O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

FUNÇÕES E GEOMETRIA, UTILIZANDO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E

NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Autor: Marilda Schmeisch1 Orientador: Sandra Malta Barbosa2

RESUMO

O presente trabalho trata do resultado da implementação do estudo de funções utilizando, o software Geogebra, sob uma abordagem de investigação no processo de ensino e aprendizagem. Neste ambiente investigativo o aluno pode elaborar conjecturas, tentar demonstrar por caminhos diferentes e observar relações que não foram observadas, nem mesmo pelo próprio professor. Para tanto, apresenta-se um estudo de Funções lineares e quadráticas utilizando o software Geogebra com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental da Escola Estadual do Jardim Eldorado. O software Geogebra possui um ambiente que permite simular construções geométricas, propiciando um ambiente rico de imagens, movimento e animações, favorecendo assim, um estudo dinâmico e permitindo que o aluno visualize, interaja com o computador, investigue, construa e experimente. Iniciamos o trabalho com a apresentação do software Geogebra, bem como a sua disponibilidade para download, realizamos algumas atividades de ambientação da tela inicial e ícones de comandos, para então iniciar o estudo das funções lineares e quadráticas. Para iniciar o estudo da função linear partimos de situações do cotidiano, solicitando aos alunos que descobrissem qual expressão matemática que representava cada situação. Inserindo a expressão na entrada de comando do software, automaticamente surgia a construção geométrica da função, no qual os alunos eram instigados a perceberem as características do gráfico, investigando a relação da expressão com o gráfico construído na janela geométrica do software e o que representava cada coeficiente na função. Foram feitas conjecturas a partir desta investigação, sendo corrigidas e refinadas mediante discussões e reflexões entre professor e aluno, até que conceitos se formaram naturalmente após o processo argumentação dedução e conclusão. O uso adequado de recursos computacionais pode ser um importante aliado para proporcionar aos estudantes situações de aprendizagem e construção de conceitos com maior significado.

Palavras-chave: Tecnologia; Investigação; Funções; Geometria Dinâmica.

1 Especialização no Ensino de Matemática. Graduação em Matemática. Escola Estadual do Jardim Eldorado, Ensino Fundamental. 2 Doutora em Educação Matemática. Docente Adjunto B. Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina (UEL).

1 Introdução

A vivência docente tem nos mostrado que só utilizar os métodos tradicionais

de ensino leva grande parcela dos alunos a sair do Ensino Fundamental, sem

atribuir qualquer significado ao conceito de Função. Normalmente, o professor inicia

este conteúdo mostrando o que é uma função e como é feita a representação

gráfica, resultando no estudo dos sinais. Os alunos, em geral, decoram estas regras

e não conseguem identificar a relação entre as funções e as equações, tampouco

transferir o conceito para uma situação real ou de seu cotidiano.

Assim, com a finalidade de dinamizar o processo de ensino-aprendizagem e

aproveitar os recursos tecnológicos disponíveis no laboratório do Paraná Digital -

PRD, elaborou-se uma Unidade Didática apresentada como parte do projeto

desenvolvido no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). O objetivo foi

apresentar uma proposta de trabalho diferente do tradicional giz e quadro, em que

mediante atividades de investigação, os alunos pudessem identificar, construir e

aplicar o conceitos matemáticos relacionados a função em situações do cotidiano.

Para Lévy (1993),

novas maneiras de pensar e de conviver estão sendo elaboradas no mundo das telecomunicações e da informática. As relações entre os homens, o trabalho, a própria inteligência dependem, na verdade, da metamorfose incessante de dispositivos informacionais de todos os tipos. Escrita, leitura, visão, audição, criação, aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada (LÉVY, 1993, p.7).

Os professores, e consequentemente o ensino, continuam presos aos

recursos básicos como os livros, quadro negro, giz, etc. Estes recursos básicos

continuam sendo necessários e eficientes, porém esta pesquisa propõe incorporar

novos atores neste cenário educacional (como as mídias informáticas), a fim de

favorecer a compreensão e visualização de conceitos para a construção do

conhecimento, utilizando o software Geogebra no estudo de Funções.

Barbosa (2009) relata que

muitos conceitos e processos matemáticos podem ser visualizados através de diagramas ou gráficos. A visualização na Matemática é um processo de formação de imagens (mental ou com papel e lápis, material concreto, ou com ajuda das TIC) de conceitos abstratos, para usá-las com o intuito de se obter um melhor entendimento e de estimular a descoberta matemática. [...] É um tipo de raciocínio baseado no uso de elementos visuais e espaciais para resolver problemas ou provar propriedades. É um ato no qual é estabelecida uma conexão entre a construção interna (o que está na mente) e alguma coisa acessada dos sentidos (está fora: papel, computador, etc...) (BARBOSA, 2009, p.60).

Desta forma, o direcionamento deste trabalho nos levou a pensar em dois

questionamentos:

• O uso de um software específico de geometria dinâmica e funções irá

favorecer a compreensão de conceitos estimulando a descoberta

matemática?

• A visualização, além de ser uma habilidade, também é compreendida

como uma linguagem que pode comunicar a Matemática, quando a

abordagem algébrica não consegue ser expressa?

Considerando que a Matemática está sendo vista pelos alunos como uma

disciplina difícil, causadora das retenções na maioria das séries e até mesmo de

evasão escolar, há necessidade de utilizar recursos que proporcionem a

aprendizagem colaborativa e a sua importância para os educadores e estudantes.

