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Determinantes
Problematização Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes
e efetuou as seguintes vendas:
Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00
Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00
Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00
Quanto custa cada par de meia?
Matriz quadrada de 1º ordem
Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada
por A= [a11]. Por definição o determinante de A
é igual ao número a11
Indicamos assim det A= a11
Exemplo 01) Dada a matriz A=[4]
Logo det A= 4
Exemplo 02) Dada a matriz B[-2]
Logo det B= -2;
Matriz quadrada de 2º ordem
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu
determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária.
Dada a matriz A = 𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
, indicamos seu determinante
assim:
Det A= 𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
= a11.a22 – a12. A21
Exemplo 01): O determinante da matriz A,
sendo:
A=6 32 −4
, é dado por:
Det A=6 32 −4
= 6.(-4) – 3.2 = -24-6 = -30
Exemplo 02) A=1 32 7
=
det A= 1 32 7
= 1.7 – 2.3 = 7-6 = 1
Matriz quadrada de 3º ordem
Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz
𝐴 = 1 5 −28 3 04 −1 2
det A = + 6 + 0 +16 + 24 + 0 – 80 = - 34
Exemplo 02) A=3 1 52 0 −2−1 4 −3
0+2+40+6+24= 72
Det A= 72.
Regra de Cramer Caso 2x2
Considere o sistema nas incógnitas 𝑥 e 𝑦: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
.
Seja 𝐷 o determinante da matriz 𝑀 incompleta dos
coeficientes do sistema:
𝑀 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
e 𝐷 = det𝑀 =𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Se 𝐷 ≠ 0, então o sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é dada por:
𝑥 = 𝐷𝑥
𝐷 e 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
em que 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 são os determinantes das matrizes obtidas a partir
da matriz 𝑀 substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª
coluna de 𝑀 pela coluna dos coeficientes independentes da
equação do sistema, como descritas abaixo.
𝐷𝑥 =𝑒 𝑏𝑓 𝑑
𝑒 𝐷𝑦 =𝑎 𝑒𝑐 𝑓
Exemplo:
1) Usando a regra de cramer, vamos
resolver os sistema: 4𝑥 + 5𝑦 = −12𝑥 + 3𝑦 = 4
𝐷 = 4 52 3
= 12 − 10 = 2 ≠ 0,
𝐷𝑥 = −1 54 3
= −3 − 20 = −23
𝐷𝑦 = 4 −12 4
= 16 + 2 = 18
Então, 𝑥 = 𝐷𝑥
𝐷=
−23
2 e 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷=
18
2= 9.
Logo, 𝑆 = −23
2, 9
Caso 3x3
Considere o sistema linear
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑒𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑓
, nas incógnitas 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧.
Se 𝐷 =
𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3
≠ 0, então o sistema é possível e
determinado (SPD).
Sua solução (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dada por 𝑥 = 𝐷𝑥
𝐷, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷 e 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷,
em que 𝐷𝑥 ,𝐷𝑦 e 𝐷𝑧 são os determinantes das matrizes
obtidas quando trocamos, na matriz dos coeficientes do
sistema, a coluna dos coeficientes de 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ,
respectivamente, pela coluna dos coeficientes independentes
das equações, como descritas abaixo:
𝐷𝑥 =
𝑑 𝑏1 𝑐1𝑒 𝑏2 𝑐2𝑓 𝑏3 𝑐3
, 𝐷𝑦 =𝑎1 𝑑 𝑐1𝑎2 𝑒 𝑐2𝑎3 𝑓 𝑐3
𝑒 𝐷𝑧 =
𝑎1 𝑏1 𝑑𝑎2 𝑏2 𝑒𝑎3 𝑏3 𝑓
Exemplo:
1) Resolva o sistema: 𝑥 + 2𝑦 – 𝑧 = −5
−𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −34𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
Como 𝐷 = 1 2 −1−1 −2 −34 −1 −1
= 2 − 24 − 1 −
8 − 3 − 2 = −36 ≠ 0, o sistema é SPD;
𝐷𝑥 = −5 2 −1−3 −2 −34 −1 −1
= −10 − 24 − 3 − 8 + 15 − 6
= −36; 𝑥 = 𝐷𝑥𝐷
= −36
−36= 1
𝐷𝑦 = 1 −5 −1−1 −3 −34 4 −1
= 3 + 60 + 4 − 12 + 12 + 5 = 72; 𝑦
=𝐷𝑦
𝐷=
72
−36= −2
𝐷𝑧 = 1 2 −5−1 −2 −34 −1 4
= 8 − 24 − 5 − 40 − 3 + 8 = −72; 𝑧
= 𝐷𝑧𝐷=
−72
−36= 2
Assim, 𝑆 = 1, −2, 2 .
Problematização
Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes
e efetuou as seguintes vendas:
Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00
Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00
Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00
Quanto custa cada par de meia?
Resolução
Montando o sistema:
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1562𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 3472𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 253
𝐷 =1 2 32 5 62 3 4
= 20 + 24 + 18 − 30 − 18 − 16 = −2 ≠ 0
𝐷𝑥 =156 2 3347 5 6253 3 4
= 3120 + 3036 + 3123 − 3795 − 2808 − 2776
= −100 ⇒ 𝑥 = 50
𝐷𝑦 =1 156 32 347 62 253 4
= 1388 + 1872 + 1518 − 2082 − 1518 − 1248 = −70
⇒ 𝑦 = 35
𝐷𝑧 =1 2 1562 5 3472 3 253
= 1265 + 1388 + 936 − 1560 − 1012 − 1041
= −24 ⇒ 𝑧 = 12
Então, como cada par de meias equivale à incógnita 𝑧, temos
que cada par custa R$ 12,00.
