DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E … · peso reduzido ou instalar motores elétricos em espaços exíguos, como no caso de submarinos e espaçonaves. É por esse tópico, portanto,

PEA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃOELÉTRICAS

PEA3311- LABORATÓRIO DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA

CIRCUITOS MAGNÉTICOS

2016

ÍNDICE

1. Resumo...............................................................................................................................3

2. Introdução...........................................................................................................................3

3. Circuito Magnético.............................................................................................................3

4. Indutância Própria..............................................................................................................9

5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada.........................................10

6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo..................................................................................13

7. Indutância Mútua..............................................................................................................14

8. Referências Bibliográficas................................................................................................17

Anexo I...................................................................................................................................18

Parte Experimental.................................................................................................................19

PEA3311 – Circuitos Magnéticos - 2016 2/20

PEA3311 – Laboratório de Conversão Eletromecânica de Energia

1. Resumo

Esta aula constará de uma parte teórica e de uma parte experimental. Na parte teórica, o objetivo é introduzir a noção de circuitos magnéticos e a sua estreita

relação com circuitos elétricos para a modelagem de um dispositivo elétrico.Para tanto, será apresentado o formalismo matemático para a obtenção das equações básicas,

culminando com a obtenção da indutância própria de um indutor e a dependência desta com ageometria, o material e o número de espiras do mesmo. Também serão mostrados os comportamentosdeste indutor quando alimentado em corrente contínua e em corrente alternada (senoidal).

Por fim, será apresentado um transformador simples, no qual será possível mostrar as noçõesde fluxo de dispersão, fluxo mútuo e indutância mútua.

Através dos exemplos ao longo do texto, pretende-se capacitar o aluno com ferramentas que opermita analisar um circuito magnético e, em conjunto com o circuito elétrico associado, obter asgrandezas elétricas e magnéticas de interesse.

Na parte experimental, o aluno irá comprovar as relações apresentadas na teoria, quais sejam:- a dependência da indutância própria com a geometria do núcleo ferromagnético, com o

material deste núcleo e com o número de espiras;- a observação do fluxo mútuo e do fluxo de dispersão

2. Introdução

Dispositivos elétricos e eletromecânicos estão presentes em diversas aplicações do nosso dia adia. Talvez, pela correria cotidiana e pelo hábito de sempre vê-los funcionando, não nos atenhamospara o fato que tais itens se tornaram fundamentais, até mesmo indispensáveis, para a nossa vidamoderna.

Os exemplos são os mais variados, indo do simples interruptor de uma lâmpada, até a umhidrogerador em Itaipu. Nessa gama, passamos por todos os motores elétricos de uso industrial, edoméstico; pelos solenoides, eletroímãs, motores e sensores de uso em automação; pelos diversoscomponentes de um computador: disco rígido, leitores de CD, o próprio teclado, o cooler; pelostelefones portáteis; pelas pequenas bobinas em circuitos impressos às grandes bobinas em aparelhosde ressonância magnética; e por aí em diante.

O que todos esses equipamentos têm em comum é o fato de funcionarem seguindo as leis deum dos fenômenos mais extraordinários, que é o eletromagnetismo.

O objetivo desta disciplina é a de dar os primeiros passos na utilização da teoriaeletromagnética, vista em cursos de Física, em aplicações práticas mais próximas do nosso dia a dia.Podemos considerar que se trata de uma disciplina de eletromagnetismo aplicado.

Partiremos de aplicações sem movimento, como indutores e transformadores, e chegaremos àsmáquinas elétricas, que são o auge da conversão eletromecânica. São elas que permitem transformarenergia elétrica em mecânica e vice-versa. Não fossem as máquinas elétricas, não teríamos o grau deconforto que temos hoje. Se alguma dúvida ainda pairar, tente então imaginar a sua casa iluminadapor lampiões a gás ou o liquidificador com motor a explosão.

Convencido?

