4.Inversão de Matrizes e Determinantesalexbrasil.com.br/_upload/90b0d24537e13cc17943226cdf27a6af.pdf · 4.Inversão de Matrizes e Determinantes 4.1. ... Definição Uma matriz quadrada

56Geometria Analítica e Álgebra Linear

01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil

4. Inversão de Matrizes e Determinantes

4.1. Matriz Inversa

Todo número real a, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um número b, tal que a b = b a = 1. Este número é único e o denotamos por a-1. Apesar da aritmética matricial ser semelhante a aritmética dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que AB = BA = In. De início, para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais, é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, onde todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa.

Definição Uma matriz quadrada A = (aij)n x n é chamada não singular (ou invertível), se existe uma matriz B = (bij)n x n tal que

AB = BA = In. (4.1)

onde In é a matriz identidade. A matriz B é chamada de inversa de A. Se A não tem inversa, dizemos que A é singular (ou não invertível).

Ex.: 4.1 Considere as matrizes

30

12A e

310

6121B

Como

A B = B A = I2

Concluímos que a matriz B é a inversa da matriz A e que A é não singular.

Teorema 4.1. Se uma matriz A = (aij)n x n possui inversa, então a inversa é única.

Demonstração Suponha que B e C sejam inversas de A. Então, AB = BA = In = AC = CA

e assim,

B = B In = B(AC) = (BA)C = InC = C .



De agora em diante, representaremos a inversa de A, quando ela existe, por A-1. Assim,

AA-1 = A-1A = In

Obs.: Devemos chamar atenção para o fato de que o índice superior -1 não significa uma potência, tão pouco uma divisão. Assim como no caso da transposta, em que AT

significa a transposta de A, aqui, A-1 significa a inversa de A.

Ex. 4.2 Seja

43

21A

Para acharmos A-1, fazemos

dc

baA 1

Devemos então ter

10

01

43

212

1 Idc

baAA

de maneira que

10

01

4343

22

dbca

dbca

Igualando os coeficientes correspondentes destas duas matrizes, obtemos os sistemas lineares

043

12

ca

cae

143

02

db

db

As soluções são (verifique isto):

2

11

2

32

db

ca

Além disso como a matriz

2123

12

dc

ba

também satisfaz a propriedade de que



10

01

43

21

2123

12,

concluímos que A é não singular (invertível) e que

2123

121A

Nem toda matriz tem uma inversa, como pode ser visto no exemplo seguinte

Ex. 4.3 Seja

42

21A

para acharmos A-1, fazemos

dc

baA 1

Devemos então ter

10

01

42

212

1 Idc

baAA

de maneira que

10

01

4242

22

dbca

dbca

Igualando os coeficientes correspondentes destas duas matrizes, obtemos os sistemas lineares

042

12

ca

cae

142

02

db

db

Estes sistemas lineares não têm soluções, de maneira que A não tem inversa. Assim, A é uma matriz singular.

Obs.: O método usado no Exemplo 4.2 para achar a inversa de uma matriz não é muito eficiente. Nós o modificaremos em breve, obtendo um método mais rápido. Demonstraremos antes algumas propriedades das matrizes.



4.1.1. Propriedades da Inversa

Operações com matrizes inversas aparecem sempre que se deseja obter soluções de sistemas de equações lineares ou manipulações de matrizes que facilitem a visualização de futuras soluções. O quadro abaixo fornece as duas operações mais comuns.

Quadro 4.1 – Operações mais comuns envolvendo matrizes inversasOperação Notação Simbólica Demonstração

Matriz inversa da (matriz) inversa de uma matriz

(A-1)-1 = AFazendo G-1 = (A-1)-1, donde, G = A-1 eGG-1 = A-1 (A-1)-1 = I Mas, A-1 A = I; portanto, comparando as duas últimas expressões:A-1 (A-1) -1 = A-1A, ou,A-1 [(A-1) -1 - A] = 0,donde, (A-1)-1 = A, pois A-1 0

Matriz inversa de um produto de matrizes

(AB) -1 = B-1A-1Fazendo G = (AB) -1, tem-se: G AB = I. Efetuando um

produto à direita por B-1, obtem-se: G ABB-1 = IB-1 G AI = B-1 G A= B-1. Efetuando outro produto por A-1, chega-se a:G AA-1 = B-1A-1 G I = B-1A-1 G = B-1A-1, ou: (AB)-

1 = B-1A-1.

