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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA
CAPÍTULO V
Fios e Cabos
SEMESTRE VERÃO 2004/2005
Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/9
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA
Capitulo V – Fios e Cabos
5.1 Considerações Gerais
A diferença fundamental entre fio e cabo é sobretudo na área da sua secção, que é maior nos
cabos e, por isso, estes têm uma maior capacidade de suportar cargas.
De um modo geral chama-se fio ou cabo a qualquer sistema estrutural que possa ser
considerado flexível em todos os seus pontos. Assim, é um fio ou um cabo um sistema
infinitamente articulado, isto é, articulado em todos os seus pontos.
Os cabos podem ser divididos em duas categorias, de acordo com o seu carregamento:
cabos que suportam cargas concentradas;
cabos que suportam cargas distribuídas:
• cabos sujeitos ao seu peso próprio cuja configuração de equilíbrio é uma
catenária - como exemplos têm-se os cabos transportadores, linhas de
transmissão ou teleféricos;
• cabos sujeitos a uma carga distribuída cuja configuração de equilíbrio é uma
parábola de 2º grau - as pontes suspensas são o melhor exemplo.
Todas as linhas de pequena flecha podem ser assimiladas, com erro desprezível, a suspensão
parabólica, o que equivale admitir que a carga se distribuem uniformemente ao longo do vão e
não, como é na realidade, distribuída ao longo do fio. Os cabos de pontes suspensas podem
considerar-se assim carregados, uma vez que o peso dos cabos é muito pequeno comparado
com o peso do tabuleiro.
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Figura 1 – Linhas de transmissão
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Figura 2 – Teleférico
Figura 3 – Ponte suspensa
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Figura 4 – Ponte suspensa
5.2 Cabos sujeitos a Cargas Concentradas
A figura 5 mostra um cabo flexível (resistência à flexão pode ser desprezada) preso a dois
pontos fixos A e B e sujeito a três cargas concentradas verticais Q1, Q2 e Q3. O peso do cabo é
desprezível face às cargas que suporta. Assim, as forças internas em qualquer ponto do cabo
reduzem-se a uma força de tracção com a direcção da tangente ao cabo nesse ponto.
Figura 5
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Na figura 6(a) encontra-se o diagrama de corpo livre de todo o cabo e na figura 6(b) o diagrama
de corpo livre do troço AP.
Figura 6
Conhecendo-se o vão (L), o desnivelamento vertical entre apoios (d), as distâncias entre as
forças e os apoios (x1, x2 e x3) e ainda a posição de um qualquer ponto P (x e y) é possível
calcular as reacções de apoio (VA, HA, VB, e HB), a configuração do cabo (definida por y1, y2 e
y3) e o seu comprimento total.
A partir do diagrama de corpo livre de todo o cabo:
∑MA = 0 ou ∑MB = 0
∑Fx = 0
∑Fy = 0
E a partir do diagrama de corpo livre do troço AP:
∑MP = 0
Com as quatro equações anteriores calculam-se as reacções de apoio. Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 5/9
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Para se calcular cada uma das ordenadas (y1, y2 e y3) dos pontos C1, C2 e C3 considera-se:
• diagrama de corpo livre do troço AC1 ou BC1 e estabelecer-se a equação ∑MC1 = 0 → y1
• diagrama de corpo livre do troço AC2 ou BC2 e estabelecer-se a equação ∑MC2 = 0→ y2
• diagrama de corpo livre do troço AC3 ou BC3 e estabelecer-se a equação ∑MC3 = 0→ y3
No diagrama de corpo livre de um qualquer troço a equação ∑Fx = 0 conduz a T cos α = HA =
HB, isto é, a componente horizontal da força de tracção é a mesma em qualquer ponto do cabo.
Pode concluir-se que a força de tracção T é máxima quando cos α é mínimo, ou seja no troço
de maior inclinação, que é logicamente adjacente a um dos dois apoios.
5.3 Cabos sujeitos a Cargas Distribuídas
O cabo flexível preso a dois pontos fixos A e B e sujeito a uma qualquer carga distribuída
(figura 7(a)) pende com a configuração de uma curva e a força interna num qualquer ponto é a
força de tracção com a direcção da tangente à curva.
A figura 7(b) representa o diagrama de corpo livre da parte compreendida entre o ponto mais
baixo O e um dado ponto D do cabo onde actuam as forças de tracção To (horizontal) e T
(direcção da tangente à curva em D) e a força resultante P da carga distribuída suportada pelo
troço OD.
(a) (b) (c) Figura 7
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Na figura 7(c) encontra-se o polígono de forças fechado (porque o sistema está em equilíbrio),
a partir do qual é possível obter as seguintes relações:
12 2 2
0 00
PT cos = T ; T sen = P; T = (T + P ) e tg = T
θ θ θ
Pode concluir-se que a componente horizontal da força de tracção é a mesma em qualquer
ponto, a tracção mínima verifica-se no ponto mais baixo (θ = 0 → cos θ = 1) e a máxima num
dos pontos de fixação.
Na figura 8(a) o cabo AB suporta uma carga uniformemente distribuída, p, ao longo da
horizontal e na figura 8(b) está o diagrama de corpo livre da parte compreendida entre o ponto
mais baixo O e um dado ponto D.
(a) (b) Figura 8
A partir da equação ∑M D = 0 → 0 02xpx T y− = chega-se a
2
02xy p T= que é a equação de
uma parábola com eixo vertical e vértice na origem das coordenadas.
A distância horizontal L entre os apoios do cabo designa-se vão e a projecção vertical da
distância h desde os apoios ao ponto mais baixo é denominada flecha (figura 9).
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(a) (b) (c) Figura 9
O comprimento do cabo desde o seu ponto mais baixo O até ao apoio B pode ser obtido por
2 42 21 ....3 5
B BB B
B B
y ys xx x
= + − +
mas para valores 0,5B
B
yx
⟨ só é necessário calcular os dois primeiros termos da série.
Exercício de Aplicação
Enunciado Figura
Considere a estrutura apresentada. Calcule: a) tracção máxima do cabo
b) tracção mínima do cabo.
7,0
m 6,0
m
3,0 m2,0 m2,0 m 2,0 m
60 kN
C
40 kN
P
D
2,0 m2,0 m
50 kN
30 kN
F
E
B
A
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Exercício de Aplicação
Enunciado
Um cabo com os suportes ao mesmo nível vence um vão de 100 metros e suporta uma
carga de 200 N/m (em projecção horizontal), sendo a tracção máxima de 20 kN, determine:
a) as reacções nos suportes do cabo
b) a flecha máxima dos cabos.