3. Circuito Magnético

O estudo do circuito magnético é uma das etapas mais importantes na concepção de umequipamento elétrico. Em conjunto com circuitos elétricos, forma uma ferramenta poderosa demodelagem. É através desse estudo que, por exemplo, é possível fazer um telefone celular com um



peso reduzido ou instalar motores elétricos em espaços exíguos, como no caso de submarinos eespaçonaves. É por esse tópico, portanto, que iniciaremos nosso curso.

Em princípio, todos os equipamentos eletromagnéticos devem ser projetados e analisados pelaaplicação das leis do eletromagnetismo, as quais são expressas pelas equações de Maxwell (verAnexo I).

Todavia, duas dificuldades surgem de imediato:1. por utilizarem grandezas vetoriais, as equações de Maxwell devem ser resolvidas em cada ponto

do domínio em estudo;2. a resolução analítica de equações integrais ou diferenciais não é fácil na maioria dos casos, face à

complexidade das geometrias dos dispositivos sob estudo.

Uma estratégia para contornar essas dificuldades é a utilização de grandezas escalares e dasimplificação criteriosa da geometria de forma a obter uma solução aproximada. É importanteesclarecer que, embora aproximada, essa solução pode se adequar bem aos fins desejados.

É essa estratégia que será empregada a seguir. Antes, entretanto, dois preâmbulos sãonecessários.

Preâmbulo 1: Linhas de Campo e Linhas de Fluxo

Ao longo do texto, onde os exemplos adotados são bidimensionais, ou seja, as grandezas Hr

e

Br

estão no plano do papel, utilizaremos o termo “linhas de campo” ou “linhas de fluxo”, dependendodo contexto. Acreditamos que, neste início de curso, é preferível um entendimento do fenômeno aoinvés de nos lançarmos em manipulações matemáticas.

Desta forma, “linhas de campo” serão entendidas como a direção que o campo magnético Hr

ea indução magnética B

rassumem num determinado espaço. É o equivalente à conformação das

limalhas de ferro quando expostas a um campo magnético de um ímã, conforme mostrado na figura 1.

Figura 1: Limalhas de ferro em presença de campo magnético

Muito embora o fluxo magnético Φ seja uma grandeza escalar, assumiremos como“linhas de fluxo” a mesma direção da indução magnética B

r, uma vez que elas estão relacionadas pela

expressão:



Linhas de Campo

sBdSF = ò

rr

Uma analogia apropriada é o uso que fazemos de “setas” quando queremos representar acorrente elétrica I num circuito elétrico. Nesse caso, também temos uma grandeza escalar I que segueo caminho de numa grandeza vetorial, a densidade de corrente J

r. Lembrando que:

sI JdS= ò

rr

Numa definição mais rigorosa para exemplos bidimensionais, “linhas de campo” e“linhas de fluxo” recebem o nome de linhas equipotenciais, as quais se referem ao potencial vetormagnético A

r, que é definido por:

B A= Ñ´rr

Preâmbulo 2: O Material FerromagnéticoPara entendermos o comportamento magnético de um material ferromagnético, vamos iniciar

com o que ocorre a nível atômico. Para tanto, vamos utilizar o modelo de Bohr para um átomosimples composto do núcleo e de um elétron, conforme mostrado na figura 2.

Figura 2: Modelo de Bohr

Por esse modelo, o átomo produz um campo magnético gerado pela órbita do elétron em tornodo núcleo e pelo spin do elétron, de forma que, pela ação destes dois fenômenos, o átomo possui ummomento magnético, ou seja, ele é um dipolo magnético ou um minúsculo ímã.

Nos materiais ferromagnéticos, por conta de uma interação quântica, esses dipolos se agrupame formam domínios e cada domínio possui um único momento magnético. A figura 3, feita pormicroscópio eletrônico numa amostra de chapa de Fe, mostra claramente as divisões entre osdomínios. As setas indicam os momentos magnéticos dos domínios.

Figura 3: Domínios magnéticos numa chapa de Fe



Sem nenhuma excitação externa, os momentos magnéticos dos domínios estão orientadosaleatoriamente, o que faz com que, em termo macroscópico, uma chapa de Fe, por exemplo, nãotenha um momento preferencial, uma vez que os momentos dos domínios se cancelam entre si.

