DETERMINANTESDETERMINANTES

A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.

Determinante de uma matriz

Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples: 

A = e det A =

A = [4] e det A = |4| 

A = e det A =

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, A = (a11), é o próprio elemento de A.

det A =|a11|= a11 

Determinante de uma matriz de ordem 1

a) A = (4) det A = |4| = 4b) B = det B = | | = 

Exemplos

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2,A = , é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = = 

Determinante de uma matriz de ordem 2

a) A = det A =  

b) B = det B =

Exemplos

Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinantede A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o procedimento explicado a seguir.

Determinante de uma matriz de ordem 3

Considere a matriz: A =

Descrição do procedimento Aplicação do procedimento

1o) Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas.

2o) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção dessa diagonal, multiplicam-se os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita.

Determinante de uma matriz de ordem 3

Descrição do procedimento Aplicação do procedimento

3o) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção dessa diagonal, os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita.

4o) O determinante da matriz é obtido pela diferença entre as somas dos produtos do 2o e do 3o passo, nessa ordem.

det A = (a11a22a33 + a12a23a31 +

a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 +

a12a21a33)

Determinante de uma matriz de ordem 3

Exemplo

a) Considerando a matriz A = , temos:

–6 12 0 10 –8 0

Assim: det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4

b) Considerando a matriz B = , temos:

–12 –72 54 –108 –18 24 

Assim: det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72

EXERCÍCIOS

Resolução

1. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira.

Pela regra de Sarrus:

= 0

–2x2 –2 6 –8 –x 3x

–2x2 – 2x + 12 = 0x2 – x + 6 = 0x = 2 ou x = –3

 Assim, temos:(–8 – x + 3x) – (–2x2 – 2 + 6) = 0

Portanto, a igualdadeé verdadeira para: x = 2 ou x = –3 

Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula:

ARST = , em que D =

Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3 tal que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, a 2a, pelas ordenadas e a 3a por 1.

ÁREA DE UM TRIANGULO

2. Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3).

EXERCÍCIO

D = = (–6 + 10 –12) – (15 + 6 + 8) = –37 

ARST = = 18,5

Logo, a área do triângulo é 18,5 unidades de área. 

Resolução

Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A o número real

Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A

quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento aij.

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz

Exemplos

a) Seja A = , Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A, obtemos A12 = (–1)1+2 ∙ . Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12.

b) Seja B = Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos B34 = (–1)3+4 ∙ Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34.

Exemplos

O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Teorema de Laplace

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

A =Exemplo

Escolhendo a 1a linha, temos:det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14

det A = 1 ∙ (–1)2 ∙ + 2 ∙ (–1)2 ∙ +

+ (–3) ∙ (–1)4 ∙ + 0 ∙Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0. Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43

Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver mais zeros.

3. Calcular o determinante da matriz A =

Vamos usar o teorema de Laplace para calcular o det A. Para isso, é conveniente escolher a coluna 1 ou a coluna 4, pois elas têm a maior quantidade de zeros. Escolhendo, por exemplo, a coluna 1:

det A = 1 ∙ (–1)3 ∙ + (–1) ∙ (–1)5 ∙det A = –40 + 52 = 12

Resolução

EXERCÍCIOS

Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0.

Simplificação do cálculo de determinantes1a propriedade: Fila nula

Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0.

2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais

A = ⇒ det A = = 0

A = ⇒ det A = 0 e A = ⇒ det A = 0

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta. 

3a propriedade: Determinante da matriz transposta

Simplificação do cálculo de determinantes

Tente para A =

Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida fica multiplicado por k. 

4a propriedade: Produto de uma fila por uma constante

Tente para A =

Tente para A =

Simplificação do cálculo de determinantes

Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A.

5a propriedade: Troca de filas paralelas

Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos, o determinante de A é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

6a propriedade

Tente para A =

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B)

Teorema de Binet

Exemplo

Sendo A = e B = , temos:

A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60

Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B)

det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60

Agora vamos praticar!!1) (Unicap - PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

Resolução:

2) O determinante da matriz A é igual a – 2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. 

Resolução:

3) Seja a matriz quadrada M de ordem 3 cada elemento aij = i + j. O cofator do elemento a32  é :

a)– 2b)0c)2d)5e)7

Resolução:

4) Considerando a matriz A, a seguir, determine o cofator do elemento de maior valor.

Resolução: