Matrizes - Parte II

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2

AB 6=BA (Comutativa)

Considere as matrizes

A =

[−1 02 3

]B =

[1 23 0

]. Multiplicando,

obtemos

AB =

[−1 −211 4

], BA =

[3 6−3 0

].

AB 6=BA (Comutativa)

Considere as matrizes

A =

[−1 02 3

]B =

[1 23 0

]. Multiplicando,

obtemos

AB =

[−1 −211 4

],

BA =

[3 6−3 0

].

AB 6=BA (Comutativa)

Considere as matrizes

A =

[−1 02 3

]B =

[1 23 0

]. Multiplicando,

obtemos

AB =

[−1 −211 4

], BA =

[3 6−3 0

].

Outras propriedades

• Comutativa

• Cancelamento

Outras propriedades

• Comutativa

• Cancelamento

A Lei do Cancelamento nao vale

Considere as matrizes

A =

[0 10 2

]B =

[1 13 4

], C =

[2 53 4

].

Multiplicando, obtemos

AB = AC =

[3 46 8

].

Embora A 6= 0, e incorreto cancelar A de ambosos lados da equacao AB = AC e escrever B = C.E possıvel um produto de matrizes ser zero semque nenhum dos fatores seja zero!

A Lei do Cancelamento nao vale

Considere as matrizes

A =

[0 10 2

]B =

[1 13 4

], C =

[2 53 4

].

Multiplicando, obtemos

AB = AC =

[3 46 8

].

Embora A 6= 0, e incorreto cancelar A de ambosos lados da equacao AB = AC e escrever B = C.

E possıvel um produto de matrizes ser zero semque nenhum dos fatores seja zero!

A Lei do Cancelamento nao vale

Considere as matrizes

A =

[0 10 2

]B =

[1 13 4

], C =

[2 53 4

].

Multiplicando, obtemos

AB = AC =

[3 46 8

].

Embora A 6= 0, e incorreto cancelar A de ambosos lados da equacao AB = AC e escrever B = C.E possıvel um produto de matrizes ser zero semque nenhum dos fatores seja zero!

Propriedades das Matrizes Zero

Supondo que os tamanhos das matrizes sao taisque as operacoes indicadas podem ser efetuadas,valem as seguintes regras:

(a) A+0=0+A=A

(b) A-A=0

(c) 0-A=-A

(d) A0=0; 0A=0

Definicao de inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n e inversıvelse existe uma matriz B tal que:AB = BA = In.

Notacao: B = (A−1) Exemplo:

A =

[3 51 2

]B =

[2 −5−1 3

]

Uma matriz nao inversıvel e dita uma matrizsingular.

Definicao de inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n e inversıvelse existe uma matriz B tal que:AB = BA = In.

Notacao: B = (A−1) Exemplo:

A =

[3 51 2

]B =

[2 −5−1 3

]

Uma matriz nao inversıvel e dita uma matrizsingular.

Definicao de inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n e inversıvelse existe uma matriz B tal que:AB = BA = In.

Notacao: B = (A−1) Exemplo:

A =

[3 51 2

]B =

[2 −5−1 3

]

Uma matriz nao inversıvel e dita uma matrizsingular.

Inversa de uma matriz de ordem 2

A matriz B =

[3 51 2

]e a inversa da matriz

B =

[2 −5−1 3

]pois

AB =

[3 51 2

] [2 −5−1 3

]=

[1 00 1

]= I2

e

BA =

[2 −5−1 3

] [3 51 2

]=

[1 00 1

]= I2

.

Exercıcio

Verifique que a matriz

A =

1 4 02 5 03 6 0

nao possui inversa, ou seja, A e uma matrizsingular.

Propriedade da inversao de matrizes

Sejam A e B matrizes inversıveis de mesmaordem. Entao:

i) (AB)−1 = B−1A−1

ii) (A−1)−1 = Aiii) (AT )−1 = (A−1)T

Propriedade da inversao de matrizes

Sejam A e B matrizes inversıveis de mesmaordem. Entao:

i) (AB)−1 = B−1A−1

ii) (A−1)−1 = Aiii) (AT )−1 = (A−1)T

Propriedade da inversao de matrizes

Sejam A e B matrizes inversıveis de mesmaordem. Entao:

i) (AB)−1 = B−1A−1

ii) (A−1)−1 = A

iii) (AT )−1 = (A−1)T

Propriedade da inversao de matrizes

Sejam A e B matrizes inversıveis de mesmaordem. Entao:

i) (AB)−1 = B−1A−1

ii) (A−1)−1 = Aiii) (AT )−1 = (A−1)T

Metodo para encontrar A−1

Dada a matriz A =

1 0 00 −1 30 0 −4

qual e a sua inversa?