Quadro 4.1

Teorema 4.2. a) Se A é uma matriz não singular (invertível), então A-1 também é não singular e

(A-1)-1 = A ;

b) Se A e B são matrizes não singulares (invertíveis), então AB é não singular e

(AB)-1 = B-1A-1 ;

c) Se A é uma matriz não singular (invertível), então AT também é não singular e

(AT)-1 = (A-1)T .

Demonstração Se queremos mostrar que uma matriz é a inversa de uma outra, temos que mostrar que os produtos das duas matrizes são iguais a matriz identidade.

a) Uma matriz B é a inversa de A-1 se

A-1B = BA-1 = In .

Mas, como A-1 é a inversa de A, então

AA-1 = A-1A = In .

Como a inversa é única, então B = A é a inversa de A-1, ou seja, (A-1)-1 = A.



Temos que mostrar que a inversa de AB é B-1A-1, ou seja, mostrar que os produtos (AB)(B-1A-1) e (B-1A-1)AB são iguais a matriz identidade. Mas,

(AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AInA-1 = AA-1 = In

e

(B-1A-1)AB = B-1(A-1A)B = B-1InB = B-1B = In .

Então, AB é não singular. Visto que a inversa da matriz é única, nós concluímos que

(AB)-1 = B-1A-1

b) Nós temos

AA-1 = In e A-1A = In

Tomando a transposta, nós obtemos

(AA-1)T = InT = In e (A-1A)T = In

T = In

e

(A-1)TAT = In e AT(A-1)T = In.

Estas equações implicam que

(AT)-1 = (A-1)T .

Ex.: 4.4 Se

43

21A , então do exemplo 2

2123

121A e

211

2321 TA .

além disto, verifique

42

31TA e

211

2321TA

Corolário Se A1, A2, …, Ar são matrizes não singulares n n, então Se A1, A2, …, Ar, é não singular e

11

11

1121 )(

AAAAAA rrr .

Anteriormente, dissemos que uma matriz B é inversa de A se AB = BA = In.

O teorema seguinte, cuja demonstração será omitida, garante que basta verificarmos uma das duas igualdades em (4.1) para sabermos se uma matriz é a inversa de outra.



Teorema Sejam A e B matrizes n n.

a) Se AB = In, então BA = In;

b) Se BA = In, então AB = In.

4.1.2. Método para Inversão de Matrizes

A demonstração do próximo teorema fornece uma maneira de encontrar a inversa de uma matriz, se ela existir. O exemplo seguinte faz o mesmo no caso particular em que amatriz é 2 2.

Ex.: 4.5 Seja

dc

baA . Devemos procurar uma matriz

wz

yxB tal que AB = I2.

ou seja,

1

0

0

1

dwcy

bway

dzcx

bzax

Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz, que é a matriz A. podemos resolve-los simultaneamente. Para isto, basta escalonarmos a matriz aumentada

210

01IA

dc

ba

.

Os dois sistemas têm solução única se, e somente se, a forma escalonada da matriz

[A|I2] for da forma

vu

tsSI

10

012 (verifique, observando o que acontece se a

forma escalonada reduzida da matriz A não for igual a I2). Neste caso, x = s, z = u e

y = t, w = v, ou seja, a matriz A possuirá inversa,

vu

tsSBA 1 .

O teorema seguinte oferece uma maneira de sabermos se uma matriz possui inversa e sua demonstração mostra como encontrar a inversa, se ela existir.

Teorema Uma matriz A, n n, é invertível se, e somente se, A é equivalente por linhas à matriz identidade In.



Demonstração Pelo teorema, para verificarmos se uma matriz A, n n, é invertível, basta verificarmos se existe uma matriz B, tal que

A B = In .

Vamos denotar as colunas de B por X1, X2,..., Xn, ou seja, B = [ X1,..., Xn ], onde

1

21

11

1

nx

x

x

X

,

2

22

12

2

nx

x

x

X

, … ,

nn

n

n

n

x

x

x

X2

1

Vamos denotar as colunas da matriz identidade In, por E1, E2,..., En. Desta forma,

0

0

1

1

E ,

0

1

0

21

E , ... ,

1

0

0

nE

A j-ésima coluna do produto AB é igual a AXj. Assim, analisando coluna a coluna a igualdade matricial

A B = In

vemos que encontrar B é equivalente a resolver n sistemas lineares

A Xj = Ej para j =1..., n.

Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de Gauss-Jordan. Para isso, formaríamos as matrizes aumentadas [A | E1], [A | E2],...,[A | En]. Entretanto, como as matrizes dos sistemas são todas iguais a A, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz n x 2n

[A | E1 E2...En] = [A | In] .

Transformando [A | In] na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por [R | S], vamos chegar a duas situações possíveis: ou a matriz R é a matriz identidade, ou não é.

Se R = In, então a forma escalonada reduzida da matriz [A | In] é da forma [R | S]. Se escrevemos a matriz S em termos das suas colunas S = [S1 S2 ... Sn], então as soluções dos sistemas A Xj = Ej são Xj = Sj e assim B = S é tal que AB = In e pelo teorema 2.3 A é invertível.

Se R In, então a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade In. Neste caso, R terá pelo menos uma linha nula. O que implica que cada que os sistemas A Xj = Ej não tenha solução única. Isto implica que a matriz A não tem inversa, pois as colunas da (única) inversa seriam os Xj, para j = 1, ..., n.



Obs.: Da demonstração do teorema anterior obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz [A | In] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [R | S]. Se R = In, então a matriz A é invertível e a inversa A-1 = S. Caso contrário, a matriz A não é invertível. Vejamos os exemplos seguintes.

Ex. 4.6 Vamos encontrar, se existir, a inversa de

210

211

321

A

Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

100210

010211

001321

3IA

1ª eliminação:

O pivô da 1a linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, –1 vezes a 1ª linha.

100210

011110

001321

2ª eliminação:

Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1a linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1a coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2 . Como temos que “faze-lo” igual a 1, multiplicamos a 2a linha por –1.

100210

0111)1(0

001321

Precisamos “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –2 vezes a 2ª e à 3ª linha, somamos –1 vezes a 2ª.

111)1(00

011110

021101

–1 2ª linha 2ª linha

–1 1ª linha + 2ª linha 2ª linha

–2 2ª linha + 1ª linha 1ª linha–1 2ª linha + 3ª linha 3ª linha



3ª eliminação:

Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se as duas primeiras linhas. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Este elemento é o elemento de posição 3,3. Como ele é igual a 1, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –1 vezes a 3ª linha e somamos à 2ª linha, –1 vezes a 3ª.

111100

122010

110001

Assim, a matriz [A | I3] é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma [I3 | S], portanto a matriz A é não singular (invertível) e a sua inversa é a matriz S, ou seja,

111

122

1101A

Ex. 4.7 Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz

110

211

321

A

Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

100110

010211

001321

3IA

1ª eliminação:

O pivô da 1ª linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, a –1 vezes a 1ª linha.

100110

011110

001321


–1 1ª linha + 2ª linha 2ª linha



2ª eliminação:

Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1ª linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2. Como temo que “faze-lo” igual a 1, multiplicamos a 2ª linha por –1.

100110

0111)1(0

001321

Precisamos “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –2 vezes a 2ª e à 3ª linha, somamos –1 vezes a 2ª.

111000

011110

021101

Obs.: Assim, a matriz [A | I3] é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma [R | S], com R I3. Assim, a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade e portanto não é invertível.

4.1.3. Sistemas Lineares e Inversas

Se um sistema linear A X = B tem o número de equações igual ao número de incógnitas, então o conhecimento da inversa da matriz do sistema A-1, reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes, como está enunciado no próximo teorema.

Teorema Uma matriz A n n é não singular se e somente se for equivalente por linhas a In.

O sistema associado AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso a solução é X = A-1B.

Demonstração Se A é uma matriz n n, então o sistema linear AX = B é um sistema de nequações e n incógnitas. Suponha que A é não singular (invertível). Então A-1 existe e podemos multiplicar AX = B por A-1 em ambos os lados, obtendo

A-1(A X) = A-1B

(A-1A)X = A-1B

InX = A-1B

X = A-1B.

–1 2ª linha 2ª linha




Aqui foram usadas as propriedades da álgebra matricial. Portanto, X = A-1B é a única solução do sistema A X = B. Por outro lado, se o sistema A X = B possui solução única, então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [A | B] é da forma [R | C], onde R = In. Pois a matriz A é quadrada e caso R fosse diferente da identidade possuiria uma linha de zeros o que levaria a que o sistema A X = B ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções. Logo, a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade o que pelo teorema visto anteriormente implica que A é invertível.

