Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Faculdade de ...fisica.uc.pt/data/20072008/apontamentos/apnt_169_22.pdfA transformada de Z, em semelhança àDTFT, possui um conjunto de

Slide 1 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra

Cap. 5-Transformada de Z

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Análise e Processamento de BioSinais


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Tópicos:

Introdução

A Transformada de Z

Propriedades da Transformada de Z

Função de Transferência

Causalidade e Estabilidade


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Introdução :A transformada de Z permite a caracterização de sinais e SLITs discretos no tempo.

A transformada de Z, em semelhança à DTFT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs.

Caracterizando um SLIT usando a transformada de Z, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Z do sinal de entrada pela transformada de Z da resposta a impulso do sistema.

A transformada de Z é expressa de duas formas:

Unilateral – adequada para obter soluções de equações de diferenças com condições iniciais.

Bilateral – adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas discretos.

A transformada de Z permite caracterizar funções próprias de um sistema. As funções são exponenciais complexas discretas no tempo.

Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado àentrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente àentrada, mas modificado por um escalar.


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Se é um complexo que pode caracterizar um sinal

com uma exponencial complexa através de

A é um co-seno

exponencialmente amortecido

A é um seno

exponencialmente amortecido

Em ambos os casos um valor de determina o factor de amortecimento. Com o sinal é uma sinusóide.

Ω= jrez

[ ] ( ) ( )njrnrznx nnn Ω+Ω== sincos

Re nz

Im nz

[ ] nznx =

r[ ]nx1=r


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :A função própria

Considerando um SLIT com resposta a impulso e ao qual éaplicado um sinal de entrada

Definindo a função de transferência

Podendo ser expresso por

nz

[ ]nh[ ] n

znx =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=∗==k

knxkhnxnhnxHny

[ ] [ ] [ ]

== ∑∑

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

k

kn

k

knzkhzzkhny

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=k

kzkhzH

[ ] ( ) nnzzHrHny ==

Função PrópriaValor Próprio

[ ] ( ) ( ) nzjzezHny

φ=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Sendo

Como podemos reescrever a equação

O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada

- Alterado em amplitude e fase

- Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento

[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ΩΩΩ +Ω++Ω= jjnjrenjrenrreHny φφ sincos

Ωr

[ ] ( ) ( ) nzjzezHny

φ=

Ω= jrez


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Representação da Transformada:

A função corresponde à DTFT do sinal . A DTFT inversa é

Sendo a integração só em , o valor de pode ser considerado constante e pois

Como varia de a , o valor de descreve um círculo

[ ] ( )∫−ΩΩ− Ω=

π

ππdereHrnh

njjn

2

1

[ ] nrnh

−

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=k

kzkhzH ( ) [ ]( ) [ ]( )∑∑

∞

−∞=

Ω−−∞

−∞=

−ΩΩ ==n

njn

n

njjernhrenhreH

( )ΩjreH

[ ] ( )( )∫−ΩΩ Ω=

π

ππdrereHnh

njj

2

1

Ω= jrezΩ rΩ= Ω

djredzj

dzzdj

11 −=ΩΩ π− π z

[ ] ( )∫−= dzzzH

jnh

n 1

2

1

π


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Representação da Transformada:

Considerando um sinal genérico a transformada de Z vem

Sendo a sua inversa dada por

Podendo ser este par expresso por[ ] ( )zXnx

z→←

Par da Transformada

[ ]nx

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX( ) [ ]∑

∞

−∞=

−=k

kzkhzH

[ ] ( )∫−= dzzzH

jnh

n 1

2

1

π [ ] ( )∫−= dzzzX

jnx

n 1

2

1

π


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Convergência:

A condição necessária para a convergência da transformada de Z éa convergência do somatório

Sendo então a condição vem expressa por

A gama de valores de para a qual a transformada-Z converge designa-se região de convergência (ROC).

r

DTFS não convergente Transformada-Z é convergente

Vantagem!

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX

[ ] [ ] nnrnxznx

−− =

[ ]∑∞

−∞=

− ∞<n

nrnx


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Plano complexo (plano-Z):

Se a transformada-Z é convergente então a transformada de Fourier discreta DTFT corresponde à transformada-Z com (no plano-Z corresponde ao círculo unitário).

