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TRANSFORMADA Z UNILATERAL
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES� É definida por
� Difere da bilateral no limite inferior da soma, que é sempre zero, seou não o sinal x(n) é zero para n < 0.
� Possuí as seguintes características:� Não contém informação sobre o sinal x(n) para valores negativos de
(z)Xz
x(n)
n
nxnznxzX ++
↔∞
=
+−≡+ ∑
0
)}({ Z)()(
� Não contém informação sobre o sinal x(n) para valores negativos detempo ( n < 0 ).
� É única somente para sinais causais, porque somente estes sinais são zeropara n<0.
� X+ (z) de x(n) é identico a transformada Z bilateral do sinal x(n)u(n).Desde de que x(n)u(n) é causal, a ROC de sua transformada, e então aROC de X+ (z) , é sempre o exterior do circulo. Assim, quando nóslidamos com transformada Z unilateral não é necessário referir-se a suaROC.
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES� Quase todas a propriedades que foram estudadas para transformada Z
bilateral servem para a transformada Z unilateral com exceção dapropriedade do deslocamento.
� Propriedade do Deslocamento� Caso 1:Tempo de atraso
)()}({
0
)()(
n-klnzknxknxZ
n
nznxzX
(z)Xz
x(n)
=
∞
−−=−+
∞
=
−=+
++
↔
∑
∑
causal )()(
)(
1
)()}({
0
)(
1
)()}({
)()}({
0
)()}({
nx(z)Xkzz
knx
zX
k
n
nznxkzknxZ
l
lzlx
kl
lzlxkzknxZ
kl
klzlxknxZ
n-kl
n
zknxknxZ
→+−+
↔−
++
=
−−=−+
∞
=
−+−
−=
−−=−+
∞
−=
−−=−+
=
=
−=−
∑
∑∑
∑
∑
� Propriedade do Deslocamento� Caso 2:Tempo de avanço
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
+=
+=+
=
↔
∑
∑∞
=
−+
∞
=
−+
++
0
0
)()}({
)()(
n
n
n
n
z
knlzknxknxZ
znxzX
(z)Xx(n)
−=+
−=
+==
=
=+
∑
∑∑
∑ ∑ ∑
∑∑
−
=
−++
−
=
−∞
=
+−
∞
=
−
=
∞
=
−−−+
∞
=
−∞
=
+−+
1
0
1
0
0
1
0
)()()}({
)( )( )(
)()( )()(
)( )()}({
k
l
lk
k
l
l
kl
l
n
k
l kl
lll
kl
lk
kl
kl
zlxzXzknxZ
zlxzXzlx
zlxzlxzlxzX
zlxzzlxknxZ
� Teorema do valor final
� O limite existe se a ROC de inclue o circulo unitário.
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
)()1(lim)(lim
)()(
1zXznx
zXnx
zn
z
+
→∞→
++
−=
↔
)()1( zXz +−
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES A DIFERENÇA� A transformada z unilateral é uma ferramenta muito eficiente para a
solução de equações a diferença com condições iniciais não-zero.
� Ela efetua isto reduzindo a equação a diferença relativa aos dois sinaisno domínio do tempo para uma equação algébrica equivalenterelativa a transformada z unilateral deles.
RESPOSTA DE SISTEMAS POLO-ZERO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO ZERO
RESPOSTA DE SISTEMAS POLO-ZERO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO ZERO
� Suponha que o sinal x(n) é aplicado para um sistema polo-zero emn=0.Assim, o sinal x(n) é assumido ser causal.
� Os efeitos de todos sinais de entrada anteriores para o sistema sãorefletidos nas condições iniciais y(-1),y(-2),...,y(-N).
� Desde que o sinal de entrada x(n) é causal e desde que estamosinteressados em determinar a saída y(n) para n ≥ 0, podemos usar ainteressados em determinar a saída y(n) para n ≥ 0, podemos usar atransformada z unilateral, que permite-nos lidar com as condiçõesiniciais.
RESPOSTA DE SISTEMAS POLO-ZERO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO ZERO
∑∑ ∑
∑ ∑
+
=
+−
= =
+−+
= =
==
+
−+−=
−+−−=
M
k
kk
N
k
N
k
nkk
N
k
M
kkk
X(z)(z)Xx(-n)x(n)
zXzbznyzYzazY
knxbknyany
01 1
1 0
:se- temY(z) Isolando
e 0 portanto causal, é que Lembrando
)()()()(
)()()(
∑
∑∑
∑
∑∑
∑
∑
=
−
==
−+
=
−
==
−
=
−
=
−
+
+=
−−=+=
+
−−
+=
N
k
kk
K
n
nN
k
kk
N
k
kk
K
n
nN
k
kk
N
k
kk
M
k
kk
zazA
znyzazNzA
zNzXzHzY
za
znyza
zX
za
zb
zY
1
110
0
1
11
1
0
1)(
)()( )(
)()()()(
1
)(
)(
1
)(
:se- temY(z) Isolando
� A equação pode ser dividida em duas partes:
RESPOSTA DE SISTEMAS POLO-ZERO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO ZERO
)(
)()()()( 0
zA
zNzXzHzY +=+
zi
zs
A(z)
(z)N(z)Y
zXzHzY
=
=
+
:zero-não iniciais condições das resultante zero, entrada de Resposta
)()()(
:zero estado de Resposta
0
kk/k
L
k
nkk
N
k
nkk
N
k
nkkzi
zi
zizszizs
DAAnuqQnupAny
nupDny
(z)Y
nynyny(z)Y(z)Y(z)Y
+=+=
=
+=+=
∑∑
∑
==
=
+
++
)()()()()(
)()()( emente,Consequent
.p,...,p ,p são polos seus e A(z) é der denominado O
)()()(
11
/
1
N21
� O efeito das condições iniciais é para alterar a resposta natural dosistema através da modificação do fator de escala {Ak }.
� Há nenhum novo polo introduzido pelas condições iniciais não-zero.
� Há nenhum efeito na resposta forçada do sistema.
RESPOSTA DE SISTEMAS POLO-ZERO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO ZERO
� Estes pontos são reforçados no exemplo seguinte.
