Transformada Z

7/17/2019 Transformada Z

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Transformada Z



Introdução

Assim como a Transformada de Laplace

nos permite resolver equações diferenciais e

definir a noção de Função de Transferência, a

Transformada Z, que passaremos a estudar

em seguida, é a ferramenta que vai nos

permitir resolver equações recursivas e definir

a noção de Função de Transferência para

sistemas a tempo discreto.



Transformada Z Bilateral

Seja um sistema discreto LTI:

com, x [n] = zn, z complexos

A saída y[n] pode ser calculada como: y [n] = x [n] * h[n]

][.][][ k n xk hn yk



Definindo:

(3.1)

Temos que:

k n

k z k hn y

.][][

k

k

n z k h z n y

.][.][

k

k z k h z H ][)(

n z z H n y )(][



A função H (z ) na equação (3.1) é

conhecida como transformada Z de h[n].

Generalizando, a Transformada z de uma

sequência x(n) é dada por

(3.2)

onde: Z = + j

n

n

z n xn x Z z X

)()]([)(



Para uma sequência x (n) que satisfaz x (n) = 0

para n < 0, a transformada Z, X (z ), é definida

como

x(n) = 0, n < 0

onde: Z = + j

A equação anterior é conhecida como

Transformada Z Unilateral

n

n z n xn x Z z X

0

)()]([)(



Uma vez que a transformada z é uma série

de potência infinita, ela só existe para os valores de

z para os quais a série converge. O conjunto de

valores de z para os quais X(z) existe, é chamada

de região de convergência (ROC) e dada por

R x- < |z| < Rx+ (3.3)

para algum número positivo R x- e Rx+.

Assim, toda vez que utilizarmos atransformada Z devemos também indicar a sua

ROC.



Exemplo

Calcule a transformada Z da sequênciax(n) = {1 4 3 2 7 6}.

Exemplo

Calcule a transformada Z da função

potência anu(n) onde a é uma constante e,n é uma variável discreta



Em alguns casos, quando a série é geométrica e

de razão r conhecida, tem-se que:

r

x

1)0(x(2)zx(1)zx(0)X(z) 2-1-

Para que o resultado da soma da série sejadado pela fórmula acima é preciso que a série

seja convergente, isto é a razão da série deve

possuir módulo menor que a unidade |r | < 1.



Exemplo

Calcule a transformada Z da função potência -anu[-n-1] onde a é uma constante e n é uma

variável discreta

Exemplo

Calcule a transformada Z da função anu(n) +

bnu[-n-1] onde a e b são constantes e n é uma

variável discreta.



Comentários:

1. A variável complexa z é chamada de

freqüência complexa dada por z = |z|e jw, onde |z|

é a atenuação e w é a freqüência real.

2. Desde que a ROC (3.3) é definida em termos

da magnitude |z|, a forma da ROC é um anel

aberto, como mostrado na figura 3.1. Note-se

que R x- pode ser igual a zero e / ou R x+ poderia

ser .


http://slidepdf.com/reader/full/transformada-z-568cf7a1f2fc1 12/72Uma região geral de convergência



3. Se R x+ < R x- então a ROC é um espaço nulo é

a transformada Z não existe.

4. A função |z| = 1 (ou z = e jw) é um círculo de raio

unitário no plano Z e é chamado de círculo

unitário. Se a ROC contém o círculo unitário,

então podemos avaliar X(z) no círculo unitário.

)]([)()](|)( n x F en xe X z X jwn

n

jw jwe z



Propriedades da ROC

1. A ROC não contém nenhum pólo

2. A ROC é sempre limitada por um círculo

desde que a condição de convergência seja a

magnitude |z|



3. Se a sequência x(n) for unilateral direita,

definida como uma sequência que é zero para

todo n < n0. A ROC para estas sequências é

sempre fora do círculo de raio R x-. Onde:

R x- é igual ao maior módulo de todos os pólos de

X(z)

Se n0 ≤ 0, a sequência do lado direito também é

chamado de uma sequência causal.



4. Se a sequência x(n) for unilateral esquerda,

definida como uma sequência que é zero para

todo n > n0. A ROC para estas sequências é

sempre dentro do círculo de raio R x+. Onde:

R x+ é igual ao menor módulo de todos os pólos

de X(z)



5. As sequências que são zero para n > n1 e n <

n2 são chamados sequências de duração finita. A

ROC para tais sequências é o plano Z inteiro.

Exceto possivelmente z = 0 e z =

6. Uma sequência bilateral (sequência infinita que

não é unilateral direita e nem unilateral

esquerda). A ROC é sempre um anel aberto

R x- < |z| < R x+ se ele existir.





Exemplo

Calcule a transformada Z da função senoidal

sen(w 0nT ) onde w 0 e T são constantes e n 0 é

uma variável discreta.

Exemplo

Calcule a transformada Z da função Impulso

Unitário (n); definida como (n) = 1 para n = 0 e

nula para n 0.

















Propriedades da Transformada Z

Multiplicação por uma constante

onde a é uma constante arbitrária.

)()()]([ z aX z naxnax Z n

n



Soma e Diferença

Linearidade

onde a e b são constantes arbitrárias.

