Teoria de determinantes 2013

Prof. Jorge

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Determinante de uma matriz quadradaDeterminante de uma matriz quadrada

A toda matriz quadrada A está associado um

número real, chamado determinante de A. Ele

é obtido por meio de certas operações com os

elementos da matriz.

O determinante de uma matriz A pode ser

indicado por det A ou, ainda, substituído-se os

parênteses ou colchetes da matriz por barras.

MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

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Exemplo

O determinante da matriz P abaixo pode ser indicado

–5 0

–1 4P =

Por det P;

–5 0

–1 4


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Determinantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem

O determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único elemento.

Exemplo

2 det A = 2A =

A = [a11] ⇒ det A = a11


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Determinantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem

O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

a11 a12

a21 a22

= a11 . a22 – a12 . a21


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Exemplos

Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo.

2 3

5 1M =

–5 0

–1 4N =

2 3

5 1 Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13

–5 0

–1 4 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20


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Exemplos

Resolver a equaçãox 2

x x + 1= 2.

x 2

x x + 1= x.(x + 1) – 2.x = x2 + x – 2x = x2 – x

x2 – x = 2 x2 – x – 2 = 0 x = –1 ou x = 2


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Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem

Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os passos a serem seguidos, em que tomamos um determinante de uma matriz genérica A.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A =


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a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

A =

1o passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas


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2o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras “diagonais”.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

Det A =

A =

a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32


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3o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras “diagonais”, também trocando o sinal dos produtos.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

Det A =

A =

a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

– a31.a22.a13 – a32.a23.a11


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a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

Det A =

A =

a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

– a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12

4o passo: Somamos todos os resultados obtidos.


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1 –3 2

4 2 0

–2 1 3

Exemplos

Calcule o determinante da matriz A abaixo.

A =

1 –3 2

4 2 0

–2 1 3

1 –3

4 2

–2 1

1.2.3 + (–3).0.(–2) + 2.4.1 = 6 + 0 + 8 = 14

–[2.2.(–2)] –[1.0.1] –[(–3).4.3] = 8 – 0 + 36 = 44

Det A = 14 + 44 = 58


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x 2 3

–1 x 4

–3 0 1

Exemplos

Encontrar os valores de x que anulam o determinante

x 2 3

–1 x 4

–3 0 1

x 2

–1 x

–3 0

x.x.1 + 2.4.(–3) + 3.(–1).0 = x2 – 24

–[3.x.(–3)] –[x.4.0] –[2.(–1).1] = 9x + 2

Det A = x2 + 9x – 22 x2 + 9x – 22 = 0

x = –11ou

x = 2


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Propriedades dos

Determinantes


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Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes

P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele

tem:

Uma linha (ou coluna) nula.

–1 2 3

0 0 0

5 1 3

= 0

Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais.

1 5 1

2 –4 2

3 0 3

= 0

0 1 3

2 2 6

–3 4 12

= 0

2º coluna x 31º coluna =3o


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P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou

colunas) de um determinante, ele troca de sinal.

2 –1 3

1 0 4

3 –2 1

= –1

3 –1 2

4 0 1

1 –2 3

= 1


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2.3 –5

1.3 4

2 –5

1 4


P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um

determinante por uma constante k, ele fica

multiplicado por k.

= 13

6 –5

3 4= = 39

13. 3 = 39


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P4. O determinante de uma matriz é igual ao

determinante de sua transposta.

Det At det A

Exemplo

3 1

–4 2A =

3 –4

1 2 At =

Det A = 10 Det At = 10


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2 0 0

3 –1 0

2 0 3


P5. Se forem nulos todos os elementos situados de um

mesmo lado da diagonal principal, o determinante será

igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo

A = Det A = 2.(–1).3 = –6

A matriz A é triangular.


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P6. O determinante do produto de duas matrizes é o

produto de seus determinantes (teorema de

Binet).

det (AB) = det A . det B

Exemplo

3 1

4 2A =

2 –3

4 1B =

10 –8

16 –10AB =

Det A = 2 Det B = 14 Det AB = 28


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1 + (–2).2 2

3 + (–2).5 5


P7. Um determinante não se altera se substituirmos

uma de suas filas por ela própria somada com

uma outra paralela multiplicada por uma

constante (Teorema de Jacobi).

Exemplo

1 2

3 5= 1.5 – 2.3 = 5 – 6 = –1

=–3 2

–7 5= –15 – (–14) = –1


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