O movimento, a velocidade, o ritmo acelerado com que a informática imprime novos arranjos na vida fora da escola caminham para a escola, ajustando e transformando esse cenário e exigindo uma revisão dos sistemas de hierarquias e prioridades tradicionalmente estabelecidas na profissão docente (PENTEADO, 2004, p.284).

Este trabalho foi realizado com êxito e aqui será apresentada a

fundamentação teórica que direcionou o projeto e os resultados obtidos.

2 Fundamentação Teórica

As Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental e

Médio sugerem que as abordagens do conteúdo de funções sejam ampliadas e

aprofundadas, de modo que o aluno consiga identificar regularidades, estabelecer

generalizações e apropriar-se de linguagem matemática para descrever e interpretar

fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do conhecimento. O estudo das

funções ganha relevância na leitura e interpretação da linguagem gráfica que

favorece a compreensão do significado das variações das grandezas envolvidas

(SEED, 2008).

Nas mesmas Diretrizes Curriculares de Matemática, o item mídias

tecnológicas, sugere a utilização de ambientes informatizados. Para Borba (1999),

os ambientes gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos

curriculares e potencializam o processo pedagógico, promovendo o surgimento de

novos conceitos e novas teorias matemáticas.

O GPIMEM (Grupo de Pesquisa em Informática outras Mídias e Educação

Matemática) aponta para a possibilidade de que trabalhar com computadores abre

novas perspectivas para a profissão docente.

O GPIMEM busca fugir do uso domesticado das novas tecnologias a partir de posições teóricas que valorizam o permear do conhecimento por diversas mídias disponíveis em dado momento histórico (LÉVY 1993, 1999). Investigamos a maneira como sistemas seres-humanos-mídias, produzem conhecimento. Não atentamos para perdas ou ganhos das novas tecnologias e sim para as transformações ocorridas quando diferentes mídias se associam a esses sistemas (BORBA, 2000, p.61).

Borba e Penteado (2001) discutem sobre o uso do computador em práticas

educativas, a produção de significado por parte dos alunos, professores e

pesquisadores.

Uma determinada mídia não determina a prática pedagógica. Entendemos, entretanto, que os exemplos aqui representados são resultados da harmonia existente entre o enfoque pedagógico e as mídias utilizadas. Ao

mesmo tempo, eles podem ser considerados como tentativa de superar problemas de práticas do ensino tradicional vigente (BORBA; PENTEADO, 2001, p.45).

O humano e a técnica.

Na década de 70, havia grandes discursos sobre os perigos das máquinas dominarem os humanos e, em particular, dos computadores e calculadoras “emburrecerem” nossas crianças. Dessa forma, deveríamos evitar que nossos alunos fossem contagiados pelos processos mecânicos das mídias informatizadas (BORBA; PENTEADO, 2001, p.47).

Segundo Borba e Penteado (2001), o autor Lévy (1993) enfatiza que a

dicotomia entre a técnica e o ser humano na prática nos desarma, pois não permite

que vejamos como a história da humanidade está sempre impregnada de mídias, e

que devemos de fato nos preocupar com as transformações do conhecimento nesse

momento em que uma nova mídia, no caso a informática, está se tornando cada vez

mais presente em nosso cotidiano. As mídias informatizadas devem estar em

harmonia com a prática pedagógica, desafiando nosso modo de pensar, baseados

na simulação, na experimentação, envolvendo escrita, oralidade, imagens e

comunicação. As mesmas por si só não produzem conhecimento. O conhecimento é

produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias. É importante

também ressaltar que uma mídia não descarta a outra, todas as tecnologias são

importantes e deverão ser utilizadas de maneira adequada e oportunamente visando

à construção do conhecimento. E complementam,

uma questão central para a entrada de novas mídias na escola está relacionada com o professor. Já há sinais evidentes, tanto na educação básica quanto na educação em nível universitário, que, se o professor não tiver espaço para refletir sobre as mudanças que acarretam a presença da informática nos coletivos pensantes, eles tenderão a não utilizar essas mídias, ou a utilizá-las de maneira superficial, domesticando, portanto, essa nova mídia. Para que o professor, em todos os níveis, aprenda a conviver com as incertezas trazidas por uma mídia que tem características quantitativas e qualitativas novas em relação à memória, um amplo trabalho de reflexão coletiva tem que ser desenvolvido (BORBA; PENTEADO, 2001, p.88-89).

2.1 Conhecimento Matemático e as Tecnologias

O conhecimento matemático é uma questão fundamental a ser considerada

tomando-se a maneira como o professor desenvolve suas ações pedagógicas.

As Diretrizes Curriculares de Matemática enfatizam que os recursos

tecnológicos sejam eles o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da

Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e

potencializando formas de resolução de problemas.

Borba e Penteado (2001) consideram que as ferramentas tecnológicas são

interfaces importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática.

Destacam que abordar atividades matemáticas com os recursos tecnológicos

enfatiza um aspecto fundamental da disciplina, que é a experimentação. De posse

dos recursos tecnológicos, os estudantes desenvolvem argumentos e conjecturas

relacionadas às atividades com as quais se envolvem e que são resultados dessa

experimentação. Diante desse contexto, é importante que o professor possa refletir

sobre essa nova realidade, repensar sua prática e construir novas formas de ação

que permitam não só lidar com essa nova situação, como também construí-la. Os

autores afirmam ainda, que o nosso trabalho, deve ser o de ver como a Matemática

se constitui quando novos atores (computadores) se fazem presentes em sua

investigação.

Referenciando-nos a Moran (2001), temos que

o acesso ao conhecimento e, em especial à rede informatizada desafia o docente a buscar nova metodologia para atender as exigências da sociedade. Em face da nova realidade, o professor deverá ultrapassar seu papel autoritário, de dono da verdade, para se tornar um investigador, um pesquisador do conhecimento crítico e reflexivo (MORAN, 2001, p.71).

