Introdução à Computação Gráfica

Desenho de Construção NavalManuel Ventura

Instituto Superior TécnicoSecção Autónoma de Engenharia Naval

2007

M.Ventura 2

Sumário

• Entidades Geométricas• Transformações Geométricas 2D

– Escala– Rotação– Translação– Coordenadas homogéneas– Matriz de transformação generalizada

• Transformações Geométricas 3D• Curvas Bézier 2D

M.Ventura 3

Entidades Geométricas (1)

[ ]P x y=

Polígono

Ponto

[ ]

A A

B B

C C

D D

x yx y

ABCDx yx y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Segmento de recta

y

x

(x,y)

(xA,yA

)

(xB,yB)

(xA,yA

)

(xB,yB)(xC,yC)

(xD,yD

)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

BB

AA

yxyx

AB

M.Ventura 4

Entidades Geométricas (2)

VectorFamília de segmentos de recta orientados que têm todos o mesmo comprimento ou grandeza.

A A

A A

Propriedades aritméticas especiais1. Se A é um vector, então –A, é um vector de comprimento

igual, mas que aponta no sentido oposto.2. Se A é um vector então kA tem um comprimento k vezes

superior a A (Multiplicação escalar).3. Dois vectores podem ser adicionados para obter um terceiro

vector usando o método do paralelogramo ou o método origem-extremidade (Adição vectorial).

M.Ventura 5

Entidades Geométricas (3)

A

B

A+B

Método do paralelogramo AA+B

B

Método origem-extremidade

Transformações Geométricas em 2D

M.Ventura 7

Transformações Geométricas

• Transformações Primárias– Escala– Rotação– Translação

• Transformações Secundárias– Reflexão em relação à origem– Reflexão em relação a um ponto qualquer– Reflexão em relação aos eixos de referência– Reflexão em relação a uma recta

Transformações Geométricas Primárias

M.Ventura 9

Escala

• A escala é definida por

• Sob a forma matricial será

1 0

1 0

x

y

x S xy S y=⎧

⎨ =⎩

[ ] [ ]

[ ][ ]

1 1 0 0

0 0

00

x

y

Escala

Sx y x y

S

x y T

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦=

Si > 1 => factor de ampliaçãoSi < 1 => factor de reduçãoSi = 1 => elemento neutroSi = 0 => elemento absorventeSx = Sy => escala uniformeSx = Sy => escala diferenciada

M.Ventura 10

Rotação (1)

e o ponto transformado será:

Em coordenadas polares o ponto inicial será( )( )

0

0

cossin

x ry r

αα

= ⋅⎧⎨ = ⋅⎩

( )( )

1

1

cossin

x ry r

α βα β

= ⋅ +⎧⎨ = ⋅ +⎩

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1

cos cos sin sins sin sin cos

x ry r co

α β α βα β α β

⎧ = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎨ = ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦⎩

Desenvolvendo e substituindo

M.Ventura 11

Rotação (2)

O raio pode ser expresso em função das coordenadas do ponto inicial

( ) ( )0 0

cos sinx yr rα α

= =

Substituindo r na expressão anterior teremos:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 01

0 01

cos cos sin sincos

s sin sin coscos sin

x yxsin

x yy co

α β α βα α

α β α βα α

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩

E simplificando, teremos:( ) ( )( ) ( )

1 0 0

1 0 0

cos sinsin cos

x x yy x y

β ββ β

= −⎧⎨ = +⎩

M.Ventura 12

Rotação (3)

Na forma matricial será:

[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 0 0

cos sinsin cos

x y x yβ ββ β

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

A transformação geométrica da rotação de um ângulo éindependente do vector de posição e do raio da rotação, e é expressa pela matriz

[ ] ( ) ( )( ) ( )

cos sinsin cosR

Mβ ββ β

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

M.Ventura 13

Rotação (4)

A inversa de uma matriz de rotação pura, é a sua transposta

[ ] [ ]1 TR R− =

As rotações são positivas no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Quando o determinante |R|=1 a rotação diz-se pura.

Sen Cos Tang30° 1/2 √3/2 √3/345° √2/2 √2/2 160° √3/2 1/2 √3

M.Ventura 14

Translação (1)

1 0

1 0

X

Y

x x Vy y V= +⎧

⎨ = +⎩

Para manter a forma matricial e obter uma matriz independente das coordenadas da entidade a transformar, tem que se introduzir o conceito de coordenada homogénea h

Uma translação é definida por

( ) ( ) ( ), , , , , , ,1x y hx y x y h x yh h h′ ′⎛ ⎞′ ′⇔ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

M.Ventura 15

Translação (2)

E a transformação em forma matricial será

[ ] [ ]1 1 0 0

1 01 1 0 1

X Y

x y x yV V

⎡ ⎤⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A matriz de Translação é portanto definida por:

[ ]1 00 1

T

X Y

MV V

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M.Ventura 16

Matrizes de Transformações 2D

Escala Rotação Translação

[ ]0

0x

T

y

SM

S⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( ) ( )( ) ( )

cos sinsin cosTM

α αα α

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ [ ]

1 00 1T

X Y

MV V

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Notar que nas transformações assim descritas, as matrizes são multiplicadas à direita ou seja

[ ] [ ] [ ]TMPP ×= 01

M.Ventura 17

Concatenação de Matrizes (1)

Uma sequência de transformações pode ser representada por uma concatenação de matrizes

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 0 1 2 3P P T T T= × × ×

[ ] [ ] 11 00 1

T T − ⎡ ⎤× = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

• O produto de matrizes não é comutativo, logo, a ordem das transformações é relevante.

• A compatibilização de matrizes requer matrizes (3 x 3) e a utilização de coordenadas homogéneas

• A transformação inversa é expressa pela matriz inversa [ ] 1T −

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]T

T

MPPTTTM

×=××=

01

321

M.Ventura 18

Concatenação de Matrizes (2)

Aplicações:Rotação de um ponto em torno de um centro de rotação fixodiferente da origem.

M.Ventura 19

Definição Alternativa das Matrizes

Neste caso, as matrizes são multiplicadas à esquerda, e a matriz dos pontos iniciais deve ser também transposta, ou seja

Alguns autores e alguns sistemas computacionais usam um arranjo diferente das matrizes de transformação geométrica, que são as transpostas das acima indicadas.

[ ] [ ] [ ]TT PMP 01 1×=

[ ] [ ]TTT MM =1

A ordem da multiplicação também deve ser invertida. Por exemplo, quando se pretender aplicar, por esta ordem, as transformações [A], [B] e [C], a matriz de transformação total será:

[ ] [ ] [ ] [ ]ABCMT ××=1

M.Ventura 20

Matrizes de Transformação 2D em Coordenadas Homogéneas

Escala

Rotação

Translação[ ]0 0

0 00 0 1

X

T Y

SM S

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]( ) ( )( ) ( )

cos sin 0sin cos 00 0 1

TM

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1 0 00 1 0

1T

X Y

MV V

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M.Ventura 21

Compatibilização de Matrizes (1)

[ ]

• As coordenadas cartesianas ordinárias (x,y) são substituídas pelas coordenadas homogéneas (x,y,1).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1111

22

11

nn yx

yxyx

CMM

• Os pontos, segmentos e polígonos são representados em coordenadas homogéneas, respectivamente, por uma matriz de dimensões (1x3), (2x3) e (Nx3).

M.Ventura 22

Compatibilização de Matrizes (2)

[ ]

• A matriz de transformação geométrica em 2D deverá ser representada no seu formato generalizado com as dimensão de (3x3):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100

fedcba

T• Os elementos da diagonal a e d

correspondem a transformações por variação de escala

• Os elementos a, b, c e d, reflectem a aplicação de rotações

• Os elementos e e f traduzem translações

M.Ventura 23

Exercício: Ordem de Concatenação

• Aplicação de duas transformações geométricas sobre um mesmo polígono, [ABC], impondo-se duas sequência distintas de execução.