Ex.: 4.8 Suponha que temos um processo físico em que para uma matriz de saída B, a matriz de entrada X é obtida pela solução do sistema A X = B.

Se a matriz A é a do Exemplo 4.6:

210

211

321

A e as matrizes de saída são

3

2

1

B e

3

5

2

C , então as matrizes de entrada serão

4

5

1

3

2

1

111

122

1101BAX e

4

11

8

3

5

2

111

122

1101CAY .

ou seja

4

5

1

3

2

1

x

x

x

X e

4

11

8

3

2

1

y

y

y

Y

Teorema Se A é uma matriz n n, o sistema homogêneo

AX = 0 (4.2)

tem solução não trivial ( 0) se, e somente se, A for singular (não invertível).

Ou seja, todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial. Pelo item anterior, esta será a única solução se, e somente se, A é invertível.



Demonstração Suponha que A é não singular. Então A-1 existe, e multiplicando ambos os lados de (4.2) por A-1, temos

A-1(A X) = A-10

(A-1A)X = 0

InX = 0

X = 0

Portanto, a única solução de (4.2) é X = 0.

Ex.: 4.9 Considere o sistema homogêneo AX = 0, em que

155

320

111

A . Como A é não

singular,

X = A-10 = 0.

Poderíamos resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. Neste caso vemos que a matriz em forma escalonada reduzida é equivalente por linhas à matriz aumentada do sistema dado,

0155

0320

0111

,

é

0100

0010

0001

,

o que mais uma vez mostra que a solução é

X = 0.



Ex.: 4.9 Considere o sistema homogêneo AX = 0, em que A é a matriz singular

325

121

321

.

Neste caso a matriz em forma escalonada reduzida que é equivalente por linhas à matriz aumentada do sistema dado,

0325

0121

0321

, e

0000

0110

0101

,

e isso acarreta que

z

y

x

onde é um número real qualquer. Assim, o sistema dado tem uma solução não trivial.

Teorema Podemos resumir nossos resultados sobre sistemas homogêneos e matrizes não singulares observando que as seguintes afirmativas são equivalentes:

Quadro 4.2Lista de equivalências não singulares

Os seguintes enunciados são equivalentes.

1. A é não singular2. Ax = 0 tem somente a solução trivial3. A é equivalente por linhas a In.

Quadro 4.2



Exercícios Numéricos

1. Seja A uma matriz 3 x 3. Suponha que

3

2

1

X é solução do sistema homogêneo

A X = 0. A matriz A é singular ou não? Justifique.

R.: Teorema: Se A é uma matriz n n, o sistema homogêneo AX = 0 tem solução não trivial ( 0) se, e somente se, A for singular (não invertível).

Então, a matriz A é singular, pois o sistema homogêneo tem solução não trivial.

2. Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

(a)

210

211

321

R.:

111

122

1101A

(b)

231

131

221

R.:

110

101

4231A

(c)

421

320

321

R.:

101

5,15,05,1

0111A

(d)

110

211

321

R.: A matriz é singular.

(e)

6195

1121

2131

1111

R.: A matriz é singular.

3. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz

a

A

21

001

011

tem inversa.

R.:

a00

010

001

, para valores de a diferentes de zero a matriz A tem inversa.



4. Se

31

231A e

23

521B

encontre (A B)-1.

Teorema: Se A e B são matrizes não singulares (invertíveis), então AB é não singular e

R.: (AB)-1 = B-1A-1 →

07

1911)( 1AB

5. Resolva o sistema A X = B, se

14

321A e

3

5B

R.: BAX 1 , se o sistema linear A X = B tem o número de equações igual ao número de incógnitas.

23

19X

Exercícios usando o MATLAB

>> M=[A,B] atribui à matriz M a matriz obtida colocando lado a lado as matrizes A e B; >> A=[A1,..., An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,..., An colocadas uma ao lado da outra;>> M=A(:,k:1) atribui à matriz M a submatriz da matriz A obtida da

coluna 1 à coluna k da matriz A.

Comandos do pacote GAAL:>> B=opel(alpha,i,A) ou >> B=oe(alpha,i,A) faz a operação elementar alpha*linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B. >> B=opel(alpha,i,j,A) ou >> B=oe(alpha,i,j,A) faz a operação elementar alpha*linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B. >> B=opel(A,i,j) ou >> B=oe(A,i,j) faz a troca da linha i com a linha j da matriz Ae armazena a matriz resultante na variável B. >> B=escalona(A) calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B.