Todavia, na presença de um campo magnético externo, os momentos magnéticos dosdomínios de um material ferromagnético tendem a se alinhar com esse campo e quanto maior ocampo, maior o número de domínios com os momentos alinhados.

A figura 4 apresenta, esquematicamente, essa dinâmica de alinhamento dos momentosmagnéticos num material ferromagnético.

a. sem campo externo b. com campo externoFigura 4: Influência do campo externo nos momentos magnéticos

Essa característica de alinhamento dos momentos magnéticos na presença de um campoexterno faz com que as linhas de campo passem preferencialmente pelo material ferromagnético,aumentando o valor do fluxo Φ e da indução B

r no seu interior.

Para ilustrar essa propriedade, a figura 5a mostra uma distribuição das linhas de campo de Br

no ar (por exemplo, podemos imaginar que se trata do magnetismo da Terra). A presença de ummaterial ferromagnético altera essa distribuição, fazendo com que as linhas de campo passempreferencialmente pelo material ferromagnético, o que é ilustrado na figura 5b.

a. No ar b. Na presença de material ferromagnéticoFigura 2: Linhas de campo de B

r

Os materiais ferromagnéticos mais conhecidos são o Fe e suas ligas, como o FeSi, FeNi etc.Esses materiais são muito utilizados em dispositivos eletromecânicos (máquinas elétricas, atuadores,transformadores, etc) com o intuito de “canalizar” e aumentar o valor da indução B

r e do fluxo

magnético Φ.


Br

Br

externoHr


Essa propriedade de facilitar a passagem das linhas de campo é quantificada pela grandezaconhecida como permeabilidade magnética a qual é representada pela letra grega μ. Para se ter umaidéia, a permeabilidade magnética do ar, conhecida por 0m , vale 7

0 4 .10 [H / m]-m = p , enquanto que asdos materiais ferromagnéticos são alguns milhares de vezes superior. Normalmente, a permeabilidade

de um material é representada por seu valor relativo em relação a 0m , ou seja, material

r0

mm =

m .

Para este início de curso, os materiais ferromagnéticos serão supostos lineares, isso significaque a permeabilidade magnética μ será considerada constante, de forma que a relação constitutivaB H= mr r

seja linear. Na prática, essa relação é não-linear devido a duas características dos materiaisferromagnéticos conhecidas por saturação magnética e histerese. Mas a não linearidade não serátratada neste início de curso.

O Circuito Magnético – Equação BásicaPara entendermos o desenvolvimento matemático, vamos admitir um indutor composto de um

núcleo ferromagnético e uma bobina de N espiras, conforme mostrado na figura 3.

Figura 3: Indutor

A figura 4a mostra a representação bidimensional desse indutor. Fazendo uma corrente Icircular pela bobina, no sentido indicado na figura 4a, sabemos, pela “regra da mão direita”, quesurge um campo magnético H

rno interior do núcleo ferromagnético no sentido horário.

a. Linhas de campo de Hr

b. Caminho médio ℓm

Figura 4: Núcleo ferromagnético


NúcleoFerromagnético

BobinaN espiras

SeçãoTransversal

ℓm


Vamos adotar um caminho médio ℓm, conforme indicado na figura 4b, e aplicar a equação deMaxwell que rege essa situação, qual seja, ∫H.dℓ=NI . Considerando um campo magnético médio Hm

sobre o caminho ℓm, a integral toma a forma:

Hm. ℓm=NI (1)

Sabemos, da relação constitutiva, que B H= mr r

, assim:

m m

1B NI=

ml (2)

Multiplicando e dividindo o termo à esquerda pela seção transversal S do núcleo, temos:

m m

1B S NI

S=

ml (3)

A parcela BmS pode ser admitida como o fluxo magnético Φ no núcleo (lembrar que

SBdSF = ò

rr). O termo

1= n

m é conhecido como relutividade magnética. Então:

m NIS

n F =l

(4)

Note que o termo m

Snl

é similar à expressão de resistência elétrica de um fio, cond

cond

RS

= rl

.

