabes e

Hindus, a criarem a trigonometria. No entanto, o termo trigonometria apareceu pela

primeira vez num livro de Bartholomeu Pitiscus (1561-1613) – Thesaurus-publicado

em 1613.

Continuação da história (BONGIOVANNI; VISSOTO; LAUREANO, 1993, p.100,

“Matemática e Vida ”Ensino Médio).

Outras Sugestões:

• (GIOVANNI E CASTRUCCI, 1985, p.133) do livro “Matemática e Vida”. Ensino

Fundamental.

• (GUELLI, Oscar. “Contando a história da matemática” n° 6. p.61).

Na aula seguinte após todas as orientações seguindo o cronograma, sairemos

a campo para coletar dados, observar, pesquisar e fazer anotações.

1 ª Atividade Que prédio alto da escola! Vamos fazer uma estimativa de qual será a medida

da sua altura? Alguns alunos farão a parte prática outros apenas observarão e

anotarão todos os dados.

Estratégias

Colocando o teodolito no chão plano e nivelada a certa distância da parede do

prédio, o aluno deverá olhar através da ripa (móvel) pregada ao lado do cavalete

para visualizar o topo do prédio, com o transferidor, medir o ângulo que se formou

entre o cavalete e a ripa (Teodolito) mirando no topo do prédio. Podemos

representar a figura através de um desenho. Assim obtemos um triângulo retângulo

imaginário. Como podemos visualizar o triângulo retângulo neste processo e qual

relação trigonométrica aplicaremos?

Através de passos um aluno do grupo mede a distância do teodolito até a

parede do prédio da escola e registra.

Outro aluno mede a mesma distância com a trena, registra e compara o

comprimento medido por passos com o comprimento medido com a trena, todos

fazem o registro.

2 ª Atividade Qual a medida da altura do poste de luz, fazer uma estimativa?

Utiliza os mesmos procedimentos anteriores que foram aplicados para medir a

altura do prédio da escola.

3 ª Atividade

Como a escola é privilegiada em situar-se próxima ao Rio Iapó, iremos até lá.

Questões: Como poderemos medir a largura do rio sem atravessar por ele, qual será

a medida da largura do rio por estimativa? Vamos conferir.

Na margem do rio fixa um marco, do outro do rio também, pode fixar uma

pedra ou uma árvore como marco, formando um ângulo reto, outro aluno caminha

pela margem do rio até visualizar o marco da outra margem formando um ângulo

agudo utilizando o Teodolito. Desenho demonstrando as margens do rio e a

formação de um triângulo retângulo.

Encontra o ângulo utilizando o Teodolito registra a medida do ângulo agudo x

utilizando o transferidor. Voltando para sala de aula.

Vamos relembrar e desenhar no caderno um triângulo retângulo.

Ậ = Ângulo A

� = Ângulo B

Ĉ= Ângulo C

Razão do cateto oposto pela hipotenusa em relação ao ângulo x = c / a. A esse

valor constante denominamos seno do ângulo x e denotamos sen x. Essa relação

depende do triângulo específico que consideramos, ou depende somente do

ângulo? Porque?

• Razão do cateto adjacente pela hipotenusa ao ângulo x = b / a. A esse valor

constante denotamos co-seno do ângulo x.

• Razão do cateto oposto pelo cateto adjacente = c / b, denotamos tg x.

• Agora utilizando a régua vamos construir um triângulo retângulo com as

medidas 3, 4, 5, também denominados de números Pitagóricos, como no exemplo

seguinte:

Encontre:

• O seno do ângulo y = ......

• O co-seno do ângulo y = ......

• E a tangente do ângulo y = .....

Se calcularmos estas razões vamos obter números decimais. Esses valores

podem ser encontrados em tabelas trigonométricas ou calculadoras científicas,

quanto mais casas décimas utilizarmos, mais precisões terão nos resultados.

Agora vamos fazer os cálculos utilizando os dados que foram registrados na

pesquisa de campo.