Use o MATLAB para resolver os Exercícios a partir do Exercício 2.



4.2. Determinantes

Definição Nesta seção definimos a noção de determinante e estudamos algumas de suas propriedades. Os determinantes surgiram inicialmente na solução de sistemas lineares. Embora o método dado na Unidade 3 para resolver tais sistemas seja muito mais eficiente do que os que envolvem determinantes, estes são úteis em outros aspectos da álgebra linear; algumas destas áreas serão consideradas na Unidade 7.

Definição Seja nS ,,2,1 o conjunto dos inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente. Um

rearranjo njjj 21 dos elementos de S é chamado uma permutação de S. Assim, 4231

é uma permutação de 4,3,2,1S .

Podemos colocar qualquer um destes n objetos na primeira posição, qualquer um dos restantes n –1 elementos na segunda posição, qualquer um dos restantes n – 2 elementos na terceira posição, e assim sucessivamente, até que a n-ésima posição só pode ser preenchida pelo último elemento restante. Assim, há

12)2)(1( nnn (4.2)

permutações de S; representamos o conjunto de todas as permutações de S por Sn.

A expressão na equação (4.2) é representada por

Uma permutação njjj 21 de nS ,,2,1 tem uma inversão se um inteiro maior jr

precede um inteiro menor js. Uma permutação é chamada par ou ímpar se o número total de inversões for par ou ímpar.

Se 2n , pode mostrar que Sn tem 2!n permutações pares e um número igual de permutações ímpares.

880.362123456789!9

320.4012345678!8

040.51234567!7

720123456!6

12012345!5

241234!4

6123!3

212!2

1!1



Definição Seja ijaA uma matriz n n. definimos o determinante de A (representado por det(A)

ou A ) por

nnjjj aaaAA

21 21)()det( , (4.3)

onde o somatório é feito sobre todas as permutações njjj 21 do conjunto

nS ,,2,1 . O sinal é escolhido positivo ou negativo conforme a permutação

njjj 21 seja par ou ímpar.

Em cada termo nnjjj aaa

21 21)( de A , os subíndices relativos às linhas estão em sua

ordem natural, enquanto que os subíndices relativos às colunas estão na ordem

njjj 21 . Como a permutação njjj 21 é simplesmente um rearranjo dos números de

1 a n, não contém repetições. Assim, cada termo de A é um produto de n elementos de

A com seu sinal apropriado, com exatamente um elemento de cada linha e exatamente um elemento de cada coluna. Como estamos somando sobre todas as permutações do conjunto nS ,,2,1 , A tem n! termos na soma de (4.3).

Ex 4.10 Se 11aA for uma matriz 1 1, então S1 tem somente uma permutação, a permutação

identidade 1, que é par. Assim, 11aA .

Definição De acordo com o exemplo (4.10) definimos o determinante de matrizes 1 1. Para cada matriz aA definimos o determinante de A – indicado por det(A) ou A – por

det(A) = a. Assim,

det( )A A a aij 11

Vamos agora, definir o determinante de matrizes 2 2 e a partir daí definir para matrizes de ordem maior. A cada matriz A, 2 2, associamos um número real, denominado determinante de A, por:

A a a

a aa a a a11 12

21 2211 22 12 21

O determinante de uma matriz 3 × 3 qualquer é:

A a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32



Definição Assim, podemos obter o det(A) ou A formando o produto dos coeficientes da diagonal

da esquerda para a direita no diagrama a seguir e subtraindo disto o produto dos coeficientes da diagonal da direita para a esquerda.

2221

1211

aa

aa

Ex 4.11 Seja

54

32A

Então 22)4()3()5()2( A .

Definição Sendo A uma matriz 3 × 3, podemos obter A como se segue. Repita a primeira e a

segunda colunas de A como mostrado abaixo. Forme a soma dos produtos dos

coeficientes sobre as diagonais da esquerda para a direita e subtraia disto os produtos dos coeficientes sobre as diagonais da direita para a esquerda (verifique esta regra).

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

então, para calcular A escrevemos os seis termos

312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA . (4.4)

Ex.: 4.12 Seja

213

312

321

A

Calcule A .

Solução: Substituindo em (4.4), vemos que

6)3)(1)(3()2)(2)(2()1)(3)(1()1)(2)(3()3)(3)(2()2)(1)(1( A .