Metodo para encontrar A−1

Dada a matriz A =

1 0 00 −1 30 0 −4

qual e a sua inversa?

Operacoes elementares sobre linhas

1- Multiplicar uma linha inteira por um numeroreal nao nulo.

2- Trocar a posicao de duas linhas.

3- Substituir uma linha por sua soma com ummultiplo de outra.

Operacoes elementares sobre linhas

1- Multiplicar uma linha inteira por um numeroreal nao nulo.

2- Trocar a posicao de duas linhas.

3- Substituir uma linha por sua soma com ummultiplo de outra.

Operacoes elementares sobre linhas

1- Multiplicar uma linha inteira por um numeroreal nao nulo.

2- Trocar a posicao de duas linhas.

3- Substituir uma linha por sua soma com ummultiplo de outra.

Matrizes Elementares

Matriz elementar e a matriz obtida a partir damatriz identidade executando uma unicaoperacao elementar sobre as linhas .

Exemplos:

A =

[1 00 −3

], B

1 0 30 1 00 0 1

A e obtida a partir de I2 multiplicando a segundalinha por -3 e B e obtida a partir de I3 somando 3vezes a terceira linha a primeira.

Matrizes Elementares

Matriz elementar e a matriz obtida a partir damatriz identidade executando uma unicaoperacao elementar sobre as linhas .Exemplos:

A =

[1 00 −3

], B

1 0 30 1 00 0 1

A e obtida a partir de I2 multiplicando a segundalinha por -3 e B e obtida a partir de I3 somando 3vezes a terceira linha a primeira.

Matrizes Elementares

Matriz elementar e a matriz obtida a partir damatriz identidade executando uma unicaoperacao elementar sobre as linhas .Exemplos:

A =

[1 00 −3

], B

1 0 30 1 00 0 1

A e obtida a partir de I2 multiplicando a segundalinha por -3 e B e obtida a partir de I3 somando 3vezes a terceira linha a primeira.

Matrizes Elementares

Matriz elementar e a matriz obtida a partir damatriz identidade executando uma unicaoperacao elementar sobre as linhas .Exemplos:

A =

[1 00 −3

], B

1 0 30 1 00 0 1

A e obtida a partir de I2 multiplicando a segundalinha por -3 e B e obtida a partir de I3 somando 3vezes a terceira linha a primeira.

TeoremaQualquer matriz elementar e inversıvel e suainversa tambem e uma matriz elementar demesmo tipo.

Qual o efeito da multiplicacao de uma matrizelementar Ei por uma matriz A?

Resposta: Se Ei e o resultado de uma operacaoelementar na matriz identidade, entao EiA e amatriz que resulta da mesma operacao elementarnas suas linhas.

TeoremaQualquer matriz elementar e inversıvel e suainversa tambem e uma matriz elementar demesmo tipo.

Qual o efeito da multiplicacao de uma matrizelementar Ei por uma matriz A?

Resposta: Se Ei e o resultado de uma operacaoelementar na matriz identidade, entao EiA e amatriz que resulta da mesma operacao elementarnas suas linhas.

TeoremaQualquer matriz elementar e inversıvel e suainversa tambem e uma matriz elementar demesmo tipo.

Qual o efeito da multiplicacao de uma matrizelementar Ei por uma matriz A?

Resposta: Se Ei e o resultado de uma operacaoelementar na matriz identidade, entao EiA e amatriz que resulta da mesma operacao elementarnas suas linhas.

Definicao: Uma matriz B e equivalente porlinhas a uma matriz A se existe uma sequenciafinita de matrizes elementares E1, E2, ..., Ek talque:

B = EkEk−1...E2E1A

TeoremaSe a forma escalonada reduzida por linhas deuma matriz A e a matriz identidade, entao Apode ser expressa como um produto de matrizeselementares.

Definicao: Uma matriz B e equivalente porlinhas a uma matriz A se existe uma sequenciafinita de matrizes elementares E1, E2, ..., Ek talque:

B = EkEk−1...E2E1A

TeoremaSe a forma escalonada reduzida por linhas deuma matriz A e a matriz identidade, entao Apode ser expressa como um produto de matrizeselementares.

