Limites infinitos e no infinito

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

Bases Matematicas

UFABC Bases Matematicas

Limites Infinitos e assıntotas verticais

Consideremos a funcao f (x) =1

x2. Quando x se aproxima de 0, x2

tambem se aproxima de 0 e1

x2fica arbitrariamente grande quando

tomamos valores de x proximos de 0.

Para indicar este fatoescrevemos

limx→p

f (x) = +∞.

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Limites Infinitos e assıntotas verticais

Consideremos a funcao f (x) =1

x2. Quando x se aproxima de 0, x2

tambem se aproxima de 0 e1

x2fica arbitrariamente grande quando

tomamos valores de x proximos de 0. Para indicar este fatoescrevemos

limx→p

f (x) = +∞.

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.

Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.

Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Definicao (Limite Infinito)

Seja f uma funcao e p ∈ Df . Entao diremos que

I f (x) converge para +∞ quando x tende a p se, dadoK > 0, existir δ > 0 tal que f (x) > K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ. Notacao limx→pf (x) = +∞.

I f (x) converge para −∞ quando x tende a p se, dadoK < 0, existir δ > 0 tal que f (x) < K para todo x ∈ Df ,0 < |x − p| < δ.Notacao limx→pf (x) = −∞.

I Analogamente definimos limx→p+f (x) = ±∞(limx→p−f (x) = ±∞).

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ.

Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K.

De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒

1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Exemplo

Prove que limx→0+

1

x= +∞.

Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1x > K sempre que

0 < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ =1

K. De fato, seja

K > 0 escolha δ =1

K. Se 0 < x < δ, entao

0 < x < δ ⇒ 1

x>

1

δ= K .

O que mostra que limx→0+

1

x= +∞.

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Definicao

A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:

limx→p

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = +∞,

limx→p

f (x) = −∞, limx→p+

f (x) = −∞, limx→p−

f (x) = −∞.

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Definicao

A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:

limx→p

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = +∞,

limx→p

f (x) = −∞, limx→p+

f (x) = −∞, limx→p−

f (x) = −∞.

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Definicao

A reta x = p e chamada de assıntota vertical do grafico dafuncao f se pelo menos uma das seguintes condicoes estiversatisfeita:

limx→p

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = +∞,

limx→p

f (x) = −∞, limx→p+

f (x) = −∞, limx→p−

f (x) = −∞.

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Propriedades dos limites infinitos

Seja L um numero real. Temos:

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = −∞.

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = +∞

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Propriedades dos limites infinitos

Seja L um numero real. Temos:

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = −∞.

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = +∞

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Propriedades dos limites infinitos

Seja L um numero real. Temos:

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = −∞.

I

limx→p

f (x) = L

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f · g)(x) = +∞, L > 0

limx→p

(f · g)(x) = −∞, L < 0

limx→p

(f + g)(x) = +∞

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I

limx→p

f (x) = +∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = +∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = −∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒ limx→p

(f · g)(x) = −∞

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I

limx→p

f (x) = +∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = +∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = −∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒ limx→p

(f · g)(x) = −∞

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I

limx→p

f (x) = +∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = +∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = −∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒ limx→p

(f · g)(x) = −∞

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I

limx→p

f (x) = +∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = +∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = −∞ =⇒

limx→p

(f + g)(x) = −∞

limx→p

(f · g)(x) = +∞

I

limx→p

f (x) = −∞

limx→p

g(x) = +∞ =⇒ limx→p

(f · g)(x) = −∞

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2=

limx→0

cos x1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2=

+∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

UFABC Bases Matematicas

Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

UFABC Bases Matematicas

Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4=

limx→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2=

+∞.

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Observacao: As propriedades acima sao validas se, em lugar dex → p, usarmos x → p+ ou x → p−.

Exemplo

Calcule limx→0

cos x

x2.

limx→0

cos x

x2= lim

x→0cos x

1

x2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→0

sen x2

x4.

limx→0

sen x2

x4= lim

x→0

sen x2

x21

x2= +∞.

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Observacao: As propriedades acima sugerem como operar com ossımbolos +∞ e −∞. Assim, por exemplo,

L±∞ = ±∞, ∞ · (−∞) = −∞ e L · (−∞) = +∞ se L < 0.