E ainda segundo Moran (2001),

a inovação não está restrita ao uso da tecnologia, mas também a maneira como o professor vai se apropriar desses recursos para criar projetos

metodológicos que superem a reprodução do conhecimento e levem à produção do conhecimento (MORAN, 2001, p.103).

Diante das reflexões acima, apresentaremos o entendimento a respeito do

uso de software como forma de trazer aos alunos mudanças significativas na

investigação e construção do conhecimento matemático.

2.2 Investigação Matemática

No Dicionário Aurélio (2003), investigar significa fazer diligências para achar,

pesquisar, indagar, inquirir, examinar com atenção, esquadrinhar.

Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa

necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do

conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos interessam para

as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto

quanto possível fundamentado e rigoroso (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).

O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método

de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral,

de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim, uma mesma

situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes

grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação

diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes.

Na Investigação Matemática, o aluno é chamado a agir como um

matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente,

porque formula conjecturas a respeito do que está investigando. Assim, “as

investigações matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e

representações matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo

de conjectura-teste-demonstração” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p.10).

Como são estabelecidas diferentes conjecturas, os alunos precisam verificar

qual é a mais adequada à questão investigada e, para isso, devem realizar provas e

refutações, discutindo e argumentando com seus colegas e com o professor.

Tanto o professor quanto o aluno podem se sentir desconfortáveis quando

iniciam um trabalho em um cenário de investigação. Assim, deixar o paradigma do

exercício significa também deixar “uma zona de conforto e entrar numa zona de

risco”, assim como discutida por Borba e Penteado (2001).

Alguns professores procuram caminhar numa zona de conforto onde quase tudo é conhecido, previsível e controlável. [...] Mesmo insatisfeitos, e em geral os professores se sentem assim, eles não se movimentam em direção a um território desconhecido. Muitos reconhecem que a forma que estão atuando não favorece a aprendizagem dos alunos e possuem um discurso que indica que gostariam que fosse diferente. Porém, no nível de sua prática, não conseguem se movimentar para mudar aquilo que não os agrada. (BORBA; PENTEADO, 2001, p.56).

AlrΦ e Skovsmose (2006) afirmam que um tipo particular de comunicação

ocorre entre o professor e um grupo de alunos. Os elementos chaves do modelo

são: estabelecer contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto,

reformular, desafiar e avaliar. E ressaltam que realizar uma investigação significa

abandonar a comodidade da certeza e deixar-se levar pela curiosidade.

Diversos estudos em Educação mostram que investigar constitui uma

poderosa forma de construir conhecimento ao trabalhar com questões que no início

se apresentam de modo confuso, mas que podemos esclarecer e estudar de modo

organizado. A prática pedagógica de investigações matemáticas tem sido

recomendada por diversos estudiosos como forma de contribuir para uma melhor

compreensão da disciplina de Matemática. Esse é exatamente o processo de

construção da matemática pelos matemáticos e, portanto, o espírito da atividade

matemática genuína está presente na sala de aula. Enfim, investigar significa

procurar conhecer o que não se sabe, que é o objetivo maior de toda ação

pedagógica.

2.3 Software, o Conhecimento e a Aprendizagem

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Paraná

(2008) cita que:

No contexto da Educação Matemática, os ambientes gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo pedagógico. O uso de mídias tem suscitado novas questões, sejam elas em relação ao currículo, à experimentação matemática, às possibilidades do surgimento de novos conceitos e de novas teorias matemáticas (PARANÁ -DIRETRIZES, 2008, p.65, apud, BORBA, 1999).

E ainda:

As atividades com lápis e papel ou mesmo quadro de giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são sintetizadas. [...] Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de resolução de problemas (PARANÁ-DIRETRIZES, 2008, p.65).

Borba e Penteado (2001) consideram que as ferramentas tecnológicas são

interfaces importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática e

destacam que abordar atividades matemáticas com os recursos tecnológicos

enfatiza um aspecto fundamental da disciplina, que é a experimentação.

Tal visão da relação de tecnologia com conhecimento é baseada na análise de Lévy (1993) em que a história do conhecimento, produzido pala humanidade, é permeada e condicionada pelas diferentes tecnologias da inteligência, oralidade, escrita e informática. Para este autor, o conhecimento nunca é produzido somente por humanos, mas também por atores não-humanos. As tecnologias são produtos humanos, e são impregnadas de humanidade, e reciprocamente o ser humano é impregnado de tecnologia (BORBA, 2004, p.305).

Assim, o software não é apenas mais um recurso didático que é introduzido

na sala de aula, mas a solicitação de novas formas de prática docente para que,

efetivamente ocorra a aprendizagem. Ou seja, novos coletivos seres-humanos-com-

mídias se constituem como atores desta produção do conhecimento.

2.4 A escolha de um software educativo

Os softwares educativos têm sido alvos de um considerável número de

pesquisas, talvez não o suficiente diante de tantos questionamentos em seu entorno.

Pensamos que o uso de um software merece uma atenção especial para não cair no

erro de torná-lo banal como apenas um recurso motivador. O professor deve ter a

consciência do porque e como quer utilizar um software. O sucesso de um software

em promover a aprendizagem depende da interação do mesmo no currículo e nas

atividades da sala de aula, esse é um recurso que poderá ser ampliado em suas

potencialidades, que irão variar conforme a maneira como será explorado.

