DeterminantesDeterminante é um número real associado a uma matriz quadrada.Notação: det A ou |A|.

Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.

Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.

A = ( 3 ) , logo | A | = 3

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.Seja a matriz de 2ª ordem:

A = a11 a12

a21 a22

O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal

principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

a11 a12

a21 a22

= a11 · a22 – a12 · a21

a11 · a22- (a12 · a21)

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.

Ex: 1)

5327

A

+-

7 2

3 5= 7.5 - 2.3 = 29

Ex: 2)

218206.310.210632

Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.

Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.

Ex: 1)

413125312

132512

16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28

Ex: 2)

10 0 16 2 02 1 1

10 06 20 1

20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

• Quando todos os elementos de uma fila são nulos

Ex: 1) 0000892531

2) 01605802501

• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

3)0

91809212318

0921

4) 0884201

693

31 LL

31 C.C2

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

5)

6)

09114053961

0

0957877097130531

321 LLL

321 CC.C2

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

Outras propriedades:

• det(A)=det(At)

Ex: 1)

2)

612189432

612189342

,10 Se tsrzyxcba

10 então tzcsybrxa

1)

2)

Ex:

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

797035002

427.3.2

2000530068500872

602.3.5.2

Outras propriedades:

1)Ex:

• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

315189352

318153925

2) ,5 Se tsrzyxcba

5 então cbazyxtsr

Outras propriedades:

Ex: 1)

2)

69432

306.594.532.5

,10 Se tsrzyxcba

7010.7.7.7.7 então tsrzyxcba

• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

Outras propriedades:

• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A

1)

2)

69432

1506.59.53.54.52.5 2

det(2.A) então 5,det(A) com 3x3 éA Se

2.det(A)

Ex:

Outras propriedades:

3 405.8

Matriz Inversa

Definição• Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular.

det(A)≠0

ADMITE INVERSA

• Verifique se existe e, em caso afirmativo,

determine a matriz inversa de A =

Resolução: Pela definição temos:

1001

32328585

1001

3285

dbcadbca

dcba

23032185

ceacaca

58132085

debdbdb

Então X =

52

83, para AX = I2.

• det(A.B)=detA.detB

Ex: .3214

B e 7523

A Sejam

det(A.B)? valeQuanto

11011.10det(A.B)

Outras propriedades:

11detA 10detB

• det(A-1)=1/detA

Ex:

:iaConsequênc IA.A -1 det(I))det(A.A -1

1)(Adet(A).det -1

/detA1)det(A -1

:é 9352

A de inversa da tedeterminan O

1/3/detA1)det(A -1