A

x1 2 3 4

1

2

3

4

C

B

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321311

ABC

( ) ( )31801 =⋅−= YO TTranslRotTransf

( ) ( )18032 −⋅== OY RotTTranslTransf

M.Ventura 24

Resolução: Ordem de Concatenação (1)

[ ]

• Rotação do triângulo em torno da origem de 180° seguido de translação em Y de 3 unidades:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

130010001

130010001

100010001

T

[ ]1 1 1 1 0 0 1 2 1

ABC 3 1 1 0 1 0 3 2 12 3 1 0 3 1 2 0 1

t

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )1 180 3YOTransf Rot Transl T= − ⋅ =

M.Ventura 25

Resolução: Ordem de Concatenação (1)

• Rotação do triângulo em torno da origem de 180° seguido de translação em Y de 3 unidades:

M.Ventura 26

Resolução: Ordem de Concatenação (2)

[ ]

• Translação de [ABC] segundo Y de 3 unidades, seguido de uma rotação em torno da origem de 180°:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

130010001

100010001

130010001

T

[ ]1 1 1 1 0 0 1 4 1

ABC 3 1 1 0 1 0 3 4 12 3 1 0 3 1 2 6 1

t

⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )18032 −⋅== OY RotTTranslTransf

M.Ventura 27

Resolução: Ordem de Concatenação (2)

• Translação de [ABC] segundo Y de 3 unidades, seguido de uma rotação em torno da origem de 180°:

Transformações Geométricas Secundárias

M.Ventura 29

Transformações Secundárias

• As Transformações Secundárias são aquelas que podem ser consideradas como casos particulares ou aplicações compostas de transformações primárias

• Alguns exemplos:– Reflexão em torno da origem (0,0)– Reflexão em torno de um ponto qualquer– Reflexão em torno de um eixo de referência– Reflexão em torno de uma recta qualquer passando pela origem

M.Ventura 30

Reflexão em Relação à Origem

0t 0x =-xPt

x

P

y =-yt 0

0y[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

100010001

TM

A matriz de transformação associada è Reflexão em relação à origem (0,0) é a seguinte:

Note-se que corresponde a efectuar uma rotação de 180°(no plano) em torno da origem.

[ ]( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000180cos180sin0180sin180cos

TM

M.Ventura 31

Reflexão em Relação a um Ponto Genérico

[ ] [ ][ ][ ][ ] 101−= TRTPP REF

• Translação desse ponto para a origem

• Reflexão em relação à origem

• Translação inversa

A Reflexão em relação a um ponto qualquer pode ser obtida em três passos:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

1010001

YX PPT

A translação é definida pelas coordenadas do ponto genérico

M.Ventura 32

Reflexão em Relação a um Eixo

Em relação ao eixo dos XX (y=0)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

(x=0)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

Em relação ao eixo dos YY

Note-se que corresponde a efectuar uma rotação de 180° no espaço em torno do eixo.

M.Ventura 33

Reflexão em Relação a uma Recta que passa pela Origem

tP0t

y=x

x=y

y

x

0P

[ ] [ ][ ][ ][ ]454501 +−= RRRPP xx

Por simples análise visual se pode deduzir que a matriz de transformação de um ponto P em relação à recta bissectriz do 1º quadrante (Y=X) será:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100001010

xyR

Podemos obter o mesmo resultado decompondo a transformação desejada numa série de transformações elementares:

M.Ventura 34

Notas sobre Transformações

• A Reflexão e a Escala só envolvem elementos da diagonal• Os elementos fora da diagonal provocam um efeito de

shearing.• A origem (0,0) é invariante (Não é alterada pelas

transformações)

• A matriz identidade é o elemento neutro das transformações geométricas, não altera os pontos iniciais.