O software Geogebra tem a capacidade de oportunizar múltiplas

representações ao mesmo tempo, favorecendo a compreensão de conceitos e

construção de conhecimentos.

Para Borba e Penteado (2001),

à medida que a tecnologia informática se desenvolve, nos deparamos com a necessidade de atualização de nossos conhecimentos sobre o conteúdo ao qual ela está sendo integrada. Ao utilizar uma calculadora ou um computador, um professor de matemática pode se deparar com a necessidade de expandir muitas de suas idéias matemáticas e também buscar novas opções de trabalho com os alunos. Além disso, a inserção de TI no ambiente escolar tem sido vista como um potencializador das idéias de se quebrar a hegemonia das disciplinas e impulsionar a interdisciplinaridade (BORBA; PENTEADO, 2001, p.64-65).

E ainda que “as inovações educacionais, em sua grande maioria,

pressupõem mudança na prática docente, não sendo uma exigência exclusiva

daquelas que envolvem o uso de tecnologia informática” (BORBA; PENTEADO,

2001, p.56).

A utilização de um software e sua adequação depende da forma como este

se insere nas práticas de ensino, das dificuldades dos alunos identificadas pelo

professor e por uma análise das situações realizadas com alunos para os quais o

software é destinado. É o professor quem vai propor o uso de um software capaz de

criar situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos e à superação das

dificuldades dos alunos, para isso é fundamental que tenha parâmetros de

qualidades definidos.

A escolha pelo software Geogebra baseou-se no fato de que ele oferece

muitas potencialidades no ensino de Geometria e Funções, propiciando um

ambiente rico de imagens, movimento e animações, favorecendo assim, um estudo

dinâmico e permitindo que o aluno visualize, interaja com o computador, investigue,

construa e experimente, resultando em uma aprendizagem significativa.

Os softwares educacionais estimulam e podem vir a facilitar a transmissão

da informação, mas o papel do professor continua e continuará sendo fundamental

para auxiliar o aluno a construir o conhecimento, atuando como um mediador no

processo de ensino e aprendizagem, fazendo as intervenções necessárias e

oportunas.

2.5 O Geogebra

O Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de

geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas, secções cônicas, dentre outras.

Permite também que, equações e coordenadas possam ser inscritas diretamente.

Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas

representações diferentes do mesmo objeto que interagem entre si: a representação

geométrica e a representação algébrica.

Por ter sido escrito em Java roda em qualquer plataforma (Microsoft

Windows, Linux, etc.).

2.6 Funções e Geogebra

O Software Geogebra possibilita traçar e explorar gráficos de funções lineares

e quadráticas e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos de

uma função quadrática, permitindo alterar todos os objetos dinamicamente após a

construção estar finalizada, explorando a parte geométrica do software.

Como afirmam Borba e Penteado (2001), “as atividades, além de

naturalmente trazer a visualização para o centro da aprendizagem matemática,

enfatizam um aspecto fundamental na proposta pedagógica da disciplina: a

experimentação” (BORBA; PENTEADO, 2001, p.37). Além disso,

o importante a destacar, aqui, é que as mídias informáticas associadas a pedagogias que estejam em ressonância com essas novas tecnologias podem transformar o tipo de matemática abordada em sala de aula. Ao utilizar a tecnologia de uma forma que estimule a formação de conjecturas e a coordenação de diversas representações de um conceito, é possível que novos aspectos de um tema tão “estável”, como funções quadráticas, apareçam em sala de aula de não especialistas em matemática (BORBA; PENTEADO, 2001, p.38).

E ainda que

a experimentação se torna algo fundamental, invertendo a ordem de exposição oral da teoria, exemplos e exercícios bastante usuais no ensino tradicional, e permitindo uma nova ordem: investigação e, então, a teorização (BORBA; PENTEADO, 2001, p.41).

Neste sentido funções podem ganhar uma nova perspectiva tendo o

computador como mais um ator integrante no cenário da sala de aula.

Os argumentos expostos motivaram e orientaram o desenvolvimento deste

trabalho. Na sequência, é apresentada a implementação do trabalho com algumas

atividades desenvolvidas no estudo de funções, utilizando o software Geogebra.

3 Implementação na escola

Para abordar de maneira eficiente os recursos do software, além de uma

ampla revisão bibliográfica sobre o assunto, e oficinas para reconhecimento do

software Geogebra e exploração de seus recursos, contamos também com a

contribuição de 15 professores da rede Estadual de ensino que fizeram parte do

GTR (Grupo de Trabalho em Rede), no qual promovemos uma ampla discussão

sobre o uso de tecnologia na Educação especificamente sobre o uso do software

Geogebra. Com base nesta fundamentação foi construído uma Unidade Didática,

intitulada “Material de apoio para o uso do software Geogebra na investigação de

funções de 1º e 2º graus”.

O material de apoio teve por objetivo apresentar o software Geogebra, com

sua origem, criadores, disponibilidade de download, ambientação ao programa e

suas ferramentas. Além de propor atividades tendo a investigação como

procedimento metodológico.

As atividades de funções aplicadas proporcionaram aos alunos:

• explorar geometria plana: ponto, reta e plano cartesiano;

• conceituar e construir o gráfico da função linear, estabelecendo

relações entre as funções crescentes e decrescentes;

• identificar as raízes ou zeros da função afim;

• conceituar e construir o gráfico da função quadrática, estabelecendo

uma relação entre a concavidade de uma parábola e seus

coeficientes;

• estabelecer a relação entre o sinal do discriminante (∆) e o número

de raízes da função quadrática;

• identificar o vértice da parábola e seu valor máximo ou mínimo na

função;

• identificar as principais propriedades inerentes à geometria

dinâmica.