O círculo unitário segmenta o plano-Z em duas partes (interior ao

círculo e exterior ao círculo).

A existência de pólos ou zeros numa destas partes é importante para a análise do comportamento do sistema

1=r( )zX

( ) ( ) Ω=

Ω = jez

jzXeX


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Pólos e Zeros no plano-Z:

A razão entre dois polinómios em

é a forma mais comum da transformada-Z.

( )0

1

1

0

1

1

azaza

bzbzbzX

N

N

M

M

+++

+++=

−−

−−

L

L

( )( )

( )

11

11 0

1 11 0

1

1

1

MM

kkM

NN

N kk

b c zb z b z bX z

a z a z a d z

−− −=

− − −

=

−+ + += =

+ + + −

∏∏

%L

L Pólos

Zeros

Zero

Pólo0z zeros =

α=z pólos

1−z

00 abcom


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um DTFT

Determine a transformada-Z do sinal

Use a transformada-Z para determinar a DTFT

Substituindo os valores obtemos

A DTFT é obtida pela substituição

[ ]

=

=−

=

−=

=

outros

n

n

n

n

nx

,0

2,1

1,1

0,2

1,1

( ) 212 −− +−+= zzzzX

[ ]nx( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX

( ) Ω−Ω−ΩΩ +−+= 22 jjjjeeeeX

1, === ΩΩrcomrerez

jj


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal Exponencial

Determine a transformada-Z do sinal e defina a respectiva região de convergência (ROC).


Esta série converge se

[ ] [ ]nunxnα=

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX [ ] [ ]nunxnα=

( ) [ ] ( )∑∑∞

=

∞

−∞=

− ==0n

n

z

n

nnznuzX αα

αα >< zouz

,1

( ) ααα

>−

=−

=−

zz

z

zzX ,

1

11

0z zeros =

α=z pólos


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal




[ ] [ ]1−−−= nunynα

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX

( ) [ ] ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞

=

∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

− −=−=−=−−−=01

1

11k

kz

k

kz

n

n

z

n

nnznuzX αα

αα

αα << zouz ,1

( ) 1

11 ,

1

zY z z

z zα

α α−= − = <

− −0z zeros =

α=z pólos

[ ] [ ]1−−−= nunynα


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal




[ ] [ ] ( ) [ ]12

1n

x n u n u n= − − − +

( ) [ ]∑∞

−∞=

−=n

nznxzX

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∞

=

∞

=

−

−∞=

∞

=

∞

−∞=

−− −+=−=−−−=00

21

1

1

0

21

21 11

k

k

n

n

z

n

n

z

n

n

z

n

nnnzznuznuzX

1,21 <> zz

( )

( )( )( )

1,1

2

1

11

1

1

21

21

23

1

21

<<−−

−=

−−+

−=

−

zzz

zz

zzzX 4

3,0z zeros == z

1, pólos21 == zz

[ ] [ ] ( ) [ ]nununxn

211 −−−−=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z :Transformadas de Z de um Sinal


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:As propriedades da transformada-Z

Sendo

As propriedades são similares às das transformada DTFT sendo uma das várias propriedades a da linearidade

e a convolução

Notar que a região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição.

[ ] ( ) x

zRROCzXnx ,→← [ ] ( ) y

zRROCzYny ,→←

[ ] [ ] ( ) ( ) yx

zRRROCacomzbYzaXnbynax ∩+→←+ ,

[ ] [ ] ( ) ( )zYzXnynxz→←∗


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Exemplo: Aplicação de Propriedades

Determinar a transformada-Z do sinal

Tendo em conta que é um real positivo.

Sendo

Reescrevendo

obtemos

[ ] ( ) [ ]nunanx n

0cos Ω=

a

[ ] [ ] ( ) azcomaz

zYnuanyzn >

−=→←=

−,

1

11

[ ]nx

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nyenyenuaenuaenxnjnjnnjnnj 0000

2

1

2

1

2

1

2

1 Ω−ΩΩ−Ω +=+=

[ ]