[ ] [ ] [ ]001

100010001

PPP =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×=

M.Ventura 35

Operações com Matrizes em Excel

=mmult(F5:H7;N13:P15)

=minverse(F5:H7)

=mdeterm(F5:H7)

=transpose(F5:H7)

<ctrl+shift+enter>

radians()

sin(), cos()

sqrt()

Funções necessárias para calcular transformações geométricas numa folha de cálculo:

M.Ventura 36

Exercício de aplicação (1)

• Deduza uma matriz que transforme o triângulo

• [A1 A2 A3] em [B1 B2 B3], sem utilizar rotações:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

222111

AAA 321

A

1 2 3

1

2

3

1

A2 A3

x

y

-1

-2

-3

1B B

B3

2

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=221211

BBB 321

M.Ventura 37

Exercício de aplicação (1) - Resolução

• Uma solução possível é aplicar uma reflexão em torno de xx, seguido de uma reflexão em torno da recta y=-x :

xyxx reflreflTransf −=⋅=

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0110

0110

1001

T

M.Ventura 38

Exercício de aplicação (1) - Resolução

• Representação geométrica:

A

y

x1 2 3

1

2

3

1

2A 3A

-1

-2

-3

1b

3b2b-3

-1

-2

2

1

3

y

B3

B11

B22 3 x

y=-x

M.Ventura 39

Exercício de aplicação (2)

• Variação de escala segundo x de um factor 2 do triângulo [ABC], mantendo fixo o vértice (2,3).

1 2 3 4

1

2

3

4

y

5

5 6

A B

C

x

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

533632

ABC

M.Ventura 40

Exercício de aplicação (2) - Resolução

1. Aplicar uma translação ao triângulo de modo a colocar o vértice A(2,3) na origem (0,0)

2. Aplicar a variação de escala pretendida (alongamento de 2 vezes apenas segundo X)

3. Aplicar uma translação ao triângulo transformado de modo a reposicionar o seu vértice A em (2,3).

M.Ventura 41

Exercício de aplicação (2) - Resolução

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

102010002

132010001

100010002

132010001

T

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⋅=

1541310132

102010002

153136132

ABCABC Tt

Transf = Transl(Tx=-2, Ty=-3) Escala(Sx=2) Transl(Tx=2, Ty=3)

M.Ventura 42

Exercício de aplicação (2) - Resolução

• Representação geométrica:

A

1

1

2

5

4

3

y

62 3 4 5 7 8 9 10 x

Ct

t Bt

M.Ventura 43

Exercício proposto

• Indique qual a sequência de transformações necessárias para transformar o triângulo [ABC] em [A’B’C’] :– Calcule a matriz concatenada.– Obtenha a matriz de coordenadas final– Represente geometricamente.

[ ] [ ]ABC A'B'C'=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 13 12 3

2 22 44 3

M.Ventura 44

Exercícios

M.Ventura 45

Exercícios

M.Ventura 46

Exercícios

M.Ventura 47

Exercícios

M.Ventura 48

Exercícios

M.Ventura 49

Exercícios

ATENÇÃO!

Multiplicação à esquerda!

(Matrizes transpostas)

M.Ventura 50

Exercícios

M.Ventura 51

Exercícios

M.Ventura 52

Exercícios

ATENÇÃO!

Multiplicação à esquerda!

(Matrizes transpostas)

M.Ventura 53

Exercícios

M.Ventura 54

Exercícios

M.Ventura 55

Exercícios

ATENÇÃO!

Multiplicação à esquerda!

(Matrizes transpostas)

M.Ventura 56

Exercícios

M.Ventura 57

Exercícios

M.Ventura 58

Exercícios

M.Ventura 59

Exercícios

Transformações Geométricas em 3D

Manuel Ventura

M.Ventura 61

Matrizes de Escala e Translação em 3D

EscalaTranslação

[ ]

0 0 00 0 00 0 00 0 0 1

x

y

T

z

SS

MS

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1

T

x y z

M

V V V

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M.Ventura 62

Matrizes de Rotação em 3D

Rotação de α em torno de XX

[ ] ( ) ( )( ) ( )

1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1

TMα αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Rotação de β em torno de YY

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

cos 0 sin 00 1 0 0

sin 0 cos 00 0 0 1

TM

β β

β β

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Rotação de γ em torno de ZZ

[ ]

( ) ( )( ) ( )

cos sin 0 0sin cos 0 00 0 1 00 0 0 1

TM

γ γγ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Regra dos Três Dedos da Mão direita

M.Ventura 63

Bibliografia

• Rogers, David (1998), “Mathematical Elements for ComputerGraphics”, McGraw-Hill.