De Boltzman às Fronteiras da Mecânica Estatística · dedução da função distribuição de velocidades de um gás ideal em equilíbrio térmico. James C. Maxwell Hipóteses básicas:

De Boltzman às Fronteiras da Mecânica Estatística

Antônio Murilo S. Macêdo

Departamento de Física

Universidade Federal de Pernambuco

Recife, Brazil

Entropia como Desordem

Atomicismo X Energicismo

Sistemas Macroscópicos eLimite Termodinâmico

Caos Molecular eSeta do tempo

Entropia como Informação Faltante

Reducionismo X Emergentismo

Sistemas Mesoscópicos eEfeitos de Borda

Métodos Projetivos eFunção Memória

Evolução Conceitual

Conteúdo

1. Introdução Histórica

2. Entropia e Informação

3. Reducionismo X Emergentismo

4. Sistemas Mesoscópicos

5. Sistemas de Não-Equilíbrio

6. Conclusões

Maxwell foi um dos fundadores dateoria cinética dos gases e introduziu em 1860 pela primeira vez o conceito de probabilidade na física com a dedução da função distribuição de velocidades de um gás ideal em equilíbrio térmico.

James C. Maxwell

Hipóteses básicas: Isotropia e independência estatística

Ludwig Boltzmann apresentou em 1872 uma equação integro-diferencial para a função distribuição de velocidades de um gás real fora do equilíbrio térmico.

Hipóteses básicas:1) Gás rarefeito (colisões binárias)2) Colisões são dominadas por forças internas3) As velocidades de duas partículas não são

correlacionadas (caos molecular)4) A função distribuição não varia apreciavel-

mente entre colisões.

Boltzmann definiu a grandeza

Teorema H

Em 1877 Boltzmann estudou um modelo de energias discretas e obteve a conexão entre H(t) e a entropia termodinâmica.

e mostrou que

Josiah Wilhelm Gibbs

Maximizando s mantendo u fixoBoltzmann estabelece as bases damecânica estatística de equilíbrio.

Em 1902 Gibbs sistematiza o método de Boltzmann através da noção de ensembles










Teoria da Informação

Em 1948 Claude Shannon publicou o livro “Mathematical Theory of Communication”estabelecendo os fundamentos da teoriaa informação e definindo a grandeza

como uma medida da informação faltante.

My greatest concern was what to call it. I thought of calling it ‘information’,

but the word was overly used, so I decided to call it ‘uncertainty’. When I

discussed it with John von Neumann, he had a better idea. Von Neumann

told me, ‘You should call it entropy, for two reasons. In the first place your

uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name,

so it already has a name. In the second place, and more important, nobody

knows what entropy really is, so in a debate you will always have the

advantage.

A Escolha do Nome

A Informação Faltante

A informação faltante correspondeao número de perguntas bináriasda melhor estratégia.

Exemplo Simples

Entropia de Shannon

Para mais detalhes veja por exemplo










Reducionismo na Física

Ernst Mach Ludwig Boltzmann

X

Energicistas Atomicistas

Versão Moderna da Disputa

Reducionismo

O sistema tem unidades básicas que seguem leis fundamentais

Leis básicas eficazes

Algoritmos ineficientes

Emergentismo

O sistema é um macrofluidoque segue leis emergentes

Leis emergentes eficazes

Algoritmos eficientes

Visão Esquemática

Dedução X Inferência

Eficácia X Eficiência


Analogia com Ciência da Computação

Leis Fundamentais

Regras de autômatos

Deduções Físicas

Algoritmos

Fenômenos Observáveis

Conjuntos Decidíveis

O Sonho Reducionista

A Teoria de Tudo: A Máquina Universal de Turing

Característica: Universalmente eficaz, mas ineficiente.

Limitação Fundamental: O problema da decibilidade.

O Problema de Decibilidade

Definição: Um conjunto é decidível se for possível escrever umprograma numa máquina para determinar se umdado elemento pertence ao conjunto e o programasempre termina com uma resposta SIM ou NÃO apósum conjunto finito de passos.

Conjuntos Decidíveis (Classe enumerável)

• Conjunto dos números primos.• Conjunto dos naturais que satisfazem x2+y2=z2.

Conjuntos Indecidíveis (Classe não-enumerável)

• Conjunto dos programas que terminam após um número finito de passos.• Conjunto das fórmulas válidas envolvendo números inteiros (Gödel).

Seria este fenômeno dedutível da Teoria de Tudo?

Classes Computacionais

Classe P: Problemas solúveis numa máquina determinística

em tempo polinomial.

Classe NP: Problemas solúveis numa máquina não-determi-

nística em tempo polinomial.

Classe NP-completo: Problemas NP fáceis de verificar.

Otimização: Aumentar eficiência na classe P através de codificação.

Complexidade: Eficiência

Computabilidade: Eficácia

Classe computável: Problemas solúveis por algoritmos (conjuntos decidíveis)

Classe não computável: Problemas insolúveis por algoritmos.

Eficácia Universal: A Máquina de Turing.

Reducionismo

Leis Fundamentais

Regras de autômatos

Deduções

Algoritmos

Fenômenos Físicos

Conjuntos Decidíveis

Fenômenos Observáveis

Problemas P

Inferências

Algoritmos

Leis Emergentes

Códigos

Emergentismo

Consenso em Decisões de Grupo

Reducionismo

Emergentismo

Modelo de Kuramoto: Equação de Fokker-Planck não-linear.