Por analogia, podemos chamar m

SÂ = n

l de Relutância Magnética do núcleo ferromagnético e a

expressão final fica na forma:mmÁ =ÂF (5)

Na qual mm NIÁ = é conhecida como Força Magnetomotriz. Repare que a expressão (5) é compostaapenas de grandezas escalares.

O Circuito Magnético – Analogia com o Circuito Elétrico

Observando a equação (5), é imediata a sua associação com a Lei de Ohm. De fato, sefizermos uma analogia entre ambas, podemos construir a Tabela I apresentada a seguir.



Tabela I: Analogia entre Circuito Magnético e Circuito Elétrico

Circuito Magnético Circuito Elétrico

mmÁ =ÂF em RIÁ =

mm NIÁ = : Força magnetomotriz [A esp] emÁ : Força eletromotriz [V]

Â : Relutância magnética [Aesp/Wb] ou [H-1] R: Resistência elétrica [Ω]

F : Fluxo magnético [Wb] I: Corrente [A]

μ: Permeabilidade magnética [H/m] σ: Condutividade elétrica [S/m]

1n =

m: Relutividade magnética [H-1m]

1r =

s: Resistividade elétrica [Ωm]

4. Indutância Própria

Para o indutor da figura 3, com uma bobina de N espiras, podemos determinar a suaindutância própria a partir da definição de indutância própria, qual seja:

NL

I

F= (6)

Da expressão (5), obtemos que mmÁ

F =Â

ou, NI

F =Â

e a expressão (6) resulta:

2NL =

Â(7)

Portanto, da expressão (7), observamos que a indutância própria do indutor:

- é diretamente proporcional ao quadrado do número de espiras N;

- é inversamente proporcional à relutância, ou seja, quanto maior a permeabilidade magnéticado núcleo, menor será a relutância e maior será a indutância própria. Portanto, indutorescom núcleo ferromagnético têm indutâncias próprias bem superiores àqueles com núcleo dear.



Exemplos Numéricos

Para consolidar o que já foi visto, vamos realizar dois exemplos numéricos e observar aimportância do circuito magnético na indutância própria do indutor.

Exemplo 1 – Núcleo fechado:

Vamos considerar o indutor ao lado.

Sabe-se que:- Número de espiras: 100- Resistência ôhmica da bobina: 2,5 Ω- Permeabilidade relativa do material do núcleo: μr = 1000

Pede-se: - A indutância própria do indutor- O modelo por circuito elétrico deste indutor

Resolução:

Pelas dimensões do núcleo ferromagnético, obtemos:

- Seção transversal: S = (20x20).10-6 m2

- ℓm = (4x60).10-3 + (2.π.10).10-3 =0,303m (reparar na Fig.3a que as linhas de campo H sãocurvilíneas nos cantos do núcleo. Por isso o comprimento médio foi aproximado por um quarto decircunferência em cada canto).

A relutância magnética do núcleo, m

SÂ = n

l, fica:

5 14

0

1 0,3036,03.10 H

1000 4.10-

-é ùÂ = × = ë ûm

E a indutância resulta: [ ]2 2

5

N 100L 16,58 mH

6,03.10= = @Â

O modelo do indutor em termos de circuito elétrico fica:


2,5 Ω

16,58 mH Ω

100 mm

60 mm

20 mm


Exemplo 2 – Núcleo com entreferro:

Vamos considerar que o mesmo indutor do exemplo 1possui, agora, um entreferro de 1mm, conformemostrado na figura ao lado.

Pede-se a indutância própria deste indutor.