Temos as seguintes indeterminacoes:

∞−∞, −∞+∞, 0 · ∞, ∞∞,

0

0, 1∞, 00, ∞0.

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Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

UFABC Bases Matematicas

Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4=

limx→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

UFABC Bases Matematicas

Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2=

+∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

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Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

UFABC Bases Matematicas

Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

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Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1=

limx→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

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Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) =

−∞.

UFABC Bases Matematicas

Exemplo

Calcule limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4.

limx→2+

x2 + 3x

x2 − 4= lim

x→2+

1

x − 2

x2 + 3x

x + 2= +∞.

Exemplo

Calcule limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1.

Observe quex3 − 1

x2 − 2x + 1=

(x − 1)(x2 + x + 1)

(x − 1)2. Assim,

limx→1−

x3 − 1

x2 − 2x + 1= lim

x→1−

1

x − 1(x2 + x + 1) = −∞.

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Limites no Infinito e assıntotas horizontais

Definicao (Limite no Infinito)

I Seja f uma funcao, entao

limx→+∞

f (x) = L

se,

dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df

com x > R .

I elim

x→−∞f (x) = L

se,dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df

com x < R .

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Limites no Infinito e assıntotas horizontais

Definicao (Limite no Infinito)

I Seja f uma funcao, entao

limx→+∞

f (x) = L

se,dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df

com x > R .

I elim

x→−∞f (x) = L

se,

dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df

com x < R .

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Limites no Infinito e assıntotas horizontais

Definicao (Limite no Infinito)

I Seja f uma funcao, entao

limx→+∞

f (x) = L

se,dado ε > 0, existir R > 0 tal que |f (x)− L| < ε ∀x ∈ Df

com x > R .

I elim

x→−∞f (x) = L

se,dado ε > 0, existir R < 0 tal que |f (x)− L| < ε, ∀x ∈ Df

com x < R .

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Definicao

A reta y = L e chamada de assıntota horizontal do grafico de fse ou

limx→+∞

f (x) = L ou limx→−∞

f (x) = L.

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Exemplo

Temos limx→+∞

1

x= 0 e lim

x→−∞

1

x= 0.

Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que

x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =

∣∣∣∣1x − 0

∣∣∣∣ =1

x< ε.

Tomando R =1

ε> 0 temos

x > R > 0 =⇒ 0 <1

x<

1

R= ε.

Logo limx→+∞

1

x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.

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Exemplo

Temos limx→+∞

1

x= 0 e lim

x→−∞

1

x= 0.

Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que

x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =

∣∣∣∣1x − 0

∣∣∣∣ =1

x< ε.

Tomando R =1

ε> 0 temos

x > R > 0 =⇒ 0 <1

x<

1

R= ε.

Logo limx→+∞

1

x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.

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Exemplo

Temos limx→+∞

1

x= 0 e lim

x→−∞

1

x= 0.

Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que

x > R > 0 =⇒ |f (x)− 0| =

∣∣∣∣1x − 0

∣∣∣∣ =1

x< ε.

Tomando R =1

ε> 0 temos

x > R > 0 =⇒ 0 <1

x<

1

R= ε.

Logo limx→+∞

1

x= 0. A prova para x → −∞ e analoga.

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Observacao: As propriedades do limite sao tambem validas sex → p for substituıdo por x → +∞ ou x → −∞.

Exemplo

Calcule limx→+∞

1

xnonde n e um inteiro positivo.

limx→+∞

1

xn= lim

x→+∞

(1

x

)n= 0.

Em geral, temos que limx→±∞

1

x r= 0 onde r e um numero racional

positivo.

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Observacao: As propriedades do limite sao tambem validas sex → p for substituıdo por x → +∞ ou x → −∞.

Exemplo

Calcule limx→+∞

1

xnonde n e um inteiro positivo.

limx→+∞

1

xn= lim

x→+∞

(1

x

)n= 0.

Em geral, temos que limx→±∞

1

x r= 0 onde r e um numero racional

positivo.

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Exemplo

Calcule limx→+∞

x5 + x4 + 1

2x5 + x + 1.

limx→+∞

x5 + x4 + 1

2x5 + x + 1= lim

x→+∞

x5(1 + 1

x + 1x5

)x5(2 + 1

x4+ 1

x5

)= lim

x→+∞

1 + 1x + 1

x5

2 + 1x4

+ 1x5

=1 + 0 + 0

2 + 0 + 0=

1

2.

