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InversInversão da ão da Transformada Z Transformada Z
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Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Inversão da Transformada Z
O método das frações parciais usa o conhecimento de diversos pares de transformada Z básicos e as proprie-dades da transformada Z para obtenção da transforma-da Z inversa das funções de interesse. Admite-se entãoque
.
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Se , pode-se realizar a divisão de polinômios e expressar na forma
onde é o resto da divisão , que é um polinômio de ordem N-1.
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Em alguns casos, é expresso como a razão de polinômios em ao invés de , por exemplo:
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Aplica-se então o método das frações parciais para o ter-mo entre parênteses, e o fator é incorporado poste-
riormente, através da propriedade do deslocamento no tempo.
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Para o caso em N > M
sendo os pólos de . Se não houverem pólos re-petidos tem-se
.
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A transformada Z inversa, associada com cada termo éentão determinada usando-se o par
.
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Se o pólo for repetido vezes, então haverão termosna expansão em frações parciais associados a este pólo, ou seja:
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A transformada Z inversa de cada termo é determinada por
ou
.
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Exemplo 7.9: Determinar a transformada Z inversa de
.
Exercício 7.5: Refazer o exemplo anterior, supondo quea RDC é
.
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Exemplo 7.10: Determinar a transformada Z inversa de
.
Exercício 7.6: Determinar a transformada Z inversa de
.
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Expansão em Série de Potências: Este método de inver-são é limitado a sinais unilaterais, ou seja com RDCs na forma ou . Se a RDC for , será expresso em potências de a fim de se obter um sinal unilateral direito. Se a RDC for , entãoserá expresso como uma série de potências em , a fimde representar um sinal unilateral esquerdo.
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Exemplo 7.11: Determinar a transformada Z inversa de
.
Refazer o exercício admitindo a RDC como .
AnAnáálise com Transformalise com Transformada de Sistemas LTI da de Sistemas LTI
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A saída de um sistema LTI é expressa em termosda resposta ao impulso e a entrada na forma:
Portanto, a função de transferência de um sistema LTI detempo discreto pode ser representado como a razão entre as transformadas Z dos sinais de saída e de entrada do sistema, ou seja
.
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Uma vez que a equação de diferenças de n-ésima ordemque relaciona a entrada com a saída pode ser representada como
.Uma vez que
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Pode-se obter a seguinte representação no domínio Z para a equação de diferenças anterior:
Através desta última expressão, obtém-se a função de transferência do sistema em função dos coeficientes da equação de diferenças, ou seja
.
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Exemplo 7.13: Encontre a descrição com equação de diferenças de um sistema com a seguinte função de transferência:
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A função de transferência de um sistema pode ser obtidaa partir da representação do sistema na forma de espaço de estados, sendo o procedimento para os casos contínuos e discretos realizados de forma análoga. Seráinicialmente obtida a função de transferência para o caso contínuo dado por
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Da primeira equação do sistema representado no domíniofrequência obtém-se a seguinte relação
Tal relação pode ser substituída na equação da saída Y(s) do sistema, resultando em logo
.
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Para o caso discreto realiza-se um procedimento similar ao caso contínuo, ou seja:
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Da primeira equação para o caso discreto obtém-se
Tal relação pode ser substituída na equação da saída Y(z) do sistema, resultando em logo
.
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Exemplo 7.14: Determinar a função de transferência de um sistema LTI que possui a seguinte representação por variáveis de estados:
Estabilidade e Causalidade Estabilidade e Causalidade
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A resposta ao impulso de um sistema causal é zero para n<0. Portanto, a resposta ao impulso de um sistema causal é determinada a partir da função de transferência, admitindo sequência unilateral direita. Pólos dentro do círculo de raio unitário contribuem em termos exponenciais decrescentes para a resposta ao impulso, ao passo que pólos fora do círculo de raio unitário contribuirão com termos exponenciais crescentes.
Estabilidade e CausalidadeEstabilidade e Causalidade
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Estabilidade e CausalidadeEstabilidade e Causalidade
Estabilidade e Causalidade Estabilidade e Causalidade
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Exemplo 7.15: Um sistema apresenta a seguinte função de transferência discreta:
Determinar a resposta ao impulso do sistema supondo que a sequência resultante seja (a) convergente, (b) causal.
Estabilidade e Causalidade Estabilidade e Causalidade
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Exercício 7.8: Um sistema estável e causal é descrito pela equação de diferenças
.
Determinar a resposta ao impulso deste sistema.
A TransformaA Transformada Z Unilateral da Z Unilateral
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A transformada Z unilateral de um sinal é definida como
o qual depende somente de para , e serádenotada por
.
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A partir da utilização da transformada Z unilateral, serápossível a obtenção da resposta de sistemas descritos por equações de diferenças, sujeitos a condições iniciais. Para a inclusão de condições iniciais, considera-se a propriedade do deslocamento, admitindo
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Reescrevendo em relação a tem-se:
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Generalizando para um retardo de k unidades de tempo
.
A generalização para um avanço de k unidades de tempo será
.
A TransformaA Transformada Z Unilateral da Z Unilateral
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Exemplo 7.19: Considere o sistema descrito pela equação de diferenças
.
Encontre a saída se a entrada e se a condi-ção inicial da saída for .
A TransformaA Transformada Z Unilateral da Z Unilateral
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Exercício 7.11: Determinar a resposta forçada e aresposta natural , e a saída do sistema des-crito pela equação de diferenças
sendo e .
A TransformaA Transformada Z Unilateral da Z Unilateral
![PDS Aula02 TZ [Modo de Compatibilidade]cabm/pds/PDS_Aula02_TZ.pdfCarlos Alexandre Mello –cabm@cin.ufpe.br 4 Transformada Z Relação entre a Transf. de Fourier e a Transf. Z: Como](https://img.document.onl/doc/110x75/5e4720361a532730d621b713/pds-aula02-tz-modo-de-compatibilidade-cabmpdspdsaula02tzpdf-carlos-alexandre.jpg)
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