Resolução:

Da mesma forma que o exemplo1, vamos iniciar peladeterminação do circuito magnético.Repare que, com a introdução do entreferro, o circuito magnético passa a apresentar duas relutâncias em série, ou seja, uma referente ao núcleo ( ferroÂ ) e outra referente ao entreferro ( arÂ ). Esquematicamente:

Sendo:5 -1

ferro 40

1 0,3026,01.10 [H ]

1000 4.10-Â = × =m

5 -1

ar 40

1 0,00119,89.10 [H ]

4.10-Â = × =m

Então, a relutância total do circuito fica: ( ) 5 5 -1total 6,01 19,89 .10 25,90.10 [H ]-Â = + =

E a indutância: 2

5

100L 3,86 [mH]

25,90.10= =

Note que a inclusão de um entreferro de 1mm apenas, ocasionou uma drástica redução na indutânciaprópria do indutor.

5. Alimentação em Corrente Contínua e em Corrente Alternada (senoidal)

O intuito deste item é mostrar o procedimento de análise do indutor quando alimentado poruma fonte de tensão contínua ou alternada (senoidal). Para este último caso será desenvolvida aexpressão da força contra-eletromotriz que aparece devido à variação temporal do fluxo magnético.

Alimentação em corrente contínua

Vamos admitir que o indutor do exemplo 1 anterior seja alimentado por uma fonte de tensãocontínua de 10 V e deseja-se saber a corrente I que percorre a bobina e o fluxo magnético Φ que passapelo núcleo ferromagnético.

O melhor método para abordar o problema é utilizando o modelo por circuito elétrico, o quenos dá a seguinte configuração:


1mm


A determinação da corrente I é feita pela análise desse circuito elétrico, o que fornece aexpressão:

( ) ( ) ( )dI tV t RI t L

dt= +

Por estarmos com uma alimentação em corrente contínua e admitindo a situação em regime

(não em transitório), o termo dI

L 0dt= e ficamos com o resultado

10I 4A

2,5= = , ou seja, a corrente é

apenas limitada pela resistência ôhmica da bobina.

O fluxo magnético é obtido pela expressão (5):

55

NI 100.4mm 66,33.10 Wb

6,03.10-Á =ÂFÞF = = =

Â

Alimentação em corrente alternada - tensão senoidal

Vamos admitir, agora, que o indutor do exemplo 1 é alimentado por uma fonte de tensãosenoidal de valor eficaz 10 V e frequência de 60 Hz. Nesse caso, o circuito elétrico correspondentefica:

E a equação ( ) ( ) ( )dI tV t RI t L

dt= + , para alimentação senoidal, pode ser colocada na

representação por números complexos, ou seja: V RI j LI= + w& & &

Sendo: j 1= - ; 2 fw = p e V& e I& grandezas complexas. O termo LL Xw = é chamado de Reatância Indutiva e sua unidade é [Ω].

Admitindo que a fonte de tensão tenha fase zero, ou seja, oV 10 0 V=& , o circuito pode ser resumido a:



A impedância Z& é da forma ( )LZ R jX= +& ou, numericamente, ( )Z 2,5 j6,25= + W& .

Na forma polar: oZ 6,73 68,20= W& e a corrente:

oo

o

10 0I 1,49 68,20 A

6,73 68,20= = -&

Para a determinação do fluxo magnético Φ, temos duas possibilidades:

1. utilizando a expressão (5), o que dá: 5

5

100.1,4924,71.10 Wb

6,03.10-F = = (valor eficaz)

2. utilizando a expressão da força contra-eletromotriz E& sobre o indutor.

Lembrando que ( ) ( )d tE t N

dt

F= - e considerando que o fluxo é senoidal no tempo, ou seja:

( ) maxt sen tF = F w

Temos: ( ) ( )maxmax

d sen tE t N N cos t

dt

F w= - = - F w w (8)

Ou seja, E(t) e Φ(t) possuem a mesma forma de onda, mas estão defasadas entre si de 90˚.

O valor eficaz da expressão (8) é: maxeficaz max

E 1E N

2 2= = F w

Lembrando que 2 fw = p , temos que:

eficaz maxE E 4,44fN= = F& (9)

Guarde e entenda a expressão (9) muito bem, pois ela será muito utilizada ao longo do curso!