O aluno pode refletir durante a execução das atividades, experimentando de

diferentes maneiras, percebendo as propriedades, conjecturando e justificando. No

decorrer das atividades, foram colocadas diversas questões e justificativas que

pudessem auxiliar os alunos em suas reflexões. O papel do professor foi de criar

mecanismos para fazer com que os alunos pudessem refletir e perceber o que de

fato estava por trás das construções que eles estavam fazendo, além de auxiliá-los

nas justificativas das construções, orientando os alunos para:

• interagirem com seus pares de forma cooperativa, trabalhando

coletivamente na busca de soluções para os problemas propostos;

• registrando as conclusões dos trabalhos desenvolvidos;

• discutindo em pequenos grupos e posteriormente com a turma toda e o

professor as observações registradas por eles.

Ao retornar à escola a partir de agosto de 2010, 3º período do PDE 2009, a

proposta de trabalhar Funções com o software Geogebra foi apresentado à Direção

e Equipe Pedagógica, Professores e Administrativos, para então iniciar o trabalho

com os alunos.

Iniciamos com os alunos uma apresentação do software GeoGebra, com

algumas atividades de ambientação e instruções de uso das ferramentas acessadas

via botões de comandos, proporcionando discussão e reflexão sobre o uso dessas

ferramentas e auxiliando na elaboração do conhecimento matemático geométrico.

Nestas atividades trabalhamos o Plano Cartesiano com a tela inicial do software, a

localização de pontos e cálculo da distância entre os pontos. Com estas atividades

básicas os alunos se ambientaram com o software e com os botões de comandos.

Os alunos também perceberam que de acordo com os comandos dados no campo

de entrada, as construções, simultaneamente, iam ocorrendo na janela geométrica.

Depois desta ambientação, foi iniciado o estudo de Funções de 1º grau, com

situações problema do cotidiano em que o aluno era questionado a identificar que

grandeza estava em função da outra, e posteriormente era solicitado para o aluno

identificar a expressão que relacionava as duas grandezas, digitando-a na janela de

comando do software e analisar o gráfico construído na janela geométrica bem como

identificar as características do gráfico e a análise de seus coeficientes.

A primeira situação-problema proposta foi: "Um botijão de cozinha contém

13 kg de gás. Sabendo que em uma casa com 5 pessoas em média é consumido,

por dia, 0,4 kg de gás." Responda aos seguintes questionamentos:

a) Qual a expressão matemática que representa a massa de gás no

botijão, em função do número de dias de consumo?

b) Digite a expressão matemática na janela de comando do Geogebra.

c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio?

d) Descreva as características do gráfico.

e) Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear.

f) O que eles representam?

A maior dificuldade encontrada pelos alunos nesta primeira atividade foi

determinar a equação que representava a função. Depois de ampla discussão em

grupos houve necessidade do auxílio do professor para definir a equação. Quando

digitaram a equação no campo de entrada do software ficaram eufóricos com a

construção simultânea do gráfico. Na sequência, mediante outras atividades e novas

funções propostas, responderam a alguns questionamentos referentes, às

características do gráfico, identificação dos coeficientes angular e linear e o que

cada um representava. Também houve a necessidade da mediação do professor

para identificar os coeficientes e a sua representação na função.

Durante a execução das atividades de construção do gráfico da função de 1º

grau foram oportunizadas momentos de reflexão e investigação, que passaremos a

descrever.

Momento de Reflexão e Investigação

Altere os valores de “a” e “b” nos seletores.

1) O que acontece com a reta quando mudamos o valor de “a”?

2) O que acontece com a reta quando mudamos o valor de “b”?

3) O que acontece quando “a” é zero?

4) Como se chama a função em que “a” é zero?

Com “a” ainda na posição zero, mova o seletor “b” e verifique o gráfico. Em

que circunstâncias a reta f ficará paralela ao eixo x?

As atividades foram realizadas em duplas, e registraram o que estava

ocorrendo.

Na atividade 1 eles perceberam com facilidade que a reta mudava de

inclinação, quando o valor de “a” era alterado e comentavam em duplas que a reta

se inclinava para a direita quando o valor de “a” era positivo e para a esquerda

quando o valor de “a” era negativo.

(A. F. M.) comentou que quanto maior o valor de “a”, mais a reta se

aproximava da posição vertical, essa observação foi experimentada pelos outros

alunos que também chegaram à mesma conclusão.

Na atividade 2, eles comentavam que quando o valor de “b” era alterado a

reta se deslocava sobre os eixos x e y, (mudando a reta de lugar).

Na atividade 3 eles relatavam que quando o “a” era igual a zero a reta fica

paralela ao eixo x, o professor então complementou que quando apenas o valor de y

altera e x continua o mesmo a função recebe o nome de função constante, porque a

posição da reta será sempre a mesma. Quando foi sugerido para deixar o “a” na

posição do zero e mover o seletor “b”, perceberam que independente do valor de “b”

a reta fica sempre paralela ao eixo x.

Socializando as discussões concluíram que o coeficiente “a” é o responsável

pela inclinação da reta, o aluno (M.M.) fez uma observação importante:

M. M.: – Professora o coeficiente “b” coincide sempre com o

mesmo número em que a reta corta o eixo y, quando o

coeficiente “b” é positivo a reta corta o eixo y na parte

positiva e quando o coeficiente “b” é negativo a reta corta o

eixo y na parte negativa.

