Departamento de Engenharia Civil e AmbientalCentro de TecnologiaUniversidade Federal da Paraíba

Curso: Engenharia CivilDisciplina: Mecânica dos Solos I Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos

Capítulo 10: Tensões e Deformações

Tensoes Principais2/17

Tensões Principais3/17

São de particular interesse em Mecânica dos Solos as chamadas tensões principais. Definida como a tensão normal sobre um plano onde não há tensão de cisalhamento.

Estado plano de tensão

Muitos problemas que envolvem maciços terrosos permitem considerar apenas 3 e 1, reduzindo-os, assim, a problemas planos.

4/17

A figura representa um ponto O dentro de uma massa sujeita a esforcos, com OA o traço do plano principal maior e OB o do menor. Vejamos como determinar as tensões e sobre qualquer plano normal à figura e definido por sua inclinação em relação ao plano principal maior.

5/17

O

B

A

90-

ds

ds

1ds sen cos

ds

sen

ds cos

ds

3ds sen cos

1d

s co

s2

3 d

s sen2

1d

s co

s

3ds sen

5/17

ds = 1 ds cos2 + 3 ds sen2 ds = 1 ds sen cos – 3 ds sen cos

6/17

As equações de equilíbrio das forças

2sen 2

31

2 cos 22

3131

7/17

Variação dos e para vários

Círculo de Mohr8/17

Num sistema (, ) traçando 3 semicírculos, demonstra-se que o ponto representativo do estado de tensão sobre qualquer seção inclinada em relação aos planos principais, situa-se na área hachurada limitada pelos 3 semicírculos.

Figura 10-13. Ciclo de Mohr9/17

Figuras 10-16. Quando 3 = 010/17

Figuras 10-17. Quando 1 = 3

11/17

Critério de Ruptura12/17

Vários são os critérios, mas trataremos apenas dos critérios de Mohr e Mohr-Coulomb.

Critério de Mohr

Supõe que a tensão de cisalhamento = r, correspondente à ruptura do material, ou seja, ao início do seu comportamento inelástico, é função unicamente de sobre o plano de ruptura: r = f()

13/17

Esta equação é graficamente representada pela curva intrínseca de ruptura AB, obtida traçando-se a envoltória dos círculos de Mohr correspondente a pares de tensões principais, 1 e 3, causadoras da ruptura.

14/17Para que o corpo resista, é suficiente que o círculo de Mohr (C’), correspondente às tensões principais atuantes, fique no interior da curva intrínseca.

Se o círculo (C’) é tangente em T, à curva (AB), há possibilidade de ruptura, por deslizamento, ao longo do plano que forma um ângulo com o plano principal maior pois, nesse caso, a tensão de cisalhamento atingiu a resistência ao cisalhamento ( = r)

Equação de Coulomb15/17

= r = c + tg = resistência ao cisalhamento = tensão normal ao plano de cisalhamentoc = coesão do solo = ângulo de atrito interno do solo

Critério Mohr-Coulomb16/17

Critério Mohr-Coulomb17/17

2 = 90º + ∴ = 45º + /2

17/17

ND = NC + CDND = NC + CDNB = NC – BCNB = NC – BC

Notando que BC = CD = CTBC = CD = CT, dividindo-se membro a membro tem-se:

ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)

17/17

Dividindo ambos os termos da fração do segundo membro por NCNC, vem:

ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC)ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC)uma vez que: CT/NC = senCT/NC = sen ii = c/tg = c/tgTambém: ND = ND = ii + + 11 NB = NB = ii + + 3 3 N = ND/NB

ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)

Equação de Ruptura de Mohr17/17

N = (1 + sen)/(1 – sen) = tg2(45 + /2)

1 = 3N + 2c √N