Voltando ao nosso problema, sabemos que a tensão E& pode ser obtida por:

22RE 10 V= - D& &

Sendo que, a queda de tensão RVD & é determinada por RV R I 2,5 1,49 3,725VD = × = × =& &

E a tensão E& resulta: 2 2E 10 3,725 9, 28V= - @&



Substituindo em (9), temos: 5

max

9,2834,83.10 Wb

4,44.100.60-F = @ .

Cujo valor eficaz é: 5

5maxeficaz

34,83.1024,63.10 Wb

2 2

--F

F = = = , que, a menos de arredondamento, é

o mesmo valor obtido pelo método 1.

Pelos exemplos anteriores, fica evidente a operação distinta do indutor para cada caso dealimentação e a forma como o fluxo, que é uma grandeza difícil de ser medida diretamente, pode serobtida.

Note que, no exemplo 2, o fluxo pode ser obtido de forma indireta, mesmo não se conhecendoo valor da indutância do indutor, apenas pelos valores da tensão de alimentação, da corrente e daresistência ôhmica da bobina, que são grandezas de fácil obtenção por ensaio.

6. Fluxo de Dispersão e Fluxo Mútuo

Usando a configuração idealizada da figura 3a, vamos introduzir uma segunda bobina nocircuito magnético, conforme mostrado na figura 4. Essa segunda bobina está “em aberto”, ou seja,seus terminais não estão conectados a nenhuma fonte ou carga e, portanto, a corrente que passa porela é 2I 0= .

Figura 4: Núcleo ferromagnético com duas bobinas

Note que, nessa configuração, todo o fluxo produzido pela bobina 1 (da esquerda) passa pelonúcleo ferromagnético e atravessa a bobina 2. A esse fluxo comum entre as bobinas 1 e 2 dá-se onome de fluxo mútuo.

Outra definição muito utilizada é a de fluxo concatenado. Fluxo concatenado é o produto dofluxo que atravessa a bobina pelo número de espiras dessa bobina. Assim, para as bobinas 1 e 2 dafigura 4, temos os respectivos fluxos concatenados, λ1=N1Φ e λ2=N2Φ.

Todavia, é importante esclarecer que o modelo adotado até aqui, no qual o fluxo magnéticopassa exclusivamente pelo núcleo ferromagnético, é uma simplificação da realidade. Por maior que


Bobina 1N

1 espiras

Bobina 2N

2 espiras

Fluxo Φ


seja a permeabilidade magnética de um material ferromagnético, isso não ocorre na prática. Semprehaverá uma parcela do fluxo que passará pelo ar, conforme mostrado na figura 5 a seguir.

Pela própria figura 5 fica clara a necessidade dessa simplificação inicial, pois a existência dediversos caminhos pelo ar torna complexo o cálculo da integral ∫H.dℓ. O fato de considerarmos ofluxo passando apenas no núcleo permite que usemos o argumento dos valores médios, Hm e ℓm,conforme a equação (1).

Com essa nova configuração, mostrada na figura 5, o fluxo que atravessa a bobina 1 é maiorque o fluxo mútuo, em outras palavras, o fluxo que atravessa a bobina 1 é a soma do fluxo mútuomais o fluxo que passa no ar.

A esse fluxo que passa pelo ar e não se concatena com a bobina 2 é dado o nome de fluxo dedispersão ( dF ).

Expressando matematicamente os fluxos concatenados, temos:

λ1=N1(Φm+Φd)

λ2=N2Φm

Figura 5: Fluxo Mútuo e Fluxo de Dispersão

É importante ressaltar que, pelo fato de passar pelo ar, que tem uma permeabilidade baixa, ofluxo de dispersão tem um valor significativamente inferior ao fluxo que passa no núcleo.