)()()()()]()([ 212121 z X z X z n xn xn xn x Z

n

n

)()()()()]()([ 212121 z bX z aX z nbxnaxnbxnax Z

n

n



Deslocamento no tempo

Inversão de Tempo

Multiplicação no domínio da frequência

)()()]([ z X z z pn x pn x Z p

n

n

)/1()()]([ z X z n xn x Z

n

n

)/()()]([ 000 z z X z n x z n x z Z

n

nnn



Multiplicação por n (ou Diferenciação em z )

Convolução

Acumulação

dz

z dX z z nnxnnx Z

n

n )()()]([

)()()(*)( 2121 z X z X n xn x Z

)(1

)( z X z

z k x Z

n

k









Teorema do Valor Inicial

Se Z [ x(n)] = X(z) e existe então:)(lim z X z

)(lim)0( z X x z



Teorema do Valor Final

Se Z [ x(n)] = X(z) e se a função (z -1) X (z )

é analítica sobre e fora do círculo unitário,

então:

)()1(lim)(lim1z

z X z n x

n



Calcule a transformada Z das

seguintes sequências e determine a ROC

i) x(n) = 5u(n) –

3u(n -10)ii) x(n) = u(-n)

iii) x(n) = 5nu(n)

iv) x(n) = u(n)* 3(n -10)

Exemplos



Transformada Z Inversa



A Transformada Z Inversa

O processo matemático de se passar

de uma expressão com variável complexa

para a expressão no tempo é chamada de

transformação inversa. A notação para a

transformação inversa de Z é Z -1, de modo

que:

(3.4)

c

n dz z z X j

n x z X 11- )(2

1)(Z



Existem métodos alternativos, para se

obter a transformada inversa sem calcular a

integral anterior, são eles:

- método da expansão em frações parciais

- método da expansão em série de

potências

Cada um possui características

diferentes, vantagens e desvantagens.



Método da divisão polinomial

Como normalmente X (z ) é expressa

em termos de uma fração

polinomial, isto é

sendo N (z ) e D(z ) dois polinômios, temos:

)(

)()( z D

z N z X



Da definição da Transformada Z temos:

Observando estas duas últimas

expressões, temos uma igualdade de

termos.



Para a obtenção dos termos da

Transformada Z através das regras usuais de

divisão polinomial seguiremos o seguinte

procedimento:

- Suponha que o grau de N (z ) não é superior

ao grau de D(z )

- Defina n = grau(D(z ))



- Construa dois polinômios auxiliares como aseguir

Faça agora a divisão de por

para encontrar os valores de x (0), x (T ), x(2T),

...



Exemplo

Determine a Transformada Z inversa de:

z z z

z z z X

65

2)(23

2



Exemplo


z z z

z X

2563)(23

Mét d d ã f õ i i



Método da expansão em frações parciais

Este método é o análogo daexpansão por frações parciais utilizado na

obtenção da transformada inversa de

Laplace. Note apenas que ao invés de

expandir X (z ) por frações parciais devemos

expandir X (z )/z . Veja o exemplo que

segue.



Calcule a seqüência x[k] cuja

transformada Z é:

Exemplo

)2)(1(

10)(

z z

z z X



Como na Transformada inversa de

Laplace, aqui também temos três casos

para serem analisados

E ã f õ i i d X( ) t



Expansão em frações parciais quando X(z) tem

apenas pólos distintos

Neste caso X(z) pode ser sempre expandido

em uma soma de simples frações parciais

como a seguir:

onde ak são constantes.

n

n

p z

a

p z

a

p z

a

z A

z B

z

z X

2

2

1

1

)(

)()(



Onde

1

)()( 11 p z

p z z z X a

2

)()(

22 p z

p z z

z X a

k p z

K k p z z

z X a

)(

)(




Exemplo

z z z

z z z X

652)(

23

2



Exemplo

Encontre a transformada Z inversa de:

864)(

2

z z z X

E ã f õ i i d X( )



Expansão em frações parciais quando X(z)

tem pólos múltiplos

Neste caso X(z) pode ter uma ou mais

raízes com multiplicidade maior do que 1, e a

expansão em frações parciais como a seguir:

onde a1, a2, ... , ar são dados por

n

n

r

r r

r r p z

a

p z

a

p z

a

p z

a

p z

a

z

z X

)()()()(

)(

1

1

111

2

1

1



1

)()(

11 p s

r p z

z

z X a

1

)()(

12

p s

r p z

z

z X

dz

d a

1

)()(

)()!1(

111

1

p s

r

j

j

j p z z

z X

dz

d

ja




Exemplo

]65[25)(

22

2

z z z

z z z X



Exemplo


]2[)1()( 3

2

z z

z

z X





tem pólos complexos

Neste caso X(z) possuí raízes

complexas conjugadas, e a expansão em

frações parciais pode ocorrer de duas formas:i) soma de simples frações parciais

onde a2 é o complexo conjugado de a1.

n

n

p z

a

p z

a

p z

a

z

z X

2

2

1

1 *)(

O d



Onde

1

)()( 11 p z

p z z z X a

3

)()(

33 p z

p z z

z X a

k p z

K k p z z

z X a

)(

)(




Exemplo

z z z z X 256

3

)( 23

ii) soma de frações parciais com termos duplos



ii) soma de frações parciais com termos duplos

Os valores de a1 e a2 são determinados

multiplicando ambos os lados da última equação

por (z + p1)(z + p2) e fazendo z = -p1, resultando:

n

n p z

a

p z

a

p z p z

a z a

z

z X

3

3

21

21))((

)(

1

1))((

)(2121

p z

p z p z p z z

z X a z a



Exemplo

Encontre a transformada Z inversa de:

z z z z X

256

3)( 23























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