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a 11. M =. det M =. A =. det A =. 16. Determinantes. Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante. da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de. M da seguinte forma:. - PowerPoint PPT Presentation
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DeterminantesConsideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.
Determinante de ordem 1
M = 11a
EXEMPLO:
A = 16
det M = a11
det A = 16
Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos deM da seguinte forma:
DeterminantesDeterminante de ordem 2
det M =
EXEMPLO:
A =5 17 3
det A = 5.3
M = 11 12
21 22
a aa a
a11. a22
-
a12. a21
1.7 = 8
-
DeterminantesDeterminante de ordem 3
M =11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
11
21
31
aaa
12
22
32
aaa
Regra de Sarrus
det M =(a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
a11.a22.a33a12.a23.a31 a13.a21.a32a12.a21.a33a11.a23.a32a13.a22.a31
DeterminantesDeterminante de ordem 3
A =
EXEMPLO:
1 2 30 5 23 1 4
det A =
103
251
det A =(1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4)
1.5.4 (-2).2.3 3.0.(-1)(-2).0.41.2.(-1)3.5.3
- 35
DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)
• Menor ComplementarDada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A =M11 =
22 23
23 33
a aa a
elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)
• Menor Complementar
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A = M23 = 11 12
31 32
a aa a
Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de
ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A = 11 12
31 32
a aa a
Aij =(-1)i+j.Mij
A11 =
(-1)1+1.M11= (-1)2.
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.
DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A =
Matriz co-fator 11 12 13
21 22 23
31 32 33
A A AA A AA A A
Cof A=
Aij =(-1)i+j.Mij
DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)
• Determinante de uma matriz de ordem n O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A =
det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31
det A = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23
det A = a31.A31 + a32.A32 + a33.A33
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.
DeterminantesRegra de Chió
Abaixamento de ordem de um determinante
Exemplo:
A =
1 2 4 23 7 5 61 10 4 53 8 2 3
B=7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
=1 7 08 8 32 10 3
det A = det B