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1.2 Decomposio da Soma de Quadrados
Decomposio da Soma de Quadrados TotalA tcnica da ANOVA est associada a partio da variabilidade total dos dados em componentes. A soma de quadrados total definida como medida da variabilidade total dos dados,
Intuitivamente isto razovel, pois se dividirmos SQT pelos seus graus de liberdade ( ), obtemos a varincia amostral dos dados. Somando e subtraindo obtemos
Entretanto, o produto cruzado na equao acima nulo, pois
logo
isto ,
Observaes: I. Soma de Quadrados do Fator A ( ) o desvio das mdias estimadas em cada tratamento (nvel) em torno da mdia geral dos dados.Representa a variabilidade devido aos diferentes nveis do fator A. II. Soma de Quadrados do Erro ( ) o desvio das observaes em torno da mdia estimada do seu nvel (tratamento).Representa a variabilidade dentro de cada nvel do fator A.
Graus de Liberdade e Estimativas da Varincia
O conceito de grau de liberdade est sempre associado a uma soma de quadrados. Considere elementos, ento
Como a soma dos desvios nula, conclumos que para determinarmos todos os desvios basta conhecermos desvios, pois o ltimo desvio ser determinado pela relao
Assim, dizemos que a soma quadrtica
tem
graus de liberdade.
Como temos observaes, isso nos d graus de liberdade para a soma de quadrados total (SQT). Alm disso, temos nveis (tratamentos) do fator , assim teremos graus de liberdade para a soma de quadrados relativo aos nveis (SQA)
Finalmente, dentro de cada nvel temos rplicas e portanto teremos graus de liberdade para cada estimativa da variabilidade devido ao erro experimental Assim, para a soma de quadrados devido ao erro experimental
temos que os graus de liberdade correspondem a liberdade. Sabemos que a varincia amostral do nvel
graus de
Ento podemos escrever
que corresponde a um estimador da varincia do erro experimental ( ). Similarmente, se no existe diferena entre os nveis do fator , podemos utilizar a variao dentro dos nveis com relao a mdia geral como uma estimativa da varincia . Especificamente,
uma estimativa de todo , a quantidade
se a mdia dos nveis so iguais. Observe que para
uma estimativa da varincia da mdia do nvel (
). Ento, obtemos que
corresponde a uma estimativa de , caso no tenha diferena entre as mdias dos nveis dos fatores. Com isso, a quebra da soma de quadrados total em duas somas de quadrados nos fornece duas estimativas para a varincia. A primeira baseada na variabilidade dentro dos nveis e a segunda baseada na variabilidade entre os nveis. Se no existe diferena entre as mdias, estas duas estimativas devem ser bastante prximas, caso contrrio, suspeitamos que a diferena entre as estimativas causada pela diferena entre as mdias dos tratamentos. Outra forma para calcularmos os graus de liberdade consiste em determinarmos o valor esperado das componentes SQA e SQE. O termo que multiplica corresponde aos graus de liberdade. Vamos calcular o valor esperado destes quadrados mdios.
Substituindo as informaes do modelo em
e
, obtemos
De forma anloga, temos:
Substituindo as informaes do modelo em
e
, obtemos
pois como
e
Com isso podemos definir os quadrados mdios
Portanto, como argumentamos anteriormente, o QME um bom estimador para a varincia pois
assim, se no existe diferena entre os nveis (tratamentos) do fator (isto , ), QMA tambm um bom estimador para a varincia. Entretanto, se existe diferena entre as mdias dos nveis, o valor esperado do quadrado mdio do fator (devido aos nveis) maior do que . Assim, temos os seguintes graus de liberdade: Graus de liberdade
Com isso, est claro que para testarmos as hipteses sobre diferenas entre as mdias dos nveis, podemos comparar o quadrado mdio do tratamento (QMA) com o quadrado mdio do erro (QME). A seguir, vamos apresentar um mtodo para fazermos essa comparao.