Parte D

Inversão de dados

Sumário:

Inversão 1-D e 2-D ER e TEM

Formulação do problema inverso

DADOS

do

PARÂMETROS

mest

MODELO

1-D; 2-D; 3-D

Espaço dos dados

Espaço dos parâmetros

Método de Inversão

d = g(m)

Dados:

Seja do o vector contendo os valores observados (valores medidos ou calculados a partir de valores medidos usando-se expressões algébricas). No caso específico dos métodos EM esses valores são, geralmente, os valores de resistividade aparente e/ou fases calculados para diferentes configurações geométricas do conjunto emissor-receptor e/ou para diferentes frequências. Cada elemento de do pode ser descrito como o valor aproximado do verdadeiro valor da grandeza a medir d, ao qual não se tem acesso, possuindo-se uma estimativa do erro da medida, tal que

d (do, d ) < d com a condição do d quando d 0

d representa uma distância (métrica) definida no espaço dos dados

Parâmetros do modelo:

Seja mest o vector dos parâmetros do modelo adoptado para a interpretação dos dados. No caso dos métodos EM o vector mest corresponde a valores de resistividade (ou condutividade) eléctrica e, em alguns modelos, a profundidades (localização) de interfaces que separam meios com propriedades geoeléctricas distintas.

No problema inverso o vector mest é o vector das incógnitas e a resolução do problema inverso deverá permitir conhecer os elementos deste vector. De acordo com os métodos adoptados neste curso, para a resolução do problema inverso, os valores de mest representam uma estimativa dos verdadeiros valores dos parâmetros m, isto é,

m(mest, m ) < m com a condição mest m quando m 0

m representa uma distância (métrica) definida no espaço dos parâmetros

d = g (m)

Modelo:

relações matemáticas entre parâmetros e dados:

Tipo de PI:

-Linear

-Não Linear

-sobre-determinado

-subdeterminado

Métodos:

-Optimização local

-Optimização global

O problema inverso consiste, então, na determinação de mest cumprindo duas condições necessárias:

1) os valores da resposta do modelo dc = g (mest), devem ser compatíveis com os dados do, isto é, d (do, dc ) <

2) deve ser possível estimar os erros do modelo calculado, isto é, deve ser possível determinar os limites de validade do modelo calculado

as duas condições enumeradas são necessárias mas não são suficientes. Uma terceira condição deverá ser imposta, a saber:

3) o modelo calculado deve ser interpretável em termos geológicos, devendo estar de acordo com a informação disponível

A resolução do PI deve levar em atenção a informação contida nos dados que depende:

- da qualidade dos dados (erros)

- do desenho da aquisição e resolução do método

- dos problemas de equivalência

Deve-se evitar:

- a sobre-parametrização

- o sobre-ajustamento (“over-fitting”) dos dados

Algumas lembranças:

Problema Linear: g(m) = d - A m = d

Problema sobre-determinado (N > M)

Método dos mínimos quadrados

1. Definir a função objectivo a minimizar Q = || do – g(mest) ||2

2. Minimizar Q = || do – A m ||2 ;

3. Constituir o sistema: AT A mest = AT do

4. Solução do sistema: mest = (AT A)-1 AT do

0m

Q

Método minimização local

Exemplo: ajuste de uma recta: y= a + b x

Dados: y1, y2, y3, y4, y5

Q =|| y – (a+bx)||2

ii

i

iii

i

ii

ii

iii

iii

xy

y

b

a

xxx

xN

xbxayb

Q

bxaya

Q

bxayQ

0)())((2

0)1())((2

))((

5

1

5

1

5

1

2

Método minimização local

Inversão 1-D

- Seja um problema não linear;

- Método iterativo

- Problema sobre-determinado (N > M) que pode ser resolvido usando mínimos quadrados

Função objectivo: = d = || do - g(mest) ||2

a minimizar

“conhecido o vector de dados do(d1,…,dN), deve determinar-se o vector de parâmetros mest(m1,…,mM) que, de acordo com o modelo dc = g (mest), cumpre a condição d(do, dc)< “.

mk+1 = mk + m

Lineariza-se o problema (desenvol. Taylor). Tem-se na iteração k+1:

g(mk+1) = g(mk) + J(mk) m + R (mk, m) Jij = gi / mj

Na iteração (k+1)

d = || do - g(mest) ||2

= || do - g(mk) + J(mk) m ||2

Minimização:

0md

A solução será:

[ J(mk)T J(mk) ] m = J(mk)T (do - g(mk) )

m = S-g (do - g(mk ) )

S-g = [ J(mk)T J(mk)]-1 J(mk)T Inversa generalizada:

A resolução do sistema de equações pode ser feita através da SVD

J = U VT

JJT JTJ

S-g = V -1 UT

m = V -1 UT (d - g(mk ) )

m = ∑ (i / (2i +2) βi Vi

β = UT (d - g(mk ))

Levenberg-Marquardt

Este algoritmo corresponde a minimizar a função objectivo:

= || d - g(m) ||2 + 2 ||m||2

RESISTIVITY vs. TIME

Oh

m-m

0.1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6

time, s

1

10

100

10 3

10 4

RESISTIVITY vs. DEPTH

de

pth

(m

)

1 10 100 10 3 10 4 10 5

1/Ohm

0

10

20

30

40

50

60

70

Métodos de regularização (Tikhonov/Occam)

“...encontrar uma solução que minimize a norma euclidiana || L m ||2 cumprindo o constrangimento ||g(m) – d ||2 “.

L é uma matriz conhecida como matriz de regularização (ou suavização).

= || d - g(m) ||2 + 2 ||Lm||2

121

....

....

......

......