1ª Atividade: Altura do prédio da Escola?

a) Qual relação trigonométrica, vamos utilizar sen, cos, ou tg para encontrar a

altura do prédio?

b) Descreva a figura geométrica conforme os dados que coletamos. Obs: Não

podemos esquecer - mos de adicionar a medida da altura do Teodolito.

c) Quais as medidas que já conhecemos? (múltiplos e submúltiplos do metro)

2ª Atividade A altura do poste de luz?

3ª Atividade: A largura do rio Iapó de Castro, comparar com as medidas estimadas.

4ª Atividade A) Agora invente problemas de medidas (faça medidas em casa ou na rua)

descrevendo outras situações problemas, utilizando as relações trigonométricas que

já conhecemos.

b) Usando trigonometria, calcule o raio da Lua, supondo conhecida a distância

da Terra à Lua.

c) E se conhecêssemos apenas o raio da Lua, como poderíamos calcular a

distância da terra à Lua?

Você sabia que segundo (DANTE, 2008, p.29)

”... o diâmetro da Terra na linha do equador é de 12756,34 km”.

5ª Atividade

a) Vamos utilizar também algumas atividades do seu livro didático.

Matrizes

Em nosso cotidiano utilizamos este conteúdo matemático e muitas vezes não

damos conta disto, por exemplo: na computação, nos televisores vemos nas telas

uma grande matriz, quanto maior a matriz mais pontos denominados (pixels).

Quanto mais pixels, podemos visualizar com maior nitidez a imagem, os pixels na

tela dos televisores estão dispostos em linhas e colunas e representam pontos

coloridos. Podemos utilizar matrizes nos cálculos matemáticos como importante

ferramenta em diversas aplicações no cotidiano. Este conteúdo será trabalhado com

mais profundidade na 2ª série do Ensino Médio.

Definição segundo (DANTE, 2008, p. 241) ”Denomina-se matriz m x n (lê-se m

por n) uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos em m linhas

e n colunas”.

Uma matriz quadrada m x n, onde m=n, sendo m = nº de linhas, e n = nº de

colunas, podemos representar uma matriz 2 x 2, onde m = 2 e n = 2 conforme o

exemplo a seguir.

a)

é uma matriz de ordem 2 x 2 (dois por dois) denominada quadrada.

b)

é uma matriz do tipo 2 x 3 (dois por três) ou seja m = 2 e n = 3, também

denominada matriz retangular.

c) [1 3 9] é uma matriz m = 1, ou seja 1 x 3 denominada matriz linha, 1

linha e 3 colunas.

d) é uma matriz n = 1 do tipo 3 x 1 denominada matriz coluna, 3 linhas

e 1 coluna.

Podemos utilizar matrizes como instrumentos aplicando algumas operações

básicas como: adição, subtração, multiplicação e outras.

Representação genérica de uma matriz Os números utilizados em uma matriz são denominados elementos ou termos

de uma matriz.

Uma matriz do tipo 2 x 2, ou seja, matriz quadrada onde o elemento 1 está na

1ª linha e 1ª coluna podemos escrever: aij ou a11, onde i representa a posição em

qual linha o elemento se encontra e j representa a posição em qual coluna o

elemento se encontra.

ATIVIDADES

1) Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes.

a) b) c) [-0 1,4 1]

2) Escreva a matriz X , sendo (aij), a11 = 1, a1,2 = 3

a21 = 0, a22 = -5

3) Identifique o tipo da matriz X.

4) Escreva duas matrizes A e B quaisquer que sejam quadradas 2 x 2, cujos

elementos estejam contidos no conjunto dos números inteiros, em seguida calcule:

a) A+B

b) B+A

O resultado de a e b é igual? Justifique sua resposta.

c) A-B

d) B-A

O resultado de c e d é igual?Justifique sua resposta.

5)Trabalhar com operações de matrizes aditivas e subtrativas do tipo 2 x 2, 1 x

3, 3 x 1, com os alunos no laboratório de informática utilizando o programa Excel.