Analogamente, mostra-se que o limite quando x→−∞ e1

2.

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Observacao: A estrategia para calcular limites no infinito de umafuncao racional consiste em colocar em evidencia a mais altapotencia de x no denominador e numerador.

Exemplo

Ache as assıntotas horizontais de f (x) =

√2x2 + 1

3x + 5.

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Consideremos x → +∞, entao x > 0.

limx→+∞

√2x2 + 1

3x + 5= lim

x→+∞

√x2(2 + 1

x2)

x(3 + 5x )

= limx→+∞

√2 + 1

x2

3 + 5x

=

√2

3.

Agora, consideramos x → −∞, entao x < 0.

limx→−∞

√2x2 + 1

3x + 5= lim

x→−∞−

√2 + 1

x2

3 + 5x

= −√

2

3.

Logo, a reta y =

√2

3e assıntota para x → +∞ e y = −

√2

3e

assıntota para x → −∞.

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Exemplo

Calcule limx→+∞

(2 +

senx

x

).

Observe que∣∣∣sen x

x

∣∣∣ ≤ 1

|x |=

1

x, para x > 0. Como lim

x→+∞

1

x= 0,

pelo Teorema do Confronto, limx→+∞

sen x

x= 0. Portanto,

limx→+∞

(2 +

sen x

x

)= 2 + 0 = 2.

Exemplo

Calcule limx→+∞

x sen1

x.

Fazendo u =1

xtemos que quando x → +∞, u → 0. Portanto,

limx→∞

x sen1

x= lim

u→0

1

usenu = 1.

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Limites Infinitos no Infinito

Utilizamos a notacao

limx→+∞

f (x) = +∞

para indicar que f (x) converge para +∞ quando x converge para+∞. De forma analoga utilizamos a notacao

limx→+∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = +∞, limx→−∞

f (x) = −∞.

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Exemplo

Encontre limx→+∞

x2.

Definicao (Limite Infinito no Infinito)

I limx→+∞ f (x) = +∞

se, dado K > 0, existir R > 0 tal que f (x) > K , ∀x ∈ Df talque x > R .

I limx→+∞ f (x) = −∞

se, dado K < 0, existir R > 0 tal que f (x) < K , ∀x ∈ Df talque x > R .

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Observacao: Todas as propriedades de limites infinitos valem sesubstituirmos x → p por x → +∞ ou x → −∞.

Exemplo

I Prove, usando a definicao, que limx→+∞

x = +∞.

I Segue das propriedades que limx→+∞

xn = +∞, onde n e um

inteiro positivo.

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Exemplo

Calcule limx→+∞

(x2 − x).

Observe que temos uma indeterminacao da forma ∞−∞. Naopodemos aplicar a propriedade da soma. Contudo, podemosescrever

limx→+∞

(x2 − x) = limx→+∞

x(x − 1) = +∞ · (+∞− 1) = +∞.

Exemplo

Calcule limx→+∞

x3 + 3x − 1

2x2 + x + 1.

limx→+∞

x3 + 3x − 1

2x2 + x + 1= lim

x→+∞

x3(1 + 3

x2− 1

x3

)x2(2 + 1

x + 1x2

) = +∞.

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Exemplo

Calcule limx→−∞

x3 − 3x2 + 1

1− 2x2.

limx→−∞

x3 − 3x2 + 1

1− 2x2= lim

x→+∞

x3(1− 3

x + 1x3

)x2(

1x2− 2) = (−∞)

(−1

2

)= +∞.

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Limite Exponencial Fundamental

Teorema

limx→∞

(1 +1

x)x = e

onde e e aproximadamente 2, 71828 e e chamada constante deEuler.

Definicao

O logaritmo de base e e denominado funcao logaritmo natural ousimplesmente logaritmo. Assim, a funca ao logaritmo e a funcaoln : (0,∞)→ dada pela regra

ln x = y ⇐⇒ ey = x

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Terceiro Limite Fundamental

Teorema

limx→0

ax − 1

x= ln a.

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