Quando a professora pediu que todos observassem o que o aluno tinha

notado, fizeram a experiência de mover novamente o coeficiente “b” e concluíram

que alterando o coeficiente “b” a reta cortava o eixo y em local diferente, coincidindo

com o mesmo valor do coeficiente “b” que era alterado na parte algébrica da função.

Foram sugeridas outras atividades, no qual fizessem o mesmo procedimento

com outras funções, por exemplo, ( ) 52 −= xxf , ( ) 42 += xxf e ( ) 55 −−= xxf . A

cada atividade as compreensões dos conceitos de funções ficaram mais claras e a

partir da segunda atividade os alunos tiveram mais facilidade para perceber as

características do gráfico, a relação com os coeficientes e o que eles representavam.

A partir destas observações e discussões e, posteriormente a elaboração de

gráficos em vários formatos, que facilitaram a visualização das informações,

seguidos das discussões promovidas em grupos e mediadas pelo professor,

concluíram, na construção gráfica e com a alteração dos valores de “a” e de “b”, que

quando a > 0 a função é crescente, quando a < 0 a função é decrescente e quando

a = 0 trata-se de uma função constante, que o coeficiente angular “a” é o

responsável pela inclinação da reta, sendo que todo gráfico de uma função afim é

sempre uma reta. A professora aproveitou também para explicar nas construções

gráficas os zeros e a raiz da função.

Notou-se que a abordagem de investigação despertou o interesse dos

alunos, que deixaram a atitude passiva, tão comum na aula de matemática, para se

tornarem autônomos e autoconfiantes, estimulados a fazerem novas descobertas

inerentes ao estudo de funções, desenvolveram uma compreensão conceitual de

funções de lineares com maior significado para o ensino e a aprendizagem.

Se fossemos realizar tais atividades no quadro negro, por mais que

dispuséssemos de bons materiais de desenho, mesmo assim ficaria difícil de

visualizar e se convencer dos conceitos, características e propriedades adquiridos

usando o computador associado com a experimentação e investigação foram

extremamente relevantes para a produção do conhecimento matemático no sistema

seres-humanos-mídias, proposto por Lévy (1993).

Para introduzir o conceito de função polinomial do 2º grau (ou função

quadrática), utilizou-se o questionamento: “Como captar o movimento de uma bola

de futebol chutada pelo goleiro?” Na sequência, apresentou-se o exemplo: O goleiro

coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até atingir uma altura

máxima e começa a descer descrevendo uma curva que chamamos de parábola. A

apresentação deste exemplo teve como objetivo mostrar ao aluno a importância de

estudar a função quadrática e sua aplicabilidade.

Com o software Geogebra, os alunos desenvolveram a seguinte atividade:

Ao inserirem a função 4322 ++= xxy y no software, os alunos obtiveram

o gráfico e foram incentivados a identificar os zeros da função, as coordenadas do

vértice e o valor mínimo. Também, foi solicitado aos alunos que alterassem os

valores e os sinais dos coeficientes e que registrassem todas as modificações

ocorridas. Inicialmente, definiram os seletores, e posteriormente inseriram os

coeficientes “a”, “b” e “c”, no entanto, a maior dificuldade foi digitar na janela de

comando a função do 2º grau: a*x^2+b*x+c, onde esqueciam de colocar algum

símbolo ou caracteres indispensáveis (asterisco ou circunflexo). Porém,

demonstraram interesse e empenho e refizeram novamente até que os comandos

fossem válidos e aceitos pelo software.

No decorrer das atividades os alunos foram incentivados a fazerem as

reflexões e investigações a seguir:

Momento de Reflexão e Investigação

Registre o que você pode observar:

a) O que acontece quando a = 0?

b) Qual é o aspecto da parábola quando a > 0?

c) Se valor de b = 0 qual a característica principal da curva?

d) No caso do valor do c = 0 o que acontece?

e) Se b = 0 e c = 0 o que acontece?

Clique com o botão direito do mouse sobre a parábola e selecione: “habilitar

rastro”, em seguida, clique no seletor a e mova-o nos dois sentidos, clique no botão

“desfazer” no canto superior direito, faça o mesmo procedimento com os seletores b

e c.

Outras atividades de reflexão e investigação.

1) Como são chamados os pontos em que a parábola corta o eixo “X”? Na

atividade anterior altere os valores de “a”, “b” e “c” nos seletores. Altere

o valor de “a” para 2, “b” para 4 e “c” para 1. Escreva a equação da

nova função. Quais são os zeros da função?

2) Altere o valor de “b” para –4. Escreva a equação da nova função. Quais

são os zeros da função?

3) Altere o valor de “a”, “b” ou “c” de forma que o gráfico intercepte o Eixo

X. Observe o valor de ∆. Qual o sinal dele? Altere o valor de “a”, “b” ou

“c” de forma que o ∆ fique igual a 0 (por exemplo: a = 1, b = -2, c = 1 ou

a = 4, b = -4, c = 1). O que acontece com o gráfico? E os zeros da

função?

4) Altere de forma que o ∆ fique negativo (por exemplo: a = 3, b = -4 e c=

2. O que acontece com o gráfico? E os zeros da função? Quais são?

5) Altere de forma que o ∆ fique positivo (por exemplo: a = 1, b = -4, c = 3,

o que acontece com o gráfico? E os zeros da função? Quais são?

6) Altere novamente o valor de “a”, “b” e “c”.

O ponto V será ponto mínimo se --------------------- (a > 0 ou a < 0)?

O ponto V será ponto máximo se --------------------- (a > 0 ou a < 0)?

