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Apresentacao da disciplina eMatrizes
Juliana Pimentel
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2
Ementa
Ementa
I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.
I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.
I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.
I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.
Ementa
I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.
I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.
I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.
I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.
Ementa
I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.
I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.
I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.
I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.
Ementa
I Matrizes e Sistemas de Equacoes Lineares:Matrizes escalonadas; Sistemas homogeneos;Posto e Nulidade de uma matriz.
I Espaco e Subespacos Vetoriais: Combinacaolinear; Dependencia e independencia linear;Base de espaco vetorial e mudanca de base.
I Transformacoes Lineares: Nucleo e imagemde uma transformacao linear; Transformacoeslineares e matrizes; Matriz mudanca de base.
I Autovalores e Autovetores: Polinomiocaracterıstico; Base de autovetores;Diagonalizacao de operadores.
Bibliografia
BibliografiaBibliografia principal
I Notas de Aulas - Jeronimo Pellegrini
I BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. L. R.;FIGUEIREDO, V. L. e WETZLER, H. G.;Algebra Linear, 3a edicao, Editora Harbra,Sao Paulo, 1986.
I ANTON, H.; Algebra Linear com Aplicacoes.8a. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
I COELHO, F. U.; LOURENCO, M. L.; Umcurso de Algebra Linear. Editora daUniversidade de Sao Paulo-EDUSP, 2001.
I APOSTOL, T.; Calculo, Volume 2 , Reverte,1994.
Bibliografia complementar
I LIMA, E. L.; Algebra Linear, 6a Edicao.Colecao Matematica Universitaria. IMPA,2003.
I LANG, S.; Algebra linear. Rio de Janeiro:Ciencia Moderna, 2003.
I LAX, P.; Linear Algebra and ItsApplications, , Wiley-Interscience, 2007.
I S. LIPSCHUTZ, Algebra Linear , Sao Paulo:Ed. McGraw-Hill do Brasil, 2011.
Avaliacao
Criterios de Avaliacao
A avaliacao se dara na forma de duas provas (P1e P2). A media final (M) sera dada por
M = (P1 + P2)/2,
e o conceito final sera dado de acordo com atabela de conversao:
Conceito NotaA [8.5, 10]B [7, 8.5)C [5.5, 7)D [4.5, 5.5)F [0, 4.5)
Provas e Listas
Provas e listas
Datas das provas:
I P1: 24/10I P2: 08/12I SUB: 12/12I REC: 15/12
Listas de exercıcios:
I As listas estao disponıveis na pagina dadisciplina:http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Atendimento e monitoria
Atendimento e monitoria
Horario de atendimento:
I sexta-feira as 14h-16h (sala 507-2, Bloco A -Torre 2)
Monitoria:
I
Matrizes
Matrizes
Uma matriz e um agrupamento retangular denumeros. Os numeros neste agrupamento saochamados entradas da matriz.
Em geral asentradas sao numeros reais.
1 2 −50 4 1−3 −8 0
7 1−3 2−1 −90 12 4
[
3 −2 0 12 5 −1 7
]
Matrizes
Uma matriz e um agrupamento retangular denumeros. Os numeros neste agrupamento saochamados entradas da matriz. Em geral asentradas sao numeros reais.
1 2 −50 4 1−3 −8 0
7 1−3 2−1 −90 12 4
[
3 −2 0 12 5 −1 7
]
Forma geral de apresentacao
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...am1 am2 ... amn
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B de ordem m× n sao iguaisse aij = bij para todos i, j
Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.
A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[
1 3 −50 4 2
]+
[−3 1 21 −1 5
]=
[−2 4 −31 3 7
][
2 10 3
]−[−3 01 −1
]=
[5 1−1 4
]
Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.
Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[
1 3 −50 4 2
]+
[−3 1 21 −1 5
]=
[−2 4 −31 3 7
][
2 10 3
]−[−3 01 −1
]=
[5 1−1 4
]
Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.
[1 3 −50 4 2
]+
[−3 1 21 −1 5
]=
[−2 4 −31 3 7
][
2 10 3
]−[−3 01 −1
]=
[5 1−1 4
]
Somando e subtraindo matrizesSe A e B sao matrizes de mesma ordem, entao asoma A + B e a matriz obtida somando asentradas de B as entradas correspondentes de A.A diferenca A−B e a matriz obtida subtraindoas entradas de B das entradas correspondentes deA.Matrizes de tamanho distintos nao podem sersomadas ou subtraıdas.[
1 3 −50 4 2
]+
[−3 1 21 −1 5
]=
[−2 4 −31 3 7
][
2 10 3
]−[−3 01 −1
]=
[5 1−1 4
]
Multiplicando matrizes por escalar
Se A e uma matriz e c e um escalar, entao oproduto cA e a matriz obtida pela multiplicacaode cada entrada da matriz A por c. A matriz cAe chamada multiplo escalar de A.
3 ·
1 2 −50 4 1−3 −8 0
=
3 6 −150 12 3−9 −24 0
Multiplicando matrizes por escalar
Se A e uma matriz e c e um escalar, entao oproduto cA e a matriz obtida pela multiplicacaode cada entrada da matriz A por c. A matriz cAe chamada multiplo escalar de A.
3 ·
1 2 −50 4 1−3 −8 0
=
3 6 −150 12 3−9 −24 0
Multiplicando matrizes
Se A e uma matriz m× r e B e uma matrizr × n, entao o produto AB e uma matriz m× ncujas entradas sao determinadas como segue.
[1 3 −50 4 2
]·
0 1 −2 11 −3 1 02 1 −1 −2
=
[−7 −13 6 118 −10 2 −4
]
Multiplicando matrizes
Se A e uma matriz m× r e B e uma matrizr × n, entao o produto AB e uma matriz m× ncujas entradas sao determinadas como segue.
[1 3 −50 4 2
]·
0 1 −2 11 −3 1 02 1 −1 −2
=
[−7 −13 6 118 −10 2 −4
]
Transposta de matriz
Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.
Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.
0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2
T
=
0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2
Transposta de matriz
Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.
0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2
T
=
0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2
Transposta de matriz
Se A e uma matriz m× n, entao a transposta deA, denotada por AT , e definida como a matrizn×m que resulta da permutacao das linhas comas colunas de A.Ou seja, a primeira coluna de AT e a primeiralinha de A, a segunda coluna de AT e a segundalinha de A, e assim por diante.
0 1 −2 12 −3 1 04 0 −5 −2
T
=
0 2 41 −3 0−2 1 −51 0 −2
Propriedades da Aritmetica Matricial
Supondo que os tamanhos das matrizes sao taisque as operacoes possam ser realizadas, temos asseguintes propriedades:
a) A+B = B +A (Lei da Comutatividade para aAdicao)
b) A + (B + C) = (A + B) + C (Lei daAssociatividade da Adicao)
c) A(BC) = (AB)C (Lei da Associatividade daMultiplicacao)
d) A(B + C) = AB + AC (Lei daDistributividade a Esquerda)
Propriedades da Aritmetica Matricial
e) (A + B)C = AC + BC (Lei daDistributividade a Direita)
f) a(B + C) = aB + aC
g) (a + b)C = aC + bC
h) a(bC) = (ab)C
i) a(BC) = (aB)C = B(aC)
Exercıcio
Sejam A =
[1 −1 20 3 4
], B =
[4 0 −3−1 −2 3
],
C =
2 −3 0 15 −1 −4 2−1 0 0 3
e D =
2−13
.
Encontre as seguintes matrizes e indique suasordens:
A + B, 3A− 4B,AD,BC,AT , ATB.