Deveria ser enfatizado que, para 4n , não há maneira “fácil”, como nos exemplos (4.11) e (4.12), de calcular A .



4.2.1. Propriedades do Determinante

Teorema Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais.

Ex.: 4.13 Seja a matriz do exemplo (4.12)

233

112

321TA .

Então, AAT 6)3)(1)(3()2)(2)(2()3)(1)(1()3)(2)(3()3)(1)(2()2)(1)(1( .

Teorema Se a matriz B resulta da matriz A pela troca da posição de duas linhas (colunas) de A, então AB .

Ex.: 4.14 Temos 723

12

e 7

12

23

Teorema Se duas linhas (colunas) de A forem iguais, então 0A .

Ex.: 4.15 Temos 0

321

701

321

e 0

373

202

111

Teorema Se uma linha (coluna) de A consiste somente em zeros, então 0A .

Ex.: 4.16 0

000

654

321

e 0

063

052

041

Teorema Se B é obtida de A multiplicando uma linha (coluna) de A por um número real c, então AcB .

Podemos usar o teorema para simplificar o cálculo de A , achando o máximo divisor

comum de cada linha e coluna de A.

Ex.: 4.17 Temos

18)14(641

11)3)(2(

121

312

121

62



Ex.: 4.18 Temos

0)0)(3)(2(

141

151

121

)3)(2(

341

351

321

2

682

351

321

Neste exemplo, pusemos em primeiro lugar 2 em evidência na terceira linha, e então 3 na terceira coluna, obtendo zero, pois a primeira e terceira colunas são iguais.

Teorema Se B é obtida de A substituindo a linha (coluna) i por ela somada a um múltiplo escalar de uma linha (coluna) j, j i, então AB .

Ex.: 4.19 Temos

4

101

312

905

101

312

321

,

obtida adicionando duas vezes a segunda linha à sua primeira. Aplicando a definição de determinante ao segundo determinante, vemos que ambos têm o valor 4.

Teorema Se uma matriz ijaA é triangular inferior (superior), então

nnaaaA 2211 ;

ou seja, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos sobre a diagonal principal.

Ex.: 4.20 Temos

3)23)(2)(1(

2300

120

321

.

Teorema O determinante de um produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes; ou seja,

BAAB .

Ex.: 4.21 Sejam

43

21A e

21

12B

Assim 2A e 5B .



Além disto,

510

34AB e BAAB 10 .

Corolário Se A é não singular (invertível), então 0A e

AA

11 .

Ex.: 4.22 Seja

43

21A . Assim 2A e

2123

121A . LogoA

A1

2

11 .

4.2.2. Desenvolvimento em Cofatores e Aplicações

Até aqui, temos calculado determinantes usando a equação (4.3) da seção precedente, ajudados pelas propriedades nela demonstradas. Desenvolveremos agora um método diferente para calcular o determinante de uma matriz n n, que reduz o problema ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n – 1. Podemos então repetir o processo para estas matrizes )1()1( nn até chegarmos a matrizes 2 2.

Definição Seja ijaA uma matriz n n. Seja Mij a submatriz )1()1( nn de A obtida

eliminando a i-ésima linha e a i-ésima coluna de A, que tem o seguinte aspecto:

nnn

ij

n

ij

aa

a

aa

M

1

111

Ex.: 4.23 Para uma matriz A = (aij)3 x 3,

3332

2322

333231

232221

131211

11 aa

aa

aaa

aaa

aaa

M

3231

1211

333231

232221

131211

23 aa

aa

aaa

aaa

aaa

M

J

i



O determinante ijM é chamado o menor de aij. O cofator Aij de aij é definido por

ijji

ij MA )1( .

ou seja, o cofator Aij, do elemento aij é igual a mais ou menos o determinante do menor Mij, sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição:

Ex.: 4.24 Seja

217

654

213

A .