Os alunos não apresentaram dificuldades e realizaram todas as atividades

propostas, registrando o que foi observado em cada atividade, discutiam em duplas,

e posteriormente a discussão era realizada no geral com toda a sala mediada pelo

professor. Os alunos investigaram como os coeficientes “a”, “b” e “c” influenciam os

gráficos das funções. Divididos em duplas os alunos fizeram várias conjecturas e

conseguiram desenvolver argumentos para várias delas. Discutiram quais

modificações ocorriam nos gráficos quando um determinado coeficiente era alterado.

O professor coordenou a socialização dos resultados obtidos e essas

conjecturas foram debatidas, descartadas ou mantidas com a conclusão de alunos e

professor. Nesta socialização de resultados os alunos apresentaram as suas

anotações mediante as atividades de reflexão e investigação. Todos perceberam

com muita facilidade as características do gráfico e o que representava cada

coeficiente. Registraram que quando o coeficiente a = 0 a parábola desaparecia e o

desenho do gráfico ficava uma reta, então a função passava ser uma função

polinomial do 1º grau, a partir dessa observação o grupo concluiu que se não

existisse o valor de “a”, não existiria função polinomial do 2º grau.

Esta experiência foi interessante porque nas aulas tradicionais de funções,

no quadro negro, os alunos sempre questionam o porquê do desenho do gráfico da

função linear ser uma reta e o desenho do gráfico da função quadrática ser uma

parábola, e nesta atividade eles perceberam com muita clareza que se anulassem o

valor de “a” a função passaria a ser uma função linear e ao mesmo tempo o desenho

do gráfico se transformava em uma reta. Relataram que quando o valor de “a” era

maior que 0, a parábola ficava virada para cima e quando o valor de “a” era menor

que 0 a parábola ficava virada para baixo, o professor sugeriu a todos que

destacassem em suas anotações que quando a > 0 a parábola fica voltada para

cima e quando o a < 0 a parábola fica voltada para baixo.

Os alunos observaram com facilidade que quando b = 0, o eixo y dividia a

parábola ao meio, o professor intermediou explicando o eixo de simetria da

parábola. Ao clicar sobre a parábola, habilitando o rastro e movendo os seletores a,

b e c, vários alunos observaram que a parábola se abria e se fechava de acordo com

o valor de “a”. Vale aqui destacar a fala de uma aluna:

(M. S. V.): – Professora, eu percebi que quanto maior o valor de “a”, a

parábola fica mais fechada e quanto menor o valor de “a” a

parábola fica mais aberta.

Ao movimentar apenas o seletor b, perceberam que o vértice provoca um

movimento descrevendo outra parábola, conforme relato de outra aluna:

(D. S.): – Professora, eu percebi que, alterando o valor de “b” o

vértice da parábola desenha outra parábola de ponta

cabeça.

Os outros grupos repetiram o mesmo procedimento alterando o valor “b” e

também fizeram a mesma constatação. Ao movimentar apenas o seletor “c”, todos

perceberam que a parábola subia ou descia sobre o plano cartesiano, uma aluna fez

uma observação que os outros alunos ainda não tinham percebido:

A. C. V.: – Professora alterando o coeficiente “c” o ponto onde a

parábola corta o eixo “y” é o mesmo número do coeficiente

“c”.

Ela fez este comentário chamando a atenção dos colegas que confirmaram

sua afirmação. Com a mediação do professor, os alunos também identificaram as

raízes das funções, alterando os valores de “a”, “b” e “c”, observando os pontos em

que a parábola intercepta o eixo x, identificando os zeros ou raízes da função. Em

relação ao valor de ∆, perceberam que quando ∆ = 0 a função possui apenas uma

raiz utilizando os valores: a = 1, b = –2 e c = 1. Quando utilizaram os valores a = 3, b

= –4 e c = 2, constataram que o ∆ é negativo e que a função não intercepta o eixo x,

ou seja, não tem raiz. Para os valores de a = 1, b = –4 e c = 3, constataram que o ∆

é positivo e que o gráfico interceptou o eixo x em dois pontos, ou seja, possuía duas

raízes.

Os alunos não apresentaram dificuldade para relatarem as suas

observações e chegarem às conclusões, confirmando que o instrumento adotado foi

bastante eficaz. A visualização dos conceitos favorecidos pela comunicação

simultânea da álgebra e da geometria, característica importante do Geogebra, foram

de extrema importância no ensino e na aprendizagem, proporcionando momentos

ricos de reflexões, investigações e descobertas. Assim, novos coletivos seres-

humanos-com-mídias se constituíram como atores desta produção do conhecimento.

4 Resultados e Discussões

Ao implementar a proposta pedagógica na Escola, foi possível constatar o

quanto o ensino de Funções pode se beneficiar desse recurso pedagógico. Em

conformidade com os autores Borba e Lévy, observamos que quando oportunizamos

a construção e elaboração de conhecimentos através de recursos computacionais,

contribuímos para a superação de dificuldades e facilitamos a aprendizagem dos

alunos.

Para se utilizar essa metodologia em sala de aula, faz-se necessário uma

mudança de postura do professor, pois é totalmente diferente de uma aula

tradicional. A todo o momento nos deparamos com questionamentos não previstos.

Para desenvolver um trabalho com o auxílio do computador, primeiramente, deve-se

ressaltar a exigência de um planejamento minucioso das atividades por parte do

professor. Os alunos devem ser orientados sobre o trabalho a ser realizado, o que

será construído, com os objetivos a serem alcançados, que deverá ser observado e

anotado. Além disso, promover discussões com a turma sobre as observações

anotadas, fazendo as intervenções e retomadas de conceitos que o professor julgar

necessárias.

A aplicação das atividades com os alunos deu-se a princípio só com a

exploração dos recursos do software, primeiramente os alunos exploraram

livremente depois fizeram atividades bem simples de ambientação ao software e,

gradativamente foi aumentando o grau de dificuldade a cada atividade aplicada. De

modo geral os alunos não tiveram dificuldades em realizar as tarefas e atividades

solicitadas, embora, inicialmente, foi necessário explicar alguns termos matemáticos,

mas conforme foram avançando nos estudos isso não foi mais necessário.

Durante a aplicação das atividades pudemos observar vários aspectos que

merecem ser ressaltados.

O aumento do interesse pelas aulas, pois os alunos ficavam ansiosos pelas

aulas desenvolvidas no Laboratório de Informática, além de pedirem para os

professores das outras disciplinas também os levarem ao computador.

O uso de um software de geometria dinâmica favoreceu a aprendizagem de

funções. A visualização e a interação da parte algébrica e geométrica

proporcionadas pelo software Geogebra foram de extrema importância na

formulação e assimilação de conceitos.

Os momentos de investigação e reflexões propostos foram muito ricos no

ensino e na aprendizagem. As investigações em grupos e posteriormente

socializadas com a sala em geral, as observações anotadas pelos alunos,

oportunizaram muitas reflexões e aprendizagem que dificilmente teriam o mesmo

sucesso sem o dinamismo e facilidade de construção que o software Geogebra

proporcionou.

Trabalhar desta forma causa o rompimento da linearidade do currículo, o

que exige um domínio pleno do conteúdo por parte do professor, pois o processo de

investigação e aprendizagem está nas mãos do aluno, e o professor passa a ser o

orientador, o mediador desse conhecimento. O software oferece mecanismos bem

acessíveis nas barras de ferramentas os quais favorecem bastante as construções,

mesmo que o aluno não detenha muitos conhecimentos matemáticos consegue

realizar as construções sem maiores dificuldades.

A seguir apresento os depoimentos de alguns alunos que realizaram as

atividades e foram entrevistados no final dos trabalhos. A escrita do aluno foi

preservada mantendo erros de concordância e gramática.

“A aula de matemática teve muitos momentos interessantes, aprendi muito

usando o computador. Achei muito legal, foi uma maneira diferente para

aprendermos matemática.” (A. F.)

“Eu achei muito interessante, aumentou meu conhecimento, me ensinou e

ajudou a entender mais sobre matemática, aprendemos a usar o Geogebra, e a

cada descoberta que eu fazia entendia ainda mais sobre funções, eu me achava

muito importante porque eu conseguia fazer, aulas foram boas, e produtivas,

aprendemos também a interpretar e resolver os problemas.” (D. G. R.)

“Ah... “foi da hora” trabalhar com atividades de matemática no computador.

Eu adorei, pois aprendi matemática da melhor maneira: no computador.” (R. S.)

“Eu achei muito interessante esse trabalho no laboratório, pois aprendemos

de uma maneira mais significativa no Geogebra, conforme íamos digitando as

expressões os desenhos eram construídos e a cada observação que fazíamos

acontecia novas descobertas.” (M. S. V.)

“Eu achei massa! Porque seria muito chato fazer esses gráficos no caderno,

no computador é mais rápido, a gente não perde muito tempo em ficar desenhando,

sem contar que o jeito que fizemos as atividades, investigando e fazendo as

descobertas, aprendemos melhor.” (J. V. F.)

“Eu gostei da aula de matemática no Geogebra, às vezes eu não entendia o

que estava acontecendo mais conforme a gente discutia com os colegas e a

professora o que cada um estava observando eu entendia.” (R. G. D.)

“Eu odeio matemática porque eu não consigo entender de onde vêm tantos

números e letras, mais usando o computador, eu consegui entender as expressões e

os gráficos, achei bacana!” (D. S.)

A seguir serão apresentadas as considerações de professores que

participaram do Grupo de Trabalho em Rede (GTR).

“Baixei o software Geogebra, conforme sua orientação na Unidade Didática,

resolvi várias atividades que foram apresentadas, achei muito interessante a

construção de gráficos das equações de 1º e 2º graus utilizando este software, os

questionamentos investigativos, o ensino aprendizagem tem maior significado

porque o aluno descobre a relação que existe entre a expressão e a geometria.”

(São José dos Pinhais - PR)

“Eu trabalhei uma aula no laboratório com alunos e não achei nada fácil, me

perdi no passo a passo das atividades, acho que terei que me preparar melhor,

conhecer mais o Geogebra, resolver várias atividades, me preparar, para então usar

o software com alunos.” (Maringá - PR)

“... Achei o Geogebra muito interessante, ainda não tinha trabalhado funções

com nenhum software, achei prático, sem contar que o dinamismo e a rapidez que

são feitas as construções são fantásticas. Representar graficamente funções no

quadro negro e giz é realmente um transtorno, demorado e sem qualidade. Ao

contrário das construções usando o computador, além da praticidade os conceitos

são melhores visualizados e assimilados.” (Ivaiporã - PR)

5 Considerações Finais

Neste trabalho procuramos verificar a eficácia dos ambientes informatizados

no ensino e na aprendizagem de Funções, sob a ótica de investigação.

A utilização de ambientes informatizados ainda é um desafio, pois envolve

mudanças desde a formação e postura do professor até mudanças curriculares. A

informática não resolve todos os problemas ligados ao ensino e a aprendizagem,

porém, este desafio valeu a pena, concordando com Borba, quando relata em suas

pesquisas que ficou evidente as transformações pelas quais passam estudantes e

professores ao verem os atores se incorporarem a coletivos aos quais pertencem.

Referências

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