Definicao: Uma matriz B e equivalente porlinhas a uma matriz A se existe uma sequenciafinita de matrizes elementares E1, E2, ..., Ek talque:

B = EkEk−1...E2E1A

TeoremaSe a forma escalonada reduzida por linhas deuma matriz A e a matriz identidade, entao Apode ser expressa como um produto de matrizeselementares.

Encontrando a inversa de uma matriz A

Suponha que uma matriz A possa ser reduzidapor linhas a matriz identidade In.

In = EkEk−1...E2E1A (∗)

Isto e, A e equivalente a matriz identidade.Assim podemos encontrar A−1 multiplicando aequacao (∗) por A−1 a direita:

A−1 = (EkEk−1...E2E1A)A−1

A−1 = (EkEk−1...E2E1)In

Encontrando a inversa de uma matriz A

Suponha que uma matriz A possa ser reduzidapor linhas a matriz identidade In.

In = EkEk−1...E2E1A (∗)

Isto e, A e equivalente a matriz identidade.Assim podemos encontrar A−1 multiplicando aequacao (∗) por A−1 a direita:

A−1 = (EkEk−1...E2E1A)A−1

A−1 = (EkEk−1...E2E1)In

Encontrando a inversa de uma matriz A

Suponha que uma matriz A possa ser reduzidapor linhas a matriz identidade In.

In = EkEk−1...E2E1A (∗)

Isto e, A e equivalente a matriz identidade.Assim podemos encontrar A−1 multiplicando aequacao (∗) por A−1 a direita:

A−1 = (EkEk−1...E2E1A)A−1

A−1 = (EkEk−1...E2E1)In

Encontrando a inversa de uma matriz A

Suponha que uma matriz A possa ser reduzidapor linhas a matriz identidade In.

In = EkEk−1...E2E1A (∗)

Isto e, A e equivalente a matriz identidade.Assim podemos encontrar A−1 multiplicando aequacao (∗) por A−1 a direita:

A−1 = (EkEk−1...E2E1A)A−1

A−1 = (EkEk−1...E2E1)In

Encontrando a inversa de uma matriz A

Suponha que uma matriz A possa ser reduzidapor linhas a matriz identidade In.

In = EkEk−1...E2E1A (∗)

Isto e, A e equivalente a matriz identidade.Assim podemos encontrar A−1 multiplicando aequacao (∗) por A−1 a direita:

A−1 = (EkEk−1...E2E1A)A−1

A−1 = (EkEk−1...E2E1)In

Como funciona na pratica

Seja A uma matriz quadrada de ordem n,inversıvel ou singular.

Forme uma nova matriz de tamanho n× 2n

[A|I]

Facamos operacoes elementares nessa matriz ateobtermos

[I|A]

Como funciona na pratica

Seja A uma matriz quadrada de ordem n,inversıvel ou singular.Forme uma nova matriz de tamanho n× 2n

[A|I]

Facamos operacoes elementares nessa matriz ateobtermos

[I|A]

Exemplo

Encontre a inversa da matriz:

1 2 32 5 31 0 8

Solucao. Escrevemos 1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1

1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1

somando -2 vezes a primeira linha a segunda e -1vezes a primeira a terceira: 1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 00 −2 5 −1 0 1

1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 00 −2 5 −1 0 1

somando 2 vezes a segunda linha a terceira: 1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 00 0 −1 −5 2 1

1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 00 0 −1 −5 2 1

multiplicando a terceira linha por -1: 1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 00 0 1 5 −2 −1

1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 00 0 1 5 −2 −1

somando 3 vezes a terceira linha a segunda e -3vezes a terceira a primeira: 1 2 0 −14 6 3

0 1 0 13 −5 −30 0 1 5 −2 −1

1 2 0 −14 6 30 1 0 13 −5 −30 0 1 5 −2 −1

somando -2 vezes a segunda linha a primeira: 1 0 0 −40 16 9

0 1 0 13 −5 −30 0 1 5 −2 −1

Assim, a inversa A−1 e −40 16 913 −5 −35 −2 −1

.

Se durante o procedimento acima, em algumponto das contas, aparecer uma linha de zeros nolado esquerdo entao concluımos que a matriz naoe invertıvel.

Assim, a inversa A−1 e −40 16 913 −5 −35 −2 −1

.

Se durante o procedimento acima, em algumponto das contas, aparecer uma linha de zeros nolado esquerdo entao concluımos que a matriz naoe invertıvel.