Assim

3442827

6412 M , 1073

17

1323

M ,

e

1610665

2131

M

Além disso,

34)34)(1()1( 1221

12 MA ,

10)10)(1()1( 2332

23 MA ,

16)16)(1()1( 3131

31 MA .

Se imaginarmos o sinal (-1)i+j como estando colocado na posição (i, j) de uma matriz nn , então os sinais + e – formam um quadro em que se alternam, partindo de + na

posição (1, 1). Os quadros para n = 3 e n = 4 são os seguintes:

n = 3 n = 4



Ex.: 4.25 Para uma matriz A = [aij]3 x 3,

233233223332

2322

333231

232221

131211

1111

11 detdet)det()1( aaaaaa

aa

aaa

aaa

aaa

MA

321112312221

1211

333231

232221

131211

2332

23 detdet)det()1( aaaaaa

aa

aaa

aaa

aaa

MA

Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz 3 3. Escolha uma linha de A, por exemplo, a 1ª linha,

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A ,

então, o determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos da 1ª linha pelos seus cofatores.

)()1( 322333223332

23221111 aaaa

aa

aaA ,

)()1( 312333213331

23212112 aaaa

aa

aaA ,

)()1( 312232213231

22213113 aaaa

aa

aaA

Então

131312121111)det( AaAaAaAA

3231

222113

3331

232112

3332

232211 detdetdet)det(

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaAA

)()()()det( 312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA

312213332112322311322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA .

O que nos leva novamente à equação (4.4).

De outra maneira:



Escolhendo-se a 2a e a 3a linhas obtem-se respectivamente

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A det(A) = a21A21 + a22A22 + a23A23;

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A det(A) = a31A31 + a32A32 + a33A33.

Calculando-se os cofatores nas expressões acima, verifica-se que realmente qualquer uma delas dá o mesmo resultado (verifique!). Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 2 x 2, definimos o determinante de matrizes 3 x 3, podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior. Supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes de ordem (n - 1) (n - 1) vamos definir o determinante de matrizes de ordem n n.

Vamos definir, agora, os cofatores de uma matriz quadrada nnijaA )( .O cofator do

elemento aij, denotado por Aij, é definido por

ijji

ij MA )1( .

Ou seja, o cofator Aij, do elemento aij é igual a mais ou menos o determinante do menor Mij, sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição:

Definição Seja A uma matriz de ordem n x n. O determinante de A, denotado por det(A) ou A , é

definido por

n

jjjnn AaAaAaAaAA

1111112121111)det( , (4.5)

onde jj

j MA 11

1 )1( é o cofator do elemento a1j. A expressão (4.5) é chamada

desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termo da 1ª linha.

Não vamos provar aqui que o determinante está bem definido, isto é, que o resultado é o mesmo, independente da linha escolhida para o desenvolvimento em cofatores. Podemos também estender a definição de determinantes para incluir as matrizes 1 x 1, definindo det([a]) = a. Desta forma a expansão em cofatores também é válida para matrizes 2 x 2.



Ex.: 4.26 Seja

0212

5231

4321

3000

A

Desenvolvendo-se o determinante de A em cofatores, obtemos

)det()1)(3(000)det( 41131211 BAAAA , onde

212

231

321

B .

Mas o )det(B também pode ser calculado usando cofatores,

det(B) = 1B11 + 2B12 + 3B13

= 1(- 1)1 + 1det(M11) + 2(- 1)1 + 2det(M12) + 3(- 1)1 + 3det(M13)

=

12

31det3

22

21det2

21

23det

= -8 - 2 (- 2) + 3 (- 7)

= -25

Portanto, det(A) = 3det(B) = - 75.

Ex.: 4.27 Usando a definição de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma matriz triangular inferior (isto é, os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero) é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos mostrar inicialmente para matrizes 3 x 3. Seja

333231

2221

11

0

00

aaa

aa

a

A


3322113332

2211

0det)det( aaa

aa

aaA

.

Vamos supor termos provado que para qualquer matriz (n - 1) (n - 1) triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então vamos provar que isto também vale para matrizes n n. Seja



nnn aa

aa

a

A

2

2221

11

0

0

00


nn

nnn

aaa

aa

aa

a

aA

2211

2

3332

22

11 0

0

00

det)det(

,

pois o determinante acima é de uma matriz (n - 1) (n - 1) triangular inferior. Em particular, o determinante da matriz identidade In é igual a 1 1)det( nI .

Obs.: Este caso vale tanto para matriz triangular inferior quanto para triangular superior.

Ex.: 4.28 Vamos calcular o determinante da matriz

162

963

510

A

usando operações elementares para transforma-la numa matriz triangular superior e aplicando as propriedades do determinante.