Movimento do Giroscópio

Reducionismo

• Equações de movimento para cada átomo pela teoria quântica.

• Rigidez é um fenômeno cooperativo.• Descrição eficaz, mas ineficiente.

Emergentismo

• Rigidez é uma ordem emergente.• Equações de movimento newtonianas

para os graus de liberdade relevantes.• Descrição eficaz e eficiente.

Física da Matéria Condensada

Procedimento de Landau-Anderson

Continuidade Adiabática

Teoria Efetiva deCampos Livres

Teoria Microscópica

Fronteira de Fase

Líquidos Quânticos

• Superfluido (campo sem massa de Goldstone)

• Supercondutor (campo de calibre massivo; Higgs)

• Líquido de Fermi em metais (massa renormalizada)

• Líquido de Luttinger (separação carga-spin, d=1)

• Líquido Hall fracionário (carga fracionária, d=2)

N HFN S N L

Classificação de Wen

Sumário

• Abordagem de cima para baixo.

• Argumento inferencial.

• Campos efetivos livres.

• Ordem é fenômeno emergente.

• Realismo não-representativo:

campos efetivos representam

excitações numa fase ordenada.

• Abordagem de baixo para cima.

• Argumento dedutivo.

• Campos fundamentais acoplados.

• Ordem é fenômeno cooperativo.

• Realismo representativo: campos

são partículas reais colocadas no

vácuo.

EmergentismoReducionismo










Como descrever transporte de carga e spin num gás de elétrons bidimensional confinado?

Mecânica Estatística de Sistemas Quânticos Finitos

Transistor de Spin

2DEGFM1

Gate

Proposto por Datta e

Das (APL 56, 1990)

Princípio básico:

Polarizador e analizador

ferromagnético

Precessão de spin

controlado por porta

(efeito Rashba)

FM2

S.Datta

(Th. Schäpers)

Teoria de Landauer-Büttiker

• Combina espalhamento quântico com termodinâmica irreversível.

• Leis de conservação quanto-mecânicas (unitariedade).

• Reservatórios (produção de entropia e forças termodinâmicas).

• Conectores (espalhadores com coerência de fase).

• Canais de transporte com ocupação variável.

• Estatística de eventos de transmissão (observáveis) .

Rede de Nós e Conectores

Separação de desvios de fase controláveis e incontroláveis.Similar à separação de forças determinísticas e estocásticas

na equação de Langevin e à separação da energia em trabalho e calor na termodinâmica

Modelo Físico para os Nós

Cavidadebalística caótica

Pedaço de umcondutor sujo

Ponto Quântico Aberto

Estatística de Transferência de Carga

Contagem do número de elétrons transferidos através do sistema para um número fixo de tentativas de transmissão Nat =5 (a); 10(b); 20(c) e transparência T=0,7.

Cumulantes de uma Distribuição

Os cumulantes oferecem uma descrição quantitativa de algumas características de uma distribuição.

Cumulantes de Transferência de Carga

Condutância

Potência do ruído de disparo

Caos

Caos

Caos

Método de Gibbs: Considere a entropia de Shannon

)2/(sech 1 ; )2/tanh( 22

pn

pp

nnpnpnnmpq

pq

nm STS

)(ln)()()( SPSPSdPH

Estatística suficiente é obtida através das médias

)/21( 21

)1det()(

NN

SSCSP

A estimativa de máxima entropia é o núcleo de Poisson

N1 e N2 são os números de canais abertos.

Distribuição de Cumulantes de Transferência de Carga de um Ponto Quântico

F.A.G.Almeida, S. Rodríguez-Pérez, e AMSM PRB 80, 125320 (2009)

Simulações de Monte-Carlo

da distribuição de condutância

de um fio quase-1D mostrando

uma lei de escala e pontos de

não-analiticidade. L.S.F-Peréz

et al., Microelectronics Journal

36, 893 (2005).

Transição Ponto-Fio

Abordagem Emergentista

Fase de alta energia

e pequenas distâncias

Fase de baixas energias

e grandes distâncias

TCS

TCS

Interpretação Física

Visão reducionista

Visão emergentista

O campo Q é a unidade de informação do líquido quântico.










Sistemas de Não-Equilíbrio

Fora do equilíbrio a funçãodistribuição de velocidadesdepende da posição e do tempoe é afetada pelas colisões entreas partículas. Na equação deBoltzmann o sistema é rarefeitode modo que colisões são bináriase as velocidades de duas partículasarbitrárias não são correlacionadas (caos molecular)

O Método Projetivo

Uma importanrte ferramenta para descrever sistemas forado equilíbrio é o método projetivo, que consiste em projetara dinâmica num subespaço gerado por operadores relevantes.

Robert

Zwanzig

Ensembles de Não-Equilíbrio

Outra abordagem bastante geral consiste na extensão dométodo de Gibbs para situações fora do equilíbrio. Aplicaçõesincluem física de semicondutores, condensados de Bose-Einsteine sistemas biológicos.

Roberto Luzzi

IFGW-Unicamp









Conclusão

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