Linhas do Fluxo de Dispersão Φ

d

Fluxo MútuoΦ

m


7. Indutância Mútua

A colocação de mais uma bobina no núcleo impôs a necessidade de definirmos o fluxo mútuoentre as bobinas. Por consequência, podemos também definir uma indutância mútua associada a essefluxo, que é expressa por:

2

m12 2

1 I 0

M NI

=

F= (10)

Note que a indutância mútua M12 foi definida alimentando-se a bobina 1 e deixando abobina 2 em aberto (I2=0). Podemos, entretanto, também definir uma indutância mútua (M21)alimentando-se a bobina 2 e deixando a bobina 1 em aberto.

No exemplo em questão, devido à simetria e à regularidade do caminho magnético para ofluxo mútuo entre as bobinas 1 e 2, podemos assumir que M12=M21=M.

Determinação dos fluxos mútuo e de dispersão em casos de alimentação senoidal

Vamos supor que a estrutura da figura 5 tem a bobina 1 alimentada por uma fonte de tensãosenoidal de valor eficaz 10 V e frequência 60 Hz. Na bobina 2, em aberto, é conectado um voltímetro.Nessa situação, uma corrente senoidal I=2 A (valor eficaz) percorre a bobina 1. A figura 6 mostra essaconfiguração.

Dados adicionais:Resistência da Bobina 1: R1=1ΩResistência da Bobina 2: R2=1ΩLeitura do voltímetro: V2=15 V Número de espiras N1=100Número de espiras N2=200

Pede-se:O valor da Indutância própria L1 O valor da Indutância Mútua Os fluxos total, mútuo e de dispersão

Figura 6: Núcleo com alimentação senoidal

Resolução:

O circuito elétrico para o exemplo em questão, considerando a indutância mútua, éapresentado na figura 7.



Figura 7: Circuito elétrico com mútua

Determinação da Indutância da Bobina 1 (L1):

A equação associada com a bobina 1, obtida pela análise do circuito da figura 7 é:

V1(t )=R1 I1(t)+L1d I1 ( t)

dt⏟E1(t)

±M d I2 ( t)

dt (11)

Lembrando que I2=0 e a alimentação é senoidal, a equação (11) pode ser colocada na forma:

1 1 1 1 1V R I jX I= +& & & ou V1=(R1+ jX1)⏟Z1

I1

Assim: 1

1

1

V 10Z 5

2I= = = W

&&

& e a reatância X1 é obtida por: 2 2

1 1 1X Z R 25 1 4,90= - = - @ W&

E a indutância L1 fica: 11

X 4,90L 13mH

2 f 2 60= = @

p p

Determinação da Indutância Mútua (M):

A indutância mútua M é determinada utilizando-se a equação de circuito elétrico referente àbobina 2, qual seja:

V2( t)=R2 I2(t )+L2d I2 (t)

dt⏟E2 (t )

±M d I1(t )

dt (12)

Pelo fato de I2=0 e estarmos considerando grandezas senoidais, a expressão (12) toma a forma:

2 M 1V X I=& &

E a indutância mútua M é obtida por: 2

1

V1 1 15M 19,89mH

2 60 2 60 2I= × = × @

p p

&

&

Determinação do Fluxo Mútuo (Φm):

Para a determinação do fluxo mútuo Φm, podemos partir da definição de indutância mútua:



2

m12 2

1 I 0

M NI

=

F=

Isolando Φm, temos: 3

41m

2

MI 19,89.10 .21,99.10 Wb

N 200

--F = = @ (valor eficaz).

Uma outra forma de resolver é utilizando a expressão (9), uma vez que I2=0.

Assim: 4

2 2 mutuo _ max mutuo _ max

15V 4,44fN 2,82.10 Wb

4,44.60.200-= F Þ F = @& (valor de pico)

Em valor eficaz: mutuo _ max 4

m 1,99.10 Wb2

-FF = @ , que é o mesmo valor obtido anteriormente.