162

510

963

det)det(A

162

510

321

det3)det(A

5100

510

321

det3)det(A

5500

510

321

det3)det(A

165)55()3()det( A

1ª linha 2ª linha

31 1ª linha 1ª linha

2 1ª linha + 3ª linha 3ª linha

10 2ª linha + 3ª linha 3ª



Para se calcular o determinante de uma matriz n n pela expansão em cofatores, precisamos fazer n produtos e calcular n determinantes de matrizes (n - 1) (n - 1), que por sua vez vai precisar de n – 1 produtos e assim por diante. Portanto, ao todo são necessários n! produtos. Para se calcular o determinante de uma matriz 20 20, é necessário se realizar 20! 108 produtos. Os computadores pessoais realizam da ordem de 108 produtos por segundo. Portanto, um computador pessoal precisaria de cerca de 1010 segundos ou 103 anos para calcular o determinante de uma matriz 20 20 usando a expansão em cofatores. Enquanto, o cálculo do determinante pelo método apresentado no exemplo anterior é necessário apenas da ordem de n3 produtos para se calcular o determinante.

O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertíveis e os sistemas lineares homogêneos que possuem solução não trivial.

Teorema Seja A uma matriz n n.

(a) A matriz A é invertível se, e somente se, 0)det( A ;

(b) O sistema homogêneo 0 XA tem solução não trivial se , e somente se, 0)det( A .

Ex.: 4.29 Seja A = (aij)n x n. Vamos mostrar que se A é invertível, então

)det(

1)det( 1

AA

Como A A-1 = In, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usando as propriedades do determinante, obtemos

det(A) det(A-1) = det(In).

Mas, det(In) = 1 (Exemplo 4.27, a matriz identidade também é triangular inferior!).

Logo, )det(

1)det( 1

AA .

Ex.: 4.30 Se uma matriz quadrada é tal que A2 = A-1, então vamos mostar que det(A) = 1. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente as propriedades do determinante e o resultado do exemplo anterior, obtemos

)det(

1)det( 2

AA .

De onde segue que (det(A))3 = 1. Portanto, det(A) = 1.



Exercícios Numéricos

1. Se det(A) = - 3, encontre

(a) det(A2); (b) det(A3); (c) det(A-1); (d) det(At);

2. Se A e B são matrizes n x n tais que det(A) = - 2 e det(B) = 3, calcule det(AtB-1).

3. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transforma-la em matrizes triangulares superiores.

(a)

1682

2621

3695

1321

A R.: det(A) = 39 (b)

3210

0120

1101

1312

B R.: det(B) = 6

4. Determine todos os valores de para os quais det(A - In) = 0, onde

(a)

11

11A R.:

2

0 (b)

42

11A R.:

2

3

(c)

000

300

210

A R.:

0

0

0

(d)

223

031

001

A R.:

2

3

1

(e)

210

230

322

A R.:

1

4

2

(f)

122

121

322

A R.:

1

4

2

5. Ache os valores de , para os quais o sistema linear (A - In)X = 0 tem solução não trivial, onde

(a)

340

013

002

A R.:

3

1

2

(b)

200

010

032

A R.:

2

1

2

(c)

2000

3300

2310

4321

A R.:

2

3

1

1

(d)

1000

1100

2320

4322

A R.:

1

1

2

2



6. Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de encontrados, encontre a solução geral do sistema homogêneo (A - In)X = 0.

(a)

340

013

002

A

R.:

0

z

y

x

4

4

z

y

x

4

4

z

y

x

Exercícios usando o MATLAB

>> det(A) calcula o determinante da matriz A.

Comandos do pacote GAAL:

>> detopelp(A) calcula o determinante de A aplicando operações

elementares até que a matriz esteja na forma triangular superior.

>> menor(A,i,j) calcula o menor i,j da matriz A;

>> detcof(A) calcula o determinante de A usando cofatores;

>> detopel(A) calcula o determinante de A reduzindo A a forma triangular superior (somente para matrizes numéricas);

7. (a) Crie uma matriz A, 3 por 3, com entradas inteiras e aleatórias com o comando A=randi(3);

(b) Use o comando detopelp(A) para calcular o determinante de A;

(c) Repita os itens anteriores;

Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 3.

para quaisquer e reais

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4.Inversão de Matrizes e Determinantesalexbrasil.com.br/_upload/90b0d24537e13cc17943226cdf27a6af.pdf · 4.Inversão de Matrizes e Determinantes 4.1. ... Definição Uma matriz quadrada