→←

αα

zXnx

zn

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

0 0

0 01 1

1

0

1 2 2

0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 21 1

1 cos,

1 2 cos

j j

j jX z Y e z Y e z

ae z ae z

a zcom ROC z a

a z a z

− Ω Ω

Ω − Ω− −

−

− −

= + = +− −

− Ω= >

− Ω +


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos

Considerando

Determinar a transformada-Z do sinal

Os sinais têm as seguintes ROC

se

[ ] [ ] [ ] ( )( )( ) 2

321

23

21

,12

3

2

1<<

−−

−=→←−−

−

= zROC

zz

zzXnununx

z

nn

[ ] [ ] [ ] ( )( )( ) 2

1

21

41

41

,2

1

4

1>

−−

−=→←

−

= zROC

zz

zzYnununy

z

nn

[ ] [ ]nbynax +

[ ] [ ] ( )( ) ( )( )21

41

41

23

21 −−

−

−−− +→←+

zz

z

zz

zzbanbynax

ba =

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )23

21

41

21

45

21

41

41

23

21

−−−

−−

−−

−

−−−

=

+=+

zzz

zz

zz

z

zz

z

a

azaYzaX


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos

Sendo

O zero em cancela o pólo em

Dando origem ao seguinte sinal

Que equivale a um alargamento da zona de convergência (ROC)

( ) ( )( )( )

23

41

45

−−

−=+

zz

zazaYzaX

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )

23

21

41

21

45

21

41

41

23

21 −−−

−−

−−

−

−−− =+=+

zzz

zz

zz

z

zz

z aazaYzaX

21=z 2

1=z


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Transformada -Z Inversa

Sendo a transformada-Z expressa pela razão de dois polinómios em

com podemos inverte-la utilizando

Ou o par exterior à circunferência

Ou o par interior à circunferência

A ROC associada com determina a escolha do par interior ou exterior

NM <

( ) ( )( ) ∑

=−−

−−

−=

+++

+++==

N

k k

k

N

N

M

M

zd

A

azaza

bzbzb

zA

zBzX

11

01

0

1

1

1L

L

( ) [ ] k

k

kzn

kk dzROCzd

AnudA >

−→←

−,

1 1

( )zX

1−z

( ) [ ] k

k

kzn

kk dzROCzd

AnudA <

−→←−−−

−,

11

1

z

z


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Exemplo: Transformada Inversa

Considerando o sinal

calcule a sua inversa da transformada de Z.

Usando a expansão em fracções parciais

e cuja região de convergência é

( )( )( )( )

21:,1211

1111

21

21

<<−−−

+−=

−−−

−−

zROCcomzzz

zzzX

( )( ) ( ) ( )

21,1211 1

3

1

2

1

21

1 <<−

+−

+−

=−−−

zROCz

A

z

A

z

AzX

( )( ) ( ) ( )

21,1

2

21

2

1

1111

21

<<−

−−

+−

=−−−

zROCzzz

zX


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Transformada de Z:Exemplo: Transformada Inversa

e cuja região de convergência é

Combinando todos os termos

( )( ) ( ) ( )

21,1

2

21

2

1

1111

21

<<−

−−

+−

=−−−

zROCzzz

zX

( ) [ ] k

k

kzn

kk dzROCzd

AnudA >

−→←

−,

1 1

( ) [ ] k

k

kzn

kk dzROCzd

AnudA <

−→←−−−

−,

11

1

( ) [ ] exteriorlado,1

11

212

1

−−→←

znu

zn

( ) [ ] interiorlado,21

2122

1−−→←−−−

znu

zn

[ ] exteriorlado,1

22

1−−−→←−

znu

z

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]nunununxn

n

21222

1−−−−

=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada

A função de transferência corresponde à razão entre a transformada-Z do sinal de saída e a transformada-Z do sinal de entrada.

Esta definição aplica-se para valores de z em que

Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT

Então

o que permite determinar a função transferência mais facilmente.

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗= ( ) ( ) ( )zXzHzY =

( ) ( )( )zX

zYzH =

( ) 0≠zX

[ ] ( ) nnzzHzHny ==

[ ] nznx =


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Exemplo: Identificação Um Sistema (Designa-se identificação ao processo que permite expressar analiticamente o sinal de saída de um sistema em função de um sinal de entrada.)

Sendo a entrada de um SLIT e a sua saída dada por

Determinar a função de transferência e a resposta a impulso do sistema.