Projeto de construção de um Projetor de slides 3D

Como atividade integradora dos conteúdos matemáticos estudados ou

revisados, descritos anteriormente, bem como para explorar as relações desses

conteúdos com outras disciplinas do ensino médio, estamos propondo um projeto

interdisciplinar culminando na construção de um projetor de slides tridimensionais

(3D), em que os alunos participariam ativamente de todas as etapas dessa

construção, descritas a seguir:

1. conceituação e entendimento dos fenômenos envolvidos na formação de

uma imagem tridimensional no cérebro humano;

2. modelagem matemática do processo de percepção de profundidade

espacial;

3. entendimento e modelagem matemática do fenômeno biológico de

percepção das cores;

4. entendimento das tecnologias de projeção de imagens que criam a ilusão

de tridimensionalidade, como aquelas applicadas nos “cinemas 3D”,

especialmente a técnica que faz uso de óculos anaglifos (lentes vermelhas e

azuis, por exemplo);

5. conceituação e modelagem matemática do registro de uma imagem;

6. produção “artesanal” de imagens para projeção 3D, usando câmeras

fotográficas comuns e processamento matemático das imagens usando

operações matriciais simples, como soma e subtração de matrizes em

softwares como o Excel®;

7. produção artesanal de óculos anaglifos para visualização do efeito 3D nas

imagens construídas e projetadas através de um projetor multimídia.

Todas as etapas descritas acima serão precedidas pela projeção de um filme

3D em DVD, usando um projetor multimídia na própria escola, para os alunos que

farão parte do projeto. Essa atividade terá o objetivo de gerar o estímulo inicial nos

alunos, despertando sua admiração pela ilusão de visão 3D e, principalmente,

despertando suas dúvidas acerca de como esta ilusão pode ser possível, e como

pode ser realizada na prática. Todas essas perguntas e curiosidades serão

respondidas nas etapas descritas acima, culminando com a construção de um

projetor 3D artesanal.

Espera-se, com essa experiência, desenvolver nos alunos a visão de que os

conhecimentos matemáticos, assim com aqueles das demais disciplinas envolvidas

no projeto, quando usados de forma integrada (interdisciplinar), sem divisões

arbitrárias entre um e outro, são essenciais para a compreensão e modelagem da

realidade que nos cerca, sendo a tecnologia um produto do uso integrado desses

conhecimentos.

Referências: BARROSO, J. M. Matemática – Projeto Araribá. 5ª a 8ª série. 1. ed.

[S.l.]: São Paulo: Moderna, 2006.

BONGIOVANNI, V; VISSOTO, L.O.R; LAUREANO, J.L.T.Matemática E Vida. Volume1. 2º Grau. 2. ed. São Paulo; Ática, 1993. p.15-169.

DANTE, LUIZ ROBERTO. Matemática, volume único, 1. ed. SÃO

PAULO: Ática, 2008. p. 29-187.

GIOVANI,I.R; CASTRUCCI, B; GIOVANNI, I.R.JR. A conquista da matemática a+nova: 1. ed. São Paulo: FTD, 2002. p. 23-158.

GUELLI, O. Contando a história da matemática. São Paulo: ed. Ática,

v. 6, 1996

MORAIS, A.M.P. Distúrbio da aprendizagem. Uma abordagem

psicopedagógica.12.ed. São Paulo: Edicon, 2006.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2008.

POLYA, G.Ed. Adaptado de A arte de resolver problemas. Rio de

janeiro. 1978. Disponível em :< desul 3.edunet.sp.gov/br/PC> Acesso

em : 29/04/2010.

PONTE, JOÃO PEDRO. TRABALHO: Dificuldades de Aprendizagem em Matemática. Disponível em :<desul .edunet.sp.gov/br/PC> Acesso

em : 29/04/2010.

TOLEDO, Marília e TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como

dois e dois: a construção da matemática. FTD, São Paulo, 1997.