Determinação do Fluxo Total (Φt):

Pela figura 5, observamos que o fluxo total Φt, que é a soma do fluxo mútuo Φm com o fluxode dispersão Φd, é criado pela bobina 1, portanto é esse fluxo que induz a tensão 1E& . Assim, temosduas formas de determinar Φt:

1. utilizando a definição da indutância própria L1, ou seja, 1 1

11

NL

I

F= , no qual Φ1= Φt

Numericamente: 3

4t

13.10 .22,60.10 Wb

100

--F = = (valor eficaz)

2. utilizando a expressão (9) de forma que: 1 1 t _ maxE 4,44fN= F& , mas 2 2

1 1 1E V V= - D& & &

Numericamente: 2 21E 10 2 9,8V= - @& e

4t _ max

9,83,68.10 Wb

4,44.100.60-F = @

E o valor eficaz é: t _ max 4

t 2,60.10 Wb2

-FF = =

Determinação do Fluxo de Dispersão (Φd):

O fluxo de dispersão Φd é obtido pela subtração: d t mF = F -F , ou seja:

( ) 4 4d 2,60 1,99 .10 0,61.10 Wb- -F = - = (valor eficaz)

É importante esclarecer que, para o exemplo dado, esta é a única maneira de se determinar Φd,uma vez que no circuito elétrico adotado na figura 7 não há nenhuma tensão associada a esse fluxo.

Apenas a título de esclarecimento, os fluxos descritos neste exemplo, por serem tambémsenoidalmente variáveis no tempo, devem ser tratados como grandezas complexas. Entretanto, comoapenas os módulos são utilizados, foi abolida a notação complexa (ex: dF& ).



Dito isso, a subtração d t mF = F -F é uma operação com grandezas complexas, mas como ostrês fluxos têm a mesma fase, pois são todos produzidos pela mesma corrente, a utilização apenas dosmódulos é aceitável.

Considerações finais sobre o exemplo:

O exemplo apresentado, no qual duas bobinas são instaladas num núcleo ferromagnético, éuma antecipação de um dos dispositivos mais importantes na engenharia elétrica que é otransformador. O transformador, que se baseia no fenômeno da tensão induzida gerada por um fluxomútuo variável no tempo (Lei de Faraday), é fundamentalmente utilizado para a variação degrandezas elétricas de uma bobina para outra.

Repare que no exemplo em questão, a tensão aplicada na bobina 1 é de 10V e na bobina 2surge uma tensão induzida de 15V.

Embora a modelagem utilizada no exemplo tenha se valido da indutância mútua, essa não é amodelagem mais utilizada, na prática, para transformadores.

Mas esse desenvolvimento deixaremos para as próximas aulas!

8. Referências Bibliográficas:

1. Fitzgerald, A. E., Kingsley Jr., C., Umans, S. D., Máquinas Elétricas, Bookman, 2006.2. Chapman, S. J., Fundamentos de Máquinas Elétricas, McGraw Hill, 2013.



ANEXO I

Tabela I: Equações de MaxwellForma Integral Forma Diferencial

dDH J

dtÑ´ = +

rr r

B 0Ñ× =r

dBE

dtÑ´ = -

rr

DÑ× = rr

Tabela II: Equações complementaresRelações Constitutivas Equações Auxiliares

D E= er r

J 0Ñ× =r

B H= mr r

E V= -Ñr

J E= sr r

sBdSF = ò

rr

sI JdS= ò

rr

Tabela III: Grandezas EletromagnéticasSímbol

oDenominação Unidade

Hr

Intensidade Campo Magnético A/m

Br

Densidade de Fluxo Magnético ou Vetor Indução Magnética T

Er

Campo Elétrico V/m

Dr

Densidade de Fluxo Elétrico ou Vetor Deslocamento Elétrico C/m2

Jr

Densidade de Corrente Elétrica A/m2

V Diferença de Potencial ou Tensão Elétrica Vρ Densidade Volumétrica de Carga C/m3

σ Condutividade Elétrica S/mμ Permeabilidade Magnética H/mΦ Fluxo Magnético WbI Corrente Elétrica A



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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E … · peso reduzido ou instalar motores elétricos em espaços exíguos, como no caso de submarinos e espaçonaves. É por esse tópico, portanto,