A transformada-Z do sinal de entrada e do sinal de saída são

( )( )

31,311

11

>+

=−

zROCz

zX

[ ] ( ) [ ]nunxn

31−=

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununynn

3113 +−=

[ ] ( ) [ ]nunxn

31−=

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununynn

3113 +−=

( )( )

( ) ( )( ) 1,3111

4

311

1

1

3

11

11

>−+

=

−+

+=

−−

−−

zROCzz

zzzY


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Exemplo: Identificação Um Sistema

Sendo a função de transferência dada por

A transformada inversa tem a resposta a impulso dada por

( )( )

31,311

11

>+

=−

zROCz

zX ( ) ( ) ( )( ) 1,3111

411

>−+

=−−

zROCzz

zY

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) 1111

1

311

2

1

2

3111

3114−−−−

−

−+

+=

−+

+==

zzzz

z

zX

zYzH

Expansão em fracções parciais

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununhnn

31212 +−=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Considerando uma equação de diferenças que relaciona a entrada com a saída

Se então a saída de um SLIT é . O que permite substituir e .

Podendo exprimir a função de transferência por

[ ] [ ]∑∑==

−=−M

k

k

N

k

k knxbknya00

( )∑

∑

=

−

=

−

=N

k

k

k

M

k

k

k

za

zb

zH

0

0

[ ]nx[ ]ny

[ ] nznx = [ ] ( )zHzny n=[ ] knzknx −=− [ ] ( )zHzkny kn−=−

( ) ∑∑=

−

=

− =M

k

k

k

nN

k

k

k

n zbzzHzaz00


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Exemplo: Função Transferência de Um Sistema

Considerando a equação de diferenças

Determine a sua função de transferência.

Usando a expressão

Aplicando a transformada-Z inversa obtemos a resposta a impulso

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1121

1

431

1

211

2

83411

21−−−−

−

−+

+

−=

−−

+−=

zzzz

zzH

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]12283141 −+−=−−−− nxnxnynyny

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununhnn

43212 +−−=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Causalidade e Estabilidade:A localização dos pólos plano-Z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema.

Sistema Causal:

Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para .

Um pólo em do circulo interior do plano-Z contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso.

Um pólo em do circulo exterior do plano-Z contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso.

1<kd

0<n

1>kd


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Sistema Estável:

Se um sistema é estável então a resposta a impulso é possível somar e isso implica que exista transformada de DTFT. Logo o circulo unitário

deverá estar incluído na região de convergência (ROC).

Uma resposta a impulso estável (o somatório é convergente) não poderáconter termos exponenciais absolutamente crescentes.

1<kd 1>kdTermo para [ ]nu −


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Os SLIT discretos são estáveis e causais se todos os seus pólos estão interior do circulo unitário do plano-Z.


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Exemplo: Causalidade e Estabilidade

Considerando um sistema SLIT que se expressa pela seguinte função de transferência

Determine a resposta a impulso assumindo que o sistema é estável (a) ou causal (b). Este sistema pode ser estável e causal?

Pressuposto SISTEMA ESTÁVEL

O sistema tem pólos no interior e exterior do circulo unitário.

Para o sistema ser estável deverá incluir o circulo unitário. Assumindo que o sistema é estável obtemos

a resposta a impulso

( )1

141421

3

9.01

2

9.01

2−

−−

− ++

−

+

−

=z

zeze

zHjjππ

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ]1234

cos9.04

1239.029.02 44

−−−−

=

−−−−

+

=

−

nunun

nunuenuenh

nn

n

nj

nj

π

ππ

0<n


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Função de Transferência :Exemplo: Causalidade e Estabilidade

Pressuposto SISTEMA CAUSAL

Neste pressuposto a resposta a impulso obedece àrestrição

A resposta a impulso é dada por

O SLIT não pode ser simultaneamente estável e causal porque tem um

pólo exterior ao circulo unitário.

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]nunuenuenhn

n

j

n

j

239.029.02 44 −+

+

=

−ππ

[ ] 00 =→< nhn


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Sumário

oIntrodução

oA Transformada de Z

oPropriedades da Transformada de Z

oFunção de Transferência

oCausalidade e Estabilidade

Documents

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Faculdade de ...fisica.uc.pt/data/20072008/apontamentos/apnt_169_22.pdfA transformada de Z, em semelhança àDTFT, possui um conjunto de