Bases Ortonormais e Processo deGram-Schmidt

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2

I Um conjunto de vetores em um espaco comproduto interno e chamado um conjuntoortogonal se quaisquer dois vetores distintosdo conjunto sao ortogonais.

I Um conjunto ortogonal no qual cada vetortem norma 1 e chamado ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois

〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0.

As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ =

1, ‖u2‖ =√

2, ‖u3‖ =√

2.Anormalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.

Anormalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

ExemplosV = R3 com produto interno usual

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).

O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =

√2, ‖u3‖ =

√2.A

normalizacao de u1, u2, u3 fornece

v1 =u1‖u1‖

= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖

= (1/√

2, 0, 1/√

2)

v3 =u3‖u3‖

= (1/√

2, 0,−1/√

2).

S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.

I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal.

Um exemplo e abase canonica do R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao

u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.

I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal. Um exemplo e abase canonica do R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao

u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.

I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal. Um exemplo e abase canonica do R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao

u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.

Exemplo

Sejam

v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).

Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.

Solucao.

〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.

O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).

Exemplo

Sejam

v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).

Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.

〈u, v1〉 =

1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.

O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).

Exemplo

Sejam

v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).

Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.

〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.

O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).

Exemplo

Sejam

v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).

Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.

〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.

O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).

Coordenadas em relacao a basesortogonais

Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma base ortogonal deum espaco com produto interno V , entao

S ′ = { v1‖v1‖

,v2‖v2‖

, · · · , vn‖vn‖

}

e uma base ortonormal de V . Entao qualquervetor u ∈ V pode ser escrito como

u = 〈u, v1‖v1‖〉 v1‖v1‖

+ · · ·+ 〈u, vn‖vn‖

〉 vn‖vn‖

Coordenadas em relacao a basesortogonais

Podemos expressar u como uma combinacaolinear dos vetores da base ortogonal S ′ como

u =〈u, v1〉‖v1‖2

v1 + · · ·+ 〈u, vn〉‖vn‖2

vn

I Construir bases ortogonais e ortonormais deespacos com produto interno.

I A partir de uma base qualquer de um espacovetorial existe um processo para se obteruma base ortonormal.

I Processo de ortonormalizacao para uma base.

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V ,

entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Teorema da Projecao

Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo

u = w1 + w2

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,

I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.

Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1.

Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1.

Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.

Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,

〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉

〈v′1,v′1〉.Ficamos com

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1.

Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos

u1 =v′1‖v′1‖

, u2 =v′2‖v′2‖

,

A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.

Normalizando obtemos

u1 =v′1‖v′1‖

, u2 =v′2‖v′2‖

,

A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos

u1 =v′1‖v′1‖

, u2 =v′2‖v′2‖

,

A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos

u1 =v′1‖v′1‖

, u2 =v′2‖v′2‖

,

A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 =

(1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 = (1, 1)−

〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim,

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v

′1

v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)

=

= (−1/5, 2/5).

Exemplo

Normalizando

u1 =v′1‖v′1‖

= (2/√

5, 1/√

5),

u2 =v′2‖v′2‖

= (−1/√

5, 2/√

5).

Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.

Exemplo

Normalizando

u1 =v′1‖v′1‖

= (2/√

5, 1/√

5),

u2 =v′2‖v′2‖

= (−1/√

5, 2/√

5).

Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.

Exemplo

Normalizando

u1 =v′1‖v′1‖

= (2/√

5, 1/√

5),

u2 =v′2‖v′2‖

= (−1/√

5, 2/√

5).

Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.

Exemplo

Normalizando

u1 =v′1‖v′1‖

= (2/√

5, 1/√

5),

u2 =v′2‖v′2‖

= (−1/√

5, 2/√

5).

Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos

v′3 = v3 −mv′2 − kv′1

e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim v′1 ⊥ v′2.

Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos

v′3 = v3 −mv′2 − kv′1

e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2.

Por analogia, escolhemos

v′3 = v3 −mv′2 − kv′1

e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao

v′1 = v1 = (2, 1)

v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v

′1

Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos

v′3 = v3 −mv′2 − kv′1

e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =

=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉

Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,

k =〈v3, v′1〉v′1, v

′1

.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

0 = 〈v′3, v′1〉 =

〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =

=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉

Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,

k =〈v3, v′1〉v′1, v

′1

.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =

=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉

Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,

k =〈v3, v′1〉v′1, v

′1

.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =

=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉

Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,

k =〈v3, v′1〉v′1, v

′1

.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Da mesma forma, 〈v′3, v′2〉 = 0 se, e somente se,

m =〈v3, v′2〉v′2, v

′2

.

Portanto,

v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉

v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉

v′1.

Procedendo de maneira analoga, obtemosv′4, v

′5, · · · , v′n.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

Da mesma forma, 〈v′3, v′2〉 = 0 se, e somente se,

m =〈v3, v′2〉v′2, v

′2

.

Portanto,

v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉

v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉

v′1.

Procedendo de maneira analoga, obtemosv′4, v

′5, · · · , v′n.

Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt

A partir de uma base S = {v1, v2, · · · , vn},construımos a base ortogonal {v′1, v′2, · · · , v′n}:

v′1 = v1

v′2 = v2 −〈v2, v′1〉〈v′1, v′1〉

v′1

v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉

v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉

v′1

· · ·

v′n = vn −〈vn, v′n−1〉〈v′n−1, v′n−1〉

v′n−1 − · · · −〈vn, v′1〉〈v′1, v′1〉

v′1

Se quisermos obter uma base ortonormal, bastanormalizar os vetores v′1, v

′2, · · · , v′n, tomando

u1 =v′1‖v′1‖

, u2 =v′2‖v′2‖

, · · · , un =v′n‖v′n‖

A base {u1, u2, · · · , un} e ortonormal.

Exercıcio

Considere o espaco vetorial R3 com o produtointerno usual. Aplique o processo deGram-Schmidt para transformar a baseS = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} em uma baseortonormal.

(Resposta.

{( 1√3,

1√3,

1√3

), (−2√

6,

1√6,

1√6

), (0,−1√

2,

1√2

)})

Exercıcio

Considere o espaco vetorial R3 com o produtointerno usual. Aplique o processo deGram-Schmidt para transformar a baseS = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} em uma baseortonormal. (Resposta.

{( 1√3,

1√3,

1√3

), (−2√

6,

1√6,

1√6

), (0,−1√

2,

1√2

)})