1210

0121

L

mk+1 = mk + m = (J(mk)T J(mk) + 2 LT L)-1 J(mk) T d(mk)

d = d - g(mk) + J(mk) mk

12 14 16 18 20

||2||

0

1

2

3

4

5

||1

||

0.00100.01000.1000

1.0000

3.0000

10.0000

Curva L

|| d - g(m) || versus ||Lm||

1) minimiza a norma L2

2) minimiza a rugosidade

3) minimiza a variação total dos parâmetros

Métodos LCI (Laterally Constrained 1D Inversion)

Problemas com o método Tikhonov/Occam:

- Modelos com anomalias difusas;

- Em meios estratificados as interfaces mais profundas são mal resolvidas

Problemas com os modelos 1-D:

- Quando colocados lado a lado para formar uma imagem 2D, há variações bruscas originadas por interferências laterais ou ambiguidades devido ao corte geoeléctrico.

(de Auken et al. 2000)

O método LCI tenta resolver alguns destes problemas.

δm = [ G’T C’-1 G’ ]-1 [ G’T C’-1 δd’

G’ = [J, P, R ]T

d’ = [δdo, δmpriori, δr ]T

J – Matriz das derivadas

P –Matriz da informação à priori

R – Matriz de suavização

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

A

B

LCI com constrangimentos 2D

(de Monteiro Santos e Trianatafilis 2010)

Métodos de minimização global

O que são;

Quando se usam;

Vantagens em relação aos métodos de minimização local;

Desvantagens;

“Simulated annealing (SA)”

Função objectivo (energia):

Mimetiza o processo de têmpera do metal

Ciclo externo

modelo m ; (m)

ciclo interno

gera modelo mp

(mp); Δ = (mp)- (m);

teste: Δ > 0 (Metropolis)

Δ < 0 (aceita, m=mp)

fim cI

T=T*0.9

Fim cE

P = exp((-)/T) Gera r aleatório r[0,1]

P > r (aceita, m=mp)P< r (regeita modelo)

Lkk

T

Lkck

T

kP

T

m

k

1

1 2

1)ln(

O esquema de “arrefecimento”

Variação de T em três algoritmos SA. No esquema TimberWolf α aumenta inicialmente de 0.8 a 0.95 e depois diminui gradualmente.

Tk = α Tk-1

P(m) é a densidade de probabilidade a posterior,P(m) exp ((m))

<m> = m P(m)

C = (m - <m>) (m - <m>)T P(m)

Particle Swarm Optimization (PSO)

13

1 ki

ki

ki vcpresentpresent

c1 = 1.3, c2 = 2.0 e c3 = 0.05

)(())(() 12

11

1 ki

kii

ki

ki presentgbestrandcpresentpbestrandcvv

imaging

The S-inversion

St

dS

M

t

B

dr

sourcethenearandtimeslateat

dr

dr

S

dM

r

tM

t

B

o

z

z

oz

z

/

)(16

3

)(

))(4(

)(249)(

4

)(

0

22

2/722

2

30

dz

dSz

z

dzS

)(

)(0

The conductance is:

The flux in the receiver is:

V in the receiver is:

52

4

)(

1

4

3||

)(

1

16

3||

dS

MAnV

t

dS

MAnV

t

BAnV

o

z

)|'|

||4(

1

)|'(|

|)(|

)3(

163/4

3/5

3/43/1

3/1

tV

V

Sd

V

V

MAnS

o

o

These two equations can be used to calculate S and d

Differentiating (numerically) the S curve one obtain conductivity in function of depth.

Equivalência em modelos 1-d

Equivalências em ER:

em S:

em T: iii hRT

i

i

i

h

RS

1

02

04

06

08

0

1 10

10

0

10

00

01

02

03

04

05

0

1 10

10

0

10

00

Avaliação dos parâmetros

-Valores extremos

-Equivalência

-Resolução

Valores extremos

v2

v1

m1 min m1 maxm1

m2

m0

A

B

a

Elipse de confiança. A e B são os pontos extremos na direcção a. m1min e m1max são os valores extremos do parâmetro m1. m0 representa o ponto óptimo (menor valor da função objectivo).

)96.1( jBjj emm

2/1

2

1

)/(

k

M

kjkkj VtB

2/1

1

2)(1

N

i

ci

oi dd

MN

Análise da matriz V

Equivalência em modelos 2-D

(de Muñoz 2005)

(de Muñoz 2005)

Aplicação a um modelo MT. a) modelo inicial obtido da inversão dos dados; b) Modelo de teste com modificação manual da anomalia C; c) Modelo obtido projectando a diferença entre a e b no espaço nulo; d) Modelo de teste em que se eliminou a anomalia C; e) modelo obtido da projecção da diferença entre d e a no espaço nulo (de Muñoz 2005).

Matriz Resolução dos parâmetros

R = S-g J

mc = (mc)k + δm = (mc)k + S-g (d – g(mk))

d = g(mv) = g(mc)k + J (mv – (mc)k)

mc = (mc)k + S-g [J (mv-(mc)k )] = (mc)k + S-g J mv- S-g J (mc)k =

R mv + (I – R) (mc)k

diag [R]

Sensibilidade

Nob

i j

ia

obj pN

S1

100

VOI ( volume of investigation index)

refref mm

mmv

12

12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V

678500 679500 680500

UTM coordinates in m

D epth = 15 m

825500

826500

827500

828500

829500

UT

M c

oord

inat

es

in m

---

> N

678500 679000 679500 680000 680500 681000

D epth = 50 m

825500

826000

826500

827000

827500

828000

828500

829000

829500

Mapas de VOI para duas profundidades de um modelo 3-D. A tracejado estão representados os valores iguais a 0.2 (de Monteiro Santos et al. 2008).